Mariusz Kaszubowski
Katedra Statystyki
Wydział Zarządzania i Ekonomii
Politechnika Gdańska
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zmienna losowa i jej rozkład
Statystyka matematyczna
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Podstawowe pojęcia
" Zmienna losowa (skokowa, ciągła)
" Rozkład prawdopodobieństwa, dystrybuanta rozkładu dla zmiennej
skokowej i ciągłej, funkcja gęstości rozkładu zmiennej losowej
ciągłej
" Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej skokowej i ciągłej
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład teoretyczny punktowy
" rozkład teoretyczny punktowy tworzymy dla
zmiennej skokowej
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład teoretyczny przedziałowy
" rozkład teoretyczny przedziałowy tworzymy dla
zmiennej ciągłej
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Parametry rozkładów zmiennych
losowych skokowych
µ = E(X ) = Å" pi = m pi = P X = xi
" Wartość oczekiwana ( )
"xi
i
2 2
2 2
à = D2 X = xi - m Å" pi = E X - E X
( )
( ) ( ) ( )
( )
" Wariancja
"
i
2
D X = D2 X = Ã = Ã
( ) ( )
" Odchylenie standardowe ( ) ( )
D X
( ) Ã
" Współczynnik zmienności
V (X ) = Å"100% = Å"100%
E X m
( )
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Parametry rozkładów zmiennych
losowych ciągłych
"
E X = x Å" f x dx = m
( ) ( )
" Wartość oczekiwana
+"
-"
"
2
2
2 2
D2 X = x - m Å" f x dx = E X - E X = Ã
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
" Wariancja
+"
-"
2
" Odchylenie standardowe D X = D2 X = Ã = Ã
( ) ( )
D X
( ) Ã
V (X ) = Å"100% = Å"100%
" Współczynnik zmienności
E X m
( )
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 1
" Dla zmiennej losowej przedstawiajÄ…cej liczbÄ™ bramek strzelonych w
poszczególnych meczach piłki nożnej w lidze Ekstraklasy rundy
jesiennej 2008/2009 przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej
zmiennej oraz oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną,
wariancję oraz współczynnik zmienności).
" Plik o nazwie  ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu
" Plik o nazwie  ekstraklasa runda jesienna ilość bramek w meczu
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
RozwiÄ…zanie
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 2
" Dla zmiennej losowej przedstawiającej wyniki ankiet odnośnie
miesięcznych wydatków na środki pielęgnacyjne kobiet w wieku 20-
40 lat przedstaw odpowiedni rozkład teoretyczny tej zmiennej oraz
oblicz parametry rozkładu (wartość oczekiwaną, wariancję oraz
współczynnik zmienności).
" Plik  miesięczne wydatki kobiet na waciki
" Plik  miesięczne wydatki kobiet na waciki
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
RozwiÄ…zanie
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkłady zmiennych losowych
" skokowych " ciągłych
 zero-jedynkowy  jednostajny
 dwumianowy Bernoulliego  normalny Gaussa
 Poissona  chi kwadrat Abbego
 hipergeometryczny  Studenta
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład Bernoulliego
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 1
W pomieszczeniu sypialnym domownicy zlokalizowali 10
osobników Culex pipiens (komary). Zastosowano środek
owadobójczy o skuteczności 90%. Niech zmienną losową będzie
ilość owadów, które przeżyły po zastosowaniu w pomieszczeniu
preparatu. Określ parametry rozkładu tej zmiennej losowej oraz
oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń:
oblicz następujące prawdopodobieństwa zdarzeń:
a) żaden owad nie przeżyje
b) wszystkie owady przeżyją
c) dokładnie jeden owad przeżyje
d) co najwyżej 3 owady przeżyją
e) co najmniej 2 owady przeżyją
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
RozwiÄ…zanie
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład Poissona
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Przykład
W pewnej firmie po analizie danych historycznych stwierdzono, że w
procesie produkcyjnym występują dziennie, średnio 3,84 wadliwe
produkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybranych
dniu liczba wadliwych produktów wyniesie 5?
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład geometryczny
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Przykład
Prawdopodobieństwo znalezienia wadliwego produktu wynosi 0,01.
Oblicz prawdopodobieństwo, że podczas kontroli dopiero 70-ta
sprawdzona sztuka będzie wadliwa oraz prawdopodobieństwo, że
musi być sprawdzone ponad 50 sztuk by wykryć pierwszą wadliwą
sztukÄ™.
sztukÄ™.
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład normalny
" Przykłady zmiennych charakteryzujące się rozkładem normalnym
 wzrost
 waga
 poziom IQ
 temperatura ciała
 średnia roczna temperatura
 średnia roczna temperatura
" Przykłady zmiennych, których rozkład nie jest normalny
 prędkość wiatru
 długość ciąży kobiet
 długość dzioba zięby afrykańskiej
 dobowa temperatura w okresie zimowym
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład normalny
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład normalny standardowy
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład normalny
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 2
Ciężar jajek dostarczanych do skupu ma rozkład normalny ze
średnią 2 dag i wariancją 0,1. Jajko kwalifikuję się do odpowiedniej
klasy w zależności od masy co przedstawia poniższe zestawienie:
klasa S masa <= 1,5 dag
klasa S masa <= 1,5 dag
klasa M 1,5 dag < masa <= 2,1 dag
klasa L 2,1 dag< masa <= 2,7 dag
klasa XL masa > 2,7 dag
Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz jaki procent jajek
dostarczonych do skupu to jajka klasy a) S, b) M, c) L, d) XL.
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
RozwiÄ…zanie
Statistica 8.0  statystyka - kalkulator prawdopodobieństw
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 3
Wzrost dzieci w pewnej grupie przedszkolnej jest zmiennÄ… losowÄ…
o rozkładzie normalnym o wartości średniej 105 cm i wariancji
400. Określ parametry rozkładu oraz odpowiedz na następujące
pytania.
Jaki procent dzieci to te wzroście:
a) mniejszym niż 92 cm
b) większym niż 120 cm
c) większym niż 100 cm ale mniejszym niż 115 cm
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
RozwiÄ…zanie
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Zadanie 4
Pewne urządzenie produkuje kostki masła. Zakładamy, że masa
wyprodukowanego produktu ma rozkład normalny o średniej 250 g
i odchyleniu standardowym 5g. Prawdopodobieństwo tego, że
kostka masła przekroczy masę M wynosi 0,05 zaś będzie poniżej
masy m wynosi 0,13. Oblicz masy M, m.
M = 258,22426
m = 244,36804
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Rozkład wykładniczy
Statystyka  Mariusz Kaszubowski
Przykład
Linia produkcyjna średnio 2 razy wciągu miesiąca jest zatrzymywana z
powodu awarii. Oblicz prawdopodobieństwo, że linia produkcyjna
zostanie zatrzymana ponownie:
a) póz
niej niż 15 miesięcy
b) wcześniej niż 20 miesięcy
c) zatrzymana będzie nie wcześniej niż za 10 i nie póz
niej niż za 15
miesięcy
miesięcy
Statystyka  Mariusz Kaszubowski