WYDZIAA
FIZYKI TECHNICZNEJ I MODELOWANIA
KOMPUTEROWEGO
POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ
LABORATORIUM ELEKTRONIKI ĆWICZENIE 10
OBWODY RC:
10.1. IMPEDANCJA I K
T FAZOWY W POA

CZENIU
RÓWNOLEGA
YM RC
10.2. ZASTOSOWANIA UKA
ADÓW RC
POJ
CIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i prawidłowego
wykonania ćwiczenia:
1. Amplituda i faza przebiegu sinusoidalnego.
2. Przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami
sinusoidalnymi.
3. Wektorowa reprezentacja fali sinusoidalnej: fazor
(wskaz)
4. Wartość chwilowa prądu i napięcia.
5. Wartość pik-pik napięcia i prądu, wartość skuteczna
napięcia i prądu.
6. Metoda symboliczna: prawo Ohma dla prądów i napięć
sinusoidalnych.
7. Impedancja zastępcza obwodu, składowa rzeczywista i
urojona.
8. Reaktancja pojemnościowa.
9. Jak użyć oscyloskopu do pomiaru napięcia, prądu i
przesunięcia fazowego.
Literatura:
1. Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, WN-T, W-a
1967
2. Lagasse J., Teoria obwodów elektrycznych, WN-T, W-a
1982
3. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNpT, W-a
1982
4. Niemcewicz L., Radiotechnika, wzory, definicje,
obliczenia, WkiA
, W-a 1971
5. Floyd T.L., Electronics Fundamentals: cicuits devices and
Applications, Mervil Publishing Company 1987
1. Wprowadzenie
1.1.Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu.
Jedną z najważniejszych form sygnałów elektrycznych (prądowych i
napięciowych ) jest forma sinusoidalna. Określona jest ona jednoznacznie
przez amplitudę A , fazę początkową �, oraz częstotliwość f w hercach, lub
częstość kołową � = 2Ą f , oraz okres T = (2Ą)/� w sekundach.
W obwodzie złożonym z elementów biernych R, L, C zasilanym z
generatora (z
ródła) wytwarzającego napięcie ( lub prąd ) sinusoidalne,
wszystkie prądy i napięcia są również przebiegami sinusoidalnymi.
Odpowiedz
takiego obwodu, rozumiana jako prąd lub napięcie na dowolnym
jego elemencie, różnić się będzie od przebiegu wymuszającego jedynie
amplitudą (różną od amplitudy wymuszenia), i fazą  prądy i napięcia mogą
nadążać z opóz
nieniem za lub wyprzedzać przebieg wymuszający).
Na rysunku nr.1 przedstawiono schematycznie główne cechy przebiegu
sinusoidalnego tak jak można je obserwować na ekranie oscyloskopu.
1.2.Przedstawienie fali sinusoidalnej jako wektora.
Korzystając ze związku funkcji sinus z ruchem punktu po okręgu z ustaloną
prędkością kątową � , można przedstawić sinusoidalny przebieg napięcia i
prądu jako wektor o długości równej amplitudzie napięcia ( lub prądu)
wirujący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową �.
Związek ten przedstawiono na rys.2a. Wektor taki nazywamy wskazem lub
fazorem. Na rysunku 2b przedstawiono związek wartości chwilowej napięcia
V(t); ( t = ą/� ) przebiegu sinusoidalnego z jego przedstawieniem w postaci
fazora ( wskazu ). Odległość od czubka wektora (wskazu ) do osi poziomej
liczona w pionie, jest miarą aktualnej wartości chwilowej napięcia (np. V(45)
= V(t 45) ; t45 = 45/� = (Ą/4)/� )
Tak więc przebiegi sinusoidalne napięcia ( i prądu ) możemy przedstawiać w
postaci wskazów jak na rysunku 2c oraz 2d.
+A
u(t) = Au sin(�t + �u ) ; i(t) = Ai sin(�t + �i )
Argument:ą= �t , ą= �t + �
180
0 360
� - faza początkowa
- A
t  czas , �= 2Ą f , f  częstotliwość [ Hz ]
A  amplituda prądu lub napięcia
-przejście przez 0, zmiana polaryzacji na +
-przejście przez 0,zmiana polaryzacji na-
Pik dodatni lub ujemny
y = Asin(ą - � )
A
B
0
90 0
�
A wyprzedza B o 90 stopni
y = Asin(ą + � )
i(t)
u(t)
0 0
90
�
Prąd wyprzedza napięcie o 90 stopni
Rys.1. Fala sinusoidalna prądu i napięcia  cechy charakterystyczne.
