KOLOKWIUM 2
Z TEORII MIARY I CAA
KI
31.01.2011r.
Zadanie 1.
Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… miarowÄ…. Wykazać, że rodzina zbiorów
N = {A " A : µ(A) = 0 lub µ(Ac) = 0}
jest Ã-ciaÅ‚em.
RozwiÄ…zanie zad. 1.
Standardowo sprawdzamy, że w N jest cała przestrzeń oraz rodzina N jest zamknięta
na branie dopełnień i przeliczalnych sum.
" X " N , bo X ma dopeÅ‚nienie miary 0: µ(Xc) = µ(") = 0 (µ jest miarÄ…);
" dla dowolnego zbioru A " N pokażemy, że Ac " N , rozważając dwa przypadki;
jeÅ›li µ(A) = 0, to Ac ma dopeÅ‚nienie mary 0 (µ ((Ac)c) = µ(A) = 0), wiÄ™c jest w N ;
jeÅ›li µ(Ac) = 0, to Ac " N już na mocy samej definicji N ;

" dla dowolnej rodziny (An)n ą" N pokażemy, że An " N ; znów są dwa przypadki:
n

jeÅ›li dla każdego n " N mamy µ(An) = 0, to µ ( An) µ(An) = 0
n n
(w tym miejscu korzystamy z przeliczalnej subaddytywności miary; ciąg (An)n

nie musi być parami rozłączny), więc zbiór An należy do N jako zbiór miary 0;
n

jeÅ›li istnieje n0 " N, dla którego µ(Ac ) = 0, to z ( An)c = Ac Ä…" Ac oraz
n0 n n n n0

monotonicznoÅ›ci miary µ, otrzymujemy µ(( An)c) µ(Ac ) = 0; stÄ…d wnoskujemy,
n n0

że zbiór An należy do N jako zbiór, którego dopełnienie jest miary 0.
n
UWAGA: W dowodzie skorzystaliÅ›my z tych wÅ‚asnoÅ›ci miary µ, które też przysÅ‚ugujÄ… mierze zewnÄ™trznej; zatem twierdzenie z zadania
zachodzi także, gdy µ jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
Zadanie 2.
Niech " będzie miarą zewnętrzną Lebesgue a na 2R.

Wykazać, że funkcja zbioru ½(E) = "(E), E " 2R, jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….
Znalez
ć Ã-ciaÅ‚o zbiorów ½-mierzalnych (w sensie Carathéodory ego).
RozwiÄ…zanie zad. 2.
Najpierw sprawdzamy, że µ jest miarÄ… zewnÄ™trznÄ….

" ½(") = "(") = 0;

" monotoniczność: jeÅ›li E Ä…" F , to ½(E) = "(E) "(F ) = ½(F ), ponieważ
miara zewnętrzna " jest monotoniczna, zaś funkcja f : [0, +") [0, +") określona
"
wzorem f(x) = x, x 0, jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ…;
" przeliczalna subaddytywność: wynika z następujących łatwych rachunków;
jeśli (ak)k jest ciągiem liczb nieujemnych, to dla każdego n " N mamy równość
n " n
"
( ak)2 = ak + c dla pewnego c 0 (dokładniej c = 2 aiaj);
k=1 k=1 1 i
n n "
stąd ak ak (tu znów korzystamy z tego, że funkcja f jest rosnąca);
k=1 k=1
jeśli w powyższej nierówności przejdziemy z n do nieskończoności (lub

" " "wez
miemy supn
po obu stronach), to dostaniemy nierówność ak ak; niech teraz
k=1 k=1
(Ek)k będzie dowolnym ciągiem podziorów R; wówczas stosując powyższe rachunki
dla = "(Ek) 0 oraz używając przeliczalnej subaddytywności ", otrzymujemy

ak
½( Ek) = "( Ek) "(Ek) "(Ek) = ½(Ek).
k k k k k
Teraz mniej trywialna część. Pokażemy, że Ã-ciaÅ‚em S½ zbiorów ½-mierzalnych w
sensie Carathéodory ego jest (surprise) zbiór z zadania 1, a mianowicie

