K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
IV.
TEORIA (MODEL) BOHRA ATOMU (1913)
Bohr zastanawiał się, jak wyjaśnić strukturę widm liniowych.
Elektron musi krążyć, aby zrównoważyć siłę Coulomba (przyciągającą). Skoro krąży to
doznaje przyspieszenia i promieniuje, a wówczas traci energię.
IV.1. WIDMA PROMIENIOWANIA ATOMÓW
Rys. IV.1. Schemat spektrometru optycznego. Wiązka światła pada na pryzmat i zostaje rozszczepiona.
Rys.IV.2. Z Rys.IV.1.  na kliszy uzyskamy taki obraz padajÄ…cej wiÄ…zki. Jest to widmo liniowe.
Rodzaje widm  podział:
I. według (ze względu na) długość fali 
a) widma optyczne
 powstają w wyniku zmiany energii elektronów zewnętrznych
 1 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
(100Šd"  d" daleka podczerwień)
 widma widzialne (VIS): 4000Å d"  d" 8000Å
 widma podczerwone (IR):  e" 8000Å
 widma nadfioletowe (UV):  d" 4000Å
b) widma rtg (rentgenowskie)
 powstają w wyniku zmiany energii elektronów wewnętrznych (najbliższych jądra
atomowego)
II. według struktury linii
a) widma liniowe | | | || | || | : atomy (jony) swobodne
b) widma pasmowe ||| |||| ||| ||||  gdy linie są zgrupowane bardzo gęsto obok
siebie: drobiny (jony drobin) np. CO , NH , CH ,...
2 3 4
c) widma ciągłe  są charakterystyczne dla materii skondensowanej: ciała stałe
(metale), ciecze i gazy w wysokich ciśnieniach. Nie da się jednoznacznie
przypisać konkretnej substancji.
a) i b) są charakterystyczne dla danej substancji  określają ją w sposób jednoznaczny
Dwie linie blisko siebie w widmie  dublet (np. widmo sodu).
III. ze względu na sposób obserwacji
a) widma emisyjne  obserwujemy promieniowanie wysyłane
b) widma absorbcyjne  powstają gdy widmo ciągłe przepuścimy przez daną
substancję (np. gaz), różnica widma ciągłego i liniowego. Na podstawie
analizy linii widmowych możemy stwierdzić przez jakie pierwiastki widmo
zostało przepuszczone
 2 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.IV.3. Przykłady widm.
IV.2. WIDMO ATOMU WODORU (DOÅšWIADCZENIE)
Rys.IV.4. Widmo atomu wodoru  przedstawienie graficzne ilustrujÄ…ce seriÄ™ Balmera.
 3 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Balmer zaproponował wzór dzięki któremu możemy znalez
ć położenie każdej z linii
widmowych atomu wodoru.
BÅ"n2
ÁÄ…n=
, n = 3,4,5,.... (IV.2.1)
n2-4
 = Ä… = 6563 [Å]
3
H  granica serii Balmera (  =3646Å)
"
Każda seria kończy się pewną linią graniczną.
W serii Balmera wykryto 10 linii.
Rydberg wprowadził pewną modyfikację z której wynika, że wygodniej położenie linii
opisywać przez tzw. liczbę falową k, którą wyrażają zależności (IV.2.2a) lub (IV.2.2b):
1
k =
(IV.2.2a)
ÁÄ…
lub
2Ćą
k =
(IV.2.2b)
ÁÄ…
1
k =RH 1 -
, n = 3,4,5,... (IV.2.3)
n
śą źą
22 n2
gdzie:
stała Rydberga  R = 109677,58 cm-1
H
Znanych jest 6 serii linii widmowych, których linie opisuje uogólniony wzór Rydberga:
1 1
2
k= R"Z -
(IV.2.4)
śą źą
n2 n2
1 2
n = n +1, n = const dla danej serii i 1 d" n d" 6
2 1 1 1
 4 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
SERIA ROK n ZAKRES
1
Lymana 1906 1 UV
Balmera 1885 2 VIS+UV
Paschena 1908 3 IR
przed teoriÄ…
Bohra
po teorii Bohra
IR
Bracketta 1922 4
IR
Pfunda 1924 5
IR
Humpkreysa 1952 6
Tabela IV.2. Serie widmowe atomu wodoru.
