R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
15. nodarb%2łba
Nodarb%2łbas saturs: Logaritmisk atvasinaana. Apslpt veid dotu
funkciju atvasinaana. Parametriski dotu funkciju atvasinaana. Funkcijas
diferencilis, t #eometrisk un mehnisk interpretcija.
15.1. Logaritmisk atvasinaana
Apskat%2łsim funkciju y = xx . Ts atvasinaanai neder pakpes funkcijas
atvasinaanas formula (xą )2 = ąxą -1, ne ar%2ł eksponentfunkcijas atvasinaanas formula
x x
(a )2 = a ln a , jo pakpes funkcijai kpintjs ą ir konstants skaitlis, eksponentfunkcijai
bze a ir konstante, bet dotajai funkcijai gan bze, gan kpintjs ir main%2łgi lielumi.
Td gad%2łjum izmanto citu atvasinaanas metodi, ko sauc par logaritmisko atvasinaanu.
g(x)
Aplkkosim vispr%2łgu funkciju y = ( f (x)) ar main%2łgu bzi un main%2łgu
kpintju. Lai to vartu atvasint, funkciju vispirms logaritmsim ar bzi e:
g(x)
ln y = ln( f (x)) .
Izmantosim logaritmu %2łpaa%2łbu ln ab = b ln a :
ln y = g(x)ln( f (x)).
Atvasinsim to:
1 1
2 2 2
" y = g (x)ln f (x)+ g(x)" " f (x).
y f (x)
No pdjs sakar%2łbas izteiksim
2 ś# # 2 ś#
# f (x)ź#y jeb y2 ś# g2 (x)ln f (x)+ g(x)" f (x)ź# "( f (x)) .
g(x)
2 2
y = ś# g (x)ln f (x)+ g(x)" =
ś# ś#
f (x)ź# f (x)ź#
# # # #
Piemri:
1 1
2 2
1. y = xx , ln y = ln xx , ln y = x ln x , " y = 1" ln x + x " , y = (ln x +1)y ,
y x
2
y = (ln x +1)xx .
cos 3x cos 3x
2. y = (sin 2x) , ln y = ln(sin 2x) , ln y = cos3x ln(sin 2x),
15. nodarb%2łba. 1. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2
y 1
= -sin 3x " 3" ln(sin 2x)+ cos3x " " cos 2x " 2 ,
y sin 2x
cos 3x
2
y = (- 3sin 3x ln(sin 2x)+ 2cos3x " tg 2x)"(sin 2x) .
Logaritmisko atvasinaanu rti lietot ar%2ł gad%2łjum, kad jatvasina vairku funkciju
reizinjums vai dal%2łjums.
e5x arcsin3 6x
Piemrs. Atrast atvasinjumu funkcijai y = .
7
(3 + x3)
Vispirms doto funkciju logaritmsim:
e5x arcsin3 6x
ln y = ln .
7
(3 + x3)
a
Izmantosim logaritma %2łpaa%2łbas ln(a " b) = ln a + ln b un ln = ln a - ln b :
b
7
2
ln y = ln e5x + ln arcsin3 6x - ln(3 + x3) .
Vl prveidosim labs puses izteiksmi, Femot vr formulas ln ab = b ln a un ln ea = a :
7
ln y = 5x + 3ln arcsin 6x - ln(3 + x3).
2
Atvasinsim abas viend%2łbas puses:
2
y 1 1 7 1
= 5 + 3" " " 6 - " " 3x2
2
y arcsin 6x 2 3 + x3
1- (6x)
2
un izteiksim y :
#
18 21x2 ś# e5x arcsin3 6x
ś#5
2
y = + - .
ś# ź#
7
arcsin 6x 1- 36x2 2(3 + x3)ź#
# #
(3 + x3)
15.2. Apslpt veid dotu funkciju atvasinaana
Apslpt veid dotas funkcijas atvasina, izmantojot saliktas funkcijas
atvasinaanas formulu. Aplkkosim to uz konkrta piemra:
y3 + 2x2 y + 3xy2 - 6 = 0 .
Atvasinsim viendojuma abas puses, Femot vr, ka y ir funkcija no x:
15. nodarb%2łba. 2. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
2 2 2
3y2 " y + 2(2xy + x2 y )+ 3(1" y2 + x " 2yy )- 0 = 0 jeb
2 2 2
3y2 y + 4xy + 2x2 y + 3y2 + 6xyy = 0.
2
No iegkt viendojuma izteiksim y :
2
y (3y2 + 2x2 + 6xy)= -4xy - 3y2 ,
4xy + 3y2
2
y = - .