N½ = A " 2R : ½(A) = 0 lub ½(Ac) = 0 = A " 2R : (A) = 0 lub (Ac) = 0 .
"
(możemy pominąć przy  bo zbiory o zerowej m. zewnętrznej Lebesgue a są mierzalne w sensie Lebesgue a, bo  jest miarą zupełną.)
Mamy znależć wszystkie podzbiory E Ä…" R, które speÅ‚niajÄ… warunek Carathéodory ego
© ½(A) = ½(A )" E) + ½(A )" Ec).
"
AÄ…"R
Inkluzja N½ Ä…" S½ jest trywialna. Niech A Ä…" R bÄ™dzie dowolny. JeÅ›li teraz
½(E) = 0 (odp. ½(Ec) = 0), to ½(A )" E) = 0 (odp. ½(A )" Ec) = 0) i wtedy
½(A) ½(A )" Ec) = ½(A )" E) + ½(A )" Ec) ½(A) (odp. ½(A) ½(A )" E) =
= ½(A )" E) + ½(A )" Ec) ½(A)). OczywiÅ›cie pierwsza nierówność to konsekwencja
monotonicznoÅ›ci ½, zaÅ› druga wynika z przeliczalnej subaddytywnoÅ›co ½.
Pokażemy teraz inkluzjÄ™ N½ ‡" S½. Niech E speÅ‚nia ©. Widać, że dla A takich,
że "(A) = +" mamy żądaną równość. Jednak równość musi zachodzić też dla A
o skończonej mierze zewnętrznej Lebesgue a. Wówczas korzystając z równoważności
dla dowolnych nieujemnych liczb a i b (u nas a = "(A )" E) i b = "(A )" Ec)):
" " "
"
a + b a + b Ô! a + b + 2 ab a + b Ô! ab 0 Ô! a = 0 lub b = 0,
dostajemy, że dla każdego takiego A musi być "(A )" E) = 0 lub "(A )" Ec) = 0.
Wprowadz
my oznaczenia
N1 = sup{n " N : ½([-n, n] )" E) = 0} i N2 = sup{n " N : ½([-n, n] )" Ec) = 0}.
Ze wcześniejszych rozważań wynika, że każde n " N należy do któregoś z powyższych
zbiorów, po których bierzemy suprema. Bez straty ogólności możemy zakładać, że
oba te zbiory sÄ… niepuste, wiÄ™c N1, N2 " N *" {"} (jeÅ›li któryÅ› jest pusty, to E " N½).
Przypuśćmy, że N1, N2 < ". Możemy też założyć bez straty ogólności, że N1 N2.
Wówczas z definicji N1 i N2 oraz z [-N1, N1] ą" [-N2, N2] dostajemy, iż
½([-N1, N1])"E) = ½([-N1, N1])"Ec) = 0 Ô! "([-N1, N1])"E) = "([-N1, N1])"Ec) = 0,
a stÄ…d 0 < 2N1 = "([-N1, N1]) "([-N1, N1] )" E) + "([-N1, N1] )" Ec) = 0,
czyli sprzeczność. Musi być zatem N1 = " lub N2 = ". Jednakże N1 = " oznacza,
że dla każdego n " N mamy ½([-n, n] )" E) = 0; stÄ…d otrzymujemy

"

½(E) = ½ ([-n, n] )" E) ½([-n, n] )" E) = 0.
n"N n=1
Podobnie z N2 = " wynika, że ½(Ec) = 0.
Podsumujmy: pokazaliÅ›my, że jeÅ›li E speÅ‚nia ©, to ½(E) = 0 lub ½(Ec) = 0. To
jest wÅ‚aÅ›nie inkluzja N½ ‡" S½, która wraz z odwrotnÄ… daje N½ = S½, co chcieliÅ›my
udowodnić.
Zadanie 3.
Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… miarowÄ…, a (fn)n ciÄ…giem funkcji mierzalnych.
µ
(a) Wykazać, że jeśli fn f oraz dla pewnej stałej M jest |fn| M < " p.w. dla
-
każdego n, to |f| M p.w.
(b) Sformułować twierdzenie Jegorowa.
µ
(c) Czy zbieżność fn f p.w. pociąga zbieżność fn f lub na odwrót? Wyjaśnić
-
szczegółowo i uzasadnić odpowiedz
.
RozwiÄ…zanie zad. 3.
Jedziemy po kolei.
(a) Mamy pokazać, że z warunków
(1) lim µ(|fn - f| µ) = 0 i (2) µ(|fn| > M) = 0
" "
n"
µ>0 n"N
wynika µ(|f| > M) = 0. Zauważmy, że jeÅ›li |fn - f| < µ i |fn| M,
to |f| = |(f - fn) + fn| |fn - f| + |fn| < µ + M. StÄ…d
{|fn - f| < µ} )" {|fn| M} Ä…" {|f| < µ + M},
zaś biorąc dopełnienia po obu stronach tej inkluzji, dostajemy
(3) {|f| µ + M} Ä…" {|fn - f| µ} *" {|fn| > M}.
Niech teraz ´ > 0 bÄ™dzie dowolna i niech m " N bÄ™dzie dowolne. Z warunku (1)
1 1 ´
możemy wybrać dla µ = liczbÄ™ nm " N takÄ…, że µ(|fn - f| ) < . Wówczas
m
m m 2m
po skorzystaniu z (3) dostajemy


