19. Kwantowa natura promieniowania elektromagnetycznego.
Zjawisko fotoelektryczne. Efekt Comptona.
Wybór i opracowanie zadań  Jadwiga Mechlińska-Drewko.
Więcej zadań na ten temat znajdziesz w II części skryptu.
19.1.
Jaką prędkość posiada fotoelektron wytworzony przez kwant ł o energii Eł=1,27MeV ?
19.2.*
Na płytkę cynkową pada pod kątem ą foton o długości fali  i wybija z niej elektron. Znalez
ć
wartość pÄ™du przekazanego pÅ‚ytce w tym procesie jeÅ›li fotoelektron wyleciaÅ‚ pod kÄ…tem ².
19.3.
Wyznaczyć maksymalna liczbę elektronów wyrwanych z powierzchni srebrnej kuli o
promieniu R jeśli będziemy oświetlać ją monochromatycznym promieniowaniem o długości
fali . Kula znajduje się w próżni z dala od innych przedmiotów a praca wyjścia elektronu z
powierzchni srebra wynosi W.
19.4.
Na powierzchnię metalu padają kwanty ł o długości fali 0,0012nm. W porównaniu ich
energią praca wyjścia elektronów jest tak mała, że można ją zaniedbać. Jaka będzie prędkość
wylotu elektronów policzona ze wzoru Einsteina dla zjawiska fotoelektrycznego? Jak
wyjaśnić otrzymany wynik ?
19.5.
Graniczna długość fali promieniowania wywołującego dla pewnego metalu fotoemisję ( tzw.
próg fotoelektryczny) wynosi g=260nm. Jaka będzie prędkość fotoelektronów gdy ten metal
naÅ›wietlimy promieniowaniem nadfioletowym o dÅ‚ugoÅ›ci fali  =150nm ? Dane: h=6,61‡10-
34
Js, m0=9,1‡10-31kg, c=3‡108m/s.
19.6.
Wyznaczyć długość fali światła wybijającego z powierzchni metalu elektrony, które są
całkowicie zahamowane przez potencjał Vh. Zjawisko fotoelektryczne zaczyna się w tym
metalu przy czÄ™stotliwoÅ›ci promieniowania Åo.
19.7.
y
ródÅ‚o monochromatycznego promieniowania ultrafioletowego emituje n=5·1019 fotonów w
ciągu sekundy. Moc tego promieniowania wynosi P=50W. Oblicz pęd pojedynczego fotonu
oraz maksymalną prędkość elektronów wybijanych przez te fotony z metalu o pracy wyjścia
W=5eV.
19.8.
Na powierzchnię metalu o pracy wyjścia W pada monochromatyczne promieniowanie o
długości fali  i wywołuje emisję elektronów. Jaki minimalny potencjał należy przyłożyć do
metalu, aby zahamować emisję elektronów?
19.9.
Długofalowa granica zjawiska fotoelektrycznego dla platyny wynosi około 198 nm. Po
ogrzaniu platyny do wysokiej temperatury ta granica wynosi 220 nm. O ile ogrzewanie
zmniejszyło pracę wyjścia?
19.10.
Fotoelektrony wyrwane z powierzchni pewnego metalu przez kwanty światła o częstotliwości
Å1=2,2·1015 s-1 sÄ… wyhamowane w polu o różnicy potencjaÅ‚u U1=6,6V, a Å›wiatÅ‚em o
czÄ™stotliwoÅ›ci Å2=4,6·1015 s-1- w polu o różnicy potencjaÅ‚u U2=16,5V. Znalez
ć stałą Plancka.
Zjawisko Comptona:
19.11.
Foton jest rozpraszany na swobodnym elektronie. Wyznaczyć zmianę długości fali fotonu w
wyniku rozproszenia.
19.12.
Obliczyć wartość pędu elektronu odrzutu przy rozproszeniu komptonowskim fotonu pod
kątem prostym do pierwotnego kierunku ruchu. Długość fali padającego fotonu 0=5 10-12m.
19.13.
Foton twardego promieniowania rentgenowskiego =0,024nm zderzajÄ…c siÄ™ ze swobodnym
elektronem przekazuje mu 9% swojej energii. Znalez
ć długość fali rozproszonego
promieniowania.
19.14.*
Wyznaczyć długość fali promieniowania rentgenowskiego, jeśli wiadomo, że maksymalna
energia kinetyczna komptonowskich elektronów odrzutu jest równa Ekmax..
19.15.
Promieniowanie rentgenowskie o długości =0,002nm ulega rozproszeniu komptonowskim
pod kątem Ń=900 na elektronie. Oblicz:
a/ zmianę długości fali na skutek rozproszenia
b/ długość fali i pęd rozproszonego fotonu.
19.16.
Określić maksymalną zmianę długości fali fotonu o energii Eł =1MeV w wyniku jego
rozproszenia na swobodnym elektronie, oraz maksymalnÄ… energiÄ™ jakÄ… uzyska odrzucony
elektron.