ó
a)
135o
45o
180o
0o
315o
225o
0o 45o 90o 135o 180o 225o 270o 315o 360o
Związek fali sinusoidalnej z ruchem obrotowym wskazu
b)
Vp
Vp
V(ą)
ą
ą = 45o
Związek wykresu wskazowego oraz wartości chwilowej napięcia
sinusoidalnego V(ą=45o).
c) d)
B
Amplituda napięcia (prądu)
Wartość chwilowa
A
napięcia (prądu)
�
30o
- 45o
2V
90o
1.67mA
B
60o
0o
30o
i(t)=1.67sin(3t  45o)
A
u(t)=2sin(4t + 60o)
Rys.2.c) przykłady wskazów napięcia i prądu, d) wykres wskazowy
2 przebiegów o różnych amplitudach, przesuniętych w fazie o 30o.
Wzajemną relację 2 przebiegów sinusoidalnych można przedstawić kreśląc 2
wektory jak to pokazano na rys.2d. Korzystając z takiego sposobu możemy
łatwo sumować napięcia i prądy jako wektory oraz wyznaczać ich moduły i
fazy. I tak np. znając wskaz prądu przepływającego przez opornik R, i wiedząc,
że napięcie na oporniku jest w fazie z prądem, możemy wydłużyć wskaz prądu
R razy i otrzymamy wskaz napięcia na tym oporniku.
1.3.Wartość pik  pik , wartość skuteczna napięcia i prądu przemiennego.
Na ekranie oscyloskopu możemy zmierzyć napięcie pik  pik przebiegu
sinusoidalnego równe podwojonej jego amplitudzie:
vpp = 2Au ; ipp = 2Ai , Au  amplituda napięcia [ V ], Ai  amplituda
prądu [ A ].
Multimetry (woltomierze i amperomierze prądu przemiennego) mierzą i
pokazują wartości skuteczne napięć i prądów w ograniczonym zakresie
częstotliwości. Zakres ten podaje producent w instrukcji obsługi.
Wartość skuteczna napięcia przemiennego Vs , to taka wartość napięcia stałego,
które przyłożone do opornika wydzieli w nim taką samą ilość ciepła jak
przebieg sinusoidalny. Podobnie określamy natężenie skuteczne prądu. Relacje
pomiędzy wartością skuteczną a amplitudą są następujące:
Us = (0.5)1/2 Au E" 0.707Au ; Is = (0.5)1/2 Ai E" 0.707 Ai
1.4. Pomiar przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma przebiegami napięcia lub
prądu przy użyciu oscyloskopu.
Porównywane przebiegi podłączyć odpowiednio do wejścia kanału 1 i 2
oscyloskopu. Regulując wzmocnieniem obu kanałów oraz częstotliwością
podstawy czasu doprowadzić do zatrzymania i widoczności obu przebiegów w
obszarze ekranu.
1.4.1. Dobieramy wzmocnienie kanału 1 oraz podstawę czasu tak aby na ekranie
zmieściła się dokładnie połowa okresu przebiegu A (rys.3.)
Rys.3. Pomiar
przesunięcia
fazowego za
pomocą
oscyloskopu.
18o/1działka
�
0.5 okresu = 180o
Kąt przesunięcia fazowego � = 3dz. * 18o = 54o
1.4.2. Szerokość ekranu (w działkach ) odpowiada wtedy 180o miary kątowej.
Obliczamy z proporcji ile stopni przypada na jedną działkę w poziomie.
1.4.3. wyznaczamy ilość działek odpowiadającą � ( liczba działek
odpowiadająca odstępowi pomiędzy punktami czerwonym i niebieskim)
1.4.4. obliczamy kąt przesunięcia fazowego (jak na rysunku).
1.5. Pomiar napięcia i natężenia prądu za pomocą oscyloskopu.
Pokrętła wzmocnienia  regulacja ciągła, przekręcić przeciwnie do ruchu
wskazówek zegara do oporu (położenie kalibrowane). Napięcie w woltach na
działkę podane jest na przełącznikach skokowych. Liczbę działek
odpowiadającą napięciu pik  pik (lub amplitudzie) pomnożyć przez liczbę
woltów przypadającą na jedną działkę.