1 1
{|f| > M} = |f| + M Ä…" |fn - f| *" {|fn | > M} =
m m
m m
m"N m"N


1
= |fn - f| *" {|fn | > M}.
m m
m
m"N m"N
StÄ…d



1
µ(|f| > M) µ |fn - f| *" {|fn | > M}
m m
m
m"N m"N

" " "

1 ´
µ |fn - f| + µ ({|fn | > M}) = ´.
m m

m 2m
m=1 m=1 m=1

= 0 z (2)
´
<
2m
Zatem µ(|f| > M) ´, co wobec dowolnoÅ›ci ´ > 0 oznacza, że µ(|f| > M) = 0.
(b) Twierdzenie Jegorowa
Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… miarowÄ… takÄ…, że miara µ jest skoÅ„czona oraz
niech µ-mierzalne i µ-p.w. skoÅ„czone funkcje fn zbiegajÄ… µ-p.w. do funkcji f.
Wówczas dla każdego µ > 0 istnieje zbiór Xµ " A taki, że µ(X \ Xµ) < µ oraz
funkcje fn zbiegajÄ… jednostajnie do funkcji f na zbiorze Xµ.
µ
(c) W ogólnoÅ›ci miÄ™dzy  fn f µ-p.w. a  fn f nie zachodzi żadna implikacja
-
(tzn. żadne wyrażenie nie pociąga drugiego).
" przykÅ‚ad na fn f µ-p.w. i fn µ f: oczywiÅ›cie bierzemy miarÄ™ liczÄ…cÄ… µ;
wiadomo, że zbieżność p.w. w mierze liczącej to zbieżność punktowa wszędzie,
zaś z bieżność w mierze to zbieżność jednostajna (p.ćwiczenia);
wez
my ciÄ…g ciagów (en)n, gdzie en(k) = ´nk (czyli en to ciÄ…g z 1 na n-tym miejscu,
a reszta wyrazów to 0); wówczas dla każdego k " N jest limn en(k) = 0, bo en(k) = 0
dla n > k, jednakże supk |en(k) - 0| = ||en||" = 1 0.
µ
" przykÅ‚ad na fn f µ-p.w. i fn f: standardowy, choć dość nietrywialny;
-
ponumerujmy przedziały diadyczne [(k - 1)2-m, k2-m), 1 k 2m i m " N, na
[0, 1) w ciąg (In)n (przedziałów diadycznych jest przeliczalnie wiele) tak, żeby dłuższe
1 1 1
przedziały poprzedzały krótsze, np.: I1 = [0, ), I2 = [1, 1), I3 = [0, ), I4 = [1, ),
2 2 4 4 2

