Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 13
13. Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okre-
sowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić
za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu ob-
serwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
13.1 Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku
układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub
siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest
wyrażona równaniem
F =  kx (13.1)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywiera-
ną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę
sprężystości. To jest prawo Hooke'a.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) zna-
lazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie
masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x = Acos�t
Sprawdz
my czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założe-
niami. Z drugiej zasady dynamiki Newtona wynika, że
 kx = ma
czyli
 kx = m(dv/dt)
wreszcie
 kx = m(d2x/dt2) (13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się
"odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę,
że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest
równa funkcji ale ze znakiem " ". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acos�t
i sprawdzamy
dx/dt = v =  A�sin�t (13.3)
d2x/dt2 = a =  A�2cos�t (13.4)
13-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
( kAcos�t) = m( A�2cos�t)
i otrzymujemy
�2 = k/m (13.5)
Widzimy, że x = Acos�t jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy � = k / m .
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asin�t jest również rozwiązaniem równania ale nie
spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
x = Asin(�t + �) (13.6)
gdzie � jest dowolną stałą fazową. Stałe A i � są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
" dla wychylenia A
" dla prędkości �A (występuje gdy x = 0)
" dla przyspieszenia �2A (występuje gdy x = A)
13.2 Okres drgań
Funkcja cos�t lub sin�t powtarza się po czasie T dla którego �T = 2Ą. Ta szczegól-
na wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2Ą/� (13.7)
Liczba drgań w czasie t jest równa
n = t/T
Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
n 1
=
t T
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f
1
f =
T
Dla ruchu harmonicznego �= k / m więc otrzymujemy
m
T = 2Ą (13.8)
k
13-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.
Przykład 1
Dwie masy, m1 i m2, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie
okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocze-
śnie? Stała sprężyny wynosi k.
Niech x1 będzie przesunięciem masy m1 od położenia równowagi, a x2 odpowiednim
przesunięciem masy m2. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m2
m1x1 =  m2x2, czyli x1 = - x2
m1
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Siłą wypadkową,
działającą na m2 jest siła F =  k (x2  x1) gdzie (x2  x1) jest wypadkowym rozciągnię-
ciem sprężyny.
d2 x2
- k(x2 - x1) = m2 2
dt
m2
Podstawiamy teraz x1 = - x2 zamiast x1 i otrzymujemy
m1
�ł
�ł m2 łł d2 x2
�ł
�łśł
- k�łx2 - �ł- x2 �ł = m2 2
�ł
m1 łł�ł dt
�ł
�ł
czyli
d2 x2 k(m1 + m2 )
= - x2
2
dt m1m2
więc
d2 x2 k
= - x2
2
dt �
gdzie � = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już
rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest �.
Tak więc � = k / � czyli
�
T = 2Ą
k
Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A
(o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych za-
uważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
13-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3 Wahadła
13.3.1 Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na
cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to za-
czyna się ono wahać w płaszczyz
nie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch
okresowy. Znajdz
my okres tego ruchu.
�
l
N
m
x=l�
�
mgsin�
mgcos�
mg
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt � od pionu.
Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg
rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą
równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mgsin�
Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sin�, a nie do �, więc nie jest to ruch prosty
harmoniczny. Jeżeli jednak kąt � jest mały (mniejszy niż 10�) to sin� jest bardzo bliski
� (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta)
wynosi x = l�. Przyjmując zatem, że sin� E" � otrzymujemy
x mg
F = -mg� = -mg = - x
l l
F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem " "). Jest to kryterium ru-
chu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F =  kx. Przy małej ampli-
tudzie okres wahadła prostego wynosi więc
m l
T = 2Ą = 2Ą (13.9)
k g
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
13-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
13.3.2 Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi prze-
chodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
P
l
S
�
mg
P jest punktem zawieszenia ciała, a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P,
jest środkiem masy. Moment siły � działający na ciało wynosi
� =  mglsin�
Korzystając ze związku
� = Ią =I(d2� /dt2)
otrzymujemy
d2 �
- mgl sin� = I
2
d t
Dla małych wychyleń, dla których sin� E" � dostajemy równanie
d2 � mgl
= -�ł �ł�
�ł �ł
2
d t I
�ł łł
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
mgl
� =
I
lub
I
T = 2Ą (13.10)
mgl
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l.
Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
13-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
l
T = 2Ą
g
Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.
