From Studia Informatyczne < Analiza matematyczna 1
Spis treści [schowaj]
1 Całka nieoznaczona 2 Funkcja pierwotna 3 Całki pewnych funkcji elementarnych 4 Całkowanie przez części 5 Całkowanie przez podstawienie 6 Całkowanie funkcji wymiernych 7 Całkowanie funkcji niewymiernych 8 Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne
if (window.showTocToggle) { var tocShowText = "pokaż"; var tocHideText = "schowaj"; showTocToggle(); } [Edytuj]Całka nieoznaczona Leonhard Euler (1707-1783)Zobacz biografię W pierwszej części tego wykładu wprowadzamy pojęcia funkcji pierwotnej i całki nieoznaczonej. Podajemy całki pewnych funkcji elementarnych, jak również przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi. Dowodzimy wzorów na całkowanie przez części i całkowanie przez podstawienie. Druga część wykładu jest przeglądem metod całkowania. Omawiamy kolejno metody całkowania wyrażeń wymiernych (rozkład na ułamki proste), metody całkowania pewnych wyrażeń niewymiernych (m.in. metodę współczynników nieoznaczonych, podstawienia Eulera) oraz metody całkowania wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne.
[Edytuj]Funkcja pierwotna Definicja 13.1.
Niech będzie przedziałem oraz niech będzie funkcją. Funkcję nazywamy pierwotną funkcji jeśli jest różniczkowalna i
Twierdzenie 13.2.
Dwie dowolne pierwotne funkcji różnią się o stałą, to znaczy (1) Jeśli i są pierwotnymi funkcji to dla pewnego (2) Jeśli jest pierwotną funkcji oraz dla pewnego to też jest pierwotną funkcji
Dowód 13.2.
(Ad (1)) Jeśli i są pierwotnymi funkcji to mamy
Ponieważ pochodna różnicy wynosi więc różnica ta musi być stała. Zatem istnieje takie, że
(Ad (2)) Załóżmy, że jest pierwotną funkcji oraz funkcje i różnią się o stałą, to znaczy dla pewnej stałej Ponieważ jest różniczkowalna (jako pierwotna) oraz funkcja stała jest różniczkowalna, więc także funkcja jest różniczkowalna. Licząc pochodną sumy, dostajemy
zatem jest także pierwotną funkcji
Definicja 13.3. [całka nieoznaczona, całkowanie]
Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy
lub Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki. Oczywiście, jeśli zmienna funkcji nazywa się to piszemy lub , a jeśli zmienna funkcji nazywa się na przykład to piszemy lub .
Wniosek 13.4.
Jeśli jest pierwotną funkcji to
Uwaga 13.5.
Jeśli jest jedną z pierwotnych funkcji oraz to pierwotna funkcji spełniająca (to znaczy której wykres przechodzi przez punkt ) jest równa
gdzie
Wykres funkcji z przykładu 13.6.
Przykład 13.6.
Funkcja pierwotna nie zawsze istnieje. Rozważmy następującą funkcję
Pokażemy, że nie ma pierwotnej. Dla dowodu niewprost, przypuśćmy, że funkcja ta posiada pierwotną
Wówczas Na przedziale funkcja jest tożsamościowo równa zatem jej pierwotna jest stała, powiedzmy Podobnie na przedziale powiedzmy Ponieważ funkcja pierwotna jest ciągła (jako różniczkowalna), zatem
oraz Zatem pokazaliśmy, że Ale wówczas sprzeczność. Zatem tak zdefiniowana funkcja nie ma pierwotnej.
Zachodzi natomiast następujące twierdzenie (które podajemy tutaj bez dowodu).
Twierdzenie 13.7.
Każda funkcja ciągła ma pierwotną.
[Edytuj]Całki pewnych funkcji elementarnych Poniższe twierdzenie podaje całki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych. Ponieważ wiemy już, ile wynoszą pochodne pewnych funkcji elementarnych, więc łatwo stąd odgadnąć pierwotne niżej podanych funkcji.
Twierdzenie 13.8. [Całki pewnych funkcji elementarnych]
Poniższe twierdzenie pozwoli nam liczyć całkę z sumy i różnicy funkcji oraz z iloczynu funkcji przez stałą. Wynika ono natychmiast z twierdzenia o liniowości pochodnej.