3y2 + 2x2 + 6xy
Aplkkosim vl vienu piemru.
y
x
Piemrs. Noteikt atvasinjumu funkcijai, kura dota ar viendojumu ln(5x + y)- e = 3 .
y
2
1 y x - y "1
x
2
"(5 + y )- e " = 0 ,
5x + y x2
y
x
2 2
(5 + y )x2 - e (y x - y)(5x + y)
= 0 ,
(5x + y)x2
y y y y
x x x x
2 2 2
5x2 + x2 y - 5x2 y e - xyy e + 5xye + y2e = 0 ,
y y y y
# ś#
x x x x
ś# ź#
2
y x2 - 5x2e - xye = -5x2 - 5xye - y2e ,
ś# ź#
# #
y y
x x
5x2 + 5xye + y2e
2
y = - .
y y
x x
x2 - 5x2e - xye
15.3. Parametriski dotu funkciju atvasinaana
x = x(t).
ż#
PieFemsim, ka jatvasina parametriski dota funkcija
#y = y(t) Noteiksim y
#
atvasinjumu pc x:
2
"y "y "t "y "x yt
ś#
2
yx = lim = lim# " = ["x 0 ! "t 0]= lim : lim = .
ś# ź#
"x0 "x0 "t0 "t0
2
"x "t "x "t "t xt
# #
15. nodarb%2łba. 3. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
x = x(t) atvasinjumu pc x, funkcijas
ż#
Ttad, lai noteiktu parametriski dotas funkcijas
#y = y(t)
#
y(t) un x(t) jatvasina pc parametra t un aie atvasinjumi jizdala:
2
yt
2
yx = .
2
xt
Piemri.
2
ż# ż# 2 2
x = t3 +1 xt = 3t yt 4t + 5
2
1. , , yx = = .
# #
2 2
2
2 xt 3t
= 4t + 5
#y = 2t + 5t #yt
ż# ż#
x = cos3 2t x = 3cos2 2t "(- sin 2t)" 2
2. , ,
# #
2
y = sin3 2t y = 3sin 2t " cos 2t " 2
# #
2
2
yt 6sin 2t cos 2t sin 2t
2
yx = = = - = -tg 2t .
2
xt - 6cos2 2t sin 2t cos 2t
15.4. Funkcijas diferencilis, t #eometrisk interpretcija
K piemru apskat%2łsim funkciju y = x3 . Noteiksim a%2łs funkcijas pieaugumu
3 2 3 2 3
"y = (x + "x) - x3 = x3 + 3x2"x + 3x("x) + ("x) - x3 = 3x2"x + 3x("x) + ("x) .
Pirmais saskaitmais taj 3x2"x ir liners attiec%2łb pret argumenta pieaugumu "x ,
2 3
savukrt prjie saskaitmie 3x("x) + ("x) ir nelineri attiec%2łb pret argumenta
pieaugumu "x . Eemsim x = 1 un apr7insim funkcijas pieauguma vrt%2łbu da~dm
argumenta pieauguma vrt%2łbm. Rezulttus apkoposim tabul:
Nelinero locek<u summa
Linerais loceklis
"y
"x
2 3
3x2"x 3x("x) + ("x)
0,1 0,331 0,3 0,031
0,01 0,030301 0,03 0,000301
0,001 0,003003001 0,003 0,000003001
No tabulas redzams, ka, samazinoties argumenta pieaugumam "x , funkcijas pieauguma
nelinerie locek<i samazins daudz straujk nek linerais loceklis. Ja "x 0 , tad
funkcijas pieaugums ir aptuveni viends ar t linero locekli, t.i. "y H" 3x2"x .
15. nodarb%2łba. 4. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Aplkkosim vispr%2łgu funkciju y = f (x). PieFemsim, ka aai funkcijai punkt x
"y
2
eksist atvasinjums f (x) = lim . Tad pc funkcijas robe~as defin%2łcijas
"x0
"x
"y
2
= f (x)+ ą("x),
"x
kur ą("x) ir bezgal%2łgi maza funkcija, kad "x 0 . No pdjs sakar%2łbas izteiksim
2
"y = f (x)"x + ą("x)"x .
Ttad funkcijas pieaugums tiek izteikts k divu saskaitmo summu. Pirmais saskaitmais
2
f (x)"x ir liners attiec%2łb pret argumenta pieaugumu "x , otrais nelinerais
saskaitmais ą("x)"x ir augstkas krtas bezgal%2łgi maza funkcija sal%2łdzinjum ar "x .
Pietiekoai mazm argumenta pieauguma "x vrt%2łbm funkcijas pieaugums ir aptuveni
2
viends ar t linero locekli f (x)"x , kuru sauc par funkcijas pieauguma galveno locekli
jeb galveno da<u.
