DLACZEGO RUCH ZACHODZI:
ZASADY DYNAMIKI
Galileusz,1564-1642: zasada bezwładności
Ciało pozostawione samemu sobie porusza się po linii
prostej ze stałą prędkością (jeśli było uprzednio w
ruchu), lub spoczywa (jeśli spoczywało)
Newton, 1643-1727, 1687
Ciało, na które działa siła, zmienia stan swojego ruchu:
szybkość z jaką zmienia się pęd jest proporcjonalna do siły
Jeśli jakieś ciało działa siłą na drugie, to drugie działa na
pierwsze siłą równa co do wartości i przeciwnie skierowaną
I ZASADA DYNAMIKI (ZASADA BEZWA
ADNOÅšCI)
Jeśli na ciało nie działa żadna siła, lub działające siły się równoważą, to ciało porusza
się ruchem jednostajnym (a więc prędkość jest stała i co do wartości i co do kierunku).
V=const jeśli "Fi=0
y
F1+ F2+ F3=0
|V|=cons
F1
t
r
F
F3
Ä…
F2
x
ruch  jednostajny po okręgu :
ruch po prostej ze stałą
wypadkowa siła różna od zera
prędkością: wypadkowa siła=0
Jeśli V ciała jest const, i całkowita siła działająca na ciało jest zero to przedmioty
względem których ruch tego ciała jest opisany (czyli układ współrzędnych ) jest
układem inercjalnym
Zasady dynamiki są prawdziwe tylko w układach inercjalnych, tzn. poruszających się
bez przyśpieszenia
równowaga stół
II ZASADA DYNAMIKI
Jeśli na ciało działają siły, to ciało porusza się z przyśpieszeniem proporcjonalnym do
r
r
Fi Fwyp
"
siły wypadkowej (wektorowej sumy sił).
r
i
a = =
m m
ogólniej:
Pęd to iloczyn masy i prędkości. Pęd jest wektorem! p=mV, p= " mi Vi
Jeśli na ciało działają siły, to ciało zmienia swój pęd z szybkością proporcjonalną do
r
siły wypadkowej (wektorowej sumy sił). r r
"F =Fwyp = d p
i
dt
i
y
|V|=cons
F3
t
a
F=ma, |F|=mV2/R
okrÄ…g
x
Nie wiemy nic o sile, oprócz tego, że jeśli działa, to zmienia pęd ciała. Ale siła musi
pochodzić od materialnej przyczyny! (jest siłą rzeczywistą)
III ZASADA DYNAMIKI
Częściowo wskazuje na własności siły
Jeżeli jedno ciało (ciało 1) działa na drugie (ciało 2) siłą F12 , to drugie ciało działa na
pierwsze siłą F21 przeciwnie skierowaną do F12 gdzie indziej przyłożoną (do ciała 1),
lecz o tej samej długości.
ciało 1
F21=- F12
F12
F21
ciało 2
Siły się nie równoważą, bo
są gdzie indziej przyłożone
III ZASADA DYNAMIKI: PRZYKA
AD 1
Siły F12 i F21 działające między ciałami są gdzie indziej przyłożone i inny jest skutek
ich działania
zderzenia
III ZASADA DYNAMIKI: PRZYKA
AD 2
R1
Trzy ciała o masach 3m, 2m i m połączonych
R2
R3
nitkami. Układ jest ciągnięty zewnętrzną siłą
F
N2 -N2 N1 -N1
F.
znalez
ć: przyspieszenia układu i naprężeń
mg
nici.
2mg
3mg
ROZWI
ZANIE
Siły przenoszone są przez sznurki (zakładamy, że ich masy są zaniedbywalne).
Piszemy II zasadę dynamiki dla każdego ciała osobno
r r r
r r
Zwykle należy napisać też
3ma = F + R1 + 3mg + (-N1) x: F - N1 = 3ma
r r r
r r
równania na współrzędne y.
x: N1 -N2 = 2ma
2ma = N1 + R2 + 2mg + (-N2)
r r
r r
Jednak w tym przypadku dla
x: N2 = ma
ma = R3 + mg + N2
każdego ciała suma sił w
kierunku y jest równa zeru
DodajÄ…c stronami otrzymujemy
F = (3m + 2m + m)a
stÄ…d
a = F/6m, N1 = F/2, N2 = F/6
RÓWNANIE RUCHU; RODZAJE SIA

II zasada stwierdza, że jeśli siła działa, to ciało jest przyśpieszane. Nie mówi jednak
jaka jest postać tej siły. Ale ruch możemy opisać dopiero wtedy gdy wiemy jaka siła
działa.