Twierdzenie 13.9. [Liniowość całki]
Jeśli są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone,
to (1) ; (2)
W przypadku liczenia pochodnej funkcji mieliśmy także do dyspozycji wzór na pochodną iloczynu i ilorazu. Pozwalało to w praktyczny sposób policzyć pochodną dowolnej funkcji elementarnej. W przypadku całki nieoznaczonej nie mamy do dyspozycji takiego narzędzia. Okazuje się nawet, że dla pewnych funkcji elementarnych nie istnieje funkcja pierwotna elementarna (mimo, że pierwotna na pewno istnieje, bo funkcja jest na przykład ciągła).
Uwaga 13.10. [o funkcjach elementarnych]
(1) Funkcje elementarne to funkcje, które można otrzymać z funkcji:
(2) Pochodna funkcji elementarnej jest zawsze funkcją elementarną. Wynika to ze wzorów na pochodną funkcji stałej, potęgowej, wykładniczej, trygonometrycznej oraz wzorów na pochodne sumy, iloczynu, ilorazu, złożenia i funkcji odwrotnej.
(3) Całka nieoznaczona funkcji elementarnej nie musi być funkcją elementarną. Przykłady funkcji, których pierwotne nie są funkcjami elementarnymi, to między innymi
oraz tak zwane całki eliptyczne:
dla
[Edytuj]Całkowanie przez części Do liczenia całki nieoznaczonej z iloczynu przydatny jest następujący wzór, który w niektórych przypadkach sprowadza całkę z iloczynu (lub ilorazu) do postaci łatwiejszej do wyliczenia.
Twierdzenie 13.11. [Całkowanie przez części]
Jeśli jest przedziałem, są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji
to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji oraz
Dowód 13.11.
Ponieważ funkcje i są różniczkowalne, więc różniczkowalny jest także iloczyn oraz zachodzi wzór
zatem
Ponieważ funkcja po prawej stronie jest całkowalna, więc funkcja po lewej stronie także jest całkowalna i mamy
[Edytuj]Całkowanie przez podstawienie Podobnie jak w przypadku iloczynu i ilorazu funkcji nie ma ogólnego wzoru na obliczanie pierwotnej, tak i w przypadku złożenia funkcji nie ma ogólnej metody wyznaczania pierwotnej (tak jak to miało miejsce w przypadku pochodnej). W przypadku złożenia pomocnym narzędziem może być następujący wzór na całkowanie przez podstawienie zwany także wzorem na zmianę zmiennych w całce. Pozwala ono w pewnych sytuacjach obliczyć całkę z funkcji zawierającej złożenie dwóch funkcji.
Twierdzenie 13.12. [Całkowanie przez podstawianie]
Jeśli są przedziałami, jest funkcją różniczkowalną oraz jest funkcją, dla której istnieje pierwotna
to istnieje całka nieoznaczona dla funkcji oraz
Dowód 13.12.
Ponieważ funkcje i są różniczkowalne, więc ich złożenie także oraz mamy
Całkując obie strony, dostajemy tezę naszego twierdzenia.
Uwaga 13.13.
Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:
rozumiejąc, że należy "wrócić" do tej samej zmiennej po obu stronach ( po prawej lub po lewej) przez złożenie "" po prawej stronie lub "" po lewej stronie.
Przykład 13.14.
Obliczyć całkę nieoznaczoną z funkcji
Rozwiązanie showSHToggle("pokaż","schowaj",1)[pokażschowaj] Sposób I. Wykorzystamy wzór na całkowanie przez części, przyjmując jako (gdyż znamy już pierwotną funkcji ) oraz jako W praktyce korzystając z tego wzoru, zapisujemy rachunki w następujący sposób:
Zauważmy, że po obu stronach wyrażenia występuje całka
lecz z innym znakiem. Wystarczy przenieść tę całkę na jedną stronę i wyliczyć, że:
(na końcu dopisujemy "" aby zaznaczyć, że całką nieoznaczoną jest zbiór wszystkich pierwotnych, które jak wiadomo różnią się o stałą).
