1 Definicja i wlasności funkcji
Definicja 1.1 Niech X i Y - niepuste zbiory. Funkcja przeksztalcajaca
X w Y nazywamy takie odwzorowanie f, które każdemu elementowi x " X
przyporzadkowuje dokladnie jeden element y " Y. Piszemy wówczas y = f(x).
Zbiór X nazywać bedziemy dziedzina funkcji f.
Definicja 1.2 Niech f : X Y, A ‚" X, B ‚" Y.
Zbiór f(A) = {f(a) : a " A} nazywamy obrazem zbioru A w funkcji f.
Zbiór f-1(B) = {a " X : f(a) " B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B w
funkcji f.
W szczególnoÅ›ci zbiór f(X) ‚" Y nazywamy zbiorem wartoÅ›ci funkcji f.
1
Definicja 1.3 Funkcje f : X Y nazwiemy:
" różnowartościowa, gdy dla dowolnych x1, x2 " X warunek x1 = x2

pociaga za soba f(x1) = f(x2).

"  na Y  , gdy f(X) = Y
" wzajemnie jednoznaczna, jeżeli spelnia poprzednie dwa warunki.
Definicja 1.4 Niech f : X Y, wzajemnie jednoznaczna. Wówczas istnieje
dokladnie jedna taka funkcja f-1 : Y X, że dla dowolnego x " X i dowolnego
y " Y
y = f(x) Ð!Ò! x = f-1(y)
Te funkcje nazywamy funkcja odwrotna do f.
Definicja 1.5 Niech f : X Y, g : Y Z. Funkcje h : X Z dana wzorem
h(x) = g f(x)
nazywamy zlożeniem lub superpozycja funkcji f i g i oznaczamy przez g ć% f.
Definicja 1.6 Niech f : X Y, A ‚" X. Funkcje f|A : A Y dana wzorem
f|A(x) = f(x) dla x " A
bedziemy nazywać obcieciem funkcji f do zbioru A.
2
Definicja 1.7 Powiemy, że funkcja f : E R, gdzie E ‚" R jest
" rosnaca (odp. niemalejaca), gdy dla dowolnych x1, x2 " E warunek
x1 < x2 pociaga za soba warunek f(x1) < f(x2) (odp. f(x1) d" f(x2)).
" ograniczona z góry, gdy istnieje taka liczba M " R, że dla dowolnego
x " E zachodzi f(x) < M.
" ograniczona, gdy istnieje taka liczba M " R, że dla dowolnego x " E
zachodzi |f(x)| < M.
" parzysta (odp. nieparzysta), gdy dla dowolnego x " E zachodzi
(-x) " E i f(-x) = f(x) (odp. f(-x) = -f(x)).
" okresowa, gdy istnieje taka liczba T > 0, że dla dowolnego x " E i
dowolnej liczby calkowitej k zachodzi x + kT " E i f(x + kT ) = f(x).
3
2 Ciagi liczbowe
Definicja 2.1 Ciagiem liczbowym nazwiemy dowolna funkcje o wartościach
rzeczywistych, określona na zbiorze liczb naturalnych. Ciagi tradycyjnie ozna-
czamy poczatkowymi literami alfabetu, stosujemy też notacje an zamiast a(n).
Definicja 2.2 Powiemy, że liczba g jest granica ciagu (an)n"N, gdy dla do-
wolnego > 0 istnieje taka liczba N, że dla dowolnego naturalnego n > N
spelniona jest nierówność |an - g| < . Symbolicznie bedziemy zapisywać ten
fakt nastepujaco
lim an = g lub an g.
n"
Bedziemy też mówić, że ciag an jest zbieżny do g.
Definicja 2.3 Powiemy, że +" (odp. -") jest granica ciagu (an)n"N, gdy dla
dowolnego M " R istnieje taka liczba N, że dla dowolnego naturalnego n > N
spelniona jest nierówność an > M (odp. an < M). Bedziemy też mówić, że
ciag an jest rozbieżny do +" (odp. do -".)