13.4 Energia ruchu harmonicznego prostego
Energią potencjalną sprężyny zajmowaliśmy się na wykładzie 6 przy okazji dyskusji
o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna
(nagromadzona) sprężyny
kx2
Ep = (13.11)
2
Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia
układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy
sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania
energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2
1 1 1
2
mv + kx2 = kA2 (13.12)
2 2 2
stąd
k
2
v = (A2 - x2)
m
Ponieważ k/m = �2 więc
v = � A2 - x2
Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości
średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)
1
Ep = k x2
2
czyli
1
Ep = kA2 cos2 �t
2
Natomiast
1
2
Ek = mv
2
czyli
1 k 1
�ł �ł(-�Asin�t)2 = kA2sin 2 �t
Ek =
�ł �ł
2
2 � 2
�ł łł
13-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wartość średnia sin2 �t jest taka sama jak cos2 �t i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie
same (tylko przesunięte). Poza tym sin2�t + cos2�t = 1 i średnia każdego składnika jest
taka sama. Widać, że
Ep = Ek
(Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.)
Przykład 2
Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia ki-
netyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początko-
wym, a położeniem równowagi?
x = A/2
więc
Ep = kx2/2 = kA2/8
Ponieważ energia całkowita
E = kA2/2
więc
Ep/E = 1/4
Ponieważ
E = Ep + Ek
więc
Ek/E = 3/4
13.5 Oscylator harmoniczny tłumiony
Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii
układu oscylatora.
W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu
Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest
wprost proporcjonalna do prędkości Fop H" v czyli
Fop = ł dx/dt (13.13)
Gdy działa tylko siła tłumienia to
d2 x d x
M = -ł
2
d t d t
lub
13-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
dv
M = -łv
d t
Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)
� = M/ł
to otrzymamy równanie
dv/dt =  (1/�)v
co można przepisać w postaci
dv/v =  dt/�
Całkujemy to równanie obustronnie
v t
dv 1
= - t
+" +"d
v �
v0 0
Skąd otrzymujemy
lnv - lnv0 =  (t/�)
lub
ln(v/v0) =  (t/�)
a po przekształceniu
v(t) = v0e-t /� (13.14)
Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową �
(rysunek).
v
t
Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie po-
stać
d2 x d x
M = -kx - ł
2
d t d t
Wprowadzając � = M/ł oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych �02 = (k/M)
otrzymujemy
13-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
d2 x 1 d x
2
+ + �0 x = 0 (13.15)
2
d t � d t
Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych np.
x = Ae-� t cos�t (13.16)
Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cos�t) i tłumiący (exp(-�t)) i jest pokazane
na rysunku poniżej. Współczynnik � = 1/2� określający wielkość tłumienia nazywamy
współczynnikiem tłumienia.
Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania
(13.15). W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych
2 2
� = �0 - � (13.17)
Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość
Funkcja (13.16) jest rozwiązaniem równania opisującego ruch harmoniczny tłumio-
ny przy warunku (13.17). Widzimy, że opór zmniejsza zarówno amplitudę jak i częstość
drgań, czyli powoduje spowolnienie ruchu. Wielkość tłumienia określa współczynnik
tłumienia � (lub stała czasowa �). Wykres ruchu harmonicznego tłumionego w zależno-
ści od czasu jest pokazany na rysunku
x
A
Ae-�t
Ae-�tcos� t
0
-Ae-�t
-A
t
Powyższe rozważania dotyczą sytuacji "słabego tłumienia" tj. � < �0. Gdy tłumienie
wzrośnie powyżej pewnej krytycznej wartości (� = �0) ruch nie jest ruchem drgającym
ale obserwujemy, że ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymp-
totycznie. Takich ruch nazywamy ruchem pełzającym (aperiodycznym). Zależności wy-
13-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
chylenia od czasu dla ruchu tłumionego krytycznie (� = �0) i ruchu pełzającego
(� > �0) są pokazane na wykresie poniżej.
X
� > �
0
� = �
0
t
13.5.1 Straty mocy, współczynnik dobroci
Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako
Ezmagazynowana
E E
Q = 2Ą = 2Ą = (13.18)
Estraconaw1okresie P / v P /�
gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością.
Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (� << �0) współczynnik
Q ma w przybliżeniu wartość �0/2�.
Kilka typowych wartości Q podano w tabeli
Oscylator Q
Ziemia dla fali sejsmicznej 250-400
Struna fortepianu lub skrzypiec 1000
Atom wzbudzony 107
Jądro wzbudzone 1012
13.6 Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywać
gasnące drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać
d2 x d x
M + ł + kx = F(t) (13.19)
2
d t d t
albo po podstawieniu
� = M/ł oraz �02 = k/M
13-10
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
otrzymujemy
d2 x 1 d x F(t)
2
+ + �0 x = (2.20)
2
d t � d t M
Ponownie �0 jest częstością własną układu, to jest częstością drgań swobodnych gdy
nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia ani innych sił oporu, a � stałą czasową związa-
ną ze współczynnikiem tłumienia � relacją � = 1/2�. Zauważmy ponadto, że układ jest
zasilany z częstością � różną od częstości własnej �0.