19.17.
Pokazać, że elektron swobodny nie może przejąć całej energii padającego nań fotonu ( nie
może pochłonąć fotonu).
19.18.
Udowodnić, że swobodny elektron nie może emitować fotonów.
19.19.**
Znalez
ć związek między energią kinetyczną komptonowskiego elektronu i kątem jego
rozproszenia. Dane: energia fotonu EÅ‚.
RozwiÄ…zania:
19.1.R.
W porównaniu z pracą wyjścia elektronu z atomu W energia kwantu Eł jest dużo większa
(Eł>>W). Zaniedbujemy więc pracę wyjścia elektronu podstawiając W H" 0
do równania:
EÅ‚ = W + Ee.
m0c2
EÅ‚ = mc2 - m0c2 = - m0c2
2
V
1-
c2
m0c2
EÅ‚ + m0c2 =
2
V
1-
c2
2 m0c2
(EÅ‚ + m0c2) =
2
V
1-
c2
2 2
V m0 c4
= 1-
2
c2
(EÅ‚ + m0c2)
EÅ‚ (EÅ‚ + 2m0c2)
V = c = 0,96c.
EÅ‚ + m0c2
19.2.R.
pe pf Õ
p
²
Ä…
pf - pe
Z zasady zachowania pędu wynika:
(1) pf = pe + p
2
(2) p2 = p2 + pe - 2 pf pe cosÕ
f
(3) 2Õ + 2(Ä… + ² )= 2Ä„ Õ = Ä„ - (Ä… + ² ) cosÕ = -cos(Ä… + ² )
2
(4) p2 = p2 + pe + 2 pf pe cos(Ä… + ² ).
f
Ponieważ:
h p2 p2
e e
(5) pf = , Ef = W + i Ef = pf c to pf c = W + .
 2m0 2m0
Podstawiając do wzoru (4) wyznaczona z równania (5) wartość pędu elektronu otrzymamy
wyrażenie na pęd przekazany płytce w postaci:
1
1
Å„Å‚ üÅ‚2
ôÅ‚ h2 hc h îÅ‚ hc Å‚Å‚2
öÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
(6) p = + 2m0ëÅ‚ -W + 2 )ôÅ‚
ìÅ‚ ÷Å‚
òÅ‚2
0
ïÅ‚2m ìÅ‚  -W ÷łśł cos(Ä… + ² żł .
 
íÅ‚ Å‚Å‚ íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
19.3.R.
2
mV
W wyniku zjawiska fotoelektrycznego opisanego wzorem Ef = hÅ = W + elektrony
2
opuszczajÄ…c powierzchniÄ™ srebra powodujÄ… Å‚adowanie jej Å‚adunkiem dodatnim. Zjawisko trwa
aż do chwili gdy potencjał kuli jest wystarczający aby wszystkie uwolnione elektrony
wyhamować. Jest to potencjał hamowania Vh spełniający warunki:
2
1 Q mV
Vh = i eVh =
4Ä„µ0 R 2
gdzie: Q jest Å‚adunkiem zgromadzonym na kuli o promieniu R.
Ponieważ Q = n e (gdzie n jest liczbą elektronów, które opuściły kulę) to:
hc
öÅ‚
4Ä„µ0ëÅ‚ -W
ìÅ‚ ÷Å‚

íÅ‚ Å‚Å‚
n = .
e2
19.4.R.
2
hc m0V
= W +
 2
2
hc m0V 2hc m
Ponieważ W< c .
 2 m0 s
Zastosowanie klasycznego wzoru na energię kinetyczną prowadzi do sprzeczności ze
szczególną teorią względności, dlatego należy zastosować wzór wynikający z tej teorii:
Ek = mc2 - moc2 co prowadzi do wyniku: V=0,93c.
19.5.R.
hc
Graniczna długość fali promieniowania jest zdefiniowana: = W , gdzie W- praca wyjścia.
g
BiorÄ…c to pod uwagÄ™ otrzymujemy: V=1,1‡105m/s.
19.6.R.
hc
 = .
hÅ0 + eVh
19.7.R.
Jeśli wydajność z
ródła wynosi n[fotonów/s] a każdy foton ma energię Ef to moc
promieniowania wynosi: P = nEf = nhÅ .
hÅ P
Pęd fotonu emitowanego przez z
ródło wynosi: pf = = .
c nc
Prędkość fotoelektronu uwolnionego w tym zjawisku można wyliczyć z zależności:
mVe2
Ef = W + .
2
19.8.R.
hc -  W
.
Vh =
 e
19.9.R.
"W = 0,63eV .
19.10.R.
e(V2 -V1)
h = = 6,6 Å"10-34 Js.
Å1 -Å2
19.11.R.