4
Twierdzenie 2.1 Ciag zbieżny jest ograniczony.
Twierdzenie 2.2 Ciag monotoniczny i ograniczony jest zbieżny.
Twierdzenie 2.3 Dowolny ciag ma co najwyżej jedna granice.
Twierdzenie 2.4 (o zachowaniu nierówności) Jeżeli an g, przy czym
an d" M dla prawie wszystkich n " N to g d" M.
Twierdzenie 2.5 (o trzech ciagach) Jeżeli dla prawie wszystkich n " N
an d" bn d" cn, przy czym limn" an = limn" cn = g to limn" bn = g.
5
Twierdzenie 2.6 Niech limn" an = a i limn" bn = b. Wówczas
lim (an + bn) = a + b, lim (an - bn) = a - b lim an · bn = a · b.
n" n" n"
Jeżeli dodatkowo bn = 0 dla n " N i b = 0, to również

an a
lim = .
n"
bn b
Twierdzenie 2.7 Niech limn" an = a " R i limn" bn = +". Wówczas
+" gdy a > 0
lim (an + bn) = +", lim (an · bn) =
n" n"
-" gdy a < 0
Lista symboli nieoznaczonych:
0 "
" - ", 0 · ", , , 00, "0, 1".
0 "
6
3 Granica funkcji
Definicja 3.1 Niech E ‚" R, x0 " R. Powiemy, że punkt x0 jest punktem
skupienia zbioru E jeżeli istnieje ciag xn elementów zbioru E, różnych od x0,
zbieżny do x0.
Definicja 3.2 Niech E ‚" R, x0 " R. Powiemy, że punkt x0 jest punktem
prawostronnego skupienia zbioru E jeżeli istnieje ciag xn elementów zbioru
E, wiekszych od x0, zbieżny do x0.
Definicja 3.3 (granicy funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech
f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy, że liczba g
(ew. równa + -") jest granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego ciagu
(xn)n" elementów zbioru E \ {x0} zbieżnego do x0 ciag f(xn) da ży do g.
Definicja 3.4 (granicy prawostronnej funkcji w punkcie, w sensie He-
inego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt prawostronnego skupienia w
x0. Powiemy, że liczba g jest granica prawostronna funkcji f w punkcie x0 gdy
dla dowolnego ciagu (xn)n" elementów zbioru E )" (x0, ") zbieżnego do x0
ciag f(xn) da ży do g.
7
Definicja 3.5 (granicy funkcji w punkcie, w sensie Cauchy ego) Niech
f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy, że liczba g jest
granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego > 0 istnieje ´ > 0 taka, że
dla dowolnego x " E )" ((x0 - ´, x0) *" (x0, x0 + ´)) zachodzi |f(x) - g| < .
Definicja 3.6 (granicy niewlaściwej funkcji w punkcie, w sensie Cau-
chy ego) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0. Powiemy,
że liczba +" jest granica funkcji f w punkcie x0 gdy dla dowolnego M " R
istnieje ´ > 0 taka, że dla dowolnego x " E )"((x0 -´, x0)*"(x0, x0 +´)) zachodzi
f(x) > M.
Definicja 3.7 (granicy funkcji w nieskończoności, w sensie Cauchy ego)
Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w +" Powiemy, że liczba
g jest granica funkcji f w +" gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba M " R
taka, że dla dowolnego x " E )" (M, +") zachodzi |f(x) - g| < .
8
Twierdzenie 3.1 Pojecia granicy funkcji w sensie Cauchy ego i w sensie He-
inego pokrywaja sie.
Twierdzenie 3.2 Odnośnie granicy sumy funkcji w punkcie zachodza twier-
dzenia analogiczne do wcześniejszych twierdzeń dla ciagów.
