Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064
Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni
Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz
Przykłady do listy 7: Zmienne losowe dyskretne.
Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala, Poissona.
Przybliżenie Poissona rozkładu dwumianowego.
Przykłady do zadania 7.1 :
(a) Niech X oznacza ocenÄ™ z egzaminu (w czterostopniowej skali ocen: 2, 3, 4, 5) losowo wybranego
studenta z dużej grupie studenckiej. Rozkład tej zmiennej losowej podany jest w tabeli:
n 1 2 3 4
xn 2 3 4 5
pn 0,1 0,3 0,4 C
Wyznacz stałą C i oblicz prawdopodobieństwo, że ocena jest wyższa niż 3.
" pn 0 Ô! C 0
4

" pn = 0, 1 + 0, 3 + 0, 4 + C = 0, 8 + C = 1 Ô! C = 0, 2
n=1
" Oba warunki spełnione są dla C = 0, 2.
" P (X > 3) = P (X = 4) + P (X = 5) = p3 + p4 = 0, 4 + 0, 2 = 0, 6

1
(b) Dla jakiej wartości stałej c ciąg pn = c ln 1 - , n = 2, 3, . . ., określa rozkład pewnej
n2
zmiennej losowej? Podać trzy różne przykłady takiej zmiennej losowej i wyliczyć dla każdego z
nich prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 5,2 i mniejsza od 7,9999.
1
" pn 0 dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c 0 (bo 1 - < 1).
n2

" "

1
" pn = c(ln(n - 1) + ln(n + 1) - 2 ln n) = lim c(ln 1 + - ln 2) = c(- ln 2) = 1
n
n"
n=2 n=2
1
wtedy i tylko wtedy, gdy c = - .
ln 2
1
" Oba warunki są spełnione dla c = - .
ln 2
" Aby podać rozkład zmiennej losowej z wykorzystaniem pn trzeba jeszcze określić zbiór jej
wartości, czyli różnowartościowy ciąg (xn).
Przykład 1.
Zmienna losowa X, dla której xn = n dla n = 2, 3, 4, . . .. (Zbiór wartości to {2, 3, . . .}.)
Wtedy P (5, 2 < X < 7, 9999) = P (X = 6) + P (X = 7) = p6 + p7 =

1 1 1
= - ln 1 - + ln 1 - H" 0, 07.
ln 2 36 49
Przykład 2.
12 12
Zmienna losowa Y , dla której xn = dla n = 2, 3, 4, . . .. (Zbiór wartości to {6, 4, 3, , . . .}.)
n 5

1 1
Wtedy P (5, 2 < Y < 7, 9999) = P (Y = 6) = p2 = - ln 1 - H" 0, 415.
ln 2 4
Przykład 3.
Zmienna losowa Z, dla której xn = 8+n2 dla n = 2, 3, 4, . . .. (Zbiór wartości to {12, 17, . . .}.)
Wtedy P (5, 2 < Z < 7, 9999) = 0.
1
(c) Zmienna losowa X przyjmuje wartość xn = 2n, n = 1, 2, . . ., z prawdopodobieństwem pn
1
proporcjonalnym do . Wyliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna ta jest większa od 4,5 i
3n
mniejsza od 6,3.
" ciag {xn} jest różnowartościowy;
c
" pn = 0 dla każdego n wtedy i tylko wtedy, gdy c 0.
3n
" "

1 c 1 c
" pn = c = · = = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy c = 2.
1
3n 3 1 - 2
n=1 n=1
3
2
" Wszystkie warunki na ciąg określający rozkład są spełnione dla c = 2, tzn. pn = .
3n
2
" P (4, 5 < X < 6, 3) = P (X = 6) = p3 = H" 0, 0741.
33
Przykład do zadania 7.2 :
(a) Wiadomo, że 1% skrzynek pomarańczy psuje się w czasie transportu. Z transportu w sposób
losowy pobiera się 10 skrzynek i transport ten jest odrzucany, gdy więcej niż 10% badanych
skrzynek zawiera popsute owoce. Jakie jest prawdopodobieństwo odrzucenia transportu?
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-wybranie skrzynki z popsutymi owocami,
p = 0, 01 (1%), n = 10.
" Niech X oznacza ilość skrzynek z popsutymi owocami wśród 10 badanych.
X ma rozkład Bernoulliego B(n = 10, p = 0, 01), czyli przyjmuje wartość xk = k