1.5.1. Natężenie prądu przemiennego mierzymy jako napięcie na oporniku
pomiarowym 10 &! (lub 100&!) połączonym szeregowo z elementem przez który
przepływa mierzony prąd. Impedancja tego elementu powinna być przynajmniej
100 razy większa od oporu 10 &!. Ponieważ wiązka elektronów w kineskopie
oscyloskopu nie posiada praktycznie bezwładności, prądy i napięcia można
mierzyć w całym paśmie częstotliwości pracy oscyloskopu.
2. Prawo Ohma i prawa Kirchoffa dla przebiegów sinusoidalnych.
Gdy przyłożymy zmienne w czasie napięcia do obwodu złożonego z oporników,
to prawa te są spełnione podobnie jak dla napięć i prądów stałych.
2. Prąd i napięcie na oporniku przy wymuszeniu sinusoidalnym.
Wzajemną relację pomiędzy napięciem sinusoidalnym o znanej amplitudzie i
częstotliwości a prądem przezeń wywołanym w oporniku o wartości oporu R
można łatwo zaobserwować np. w układzie przedstawionym na rys.4.
iR
Generator
mA
fg
H"
ug uR
mA
ug(t) R ug = uR , R = ( ug/iR )
i(t) R `" f ( � ), � = 2Ąfg
Rys.4. Pomiar prądu i napięcia na oporniku R; R nie zależy od
częstotliwości (dla opornika idealnego).
Jeszcze prościej, przyjmując, że sygnał z generatora ma postać ug= Ausin(�t) , a
prąd ( co wiadomo z doświadczenia) iR= Aisin(�t), możemy obliczyć, że:
(t)
(t) sin(�t)
u
g
u A A
R u u
= = = = R
(t) (t) sin(�t)
i i A A
R R i i
Oznacza to, że jeżeli opornik nadąża z rozpraszaniem ciepła, czyli nie zmienia
swojej temperatury, to można przyjąć, że dla nie bardzo dużych częstotliwości
R = const.
Opór stawiany przez opornik prądowi przemiennemu nazywamy ogólniej
Impedancją Z . Impedancja opornika ZR jest równa jego oporowi omowemu R.
ZR = R . Prąd iR (t) zmienia się dokładnie synchronicznie z napięciem ug(t).
Mówimy, że oba przebiegi pozostają w tej samej fazie, lub, że przesunięcie
fazowe pomiędzy nimi wynosi zero. Ilustrację graficzną tego faktu w
terminologii wykresu wskazowego przedstawiono na rysunku 5.
uR
uR
iR
iR UR = R iR
� = 0
90o
ZR = R
0o
Impedancja opornika jest rzeczywista, nie posiada
składowej pionowej czyli urojonej w terminologii liczb
Rys.5. Prądy i napięcia przemienne na oporniku , impedancja
rzeczywista.
3. Impedancja i kąt fazowy w połączeniu równoległym RC: zależność od
częstotliwości.
Zadania do wykonania:
1.Zmierzyć multimetrem opór R i pojemność C wskazane przez prowadzącego.
Zanotować wyniki.
2. Nie podłączając niczego do sieci zmontować układ pomiarowy według
schematu przedstawionego na rysunku nr.6
i(t)
a)
i(t)
f[Hz]
ug
R C
Z
ug(t)
iR iC
Impedancja połączenia szeregowego RC: Z; i2 = iR2 + iC2 , iR = (ug/R), iC = (ug/XC)
XC = (�C)- 1 ; Z- 1 = R- 1+ i�C ; i = (- 1)1/2- jednostka urojona
2
R
Xc - i R2 Xc ; Z = R Xc ;
Z =
2 2 2 2
2 2
+ +
R Xc R Xc
+
R Xc
tg� = (Zy/Zx) = (R2Xc/RX2c) = (Rug/Xcug) = (iR/iC)
b)
i[mA]
f[Hz]
iR iC
ugS ug
i(t)
C
R
ug(t)
ug(t) = Ausin(�t)
10&! 10&!
iC(� )
Kanał 1 oscyloskopu Kanał 2 oscyloskopu
iR(f)
iR = (u10R/10) iC = (u10C/10)
Rys.6. Schemat do pomiaru impedancji zespolonej połączenia
równoległego RC, a) schemat ideowy, b) praktyczna realizacja a).
2. Multimetr cyfrowy nastawić na pomiar prądu przemiennego (IAC), zakres
200mA.
3. Multimetr generatora ustawić na pomiar napięć przemiennych (V~), zakres
10V.