Jeśli do równania F=ma wstawimy konkretną postać tej siły, to otrzymamy równanie
ruchu, z którego możemy znalez
ć tor ruchu, tj. r(t)
wiadomy skutek działania siły,
lecz nieznana jej przyczyna i
Newton wskazał jedną taką siłę: grawitacji.
własności
Inne to:
-siły tarcia
y
-siła sprężysta
|V|=const
-siła Lorentza (działająca na ładunek w polu
magnetycznym)
a
-siła elektrostatyczna
F=ma, |F|=mV2/R
-siła jądrowa
x
RODZAJE SIA

SIA
Y KONTAKTOWE
" Występują między stykającymi się ciałami
" Są prostopadłe do powierzchni stykających się ciał
" MajÄ… naturÄ™ elektrycznÄ…
R
R
R
T
h
G
Ä…
SIA
Y TARCIA
Siły tarcia są na tyle złożone, że jeżeli nawet potrafimy
opisać powierzchnie zetknięcia przesuwających się po
sobie warstw, to nie umiemy przewidzieć jakie tarcie
tam wystÄ…pi.
KLASYCZNE PRAWA TARCIA
I prawo: siła tarcia , która przeciwdziała przesuwaniu stykających się ze sobą
powierzchni jest proporcjonalna do siły dociskającej powierzchnie ( Guillaume Amontos)
Klocek nieruchomy:
Klocek Klocek ruchomy
Tarcie jest równe maksymalnej
nieruchomy
sile przeciwstawiajÄ…cej siÄ™
sprężystość
ruchowi
podłoża N
F
F
Klocek ruchomy:
T
T
Tarcie jest równe sile
podtrzymujÄ…cej ruch jednostajny
grawitacja G
Fkmax=fsN
Fk=fkN
siła
przeciwstawiajÄ…ca
siÄ™ ruchowi
T=f N
F
Klocek
Klocek ruchomy
nieruchomy
szkło na szkle 0.94 0.4
materiał f f
s k
woskowane drewno na wilgotnym śniegu 0.14 0.1
stal na stali 0.74 0.57
woskowane drewno na suchym śniegu - 0.04
Al. na stali 0.61 0.47
lód na lodzie 0.15 0.06
miedz
na stali 0.53 0.36
teflon na teflonie 0.04 0.04
guma na betonie 1.0 0.8
ludzkie stawy 0.01 0.003
drewno na drewnie 0.25-0.5 0.2
szkło na szkle 0.94 0.4
F
=
k
F
KLASYCZNE PRAWA TARCIA
II prawo: siła tarcia nie zależy od powierzchni styku
Klocek mały Klocek duży
N N
F
F
T
T
G G
XVIII wiek: Charles Augustin de Coulomb: III prawo tarcia
N N
III prawo tarcia: z chwilÄ…
F
F
wprowadzenia ciała w ruch
T
T
siła tarcia nie zależy od
prędkości
G G
ROZWI
ZYWANIE PROBLEMÓW DYNAMICZNYCH
Przykład: zsuwanie się ciała po równi pochyłej
Po równi pochyłej nachylonej pod kątem a do podstawy zsuwa się klocek o masie m.
Wiedząc, że współczynnik tarcia kinetycznego między klockiem a równią wynosi f
znalez
ć:
1.przyśpieszenia klocka
2.prędkość klocka u podnóża równi
R
1.Dla każdego ciała biorącego udział w ruchu
narysować wszystkie wektory sił
T
działających na to ciało ( a siły muszą
h
G
pochodzić od innych ciał w pobliżu; zatem
należy się zastanowić co może być z
ródłem
Ä…
działania siły na ciało)
Na klocek działają 3 siły: G: od Ziemi, R- reakcja podłoża, T-tarcie; każda z tych sił ma
materialna przyczynę. Nie wolno rysować składowych tych sił.
2.Napisać II zasadę dynamiki ( w postaci wektorowej) dla ciała, wstawiając znalezione
siły.
T+G+R=ma
równanie ruchu
ROZWI
ZYWANIE PROBLEMÓW DYNAMICZNYCH, CD.
y
3.Ponieważ jest to równanie wektorowe, dlatego
R
jego rozwiÄ…zanie wymaga napisania 3 ( albo 2)
równań na współrzędne. Musimy zatem wybrać
T
układ współrzędnych. Każdy układ jest OK, ale
h
niektóre mogą być korzystniejsze
x
Ä…
G
Wybieramy układ xy o osiach równoległych/prostopadłych do równi
4.Rzutujemy równanie na
x: G sin Ä… -T=ma, y:-Gcos Ä… +R=0
osie tego układu
5.Wykorzystujemy dodatkowÄ…
G=mg, T=Rf
wiedzę o siłach i o ich
współzależności (np. równość
niektórych przyśpieszeń, sił, itd)
mg sin Ä…-Rf=ma
6.Znajdujemy ruch:
-mg cos Ä… +R=0 R= mg cos Ä…
mg sin Ä…- mg cos Ä… f=ma
a=g (sin Ä…- f cos Ä…)
2h
h/sin Ä… = (1/2)g (sin Ä…- f cos Ä…)t2 t =
przyśpieszenie
g sin Ä…(sin Ä… - f cos Ä…)
2hg(sin Ä… - f cos Ä…)
prędkość V=at=
sin Ä…
RUCH POD DZIAA
ANIEM SIA
Y OPORU
Na kulkÄ™ w miejscu x(0)=0, poruszajÄ…cÄ… siÄ™ z poczÄ…tkowÄ…
F V0
prędkością V0 zaczęła działać siła oporu równa F=-kV.