Model Bohra przewidział istnienie dalszych serii w podczerwieni zanim zostały praktycznie
wykryte.
Teoria Bohra wyprowadzona dla atomu z jednym elektronem  atomy wodoropodobne.
IV.3. TERMY I ZASADA KOMBINACJI RYDBERGA  RITZA (1908)
RH RH
k= -
śą źą
n2 n2
1 2
RH RH
k=T -T T = T =
, ,
1 1 1
n2 2 n2
1 2
RH
df
(IV.3.1)
T =
n
n2
Wzór (IV.3.1)  pojęcie termu, którego matematyczna postać jest inna dla każdego
pierwiastka.
Położenie dla dowolnego widma (linii) możemy przedstawić jako różnicę dwóch termów:
' '
kn=T -T
n śąnƒÄ…1źą
Wzory termów dla atomów innych niż wodór, mają inną postać.
Zasada kombinacji Rydberga  Ritza
Liczby falowe dowolnych linii spektralnych mogą być wyrażone jako różnice odpowiednich
termów. Termy te poprzez kombinacje z innymi termami mogą służyć do obliczania liczb
 5 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
falowych innych linii tego samego widma.
Podsumowanie:
Widma atomowe nie są ciągłe  są liniowe, a więc skwantowane!
IV.4. POSTULATY BOHRA
Teoria Bohra oparta jest na następujących postulatach:
I. Elektron porusza się po orbicie kołowej i podlega prawom fizyki klasycznej
(równowaga zapewniona przez prawo Coulomba i II zasadę dynamiki Newtona).
Siła przyciągająca między ładunkiem a jądrem jest równoważona przez siłę
odśrodkową.
II. Zamiast nieskończonej liczby orbit , które dozwolone są z punktu widzenia
mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po takich orbitach, dla
których orbitalny moment pędu L spełnia warunek:
L = nÅ"'
, n = 1,2,3,...
df h
'
=
(IV.4.1)
2 Ćą
L =#"Śą  kręt orbitalny
L#"
Śą
p = mÅ"v
L = r× p , Śą Śą
Śą Śą
Jest to tzw. postulat kwantowy.
III. Całkowita energia na danej orbicie stacjonarnej jest stała:
E=const
A zatem Bohr przyjął, że elektron nie traci energii!
IV. Przy przejsciu elektronu z jednej orbity na drugą atom wysyła promieniowanie.
E E < E
2 1 2
 6 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
śą E2- E1źą
 częstość wyemitowanego
f =
21
h
promieniowania
Rys.IV.5. Promieniowanie emitowane przy przejściu elektronu z orbity wyższej na niższą.
Postulat analogiczny do postulatu Einsteina!
Bazując na tych postulatach można wyprowadzić wzór Rydberga.
IV.5. WYPROWADZENIE WZORU RYDBERGA.
F =Fo
e
Ze2
'
F =k
c
r2
mv2
F =
o
r
Rys. IV.6. Elektron krążący po orbicie wokół jądra atomu.
1
4 ĆąÏÄ…0 ukÅ‚ad (SI)
k'=
1 układ (Gaussa)
założenie: k'=1
Ze2 mv2
=
, z czego i ze wzoru (IV.5.3) wynika, że
r2 r
 7 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Ze2
r = (IV.5.4)
mv2
L=n'
(IV.5.1)
n'

(IV.5.3)
v=
mr
L=mvr (IV.5.2)
A zatem:
'
2
r = Å"n2
n = 1,2,3, (IV.5.5)
n
Ze2Å"m
r :r2: r3:...=1: 4 :9:...