Defin%2łcija. Funkcijas y = f (x) pieauguma galveno locekli, kura ir liners attiec%2łb pret
argumenta pieaugumu "x , sauc par funkcijas diferencili punkt x un apz%2łm ar dy.
Ttad
2
dy = f (x)"x .
2
Ja y = x , tad dy = dx = x "x = "x , t.i. argumenta diferencilis un pieaugums ir viendi.
Eemot vr ao sakar%2łbu, varam rakst%2łt
2
dy = f (x)dx .
dy
2
No a%2łs sakar%2łbas izriet atvasinjuma pieraksts ar diferenci<iem: f (x) = .
dx
Piemrs. Noteikt funkcijas y = arcsin x diferencili.
Vispirms noteiksim dots funkcijas atvasinjumu:
1
-
1 1 1 1 1
2
2
y = " x = " = .
2
1- x 2 x
2 x - x2
1-( x)2
dx
Dots funkcijas diferencilis ir dy = .
2 x - x2
Funkcijas diferenci<a #eometrisk interpretcija. Aplkkosim funkcijas y = f (x)
grafiku (1. z%2łm.). Punkt M (x0 , f (x0 )) funkcijas grafikam novilksim pieskari.
0
PieFemsim, ka a%2ł pieskare ar Ox ass pozit%2łvo virzienu veido leF7i ą. Pc atvasinjuma
15. nodarb%2łba. 5. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
#eometrisks interpretcijas
atvasinjums punkt x0 ir viends ar
y
punkt M (x0 , f (x0 )) vilkts
0
M
pieskares virziena koeficientu, ttad
f(x0+"x)
2
f (x0)= tgą . Eemot vr, ka
"PM0N = ą , M N = "x , iegksim,
0
P
ka funkcijas diferencilis punkt x0
M0
2
N dy = f (x0 )"x = tgą " "x =
f(x0)
= tgą " M N = NP .
0
ą
1. z%2łmjum funkcijas diferencilis
O x0 x0+"x x
dy = NP , funkcijas pieaugums
"y = NM .
1. z%2łm.
Tdjdi funkcijas y = f (x)
diferencilis punkt x0 ir viends ar a%2łs funkcijas grafikam punkt M (x0 , f (x0 ))
0
novilkts pieskares ordintas pieaugumu. T ir funkcijas diferenci<a #eometrisk
interpretcija.
Funkcijas diferenci<a mehnisk interpretcija. PieFemsim, ka x = x(t) ir materila
punkta taisnvirziena kust%2łbas likums, bet x0 = x(t0 ) ir a%2ł punkta koordinta laika
2
moment t0. Tad diferencilis dx = x (t0 )"t ir viends ar tdu koordintas x0 pieaugumu,
ko t iegktu laik "t , ja punkta trums laika intervl [t0; t0 + "t] bktu nemain%2łgs un
2
viends ar v = x (t0 ).
Diferenci<a lietojumi tuvintos apr7inos. Ja funkcijai y = f (x) eksist atvasinjums
punkt x (to sauc par diferencjamu punkt x), tad funkcijas pieaugumu var pierakst%2łt adi
"y = dy + ż("x), kad "x 0 .
Pietiekami maziem "x varam rakst%2łt
2
"y H" dy = f (x)"x .
2
T k "y = f (x + "x)- f (x), tad f (x + "x)- f (x) H" f (x)"x un
2
f (x + "x) H" f (x)+ f (x)"x .
Ar pdjo formulu var aptuveni apr7int funkcijas vrt%2łbu punkt x + "x , ja "x ir
M
2
2 2
pietiekami mazs. Apr7inu absolkt k<kda neprsniedz = ("x) , kur M ir f (x)
2
maksiml vrt%2łba intervl [x; x + "x].
15. nodarb%2łba. 6. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
R%2łgas Tehnisk universitte. In~eniermatemtikas katedra. Lekciju
konspekts.
Piemrs. Tuvinti apr7int cos 46 .
2
Dot funkcija f (x) = cos x , ts atvasinjums f (x) = -sin x , ttad iegksim funkcijas
tuvintas vrt%2łbas apr7inaanas formulu
cos(x + "x) = cos x - sin x " "x .
Ą Ą
Eemsim x = 45 = , tad "x = 1 = un
4 180
Ą Ą Ą Ą Ą 2 2 Ą
ś#
cos 46 = cos# + = cos - sin " = - " H" 0,7071- 0,7071" 0,0175 H"
ś# ź#
4 180 4 4 180 2 2 180
# #
H" 0,6947 .
Piebild%2łsim, ka, Femot prec%2łzi 6 ciparus aiz komata, cos 46 H" 0,694658 .
15. nodarb%2łba. 7. lpp. Augstk matemtika.
I. Volodko
Wyszukiwarka