Znalez
ć zależność położenia i prędkości od czasu
RozwiÄ…zanie:
d Vx k
równanie ruchu
Ma= -kV = - Vx
dt M
odgadnięte rozwiązanie
to jest próbne
Vx = be-at
na prędkość
rozwiÄ…zanie i trzeba
sprawdzić w jakich
k
po wstawieniu do
- abe-at = - be-at
warunkach (b, a) jest to
równania:
M
rzeczywiste rozwiÄ…zanie
k
- t
k k
M
be-at ( - a) = 0 Ò! a = Ò! V(t) = be
V
M M
k
- t
M
warunek poczÄ…tkowy:
Ale : V(0) = V0 Ô! b = V0 Ò! V(t) = V0e
k
- t
M
M
położenie: x(t) =
+"V(t)dt = - V0e + x0 t
k
x
M
warunek poczÄ…tkowy:
Ale : x(0) = 0 Ô! - V0 + x0 = 0
k
k
- t
M M
M
czyli : x0 = V0 Ò! x(t) = V0 (1- e )
t
k k
RÓŻNE OBSERWACJE TEGO SAMEGO RUCHU:
UKA
ADY ODNIESIENIA
z
Układ ruchomy
V
TRANSFORMACJA GALILEUSZA
zdarzenie 1
Jak wyglądają zdarzenia we wszechświecie
obserwowane przez dwóch różnych  obserwatorów
y
 obserwator -prostokątny układ współrzędnych +
sieć zegarów w każdym punkcie przestrzeni,
z
zdarzenie 2
x
rejestrujących czas i miejsce zajścia zdarzenia
dla prostoty:
" osie układów równoległe
" prędkość układu ruchomego wzdłuż x
y
2 zdarzenia:
x
1. pierwszy wybuch w x0 ,y0 ,z0 ,t0 (nieruchomy) i
Układ laboratoryjny
x 0 , y 0 ,z 0 ,t 0 (ruchomy)
(nieruchomy)
2. drugi wybuch w x1 ,y1 ,z1 ,t1 (nieruchomy) i x 1 ,
y 1 ,z 1 ,t 1 (ruchomy)
Jeśli wg. ukł. ruchomego x 1 -x 0="x , y 1 -y 0="y , z 1 -z 0="z i t 1 -t 0="t , to jakie
są odpowiednie wielkości w układzie nieruchomym?
TRANSFORMACJA GALILEUSZA
WIDZIANE Z
drugi wybuch
y
y
NIER.
t1
y0
Spostrzeżenia nieruchomego:
t0
"x , "y i "t,  obserwator
ruchomy oddalił się w tym
y1
V
czasie na odległość "tV
"x = "x -V "t
x0=0
x "y = "y
" x
"x
WIDZIANE Z
t 0
t 0
RUCH.
y y
t 1
Spostrzeżenia ruchomego
" y
" y
"x , "y i "t ,  obserwator
y1
nieruchomy oddalił się w tym
y 1
czasie na odległość -"t V
-V -V
x
x
x x "x= "x + V "t
x 1
x 1
"y = "y
" x
"x
"x = "x -V "t "t= "t
Transformacja
"x= "x + V "t
"y = "y
Galileusza
"y = "y
PRZYKA
AD : SKA
ADANIE PR
DKOÅšCI
V
y
Samochód jedzie z prędkością U
U
względem nieruchomego układu. Jaka jest
prędkość auta względem układu
"y
ruchomego poruszajÄ…cego siÄ™ z
prędkością V względem układu
nieruchomego?
"x
"x = "x -V "t
Transformacja
"y = "y
Galileusza:
Ux = "x/ "t -V
Ux ="x / "t = "x/ "t -V "t/ "t
Prędkości:
Ale "t = "t
Uy = "y/ "t=Uy
Uy = "y / "t = "y/ "t
Ux = Ux -V
ostatecznie:
Uy = "y/ "t=Uy
ax =ax
ax ="Ux  / "t = " Ux / "t = " Ux / "t
Przyśpieszenie:
ay = ay
ay = "Uy  / "t = " Uy / "t = " Ux / "t
Wszystkie prawa przyrody są takie same bez względu na to, czy
ZASADA
obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale
WZGL
DNOÅšCI
poruszającego się bez przyśpieszenia (czyli układu inercjalnego)
RUCH WZGL
DEM UKA
ADÓW NIEINERCJALNYCH
A
y
Ruch punktu jest obserwowany przez układ
nieruchomy.