1
z wzoru (IV.5.5) możemy wyliczyć promień wodoru na pierwszej orbicie (w stanie
podstawowym)  promień Bohra:
r1=5,3 Å"10-9 cm
Z (IV.5.3) i (IV.5.5) wynika, że prędkość na n-tej orbicie wynosi:
Ze2Å"1
vn= (IV.5.6)
'
n
Z wzoru (IV.5.6) możemy wyliczyć, że:
v1=2 Å"108 cm
< 1% c
s
A zatem jak widać, nie ma efektu relatywistycznego.
1 1 1
v ~ v1 :v2 : v3 =1 : :
, czyli
k
n 2 3
Jak wynika z powyższych obliczeń, największą prędkość uzyskuje elektron na 1 orbicie.
Całkowita energia elektronu jest sumą energii kinetycznej E i potencjalnej E :
k p
E=EkƒÄ…E
(IV.5.7)
p
 8 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
mv2= Ze2
Ek= (IV.5.8)
2 2r
Ze2 Ze2
E = dr=-
(IV.5.9)
+"
p
r
r2
Ze2
E=- (IV.5.10)
2r
Z zależności (IV.5.7)  (IV.5.10) wynika, że:
E=-Ek
Czyli, że energia całkowita elektronu jest ujemna, a więc elektron jest związany.
2
En=-Z e4Å" 1
(IV.5.11)
śą źą
2'
2 n2
E  całkowita energia elektronu na n tej orbicie.
n
E1=-13,6 eV
Z zależności (IV.5.11) można obliczyć , stąd wynika, że najsilniej
związany jest elektron na pierwszej powłoce.
E1=-13,6 eV
 taką energię trzeba dostarczyć ,aby oderwać elektron z 1 orbity
(zjonizować atom wodoru w stanie podstawowym).
2
me4 Z 1
En=- Å"
(IV.5.12)
śą źą
2'
2 n2
Rys.IV.7. Przejście między stanami E  E .
2 1
 9 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
Rys.IV.8. Drabina poziomów energetycznych.
Znając energię dowolnego poziomu energetycznego, możemy wyznaczyć częstość f:
E2-E1 me4 Z2 1 1
f = = -
(IV.5.13)
21
h śą źą
4Ćą '
3 n2 n2
1 2
Wprowadzamy liczbÄ™ falowÄ… k danÄ… wzorem (IV.2.2a):
1 f
k= =
(IV.5.14)
 c
Po podstawieniu częstości danej wzorem (IV.5.13) do wzoru (IV.5.14) otrzymujemy:
1 1
2
k= R" Z -
(IV.5.15)
śą źą
n2 n2
1 2
df
me4
R"=
4Ćą !3c
Po wstawieniu wartości liczbowych można wyliczyć, że:
R"=109737,312śą8źą cm-1
Wzór (IV.5.15) określa położenie dowolnej linii. Dla Z=1 jest on zgodny ze wzorem
Rytberga.
 10 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
RH=109677,58 cm-1
R"C"RH śąą 0,05%źą
Teoria Bohra jest w stanie wyjaśnić położenie linii w tych wszystkich 6 seriach widmowych
wodoru. Potwierdziła bardzo dokładnie położenie linii widmowych w znanych 3 seriach
oraz przewidziała istnienie 3 kolejnych. Każda seria odpowiada przejściu elektronu z
dowolnej powłoki n = (n + n) na powłokę n .
2 1 1
IV.6. POPRAWKA NA SKOC
CZON
MAS
J
DRA, M`" "
W rzeczywistości, w atomie wodoropodobnym, oba ciała jądro i elektron poruszają się
wokół środka masy CM.