9
4 Ciaglość funkcji
Definicja 4.1 (ciaglości funkcji w punkcie, w sensie Heinego) Niech
f : E R, x0 " E. Powiemy, że funkcja f jest ciagla w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciagu (xn) elementów zbioru E, zbieżnego do
x0 ciag f(xn) da ży do f(x0).
Definicja 4.2 (ciaglości funkcji w punkcie, w sensie Cauchy ego) Niech
f : E R, x0 " E. Powiemy, że funkcja f jest ciagla w punkcie x0 wtedy i
tylko wtedy, gdy dla dowolnego > 0 istnieje liczba ´ > 0 taka, że dla dowolnego
x " E )" (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi |f(x) - f(x0)| < .
Twierdzenie 4.1 (zwiazek pomiedzy pojeciami granicy i ciaglości
funkcji) Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0, przy
czym x0 " E. Wówczas funkcja f jest ciagla w x0 wtedy i tylko wtedy gdy
granica limxx f(x) istnieje i jest równa f(x0).
0
Twierdzenie 4.2 (o lokalnym zachowaniu znaku.) Jeżeli f jest funkcja
ciagla w punkcie x0 oraz f(x0) > 0 to istnieje taka liczba dodatnia ´, że dla
x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi f(x) > 0.
Definicja 4.3 Niech f : E R. Jeżeli f jest ciagla w każdym punkcie x " E
powiemy, że f jest ciagla w E.
10
5 Wlasności funkcji ciaglych na przedziale.
Definicja 5.1 Niech f : I R, gdzie I jest pewnym przedzialem. Powiemy,
że f ma na I wlasność Darboux, jeżeli dla dowolnych a, b " I, a < b i dla
dowolnego y leżacego miedzy f(a) i f(b) (nie precyzujac, która z tych liczb jest
wieksza), istnieje taka liczba c " (a, b), że f(c) = y.
Twierdzenie 5.1 Funkcja f ciagla na przedziale I ma tam wlasność Darboux.
Twierdzenie 5.2 (Weierstrassa) Jeżeli funkcja f jest ciagla na przedziale do-
mknietym [a, b] to
1. f jest ograniczona oraz
2. istnieja takie punkty x, y " [a, b] że f(x) = M oraz f(y) = m, gdzie
M = sup{f(t) : t " I} i m = inf{f(t) : t " I}. O takiej sytuacji mówimy,
że funkcja przyjmuje swoje kresy.
11
6 Pochodna funkcji
Definicja 6.1 Niech f : E R, i niech E posiada punkt skupienia w x0, przy
czym x0 " E. Pochodna funkcji f w punkcie x0 nazywamy liczbe
f(x) - f(x0)
f (x0) = lim
xx0 - x0
x
(o ile granica istnieje.) Granice te można też zapisać tak:
f(x0 + h) - f(x0)
f (x0) = lim .
h0 h
Definicja 6.2 Powiemy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x0, jeżeli
posiada w tym punkcie pochodna skończona.
Twierdzenie 6.1 (Warunek konieczny różniczkowalności) Niech f : E R,
x0 " E i x0 - punkt skupienia zbioru E. Jeżeli f jest różniczkowalna w x0, to
jest tam ciagla.
Twierdzenie 6.2 (Różniczkowanie funkcji zlożonej) Niech E, F ‚" R. Jeżeli
funkcja g : E F jest różniczkowalna w x0 a funkcja f : F R jest
różniczkowalna w u0 = g(x0), to funkcja f ć%g jest różniczkowalna w x0 i zachodzi
wzór:
(f ć% g) (x0) = f (g(x0)) · g (x0).
Twierdzenie 6.3 (O pochodnej funkcji odwrotnej) Jeżeli funkcja f jest ściśle
monotoniczna i ciagla na pewnym przedziale otwartym I, x0 " I oraz istnieje
pochodna f (x0) = 0, to funkcja odwrotna f-1 posiada w punkcie y0 = f(x0)

pochodna równa
1
f-1 (y0) =
f (x0).
