DLACZEGO RUCH ZACHODZI: ZASADY DYNAMIKI Galileusz,1564-1642: zasada bezwładności Ciało pozostawione samemu sobie porusza się po linii prostej ze stałą prędkością (jeśli było uprzednio w ruchu), lub spoczywa (jeśli spoczywało) Newton, 1643-1727, 1687 Ciało, na które działa siła, zmienia stan swojego ruchu: szybkość z jaką zmienia się pęd jest proporcjonalna do siły Jeśli jakieś ciało działa siłą na drugie, to drugie działa na pierwsze siłą równa co do wartości i przeciwnie skierowaną I ZASADA DYNAMIKI (ZASADA BEZWAADNOŚCI) Jeśli na ciało nie działa żadna siła, lub działające siły się równoważą, to ciało porusza się ruchem jednostajnym (a więc prędkość jest stała i co do wartości i co do kierunku). V=const jeśli "Fi=0 y F1+ F2+ F3=0 |V|=cons F1 t r F F3 ą F2 x ruch jednostajny po okręgu : ruch po prostej ze stałą wypadkowa siła różna od zera prędkością: wypadkowa siła=0 Jeśli V ciała jest const, i całkowita siła działająca na ciało jest zero to przedmioty względem których ruch tego ciała jest opisany (czyli układ współrzędnych ) jest układem inercjalnym Zasady dynamiki są prawdziwe tylko w układach inercjalnych, tzn. poruszających się bez przyśpieszenia równowaga stół II ZASADA DYNAMIKI Jeśli na ciało działają siły, to ciało porusza się z przyśpieszeniem proporcjonalnym do r r Fi Fwyp " siły wypadkowej (wektorowej sumy sił). r i a = = m m ogólniej: Pęd to iloczyn masy i prędkości. Pęd jest wektorem! p=mV, p= " mi Vi Jeśli na ciało działają siły, to ciało zmienia swój pęd z szybkością proporcjonalną do r siły wypadkowej (wektorowej sumy sił). r r "F =Fwyp = d p i dt i y |V|=cons F3 t a F=ma, |F|=mV2/R okrąg x Nie wiemy nic o sile, oprócz tego, że jeśli działa, to zmienia pęd ciała. Ale siła musi pochodzić od materialnej przyczyny! (jest siłą rzeczywistą) III ZASADA DYNAMIKI Częściowo wskazuje na własności siły Jeżeli jedno ciało (ciało 1) działa na drugie (ciało 2) siłą F12 , to drugie ciało działa na pierwsze siłą F21 przeciwnie skierowaną do F12 gdzie indziej przyłożoną (do ciała 1), lecz o tej samej długości. ciało 1 F21=- F12 F12 F21 ciało 2 Siły się nie równoważą, bo są gdzie indziej przyłożone III ZASADA DYNAMIKI: PRZYKAAD 1 Siły F12 i F21 działające między ciałami są gdzie indziej przyłożone i inny jest skutek ich działania zderzenia III ZASADA DYNAMIKI: PRZYKAAD 2 R1 Trzy ciała o masach 3m, 2m i m połączonych R2 R3 nitkami. Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą F N2 -N2 N1 -N1 F. znalezć: przyspieszenia układu i naprężeń mg nici. 2mg 3mg ROZWIZANIE Siły przenoszone są przez sznurki (zakładamy, że ich masy są zaniedbywalne). Piszemy II zasadę dynamiki dla każdego ciała osobno r r r r r Zwykle należy napisać też 3ma = F + R1 + 3mg + (-N1) x: F - N1 = 3ma r r r r r równania na współrzędne y. x: N1 -N2 = 2ma 2ma = N1 + R2 + 2mg + (-N2) r r r r Jednak w tym przypadku dla x: N2 = ma ma = R3 + mg + N2 każdego ciała suma sił w kierunku y jest równa zeru Dodając stronami otrzymujemy F = (3m + 2m + m)a stąd a = F/6m, N1 = F/2, N2 = F/6 RÓWNANIE RUCHU; RODZAJE SIA II zasada stwierdza, że jeśli