4. Po sprawdzeniu poprawności połączeń włączyć do sieci generator, oscylograf
oraz multimetr cyfrowy. Ustawić amplitudę sygnału generatora na kilka woltów
(multimetr generatora) i zaobserwować i(t) (multimetr cyfrowy) oraz iR oraz iC
(ekran oscyloskopu). Zmierzyć również kąt przesunięcia fazowego pomiędzy iR
oraz iC (ekran oscyloskopu kanały 1 i 2 jednocześnie).
5. Zmieniając częstotliwość pokrętłem generatora zaobserwować wpływ zmiany
częstotliwości na i, iR, iC oraz przesunięcie fazowe �.
6. Ustawić f na ok. 40Hz i zmierzyć: amplitudę sygnału wymuszającego
generatora Au[V], natężenie prądu całkowitego przepływającego przez
połączenie równoległe RC i[mA], natężenie prądu gałęzi opornika iR[mA],
natężenie prądu gałęzi kondensatora iC[mA].
7. Pomiary z p.6 powtórzyć dla co najmniej 10 częstotliwości , rozłożonych
równomiernie ale w skali logarytmicznej w przedziale od 40Hz do ok. 10kHz.
8. W oparciu o wyniki pomiarów obliczyć � = arctg(iC(�)/iR(�)). Obliczyć
również | Z | oraz XC dla wszystkich częstotliwości użytych w punkcie 7.
9. Sporządzić wykresy zależności : � = � (log(�)), zmierzonej bezpośrednio
oraz obliczonej z formuły arctg( iC(�)/iR(�)) ; Z = Z(log(�))
10. Sprawdzić dla 4 wybranych częstotliwości czy spełniona jest zależność :
i2 = iR2 + iC2 .
11. Dla 3 wybranych częstotliwości przyjąć skalę i sporządzić wykres
wskazowy według wzoru:
0.1A
iC [A]
i3
iC(�3)
i2
iC(�2)
i1 [A]
iC(�1)
iR
4. Zastosowania układów RC
Połączenia szeregowe i równoległe RC stosowane są powszechnie w
układach elektronicznych między innymi jako: przesuwniki fazy prądów i
napięć, filtry dolno- i górno przepustowe oraz jako układy całkujące i
różniczkujące.
5.1. Czwórnik RC jako przesuwnik fazy i filtr dolno-przepustowy.
Napięcie z generatora przyłożone do szeregowego połączenia RC
rozkłada się na opór R i reaktancję pojemnościową XC. Prąd w obu elementach
jest ten sam. (rys.7.)
a) b)
i
i
R
ug
uR
C
uwe uwy
uC
i
uwe = ug
uwy = uC
c) 1
=
u
C +"idt
C
uR
�
Ć
Ć = 90o- arctg(XC/R)
uwe
uC = uwy
Rys.7. Napięcie wyjściowe opóz
nia się w fazie względem wejściowego o
kąt Ć, którego wartość zależy od R, C i częstotliwości.
Jeżeli sygnał z generatora potraktujemy jako sygnał wejściowy dla układu RC a
napięcie wyjściowe będziemy zbierać z kondensatora o pojemności C (rys.7a i
b) to ponieważ XC zależy odwrotnie proporcjonalnie od częstotliwości, to kąt Ć
będzie zależał również (rys.7c.). Zakres w którym można zmieniać ten kąt
zależy również od wartości R i C.
Układ przedstawiony na rys.7b jest również układem całkującym gdyż napięcie
wyjściowe jest całką z prądu przepływającego przez połączenie szeregowe RC.
Układ ten (rys.7b) działa jako całkujący jeżeli za sygnał wejściowy przyjmiemy
prąd i (rys.7 a oraz b).
Zadania do wykonania: pomiar charakterystyki częstotliwościowej przenoszenia
filtru dolnoprzepustowego RC
1.Zmierzyć multimetrem wartość oporu R wskazaną przez prowadzącego.
2. Obliczyć pojemność C dla której częstotliwość graniczna filtru będzie się
mieściła w okolicy środka przedziału 40Hz  100kHz: fg = (2ĄRC)- 1
np. 104 ~ (2*3.14*104C)- 1 C ~ 1.6nF ( dla R = 10k&!, fg = 104 Hz)
3. Nie podłączając niczego do sieci, zmontować układ pomiarowy według
schematu przedstawionego na rysunku nr.8. Użyć przyjętych wartości R i
zbliżonej wartości C do obliczonej w punkcie poprzednim. Oszacować
ponownie wartość częstotliwości granicznej dla pary wartości R,C którymi
dysponujemy praktycznie.