Gdy układ jest zasilany częstością � różną od �0 wówczas drgania będą odbywały
się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wy-
muszającą.
Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać
F(t) F0 sin�t
= = ą0 sin�t (13.21)
M M
gdzie ą0 = F0/M.
Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę
wymuszającą F. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okreso-
wych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek).
A1cos� t + A2sin� t
A1cos� t
A2sin� t
A1cos�t + A2sin�t = Asin(�t + �)
Szukamy więc rozwiązania postaci Asin(�t + �).
Musimy znalez
ć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe �.
Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe �. Zarówno siła wymuszająca jak
i wychylenie zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum
do maksimum obejmuje 360� czyli 2Ą.
Przesunięcie fazowe � mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza mak-
simum siły (o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).
Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kie-
runku dodatnim). Oznacza to, że x opóz
nia się względem siły o Ą/2.
Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych
13-11
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
dx/dt= �Acos(�t + �), oraz d2x/dt2 = -�2Asin(�t + �)
Równanie ruchu ma teraz postać
(�02 - �2) Asin(�t + �) + (�/�)Acos(�t + �) = ą0sin�t
Równanie to przekształcamy korzystając ze związków
sin(�t + �) = sin�t cos� + cos�t sin�
cos(�t + �) = cos�t cos� - sin�t sin�
Wtedy otrzymujemy
[(�02 - �2)cos� - (�/�)sin�] Asin�t + [(�02 - �2)sin� - (�/�)cos�] Acos�t = ą0sin�t
Równanie to może być tylko spełnione gdy czynniki przy sin�t będą sobie równe,
a czynnik przy cos�t będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać jako
sin� � /� 2��
= tg� = = (13.22)
2 2 2 2
cos� �0 -� �0 -�
Z tego warunku znam już �. Teraz możemy wyznaczyć amplitudę
ą0 ą0
A = = (13.23)
2 2 2 2 2 2
[(�0 -� )2 + (� /� )2]1/ 2 [(�0 -� )2 + 4� � ]1/ 2
gdzie już podstawiono za cos� i sin�. A
ącząc wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy
rozwiązanie
�ł �ł
ą0 2��
�ł
x = sin�ł�t + arctg �ł
(13.24)
2 2 2 2 2 2
�ł
[(�0 -� )2 + 4� � ]1/ 2 �ł �0 -�
łł
(Wygląda skomplikowanie ale to jest rozwiązanie postaci x = Asin(�t + �)).
13.6.1 Rezonans
Zauważmy, że chociaż drgania odbywają się z częstością w siły wymuszającej to
amplituda i faza zależą od relacji pomiędzy częstością wymuszającą �, a częstością
własną �0. W szczególności gdy częstość siły wymuszającej osiągnie odpowiednią czę-
stotliwość, to amplituda drgań może wzrosnąć gwałtownie nawet przy niewielkiej war-
tości siły wymuszającej. Zjawisko to nazywamy rezonansem.
Wykres przedstawiający rezonansowy wzrost amplitudy drgań w funkcji częstości siły
wymuszającej pokazany jest na rysunku poniżej dla różnych wartości współczynnika
tłumienia � (�0<�1<�2<�3<�4).
13-12
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
A
� = 0
0
�
1
�
2
�
3
�
4
�
�
0
Częstość rezonansową �r i amplitudę rezonansową Ar możemy obliczyć z warunku na
maksimum amplitudy drgań danej wzorem (13.23). Funkcja A(�) osiąga maksimum
ą0
A =
2 2
2� �0 - �
dla częstości rezonansowej
2 2
�r = �0 - 2�
Widać, że im mniejsze tłumienie � (dłuższy czas �) tym większa amplituda A. Jeżeli
tłumienie jest słabe (� << �0) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości
drgań własnych �r = �0. Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu
� = Ą/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Za-
uważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zale-
ży od prędkości
P = Fv
Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to ozna-
cza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o Ą/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy siła też
ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek,
siła też musi zmienić swój kierunek (siła działa cały czas to nie są impulsy tak jak np.
przy popychaniu huśtawki).
Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony
staramy się wyeliminować przenoszenie drgań np. z silnika na elementy nadwozia w
samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest
13-13
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do czę-
stości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo
rozpowszechnione w przyrodzie.
13.6.2 Moc absorbowana
Średnia moc absorbowana jest dana wyrażeniem
d x
P = Fv = F
dt
Korzystając ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy
2
1 2��
2
P = Mą0 2 2 (13.25)
2 (�0 - � )2 + (2��)2
Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających jest przedstawiona
na rysunku poniżej.
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0 1 2 3 4 5 6
�/�0
Dla rezonansu P = (1/2) Mą02� . Natomiast dobroć Q = �0/2� jest miarą dostrojenia
układu do częstości wymuszającej.
13-14
max
P/P