W takim układzie przyśpieszenie punktu a jest
y r=R+rR
proporcjonalne do sumy wszystkich sił
rR
działających na punkt.
r
x
Czy jeśli ten punkt będzie obserwowany przez
układ poruszający się ruchem przyśpieszonym,
R
to też obserwowane tam przyśpieszenie aR
będzie równe sumie sił?
x
r=R+rR
dr/dt = dR/dt + drr/dt Po zróżniczkowaniu
prędkość prędkość względem
prędkość względem
układu układu nieinercj.
układu inercjaln.
V = U + VR
dV/dt = dU/dt + dVR/dt Po ponownym zróżniczkowaniu:
ma=m(A +aR)
przyśp. a względem przyśp. A przyśp. aR względem
układu inercjaln. układu układu nieinercj.
maR =ma -mA Ò! maR = "Fi +FB
Ò! "
Ò! "
Ò! "
uklad obracajacy
DYNAMIKA W RÓŻNYCH UKA
ADACH
ODNIESIENIA
Układy inercjalne (bez przyśpieszenia)
Tylko siły rzeczywiste (muszą mieć materialną
przyczynÄ™)
" Fi = m a
"
" m a
"
" Fi =
"
"
"
Układy nieinercjalne (przyśpieszone)
Siły rzeczywiste + siły bezwładności
m a = " Fi +FB FB=-mA
"
"
"
PRZYKA
AD: PRZYRZ
D DO POMIARU PRZYÅšPIESZENIA
OBSERWATOR INERCJALNY
tylko siły rzeczywiste:
y
r
r
"F = ma
i
N
¸
x : Nsin ¸ = ma
mg
y : N cos¸ - mg = 0
x
a = gtg¸
OBSERWATOR
siły rzeczywiste i bezwładności
NIEINERCJALNY
r r
r
"F + FB = ma
i
N
¸
x : Nsin ¸ - ma = 0
FB=-ma
mg
y : N cos¸ - mg = 0
a = tg ¸
PRZYKA
AD: STAN NIEWAŻKOŚCI
STATEK KOSMICZNY NA ORBICIE Z PASAŻEREM W
ÅšRODKU
R
(masa pas. m, masa statku M, odl. od Ziemi R)
Obliczyć przyśpieszenie statku i pasażera
MZ
G
r
r
UKA
AD INERCJALNY
ma =
"F
rzecz
(obserwator z Ziemi)
G2
G1
Tylko siły rzeczywiste: grawitacji
pasażer: rakieta
r
Mz Å" M
r
Mz Å" m
G2 = G r
Ć
G1 = G r
2
Ć
2
R
R
r
Mz Å" M
Mz Å" m
r
G r = MA
Ć
G r = ma
Ć
2
R2
R
r
Mz
Mz
r
A = G r
Ć
a = G r
Ć
2
R2
R
r
r
a = A
pasażer i rakieta spadają z takim samym przyśpieszeniem
SPADANIE STATKU KOSMICZNEGO
pasażer i rakieta spadają z takim samym
przyśpieszeniem r Mz Ć
a = G r
R2
a
Jeśli  przy okazji mają nadaną taką
R
prędkość początkową, że mogą się poruszać
po okręgu, to dalej spadają z takim
przyśpieszeniem, ale ten spadek nigdy się
nie kończy.
MZ
Jaka to prędkość?
Ponieważ w takim ruchu po okręgu
przyśpieszenie wynosi
r V2
Ć
ar = r
R
zatem:
Różna może być prędkość początkowa
 satelity , ale przyśpieszenie z jakim się
Mz Ć V2 Mz
porusza jest takie samo.
Ć
G r = r Ò! V = G
R2 R R
PRZYKA
AD: STAN NIEWAŻKOŚCI
STATEK KOSMICZNY NA ORBICIE Z PASAŻEREM W
FB
ÅšRODKU
R
(masa pas. m, masa statku M, odl. od Ziemi R)
Jakie jest przyśpieszenie pasażera względem statku?
MZ
G
r r
r
UKA
AD NIEINERCJALNY
ma = Frzecz + Fb
"
r
(obserwator ze statku)
siły rzeczywiste ( grawitacji) i bezwładności
pasażer:
r
Mz Å" m
G1 = G r
Ć
2
r rR
mMz
FB = -mA = G r
Ć
2
R
Mzm Mzm
r
mar = G r - G r = 0
Ć Ć
R2 R2
r
ar = 0
pasażer ma względem rakiety zerowe przyśpieszenie
niewazkosc