12
Twierdzenie 6.4 (O pochodnej sumy, iloczynu i ilorazu) Jeżeli funkcje f i g sa
różniczkowalne w punkcie x0 to funkcje f + g, Ä… · f, f · g też sa różniczkowalne
i zachodza zwiazki
" f + g (x0) = f (x0) + g (x0),
" f - g (x0) = f (x0) - g (x0),
" Ä…f (x0) = Ä… · f (x0),
" f · g (x0) = f (x0) · g(x0) + f(x0) · g (x0).
a jeżeli dodatkowo g(x0) = 0 to

f f (x0)·g(x0)-f(x0)·g (x0)
" (x0) = .
g g2(x0)
Definicja 6.3 Niech f : (a, b) R, x0 " (a, b). Powiemy, że funkcja f ma w
x0 maksimum (odp. minimum) lokalne, jeżeli istnieje taka liczba ´ > 0, że
dla dowolnego x " (x0 - ´, x0 + ´) zachodzi f(x) d" f(x0) (odp. f(x) e" f(x0)).
Maksima i minima obejmujemy wspólna nazwa - ekstremum.
Twierdzenie 6.5 (Warunek konieczny istnienia ekstremum) Niech f : (a, b) R,
x0 " (a, b). Jeżeli f jest różniczkowalna w x0 i ma w x0 ekstremum lokalne, to
f (x0) = 0.
13
Twierdzenie 6.6 (Rolle a) Niech f : [a, b] R bedzie ciagla na przedziale
[a, b] i różniczkowalna na (a, b). Jeżeli dodatkowo f(a) = f(b) to istnieje taki
punkt c " (a, b), że f (c) = 0.
Twierdzenie 6.7 (Lagrange a) Niech f : [a, b] R bedzie ciagla na przedziale
[a, b] i różniczkowalna na (a, b). Istnieje taki punkt c " (a, b), że
f(b) - f(a)
f (c) = .
b - a
Wnioski z twierdzenia Lagrange a.
Wniosek 6.1 ( Zwiazek pomiedzy monotonicznościa funkcji, a znakiem po-
chodnej na przedziale) Niech f : (a, b) R, różniczkowalna na (a, b). Jeżeli dla
wszystkich x " (a, b) f (x) > 0 to f jest rosnaca na (a, b).
Wniosek 6.2 J eżeli f : (a, b) R jest różniczkowalna na (a, b) i dla każdego
x " (a, b) f (x) = 0, to f jest funkcja stala.
Wniosek 6.3 J eżeli f, g : (a, b) R sa różniczkowalne na (a, b) i maja tam
równe pochodne, to f i g różnia sie o stala.
14
Twierdzenie 6.8 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji
(1) Jeżeli funkcja f : (a, b) R, x0 " (a, b), f jest ciagla w x0 i różniczkowalna
na pewnym sasiedztwie (x0 - , x0) *" (x0, x0 + ) punktu x0 oraz
f (x) < 0 dla x " (x0 - , x0) i f (x) > 0 dla x " (x0, x0 + )
to f posiada w x0 minimum lokalne.
Definicja 6.4 Pochodna jako funkcja Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna
na zbiorze E, to funkcje
f : x f (x)
nazywamy pochodna funkcji f na E.
15
7 Regula de L Hospitala
Twierdzenie 7.1 Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w pewnym otoczeniu
punktu x0 oraz limxx f(x) = limxx g(x) = 0 i istnieje granica
0 0
f (x)
lim
xx0
g (x)
(skończona lub nie), to istnieje też granica
f(x) f (x)
lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
Twierdzenie 7.2 Jeżeli funkcje f i g sa różniczkowalne w pewnym otoczeniu
punktu x0 oraz limxx f(x) = limxx g(x) = " i istnieje granica
0 0
f (x)
lim
xx0
g (x)
(skończona lub nie) to istnieje też granica
f(x) f (x)
lim = lim .
xx0 xx0
g(x) g (x)
Powyższe dwa twierdzenia odnosza sie też do granic jednostronnych i granic
w nieskończoności.