10
z prawdopodobieństwem pk = (0, 01)k(1 - 0, 01)10-k dla k = 0, 1, . . . , 10.
k
" Transport jest odrzucany, gdy X > 10% · 10 = 1.
Prawdop. odrzucenia transportu wynosi zatem P (X > 1) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) =

10 10
= 1 - (0, 01)0(1 - 0, 01)10 - (0, 01)1(1 - 0, 01)9 H" 0, 0043.
0 1
(b) Na podstawie pewnych badań stwierdzono, że zmienna losowa X opisująca procent zanieczysz-
czeń w próbce rudy miedzi ma rozkład o dystrybuancie
Å„Å‚
ôÅ‚ 0 dla x 0,
òÅ‚
F (x) = x3(4 - 3x) dla 0 < x 1,
ôÅ‚
ół
1 dla x > 1.
Wybrano niezależnie cztery próbki. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że
(1) dokładnie jedna próbka zawiera ponad 50% zanieczyszczeń;
(2) co najmniej jedna próbka zawiera ponad 50% zanieczyszczeń.
2
" Model: schemat Bernoulliego,
sukces-procent zanieczyszczeń w próbce jest większy niż 50%, czyli X > 0, 5;
11
p = P (X > 0, 5) = 1 - lim F (x) = , n = 4.
16
x0,5+
" Niech Y oznacza ilość próbek z więcej niż 50% zanieczyszczeń wśród 4 badanych (czyli

11
ilość sukcesów w n = 4 próbach). Y ma rozkład Bernoulliego B n = 4, p = , czyli
16
przyjmuje wartość xk = k z prawdopodobieństwem
k 4-k
4
11 11
pk = 1 - dla k = 0, 1, . . . , 4.
k 16 16
" Mamy zatem
1 3
4
11 11
(1) P (Y = 1) = 1 - H" 0, 084;
1 16 16
0 4
4
11 11
(2) P (Y 1) = 1 - P (Y = 0) = 1 - 1 - H" 0, 99.
0 16 16
(c) Rzucamy symetryczną kostką tak długo aż wypadnie  6 . Niech X oznacza liczbę wykonanych
rzutów. Jakie są możliwe wartości X i z jakim prawdopodobieństwem przyjmuje każdą z nich?
Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów.
1
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-wypadła  szóstka , p = .
6
" X to czas oczekiwania na pierwszy sukces, który przyjmuje wartości k = 1, 2, . . . z praw-
k-1 k
1 1 1 5
dopodobieÅ„stwami pk = P (X = k) = 1 - · = · .
6 6 5 6
" Prawdopodobieństwo, że będzie potrzebna parzysta liczba rzutów, wynosi
2l
"

1 5 5
P (X parzyste) = pk = = H" 0, 45.
5 6 11
k parzyste l=1
(Uwaga: jest ono różne od 0,5).
(d) Gra polega na zarzucaniu krążków na kołek. Gracz otrzymuje ich sześć i rzuca je aż do pierw-
szego celnego rzutu. Obliczyć prawdopodobieństwo, że po zarzuceniu krążka zostanie graczowi
jeszcze co najmniej jeden krążek, jeżeli prawdopodobieństwo trafienia na kołek przy każdym
rzucie wynosi 0,1.
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-trafienie na kołek, p = 0, 1.
" Wyobraz
my sobie, że mamy nieograniczoną liczbę krążków, i oznaczmy przez Y czas ocze-
kiwania na pierwsze trafienie. Wiemy, że Y ma rozkład geometryczny Geo(0, 1), czyli
przyjmuje wartość xk = k z prawdop. pk = 0, 1 · (1 - 0, 1)k-1 dla k = 1, 2, . . ..
" Graczowi zostanie co najmniej jeden krążek, gdy Y 5.
Szukane prawdopod. wynosi zatem
5 5

P (Y 5) = pk = 0, 1 · (0, 9)k-1 = 1 - (0, 9)5 H" 0, 41.
k=1 k=1
3
Przykłady do zadania 7.3 :
(a) Dla X o rozkładzie Bernoulliego B(n = 100, p = 0, 01) wyliczyć P (X > 2) i porównać otrzy-
many wynik z przybliżeniem Poissona.
" Ze wzorów dokładnych dostajemy
P (X > 2) = 1 - (P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)) =