3
I5 = [1, ), itd.; zdefinujmy fn = dla n " N; wówczas fn 0, bo dla 0 < µ < 1
-
In
2 4
mamy (|fn| µ) = ( = 1) = (In) 0; jednakże fn(x) 0 dla żadnego(!)
In
x " [0, 1), ponieważ x należy do nieskończonie wielu przedziałów diadycznych (oczy-
wiście różnych długości) oraz jest poza nieskończenie wieloma przedziałami diady-
cznymi; innymi słowy limnfn(x) = 0 < 1 = limnfn(x).
µ
UWAGA: JeÅ›li miara µ jest skoÅ„czona, to z fn f µ-p.w. wynika fn f !!!
-
Zadanie 4.
Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… miarowÄ…, a (fn)n ciÄ…giem funkcji mierzalnych.
µ
(a) Wykazać, że jeÅ›li fn f, µ jest skoÅ„czona oraz h : R R jest funkcjÄ… ciÄ…gÅ‚Ä… i
-
ograniczonÄ…, to

h(fn)dµ h(f)dµ.
(b) Podać definicję jednakowej całkowalności rodziny funkcji mierzalnych.
(c) Wyjaśnić szczegółowo związek jednakowej całkowalności ciągu funkcji (fn)n,

zbieżnoÅ›ci ciÄ…gu caÅ‚ek fndµ oraz twierdzenie Lebesgue a o zbieżnoÅ›ci ograniczonej.
RozwiÄ…zanie zad. 4.
Jedziemy po kolei (oczywiście (a) można dowodzić na kilka sposobów).
(a) Skorzystamy z poniższych twierdzeń (równoważności) charakteryzacyjnych:
µ
(") gn g Ô! gn g µ-p.w. charakteryzacja zbieżnoÅ›ci po mierze
-
kl
""
nk nkl
d d
("") gn g Ô! gn g charakteryzacja zbieżnoÅ›ci w metryce
- -
kl
""
nk nkl
Wybierzmy dowolny podciÄ…g (fn )k ciÄ…gu (fn)n. Wtedy z (") istnieje podciÄ…g (fn )l
k kl
zbieżny µ-p.w. do f. Ponieważ funkcja h jest ciÄ…gÅ‚a, to dla ustalonego x " X
zachodzi h(fn (x)) h(f(x)), a stÄ…d h(fn ) h(f) µ-p.w. Zdefinujmy ciÄ…g funkcji
kl kl
gl = |h(fn ) - h(f)|, l " N. OczywiÅ›cie gl 0 µ-p.w. Ponadto ograniczoność
kl
funkcji h oznacza, że istnieje staÅ‚a M 0 taka, że |h| M µ-p.w. StÄ…d |gl| 2M
dla każdego l " N i µ-p.w. KorzystajÄ…c teraz z twierdzenia Lebesgue a o zbieżnoÅ›ci
ograniczonej (µ jest skoÅ„czona, a ciÄ…g (gl)l jest ograniczony µ-p.w. przez liczbÄ™ 2M),
otrzymujemy


h(f ) - h(f) dµ = gldµ 0dµ = 0.

nkl
W istocie pokazaliśmy, że z dowolnego podciągu (h(fn ))k możemy wybrać podciąg
k

(h(fn ))l zbieżny do h(f) w metryce d(h1, h2) = |h1 - h2|dµ. Wówczas na mocy
kl
("") zachodzi




h(fn)dµ - h(f)dµ |h(fn) - h(f)| dµ 0.

(b) Standardowa definicja jednakowej (jednostajnej) całkowalności rodziny funkcji
całkowalnych (ft)t"T jest taka:

lim sup |ft|dµ = 0.
C"
t"T
|ft| C
Jest ona równoważna koniunkcji dwóch następujących warunków

" (ft)t"T jest jednostajnie ograniczona: supt"T |ft|dµ < ";
" (ft)t"T jest jednostajnie absolutnie ciągła:


µ(A) < ´ Ò! sup |ft|dµ < µ .
" " "
t"T
A
µ>0 A"A
´>0
(c) Prawdopodobnie chodzi o napisanie jakiejÅ› rozprawki... (boring)
Zadanie 5.
(a) Niech (X, A, µ) bÄ™dzie przestrzeniÄ… miarowÄ… Ã-skoÅ„czonÄ…, a f funkcjÄ… mierzalnÄ…
nieujemnÄ… skoÅ„czonÄ…. Oznaczmy D(f) = {(x, y) " X × R : 0 y f(x)} zbiór
pod wykresem funkcji f. Wykazać, że D(f) jest mierzalny względem produktowego
Ã-ciaÅ‚a A " BR oraz że

fdµ = Õd,
X R
gdzie  oznacza miarÄ™ Lebesgue a na R, a Õ(y) = µ({x : f(x) y}).
(b) Sformułować tw. Fubiniego. Pokazać, że założenia tego twierdzenia są istotne.
RozwiÄ…zanie zad. 5.
(a) Żeby pokazać mierzalność D(f) wystarczy udowodnić mierzalność jego dopełnienia:
D(f)c = X × R \ D(f) = {(x, y) : y < 0} *" {(x, y) : y > f(x)}.
Ponieważ {(x, y) : y < 0} = X × R- " A " BR oraz