16
8 Pochodne wyższych rzedów
Definicja 8.1 Jeżeli pochodna f funkcji f jest różniczkowalna na zbiorze E, to
jej pochodna nazywamy druga pochodna funkcji f i oznaczamy symbolem f .
Ogólnie, jeżeli pochodna n-tego rzedu funkcji f jest różniczkowalna na pewnym
zbiorze E, to jej pochodna nazwiemy pochodna n + 1-go rzedu (lub n + 1-
wsza pochodna) funkcji f.
Twierdzenie 8.1 Warunek wystarczajacy istnienia ekstremum funkcji
(2) Jeżeli funkcja f : (a, b) R, x0 " (a, b), f jest różniczkowalna w pewnym
otoczeniu punktu x0, przy czym f (x0) = 0 oraz jest dwukrotnie różniczkowalna
w x0, przy czym f (x0) > 0 to f posiada w x0 minimum lokalne.
Definicja 8.2 Niech f : (a, b) R. Powiemy, że funkcja f jest wypukla na
przedziale (a, b), jeżeli dla dowolnych p, q " (a, b) i dla dowolnej liczby  " (0, 1)
zachodzi warunek:
f  · p + (1 - ) · q <  · f(p) + (1 - ) · f(q).
Definicja 8.3 Niech f : (a, b) R. Powiemy, że funkcja f jest wklesla na
przedziale (a, b), jeżeli dla dowolnych p, q " (a, b) i dla dowolnej liczby  " (0, 1)
zachodzi warunek:
f  · p + (1 - ) · q >  · f(p) + (1 - ) · f(q).
17
Twierdzenie 8.2 (warunek wystarczajacy wypuklości funkcji) Niech f : (a, b)
R bedzie funkcja dwukrotnie różniczkowalna w (a, b). Jeżeli f (x) > 0 dla
każdego x " (a, b), to f jest wypukla na (a, b).
Twierdzenie 8.3 (warunek wystarczajacy wkleslości funkcji) Niech f : (a, b)
R bedzie funkcja dwukrotnie różniczkowalna w (a, b). Jeżeli f (x) < 0 dla
każdego x " (a, b), to f jest wklesla na (a, b).
Definicja 8.4 Niech f : (a, b) R, i niech x0 " (a, b). Powiemy, że wykres
funkcji f ma w x0 punkt przegiecia (lub, że punkt (x0, f(x0)) jest punktem
przegiecia wykresu funkcji f) jeżeli:
1. Funkcja f ma w x0 pochodna (niekoniecznie skończona.)
2. Funkcja f jest ciagla w x0.
3. f jest wypukla (wklesla) w pewnym przedziale (x0 - , x0) i wklesla (wy-
pukla) w pewnym przedziale (x0, x0 + ) dla pewnego > 0.
Twierdzenie 8.4 (warunek konieczny istnienia punktu przegiecia) Jeżeli f :
(a, b) R jest dwukrotnie różniczkowalna w punkcie x0 i ma tam punkt
przegiecia to f (x0) = 0.
Definicja 8.5 O funkcji f : (a, b) R powiemy, że jest klasy Cn, jeżeli jest ona
n krotnie różniczkowalna na (a, b), a jej n-ta pochodna jest ciagla. O funkcjach,
które należa do cześci wspólnej wszystkich klas Cn powiemy, że sa klasy C".
Przyklad 8.1 Nie każda funkcja różniczkowalna jest klasy C1. Niech np.
1
x2 sin(x ) gdy x = 0

f(x) =
0 gdy x = 0
Wówczas f jest różniczkowalna na calej prostej, lecz jej pochodna nie ma granicy
w punkcie 0 (a tym samym nie jest ciagla).