Sposób II. Zauważmy, że wzór na całkowanie przez części można tutaj wykorzystać również w innej kolejności
Również w tym przypadku po obu stronach wyrażenia występuje całka
lecz z innym znakiem. Wystarczy przenieść tę całkę na jedną stronę i wyliczyć, że:
Sposób III. Przy obliczeniu tej całki możemy posłużyć się także wzorem na całkowanie przez podstawianie. Przyjmując oraz , zauważamy, że funkcja podcałkowa jest postaci
Zatem możemy zastosować wzór całkowania przez podstawianie. W praktyce obliczenia zapisuje się w sposób przedstawiony poniżej (porównaj uwaga 13.13.), przy czym po wyborze dogodnego podstawienia (w tym wypadku) ) oblicza się pochodną, dopisując odpowiednio i po obu stronach równości. Jest to dogodne z praktycznego punktu widzenia, ponieważ możemy wówczas patrzeć na wzór w uwadze 13.13. jak na formalne podstawienie wyrażeń zawierających symbole i Piszemy zatem
Sposób IV. W naszym przykładzie możemy także dokonać podstawienia , ponieważ funkcja podcałkowa jest postaci (z dokładnością do znaku). Zatem mamy
Sposób V. Zauważmy w końcu, że całkę tę da się także obliczyć bez stosowania powyższych twierdzeń. Możemy bowiem skorzystać z tożsamości trygonometrycznej Mamy wówczas
przy czym ostatnią całkę odgadujemy (gdyż znamy pochodną funkcji więc dobieramy tylko odpowiedni współczynnik), bądź też obliczamy, stosując podstawienie
Zauważmy teraz, że w powyższych rozwiązaniach jako pierwotne funkcji otrzymaliśmy trzy różne funkcje:
Funkcje te są "istotnie różne" (to znaczy nie jest to ta sama funkcja zapisana w innej postaci). Dlaczego tak się dzieje? Wszystko wyjaśni się, jeśli obliczymy różnicę dowolnych dwóch z powyższych funkcji, na przykład
oraz
zatem dowolne dwie z powyższych funkcji różnią się o stałą. Zatem całki nieoznaczone wyszły w każdym przypadku takie same z dokładnością do wyboru jednej pierwotnej.
toggleSH(1) [Edytuj]Całkowanie funkcji wymiernych Zacznijmy od przypomnienia znanego ze szkoły twierdzenia.
Twierdzenie 13.15. [Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]
Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej to znaczy
gdzie stopień wielomianu wynosi
oraz
dla
Definicja 13.16. [ułamki proste]
Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:
oraz gdzie
Podamy twierdzenie, które pozwoli na obliczanie całki z dowolnej funkcji wymiernej. Ponieważ twierdzenie to "wygląda" dość formalnie, proponujemy przestudiować najpierw poniższy przykład. Przykład 13.17.
Zauważmy, że trójmian w mianowniku rozkłada się na iloczyn:
Spróbujmy, czy naszą funkcję wymierną można by zapisać w następującej postaci
Gdyby się to udało, to potrafilibyśmy w prosty sposób wyliczyć całkę z funkcji wymiernej (gdyż łatwo wyliczyć całki z obu składników po prawej stronie; porównaj uwaga 13.20. poniżej). Wymnażając stronami przez wspólny mianownik otrzymujemy
Porządkując powyższe wyrażenie i porównując współczynniki przy oraz wyrazy wolne po obu stronach, możemy łatwo wyliczyć, że oraz Zatem otrzymaliśmy rozkład
Możemy teraz policzyć całkę
toggleSH(2) To, że funkcję wymierną w powyższym przykładzie udało się rozłożyć na prostsze ułamki nie jest przypadkiem. Okazuje się, że funkcję wymierną można zawsze przedstawić jako sumę ułamków prostych. Jeśli zatem będziemy umieli scałkować ułamki proste, to dzięki liniowości całki będziemy potrafili scałkować dowolną funkcję wymierną (o ile jej mianownik efektywnie rozłożymy na czynniki stopnia co najwyżej drugiego). Kolejne twierdzenie o rozkładzie funkcji wymiernej na ułamki proste będzie więc bardzo przydatne w rachunkach.
Twierdzenie 13.18. [O rozkładzie na ułamki proste]
Niech będzie funkcją wymierną, gdzie Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji na ułamki proste oraz jeśli
Ponieważ stopień licznika jest większy od stopnia mianownika, więc musimy najpierw wydzielić wielomiany. Dokonując dzielenia licznika przez mianownik, dostajemy
Pozostaje do rozłożenia na ułamki proste druga funkcja wymierna. Zauważmy, że mianownik wynosi
oraz oba trójmiany kwadratowe są nierozkładalne. Zatem rozkład na ułamki proste jest postaci
Mnożąc stronami przez wspólny mianownik, dostajemy
Wykonując działania po prawej stronie i korzystając z faktu, że dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiednie współczynniki obu wielomianów są równe, dostajemy następujący układ równań
którego rozwiązaniem jest
Zatem ostatecznie mamy
toggleSH(3) Uwaga 13.20.