{(x, y) : y > f(x)} = ({(x, y) : y > q} *" {(x, y) : q > f(x)}) =
q"Q
ëÅ‚ öÅ‚

íÅ‚(X × (q, +")) *" ({x : q > f(x)} ×R)Å‚Å‚ " A " BR,
=

q"Q
"BR "A
to D(f)c " A " BR jako suma dwóch zbiorów z A " BR.
Reszta podpunktu jest Å‚atwa, jeÅ›li pamiÄ™ta siÄ™, czym jest miara produktowa µ " :

µ " (E) = (Ex)dµ(x) = µ(Ey)d(y), E " A " BR.
X R
Wystarczy teraz podstawić do powyższego E = D(f) " A " BR i zauważyć, że
D(f)x = {y " R : 0 y f(x)}, (D(f)x) = ([0, f(x)]) = f(x),
D(f)y = {x " X : 0 y f(x)}, µ(D(f)y) = µ({x : f(x) y}) = Õ(y).
Zatem

f(x)dµ(x) = (D(f)x)dµ(x) = µ"(D(f)) = µ(D(f)y)d(y) = Õ(y)d(y).
X X R R
Warto też zauważyć, że µ " (D(f)) to pole pod wykresem funkcji f ; stÄ…d interpretacja geometryczna caÅ‚ki.
(b) Twierdzenie Fubiniego
1. (tw. Fubiniego-Tonellego) Załóżmy, że funkcja nieujemna f : X × Y [0, +"]
jest mierzalna wzglÄ™dem Ã-ciaÅ‚a produktowego (X × Y, A " B, µ " ½) Ã-skoÅ„czonych
przestrzeni miarowych. Wówczas
" następujące odwzorowania są nieujemne i mierzalne względem odpowiedniego
Ã-ciaÅ‚a zaznaczonego w nawiasie [·] ( " X i y " Y w pierwszej linijce sÄ… dowolne):
x
(x f(x, y)) [A], (y f( y)) [B],
x,


x f(x, y)d½(y) [A], y f(x, y)dµ(x) [B];
Y X
" zachodzą następujące równości

f(x, y)dµ " ½(x, y) = f(x, y)d½(y)dµ(x) = f(x, y)dµ(x)d½(y).
X×Y X Y Y X
2. Załóżmy, że funkcja f : X × Y [-", +"] jest caÅ‚kowalna wzglÄ™dem Ã-ciaÅ‚a
produktowego (X × Y, A " B, µ " ½) Ã-skoÅ„czonych przestrzeni miarowych. Wówczas
" następujące odwzorowania są całkowalne względem odpowiedniej miary
zaznaczonej w nawiasie [·] (w pierwszej linijce jest dla p.w. x " X i y " Y ):

(x f(x, y)) [µ], (y f( y)) [½],
x,


x f(x, y)d½(y) [µ], y f(x, y)dµ(x) [½];
Y X
" zachodzą następujące równości (i jest to liczba skończona)

f(x, y)dµ " ½(x, y) = f(x, y)d½(y)dµ(x) = f(x, y)dµ(x)d½(y).
X×Y X Y Y X
DYSKUSJA ZAA
OŻEC

