Kolokwium zaliczeniowe z przedmiotu  Algebra liniowa
WETI, kierunek AiR, 1 sem., r. ak. 2010/2011
1. [4p.] Wyznaczyć macierz X z równania (3XT · B)T = A - 2X, gdzie

1 2 1 1
A = , BT =
0 2 1 0
2. [4p.] a) Stosując operacje elementarne na wierszach lub kolumnach obliczyć wartość wyznacznika
i sprawdzić, czy


-1 1 -1 2


1 -2 2 -3

= 8

2 1 3 -1


-1 2 1 1
[2p.] b) Podać i zilustrować na przykładach cztery własności wyznaczników.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. [4p.] a) W zależności od parametru  podać liczbę rozwiązań układu równań
Å„Å‚
ôÅ‚ - y + z - t = 0
x
òÅ‚
x + 3y - z + t = 1
ôÅ‚
ół
x - 5y + 3z - t = 
Wyznaczyć te rozwiązania.
[2p.] b) Podać po jednym przykÅ‚adzie macierzy wymiaru m × n, przy min(m, n) 4, z których
jedna jest rzędu drugiego a druga rzędu trzeciego.
4. [4p.] Dana jest prosta l o równaniu 2(x - 1) = 3(y + 2) = 6z oraz punkt P (1, 2, 0).
Znalez
ć:
a) symetryczne odbicie punktu P względem prostej l,
b) odległość punktu P od prostej l.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5. [4p.] a) Znalez
ć funkcję holomorficzną f(z), gdy dana jest jej część rzeczywista
u(x, y) = ln(x2 + y2)
[2p.] b) Rozwiązać w płaszczyz
nie zespolonej równanie z4 + 16 = 0. Wyniki przedstawić w
postaci algebraicznej.
6. [4p.] Znalez
ć oryginał, gdy dana jest transformata Laplace a
s3 - 2s2 + 4s + 8
F (s) =
s4 + 4s3 + 8s2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. *) [dla chętnych] [3p.] Obliczyć kąt między wektorami i b, jeśli wiadomo, że wektory
a
= - + 4 i = 3 + 2
u a b v a b
s¸ prostopadÅ‚e oraz | = | = 1.
a a| b|