100 · 99
= 1 - 0, 99100 + 100 · 0, 01 · 0, 9999 + 0, 0120, 9998 H" 0, 0794.
2
" Z tw. Poissona otrzymujemy przybliżenie
P (X > 2) H" 1 - p0 - p1 - p2 = 1 - 0, 3679 - 0, 3679 - 0, 1839 = 0, 0803, gdzie pk odczytane
sÄ… z tablic rozkÅ‚adu Poissona dla  = np = 100 · 0, 01 = 1.
Porównanie otrzymanych wartości P (X > 2):
wzory dokładne z tw. Poissona
0,0794 0,0803
(Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza tu np2 = 0, 01.)
(b) Wśród ziaren pszenicy znajduje się 0.6% ziaren chwastów. Oszacować na podstawie przybliżenia
Poissona, jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 1000 losowo wybranych ziaren znajduje się
(1) co najwyżej 16 ziaren chwastów, (2) co najmniej 3 ziarna chwastów, (3) dokładnie 6 ziaren
chwastów. Oszacować błąd przybliżenia.
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-natrafiono na ziarno chwastu, p = 0, 006, n = 1000.
" Niech X oznacza liczbę sukcesów, czyli liczbę ziaren chwastów wśród 1000 ziaren.
16

(1) P (X 16) H" pk = 0, 9998;
k=0
gdzie pk odczytane sÄ… z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 1000 · 0, 006 = 6.
(2) P (X 3) H" 1 - p0 - p1 - p2 = 1 - 0, 0025 - 0, 0149 - 0, 0446 = 1 - 0, 0620 = 0, 9380;
gdzie pk odczytane z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 1000 · 0, 006 = 6.
(3) P (X = 6) H" p6 = 0, 1606,
gdzie p6 odczytane z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 1000 · 0, 006 = 6.
Błąd przybliżenia w każdym przypadku nie przekracza np2 = 0, 036.
4
(c) Prawdopodobieństwo, że dowolna osoba odpowie na przesłaną pocztą reklamę i zamówi książkę,
wynosi 0,1. Reklamę wysłano do 20 osób. Obliczyć prawdopodobieństwo, że (1) dokładnie
2 osoby, (2) więcej niż 2 osoby przyślą zamówienia. Obliczenia wykonać metodą dokładną i
przybliżoną z tw. Poissona. Porównać wyniki.
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-osoba odpowie na reklamÄ™, p = 0, 1, n = 20.
" Niech X oznacza liczbę osób, które zamówiły książkę, czyli liczbę sukcesów.

20
(1) Wzór dokładny: P (X = 2) = (0, 1)2(1 - 0, 1)20-2 H" 0, 2852.
2
Przybliżenie Poissona: P (X = 2) H" p2 = 0, 2707; gdzie
p2 odczytane z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 20 · 0, 1 = 2.
(2) Wzory dokładne: P (X > 2) = 1 - P (X = 0) - P (X = 1) - P (X = 2) =

20 20 20
= 1 - (0, 1)0(1 - 0, 1)20-0 - (0, 1)1(1 - 0, 1)20-1 - (0, 1)2(1 - 0, 1)20-2 =
0 1 2
= 1 - (0, 9)20 - 20 · 0, 1 · (0, 9)19 - 190 · (0, 1)2 · (0, 9)18 H" 0, 3231.
Przybliżenie Poissona:
P (X > 2) H" 1 - p0 - p1 - p2 = 1 - 0, 1353 - 0, 2707 - 0, 2707 = 0, 3233;
gdzie pk odczytane z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 20 · 0, 1 = 2.
Porównanie otrzymanych wartości :
wzory dokładne z tw. Poissona
P (X = 2) 0,2852 0,2707
P (X > 2) 0,3231 0,3233
(Błąd przybliżenia istotnie nie przekracza np2 = 0, 2.)
(d) Przy masowych prześwietleniach małoobrazkowych prawdopodobieństwo natrafienia na chorego
na gruz
licę jest 0,01. Na podstawie przybliżenia Poissona oszacować prawdopodobieństwo, że
wśród 200 ludzi prześwietlonych będzie nie mniej niż 3 chorych. Oszacować błąd przybliżenia.
" Model: schemat Bernoulliego, sukces-pacjent jest chory, p = 0, 01, n = 200.
" Niech X oznacza liczbę chorych. Mamy oszacować P (X 3).
" Przybliżenie Poissona: P (X 3) H" 1 - p0 - p1 - p2 =
= 1 - 0, 1353 - 0, 2707 - 0, 2707 = 0, 3233;
gdzie pk odczytane z tablic rozkÅ‚adu Poissona z  = np = 200 · 0, 01 = 2.
" Błąd przybliżenia nie przekracza np2 = 0, 02.
5