siła działa, to ciało jest przyśpieszane. Nie mówi jednak jaka jest postać tej siły. Ale ruch możemy opisać dopiero wtedy gdy wiemy jaka siła działa. Jeśli do równania F=ma wstawimy konkretną postać tej siły, to otrzymamy równanie ruchu, z którego możemy znalezć tor ruchu, tj. r(t) wiadomy skutek działania siły, lecz nieznana jej przyczyna i Newton wskazał jedną taką siłę: grawitacji. własności Inne to: -siły tarcia y -siła sprężysta |V|=const -siła Lorentza (działająca na ładunek w polu magnetycznym) a -siła elektrostatyczna F=ma, |F|=mV2/R -siła jądrowa x RODZAJE SIA SIAY KONTAKTOWE " Występują między stykającymi się ciałami " Są prostopadłe do powierzchni stykających się ciał " Mają naturę elektryczną R R R T h G ą SIAY TARCIA Siły tarcia są na tyle złożone, że jeżeli nawet potrafimy opisać powierzchnie zetknięcia przesuwających się po sobie warstw, to nie umiemy przewidzieć jakie tarcie tam wystąpi. KLASYCZNE PRAWA TARCIA I prawo: siła tarcia , która przeciwdziała przesuwaniu stykających się ze sobą powierzchni jest proporcjonalna do siły dociskającej powierzchnie ( Guillaume Amontos) Klocek nieruchomy: Klocek Klocek ruchomy Tarcie jest równe maksymalnej nieruchomy sile przeciwstawiającej się sprężystość ruchowi podłoża N F F Klocek ruchomy: T T Tarcie jest równe sile podtrzymującej ruch jednostajny grawitacja G Fkmax=fsN Fk=fkN siła przeciwstawiająca się ruchowi T=f N F Klocek Klocek ruchomy nieruchomy szkło na szkle 0.94 0.4 materiał f f s k woskowane drewno na wilgotnym śniegu 0.14 0.1 stal na stali 0.74 0.57 woskowane drewno na suchym śniegu - 0.04 Al. na stali 0.61 0.47 lód na lodzie 0.15 0.06 miedz na stali 0.53 0.36 teflon na teflonie 0.04 0.04 guma na betonie 1.0 0.8 ludzkie stawy 0.01 0.003 drewno na drewnie 0.25-0.5 0.2 szkło na szkle 0.94 0.4 F = k F KLASYCZNE PRAWA TARCIA II prawo: siła tarcia nie zależy od powierzchni styku Klocek mały Klocek duży N N F F T T G G XVIII wiek: Charles Augustin de Coulomb: III prawo tarcia N N III prawo tarcia: z chwilą F F wprowadzenia ciała w ruch T T siła tarcia nie zależy od prędkości G G ROZWIZYWANIE PROBLEMÓW DYNAMICZNYCH Przykład: zsuwanie się ciała po równi pochyłej Po równi pochyłej nachylonej pod kątem a do podstawy zsuwa się klocek o masie m. Wiedząc, że współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a równią wynosi f znalezć: 1.przyśpieszenia klocka 2.prędkość klocka u podnóża równi R 1.Dla każdego ciała biorącego udział w ruchu narysować wszystkie wektory sił T działających na to ciało ( a siły muszą h G pochodzić od innych ciał w pobliżu; zatem należy się zastanowić co może być zródłem ą działania siły na ciało) Na klocek działają 3 siły: G: od Ziemi, R- reakcja podłoża, T-tarcie; każda z tych sił ma materialna przyczynę. Nie wolno rysować składowych tych sił. 2.Napisać II zasadę dynamiki ( w postaci wektorowej) dla ciała, wstawiając znalezione siły. T+G+R=ma równanie ruchu ROZWIZYWANIE PROBLEMÓW DYNAMICZNYCH, CD. y 3.Ponieważ jest to równanie wektorowe, dlatego R jego rozwiązanie wymaga napisania 3 ( albo 2) równań na współrzędne. Musimy