Ponieważ układ foton swobodny elektron jest odizolowany od otoczenia możemy zastosować
zasadę zachowania energii i pędu. Zakładamy, że pęd i energia kinetyczna swobodnego
elektronu są w przybliżeniu równe zero. Takie przybliżenie można zrobić dla elektronu w
atomie jeśli energia kwantu jest dużo większa od jego energii wiązania.
Zjawisko Comptona można przedstawić na rysunku:
cienka warstwa rozpraszajÄ…ca a w niej uderzany elektron
p,
f
Ń
Õ pf
pe
foton
Zasada zachowania energii:
(1) Ef + m0c2 = Ef' +Ee ,
hc
(2) Ef = hŠ= = pf c - gdzie Ef i pf energia i pęd padającego fotonu: Ef = pf c ,

hc
'
(3) E' = hŠ= = pf' c - gdzie E' i pf' energia i pęd rozproszonego fotonu: E' = pf'c ,
f f f
'

2 2
(4) Ee = mc2 = pec2 + m0c4 -gdzie Ee i pe energia i pęd rozproszonego elektronu.
PodstawiajÄ…c (2), (3) i (4) do (1) otrzymamy:
2 2
(5) pf c + m0c2 = pf'c + pe c2 + m0c4 .
Zasada zachowania pędu:
2
2
, ' '
(6) p = p + pe lub pe = p - p czyli (pe) = (p - p ) .
f f f f f f
2
2
' 2 '2 '2
(7) (pe) = (p - p ) czyli pe = p2 + p - 2 p p, = p2 + p - 2 p p' cosŃ
f f f f f f f f f f
Wyznaczamy z równania (5) kwadrat pędu elektronu i wstawiamy do równania (7).
Otrzymujemy zależność w postaci:
'
(8) 2(p - p )m0c = 2 p p' - 2 p p' cosŃ ,
f f f f f f
'
(9) (p - p )m0c = p p' (1 - cosŃ) ,
f f f f
h h h2
ëÅ‚ öÅ‚
(10) m0c = (1 - cosŃ ) ,
ìÅ‚ - ÷Å‚
 ' '
íÅ‚ Å‚Å‚
(11) ( - ') m0c = h(1 - cosŃ ) ,
h
(12) ( - ')= " = (1 - cosŃ )
m0c
19.12.R.
Z zasady zachowania pędu dla tego zjawiska wynika:
, ,
p = p + pe p
f f f
Ponieważ Ń=900 to p
f
h h
" = (1 - cosŃ ) = . pe
m0c m0c
'
czyli  =  + " ,
0
h h
2
oraz pe = p2 + p'2 . p = , p' =
f f f f
 '
f
pe=1,6 ‡10-22 kg m/s.
19.13.R.
 =0,026nm.
19.14.R*.
Wskazówka:
(1) skorzystać z zasady zachowania energii,
(2) skorzystać ze wzoru Comptona,
(3) zastanowić się dla jakiej wartości kąta Ń następuje przekazanie maksymalnej energii
elektronowi,
(4) znalez
ć wzór na energię kinetyczną elektronów jako funkcję długości fali padającego
promieniowania,
(5) znalez
ć Ekmax. jako Ek( Ń=Ą).
îÅ‚
h 2m0c2 Å‚Å‚
Taka procedura prowadzi do wyniku:  = 1+ -1 .
ïÅ‚ śł
m0c Ek max . śł
ïÅ‚
ðÅ‚ ûÅ‚
19.15.R.
kgm
'
" = 2,42 Å"10-12m,  = 4,42 Å"10-12m, pf' = 1,5 Å"10-22 .
s
19.16.R.
2h
"max = ,
m0c
îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
1
śł
Ee max = EÅ‚ ïÅ‚ = 0,8MeV.
ïÅ‚ m0c2 śł
ïÅ‚1+ 2EÅ‚ śł
ðÅ‚ ûÅ‚
19.17.R.
Załóżmy, że elektron może całkowicie pochłonąć padający nań foton.
Korzystamy z zasady zachowania energii i pędu:
2 2
Ef + m0c2 =Ee przy czym Ee = mc2 = pec2 + m0c4 , oraz
p = pe E = p c
f f f
2 2 2 2
pf c + m0c2 = pe c2 + m0c4 czyli pe c2 + m0c4 = pec + m0c2 .
To ostanie równanie jest prawdziwe gdy:
2 pem0c3 = 0 co oznacza, że pęd elektronu a także pęd fotonu jest równy zero. Otrzymany
wynik jest sprzeczny z założeniami.
19.18.R.
Wskazówka: procedura rozwiązania jest podobna rozwiązania zadania 19.17.
19.19.R.
(1) narysować rysunek ilustrujący zjawisko w układzie współrzędnych XY,
(2) napisać prawo zachowania energii,
(3) napisać prawo zachowania pędu,
(4) z układu równań wyeliminować kąt Ń,
(5) skorzystać z zależności między pędem fotonu i jego energią,
2 cos2 Õ
Ee= EÅ‚ .
Ef
m0c2
2 + + (1- cos2 Õ)m c2
Ef
0