Rys.IV.9. Schematyczne przedstawienie środka masy w układzie jądro  elektron (nie w skali). Masa jądra
atomowego M jest skończona i wynosi niecałe 200 m , im lżejsze jądro atomowe tym większe przesunięcie
e
środka ciężkości CM w stronę elektronu. M  masa elektronu, r  odległość elektronu od jądra atomowego, x
 odległość środka ciężkości atomu od środka jądra atomowego.
Można pokazać, że kręt elektronu w takim przypadku (tzn. gdy masa elektronu jest
skończona) wynosi:
mM 1
L= Å"r2Å"ÎÄ…= mr2ÎÄ… "Ä…mr2ÎÄ…
mƒÄ…M m (IV.6.1)
1ƒÄ…
śą źą
M
A zatem możemy stosować wszystkie wyprowadzone wcześniej wzory, tyle ze za masę
wstawiamy tzw. masę zredukowaną ź.
 11 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
df mM
ÂÄ…=
(IV.6.2)
mƒÄ…M
Uwzględniając to, że jądro ma skończoną masę, wzór Rydberga ma poniższą postać:
1 1
2
k= RM Z -
(IV.6.3)
2
śą źą
n1 n2
2
e4
RM =ÂÄ…
(IV.6.4)
4 Ćąe !3
R  stała Rytberga dla atomów ze skończoną wartością masy jądra.
M
IV.7. DOÅšWIADCZENIE FRANCKA- HERTZA (1914)
Eksperymentalne potwierdzenie punktu IV.6.
Doświadczenie Francka  Hertza dotyczy zderzania się elektronów z dowolnymi atomami
metali (np. rtęci).
Jeżeli poszczególne poziomy energetyczne w atomie są skwantowane, to poziomy całego
atomu powinny być skwantowane (suma).
Rys.IV.10. Ilustracja doświadczenia Francka  Hertza. Bańka została wypełniona atomami Hg. S  siatka
(aby elektrony z katody K mogły przelecieć do anody A) służąca jako dodatkowa elektroda. Pomiędzy siatką
 12 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
S a anodą A  potencjał hamujący V'.
Rys.IV.11. Wykres niebieski  jeżeli stany atomów są skwantowane możliwe jest tylko pokazanie
odpowiedniej dawki energii (ukazuje jak zmieniałoby się natężenie gdyby w bańce była próżnia i elektrony
nie zderzały się z atomami Hg, lub też gdyby te zderzenia były sprężyste). Wykres czerwony  ilustruje
rzeczywisty przebieg zależności (przy zderzeniach niesprężystych część energii jest przekazywana przez
elektrony atomom rtęci.)
Ek `" " E10
Ek=eV
" Ek= " E10
eV =" E20
eV =" E10
2
1
V =4,9 eV
1
Rys.IV.12. Schemat poziomów energetycznych układu skwantowanego.
 W charakterystyce i  V obserwujemy skoki (piki) związane ze wzbudzeniem atomów
Hg do coraz wyższych potencjałów energetycznych
 doświadczenie pokazuje w sposób jakościowy oraz ilościowy (można wyliczyć), że
atom jest układem skwantowanym
Przy napięciu V wzbudzenie do E , przy V wzbudzenie do E
1 1 2 2.
 13 
K.Czopek, M.Zazulak  Notatki w internecie. Wstęp do fizyki atomowej i kwantowej.
śąV =4,9 eV źą ,
Jeżeli znamy napięcie pierwszego piku to możemy obliczyć częstość f :
1 1
eV
1
eV =hf
f =
1 1
1
h
c
f =
A ponieważ
1
ÁÄ…1 , to możemy obliczyć dÅ‚ugość fali 1:
hc
ÁÄ…1=
eV
1
ÁÄ…1=2530 ŠśąUV źą
Z teorii dostajemy
FH
Z doÅ›wiadczenia Francka  Hertza ÁÄ…1 =2537 Å
"ÁÄ…
H"0,3%
A zatem
ÁÄ…
Doświadczenie to potwierdza słuszność teorii Bohra.
 14