zatem wybrać T układ współrzędnych. Każdy układ jest OK, ale h niektóre mogą być korzystniejsze x ą G Wybieramy układ xy o osiach równoległych/prostopadłych do równi 4.Rzutujemy równanie na x: G sin ą -T=ma, y:-Gcos ą +R=0 osie tego układu 5.Wykorzystujemy dodatkową G=mg, T=Rf wiedzę o siłach i o ich współzależności (np. równość niektórych przyśpieszeń, sił, itd) mg sin ą-Rf=ma 6.Znajdujemy ruch: -mg cos ą +R=0 R= mg cos ą mg sin ą- mg cos ą f=ma a=g (sin ą- f cos ą) 2h h/sin ą = (1/2)g (sin ą- f cos ą)t2 t = przyśpieszenie g sin ą(sin ą - f cos ą) 2hg(sin ą - f cos ą) prędkość V=at= sin ą RUCH POD DZIAAANIEM SIAY OPORU Na kulkę w miejscu x(0)=0, poruszającą się z początkową F V0 prędkością V0 zaczęła działać siła oporu równa F=-kV. Znalezć zależność położenia i prędkości od czasu Rozwiązanie: d Vx k równanie ruchu Ma= -kV = - Vx dt M odgadnięte rozwiązanie to jest próbne Vx = be-at na prędkość rozwiązanie i trzeba sprawdzić w jakich k po wstawieniu do - abe-at = - be-at warunkach (b, a) jest to równania: M rzeczywiste rozwiązanie k - t k k M be-at ( - a) = 0 �! a = �! V(t) = be V M M k - t M warunek początkowy: Ale : V(0) = V0 �! b = V0 �! V(t) = V0e k - t M M położenie: x(t) = +"V(t)dt = - V0e + x0 t k x M warunek początkowy: Ale : x(0) = 0 �! - V0 + x0 = 0 k k - t M M M czyli : x0 = V0 �! x(t) = V0 (1- e ) t k k RÓŻNE OBSERWACJE TEGO SAMEGO RUCHU: UKAADY ODNIESIENIA z Układ ruchomy V TRANSFORMACJA GALILEUSZA zdarzenie 1 Jak wyglądają zdarzenia we wszechświecie obserwowane przez dwóch różnych obserwatorów y obserwator -prostokątny układ współrzędnych + sieć zegarów w każdym punkcie przestrzeni, z zdarzenie 2 x rejestrujących czas i miejsce zajścia zdarzenia dla prostoty: " osie układów równoległe " prędkość układu ruchomego wzdłuż x y 2 zdarzenia: x 1. pierwszy wybuch w x0 ,y0 ,z0 ,t0 (nieruchomy) i Układ laboratoryjny x 0 , y 0 ,z 0 ,t 0 (ruchomy) (nieruchomy) 2. drugi wybuch w x1 ,y1 ,z1 ,t1 (nieruchomy) i x 1 , y 1 ,z 1 ,t 1 (ruchomy) Jeśli wg. ukł. ruchomego x 1 -x 0="x , y 1 -y 0="y , z 1 -z 0="z i t 1 -t 0="t , to jakie są odpowiednie wielkości w układzie nieruchomym? TRANSFORMACJA GALILEUSZA WIDZIANE Z drugi wybuch y y NIER. t1 y0 Spostrzeżenia nieruchomego: t0 "x , "y i "t, obserwator ruchomy oddalił się w tym y1 V czasie na odległość "tV "x = "x -V "t x0=0 x "y = "y " x "x WIDZIANE Z t 0 t 0 RUCH. y y t 1 Spostrzeżenia ruchomego " y " y "x , "y i "t , obserwator y1 nieruchomy oddalił się w tym y 1 czasie na odległość -"t V -V -V x x x x "x= "x + V "t x 1 x 1 "y = "y " x "x "x = "x -V "t "t= "t Transformacja "x= "x + V "t "y = "y Galileusza "y = "y PRZYKAAD : SKAADANIE PRDKOŚCI V y Samochód jedzie z prędkością U U względem nieruchomego układu. Jaka jest prędkość auta względem układu "y ruchomego poruszającego się z prędkością V względem układu nieruchomego? "x "x = "x -V "t Transformacja "y = "y Galileusza: Ux = "x/ "t -V Ux ="x / "t = "x/ "t -V "t/ "t Prędkości: Ale "t = "t Uy = "y/ "t=Uy Uy = "y / "t = "y/ "t Ux = Ux -V ostatecznie: Uy = "y/ "t=Uy ax =ax ax ="Ux / "t = " Ux / "t = " Ux / "t Przyśpieszenie: ay = ay ay = "Uy / "t = " Uy / "t = " Ux / "t Wszystkie prawa przyrody są takie same bez względu na to, czy ZASADA obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale WZGLDNOŚCI poruszającego się bez przyśpieszenia (czyli układu inercjalnego) RUCH WZGLDEM UKAADÓW NIEINERCJALNYCH A y Ruch punktu jest obserwowany przez układ nieruchomy. W takim układzie przyśpieszenie punktu a jest y r=R+rR proporcjonalne do sumy wszystkich sił rR działających na punkt. r x Czy jeśli ten punkt będzie obserwowany przez układ poruszający się ruchem przyśpieszonym, R to też obserwowane tam przyśpieszenie aR będzie równe sumie sił? x r=R+rR dr/dt = dR/dt + drr/dt Po zróżniczkowaniu prędkość prędkość względem prędkość względem układu układu nieinercj. układu inercjaln. V = U + VR dV/dt = dU/dt + dVR/dt Po ponownym zróżniczkowaniu: ma=m(A +aR) przyśp. a względem przyśp. A przyśp. aR względem układu inercjaln. układu układu nieinercj. maR =ma -mA �! maR = "Fi +FB �! " �! " �! " uklad obracajacy DYNAMIKA W RÓŻNYCH UKAADACH ODNIESIENIA Układy inercjalne (bez przyśpieszenia) Tylko siły rzeczywiste (muszą mieć materialną przyczynę) " Fi = m a " " m a " " Fi = " " " Układy nieinercjalne (przyśpieszone) Siły rzeczywiste + siły bezwładności m a = " Fi +FB FB=-mA " " " PRZYKAAD: PRZYRZD DO POMIARU PRZYŚPIESZENIA OBSERWATOR INERCJALNY tylko siły rzeczywiste: y r r "F = ma i N � x : Nsin � = ma mg y : N cos� - mg = 0 x a = gtg� OBSERWATOR siły rzeczywiste i bezwładności NIEINERCJALNY r r r "F + FB = ma i N � x : Nsin � - ma = 0 FB=-ma mg y : N cos� - mg = 0 a = tg � PRZYKAAD: STAN NIEWAŻKOŚCI STATEK KOSMICZNY NA ORBICIE Z PASAŻEREM W ŚRODKU R (masa pas. m, masa statku M, odl. od Ziemi R) Obliczyć przyśpieszenie statku i pasażera MZ G r r UKAAD INERCJALNY ma = "F rzecz (obserwator z Ziemi) G2 G1 Tylko siły rzeczywiste: grawitacji pasażer: rakieta r Mz �" M r Mz �" m G2 = G r Ć G1 = G r 2 Ć 2 R R r Mz �" M Mz �" m r G r = MA Ć G r = ma Ć 2 R2 R r Mz Mz r A = G r Ć a = G r Ć 2 R2 R r r a = A pasażer i rakieta spadają z takim samym przyśpieszeniem SPADANIE STATKU KOSMICZNEGO pasażer i rakieta spadają z takim samym przyśpieszeniem r Mz Ć a = G r R2 a Jeśli przy okazji mają nadaną taką R prędkość początkową, że mogą się poruszać po okręgu, to dalej spadają z takim przyśpieszeniem, ale ten spadek nigdy się nie kończy. MZ Jaka to prędkość? Ponieważ w takim ruchu po okręgu przyśpieszenie wynosi r V2 Ć ar = r R zatem: Różna może być prędkość początkowa satelity , ale przyśpieszenie z jakim się Mz Ć V2 Mz porusza jest takie samo. Ć G r = r �! V = G R2 R R PRZYKAAD: STAN NIEWAŻKOŚCI STATEK KOSMICZNY NA ORBICIE Z PASAŻEREM W FB ŚRODKU R (masa pas. m, masa statku M, odl. od Ziemi R) Jakie jest przyśpieszenie pasażera względem statku? MZ G r r r UKAAD NIEINERCJALNY ma = Frzecz + Fb " r (obserwator ze statku) siły rzeczywiste ( grawitacji) i bezwładności pasażer: r Mz �" m G1 = G r Ć 2 r rR mMz FB = -mA = G r Ć 2 R Mzm Mzm r mar = G r - G r = 0 Ć Ć R2 R2 r ar = 0 pasażer ma względem rakiety zerowe przyśpieszenie niewazkosc