" zaÅ‚ożenie Ã-skoÅ„czonoÅ›ci przestrzeni miarowych jest istotne;
np. w 1. można wziąć funkcję charakterystyczną przekątnej kwadratu jednostkowego,
tzn. f = , " = {(x, x) : x " [0, 1]}, zaÅ› kwadrat [0, 1]2 wyposażyć w Ã-ciaÅ‚o
"
bÄ™dÄ…ce produktem ([0, 1], B[0,1],  [0, 1]) i ([0, 1], B[0,1], µ), gdzie µ jest miarÄ… liczÄ…cÄ…
(ona nie jest Ã-skoÅ„czona na nieprzeliczalnej przestrzeni). OczywiÅ›cie f jest mierzalna
wzglÄ™gem tego Ã-ciaÅ‚a produktowego oraz nieujemna. Jednakże, jak Å‚atwo policzyć,

mamy fddµ = 0 < 1 = fdµd.
[0,1] [0,1] [0,1] [0,1]
" żeby pokazać, że założenia nieujemności funkcji w 1. i całkowalności w 2. są istotne
można się powołać na przykład z zad.11.7. lub sprawdzić, że poniższa funkcja nie jest
całkowalna na ([0, 1]2, S [0,1], 2 [0, 1]):
2
Å„Å‚
1
, gdy 0 < y < x < 1
òÅ‚
x2
1
- , gdy 0 < x < y < 1
f(x, y) =
y2
ół
0 w pozostałych przypadkach

1 1 1 1
oraz f(x, y)d(y)d(x) = 1 = - d(x)d(y).
0 0 0 0
Zadanie 6.
Niech miary µ i ½ na prostej absolutnie ciÄ…gÅ‚e wzglÄ™dem miary Lebesgue a  bÄ™dÄ…
określone następująco
"
d½ dµ
(x) = 1 - x (x), (x) = x2 (x).
(-",1] (0,+")
d d
Znalez
ć rozkÅ‚ad kanoniczny Lebesgue a miary ½ wzglÄ™dem µ oraz gÄ™stość części ab-
solutnie ciÄ…gÅ‚ej ½ wzglÄ™dem µ.
RozwiÄ…zanie zad. 6.
Oczywiście jest szczególny przypadek zadania 10.11, ale powtórzmy wszystkie rachunki.
Mamy znalez
ć miary ½s i ½ac na R takie, że
½ = ½s + ½ac, ½s Ä„" µ, ½ac µ
Wiadomo z dowodu o rozkładzie Lebesgue a, że (tak  odgadujemy pierwszą miarę)

d½
½s(E) = ½ E )" = 1 , E " S.
d(µ + ½)
Ponieważ dla odpowiednich miar (muszą być absolutnie ciągłe względem odp.miary)
zachodzi
dµ1
dµ1 d(µ1 + µ2) dµ1 dµ2
dµ3
= , = +
dµ2
dµ2 dµ3 dµ3 dµ3
dµ3
(takie równości trzeba uzasadniać (!!!) standardowym dowodem korzystającym z
jedyności p.w. pochodnej Radona-Nikodyma), to
"
1 - x (x)
d½
(-",1]
= 1 Ô! = 1 Ô! x2 (x) = 0 Ô! x " (-", 0].
"
(0,+")
d(µ + ½) 1 - x (x) + x2 (x)
(-",1] (0,+")
Zgadujemy zatem, że ½s(E) = ½(E )" (-", 0]) i ½ac(E) = ½(E )" R+), E " S.
Musimy jeszcze udowodnić, że to faktycznie szukany rozkład. Jednakże

0
" ½s(R+) = ½(") = 0 i µ((R+)c) = x2 (x)d(x) = 0, wiÄ™c ½s Ä„" µ;
(0,+")
-"

" jeÅ›li µ(E) = 0, to 0 = x2 (x)d(x) = x2d(x); stÄ…d (E )"R+) = 0, gdyż
R+
E E)"R+
"
x2 > 0 na E )" R+; wtedy ½ac(E) = ½(E )" R+) = 1 - x (x)d(x) = 0.
(-",1]
E)"R+
d½ac
Pochodną można wyznaczyć na dwa sposoby - z zad. 8.10. lub  licząc ułamki :
dµ
"

" "
x2 1 - x
½ac(E) = 1 - x (x)d(x) = 1 - x d(x) = dµ(x)
(-",1] (0,1] R+
x2 x2 (0,1]
E)"R+ E E
" "
d½ac d½ac 1 - x 1 - x
(0,1]
d
= = =
dµ
dµ x2 x2 (0,1]
R+
d
PodsumowujÄ…c, szukanymi funkcjami sÄ… (E " S):
"

" "
d½ac 1 - x
½s(E) = 1 - x d(x), ½ac(E) = 1 - x d(x), = .
(-",0] (0,1]
dµ x2 (0,1]
E E