18
9 Funkcja pierwotna i calka nieoznaczona
Definicja 9.1 Niech f, F : (a, b) R. Powiemy, że F jest funkcja pierwotna
funkcji f na przedziale (a, b), jeżeli F jest różniczkowalna i
F (x) = f(x) dla x " (a, b).
Przyklad Funkcje F (x) = ln(x) i G(x) = ln(8x) maja na przedziale (0, ")
te sama pochodna :
1
F (x) = G (x) =
x
1
zatem funkcja posiada dwie różne funkcje pierwotne.
x
Niech F bedzie funkcja pierwotna funkcji f na przedziale (a, b), i niech
G(x) = F (x) + C dla x " (a, b), gdzie C jest dowolna stala. Wówczas, jak
latwo zauważyć, G też jest pierwotna funkcji f na (a, b). Prawdziwe też jest
twierdzenie odwrotne:
Twierdzenie 9.1 Jeżeli F i G sa pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale
(a, b) to istnieje taka stala C, że G(x) = F (x) + C dla x " (a, b).
Dowód tego twierdzenia opiera sie wprost na wnioskach z tw. Lagrange a.
Definicja 9.2 Niech f : (a, b) R. Calka nieoznaczona z funkcji f na (a, b)
nazywamy rodzine wszystkich jej funkcji pierwotnych na tym przedziale. Calke
nieoznaczona bedziemy zapisywać nastepujaco
f(x) dx.
Zgodnie z ostatnim twierdzeniem, znajac jedna funkcje pierwotna funkcji f
możemy uzyskać wszystkie, dodajac dowolne stale. Stad, jeżeli F jest pierwotna
funkcji f na (a, b), bedziemy pisać
f(x) dx = F (x) + C.
19
Tym samym szukanie calki nieoznaczonej sprowadza sie do szukania pewnej
funkcji pierwotnej.
Uwaga - podkreślić trzeba, że ostatnie twierdzenia odnosza sie tylko do sy-
tuacji, gdy f określona jest na przedziale.
10 Podstawowe calki
Poniżej zamieszczam podstawowe wzory pomocne w calkowaniu. Każdy z nich
obowiazuje na dowolnym przedziale zawartym w dziedzinie funkcji podcalkowej.
0 dx = C (1)
1 dx = x + C (2)
1
xÄ… dx = xÄ…+1 + C o ile Ä… = -1 (3)

Ä… + 1
1
dx = ln |x| + C (4)
x
ex dx = ex + C (5)
1
ax dx = ax + C gdzie a " (0, 1) *" (1, ") (6)
ln a
sin x dx = - cos x + C (7)
cos x dx = sin x + C (8)
1
dx = -ctgx + C (9)
sin2 x
1
dx = tgx + C (10)
cos2 x
1
dx = arctgx + C (11)
1 + x2
1
" dx = arcsin x + C (12)
1 - x2
20
Twierdzenie 10.1 Niech f i g posiadaja funkcje pierwotne na przedziale (a, b).
Wówczas f + g też posiada funkcje pierwotna, i
f(x) + g(x) dx = f(x) dx + g(x) dx.
Jeżeli k = 0 jest stala, to

kf(x) dx = k f(x) dx.
21
11 Calkowanie przez podstawienie i przez cześci.
Twierdzenie 11.1 O calkowaniu przez podstawienie Jeżeli
1. funkcja g jest ciagla na przedziale [Ä…, ²],
2. funkcja h jest klasy C1 na przedziale [a, b]
3. funkcja h przeksztalca przedzial [a, b] na przedzial [Ä…, ²]
to jeżeli G(t) jest funkcja pierwotna funkcji g na [Ä…, ²], to funkcja G(h(x)) jest
pierwotna funkcji (g(h(x)) · h (x)) na przedziale [Ä…, ²].
Twierdzenie 11.2 O calkowaniu przez cześci Jeżeli funkcje f i g sa klasy
C1 na pewnym przedziale, wówczas na tym przedziale
f(x)g (x) dx = f(x)g(x) - f (x)g(x) dx.
22