Korzystając z liniowości całki nieoznaczonej dla policzenia całki z funkcji wymiernej , wystarczy umieć policzyć całki z ułamków prostych. Znamy już całki z ułamków:
Całki z ułamków prostych postaci
będą policzone na ćwiczeniach (patrz ćwiczenie 13.4.).
[Edytuj]Całkowanie funkcji niewymiernych Zacznijmy od rozważenia następującej całki:
gdzie jest dowolnym wielomianem (stopnia ). Okazuje się, że istnieje ogólna metoda obliczania tego typu całek. Opiera się ona na twierdzeniu, które mówi, iż mamy następującą równość
gdzie jest wielomianem stopnia Współczynniki wielomianu
oraz stałą znajdujemy, licząc pochodną z obu stron powyższej równości (pamiętamy, że pochodna z całki to funkcja podcałkowa!) i mnożąc potem obie strony przez Dostaniemy wtedy:
skąd, porównując współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej znajdujemy współczynniki wielomianu oraz stałą Pozostaje jeszcze do obliczenia
którą przez odpowiednie podstawienie sprowadzamy do jednej z całek
lub (patrz twierdzenie 13.8.). Policzymy teraz pewną całkę, którą w przyszłości będziemy wielokrotnie wykorzystywać. Przykład 13.21.
Policzyć
gdzie jest stałą dodatnią. Aby użyć metody współczynników nieoznaczonych, zapiszmy
Wielomian jest stopnia , zatem
Stąd
skąd dostajemy układ równań
zatem
Pozostaje do policzenia Podstawiając (zatem ), mamy
Reasumując, mamy
Kolejne twierdzenie zawiera warunek konieczny i wystarczający istnienia pierwotnej elementarnej dla funkcji postaci oraz podaje sposób policzenia całki nieoznaczonej, jeśli pierwotna jest funkcją elementarną. Dowód twierdzenia pomijamy.
Twierdzenie 13.22.
Funkcja
gdzie ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków: (1) (robimy podstawienie gdzie jest wspólnym mianownikiem ułamków i ); (2)
(robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka ); (3)
(robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka ).
Przykład 13.23.
Które z funkcji mają pierwotną elementarną? Sprowadzić całki z funkcji, które mają pierwotną elementarną do całek z funkcji wymiernych. (1) (2) (3)
(2) Funkcja nie ma pierwotnej elementarnej, gdyż (3) Funkcja ma pierwotną elementarną, gdyż Wykonujemy podstawienie Wówczas czyli Dokonując tego podstawienia, mamy
toggleSH(4) Uwaga 13.24. [Podstawienia Eulera]
Do policzenia całki postaci
gdzie jest funkcją wymierną, można zastosować następujące podstawienia (tak zwane podstawienia Eulera):
Niech Podstawiamy
Niech Podstawiamy
Niech trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki to znaczy Podstawiamy
Przykład 13.25.
Całkę
sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, stosując pierwsze podstawienie Eulera. Podstawiamy
skąd
oraz
Podstawiając, dostajemy
czyli całkę z funkcji wymiernej, którą już umiemy policzyć. Teraz tę samą całkę sprowadzimy do całki z funkcji wymiernej, używając drugiego podstawienia Eulera. Podstawiamy
skąd
Podstawiając, dostajemy
czyli też całkę z funkcji wymiernej - co prawda nieco bardziej skomplikowaną niż poprzednia.
[Edytuj]Całkowanie wyrażeń zawierających funkcje trygonometryczne Uwaga 13.26.
Aby policzyć całkę
stosujemy podstawienie
i mamy
oraz
zatem Po podstawieniu dostajemy całkę
Przykład 13.27.
Obliczyć całkę
W całce tej stosujemy podstawienie
wówczas
i
Zatem
Uwaga 13.28.
Aby policzyć całkę
stosujemy podstawienie
i mamy
oraz
Zatem po podstawieniu dostajemy całkę
Przykład 13.29.
Obliczyć całkę
W całce tej stosujemy podstawienie
wówczas
i
Zatem
Zauważmy, że całkę tę liczyliśmy w przykładzie 13.27. Zatem