R
uwe
uwy
C
f[Hz]
Kanał 1 oscyloskopu
uwe[V] = uwe(�)
Rys.8. Schemat układu do pomiaru charakterystyki częstotliwościowej
filtru dolnoprzepustowego RC.
wy
wy
Kana
ł
2 oscyloskopu

u
[V] = u
(
�
)
4. Multimetr cyfrowy ustawić na pomiar częstotliwości f[Hz]. Pokrętło
amplitudy generatora skręcić na 0. Częstotliwość generatora ustawić na ok. 2
dekady powyżej fg (punkt2.): np. jeżeli fg ~ 104 Hz f~106Hz
5. Pokrętła wzmocnienia obu kanałów oscyloskopu ustawić w pozycjach
kalibrowanych, umożliwiających pomiary amplitud napięć w woltach.
6. Po sprawdzeniu poprawności połączeń podłączyć generator, częstościomierz i
oscyloskop do sieci.
7. Zwiększając amplitudę sygnału generatora , ustawić uwe (~106Hz) na takim
poziomie aby nie obciążać nadmiernie generatora ( zapytać prowadzącego)
8. Zmierzyć f[Hz], uwy[V] dla uwe = const. Zanotować wyniki.
9. Utrzymując uwe = const, zmniejszając częstotliwość, powtórzyć pomiary z p.8
dla co najmniej 12 wartości częstotliwości rozłożonych równomiernie ale w
skali logarytmicznej , poczynając od cz. najwyższej aż do ok. 40Hz.
10.Sporządzić wykres uwy= uwy(log�). Na wykresie nanieść wartości R, C, uwe
oraz narysować schemat filtra jako czwórnika.
11. Wyznaczyć częstotliwość graniczną filtra jako położenie punktu przegięcia
na wykresie z p. 10 i porównać ją z oszacowaną na początku.
12. Dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach obliczyć kąt
przesunięcia fazowego Ć = 90o- arctg(XC/R); XC=(�C)- 1
lub: Ć = arccos(uwe/uwy). Sporządzić wykres Ć = Ć(log�).
12.Obliczyć T = XC(�)(R2 + XC2)- � dla wszystkich częstotliwości użytych w
pomiarach i sporządzić wykres tej zależności. Porównać przebieg T(�) z
przebiegiem uwy(�) i wyciągnąć wnioski.
5.2. Czwórnik CR jako przesuwnik fazy i filtr górno-przepustowy.
Zmieniając miejscami opornik z kondensatorem w układzie z rysunku
nr.7 otrzymujemy filtr górno-przepustowy, działający również jako układ
różniczkujący gdy jako sygnał wejściowy potraktować prąd i.
i
uwy = uR
Ć
C
uwe
R
uwy
uwe
uC
uwy = R(R2 + X2C)- 1/2uwe
Ć = arctg(XC/R) = 90o  arctg(uR/uC)
Zadania do wykonania: pomiar charakterystyki przenoszenia filtru górno-
przepustowego CR.
1.Zmierzyć multimetrem wartość oporu R wskazaną przez prowadzącego.
2. Obliczyć pojemność C dla której częstotliwość graniczna filtru będzie się
mieściła w okolicy środka przedziału 40Hz  100kHz: fg = (2ĄRC)- 1
np. 104 ~ (2*3.14*104C)- 1 C ~ 1.6nF ( dla R = 10k&!, fg = 104 Hz)
3. Nie podłączając niczego do sieci, zmontować układ pomiarowy według
schematu przedstawionego na rysunku nr.8 , zamieniając miejscami opór R z
kondensatorem C. Użyć przyjętych wartości R i zbliżonej wartości C do
obliczonej w punkcie poprzednim. Oszacować ponownie wartość częstotliwości
granicznej dla pary wartości R,C którymi dysponujemy praktycznie.
4. Multimetr cyfrowy ustawić na pomiar częstotliwości f[Hz]. Pokrętło
amplitudy generatora skręcić na 0. Częstotliwość generatora ustawić na ok. 2
dekady powyżej fg (punkt2.): np. jeżeli fg ~ 104 Hz f~106Hz
5. Pokrętła wzmocnienia obu kanałów oscyloskopu ustawić w pozycjach
kalibrowanych, umożliwiających pomiary amplitud napięć w woltach.
6. Po sprawdzeniu poprawności połączeń podłączyć generator, częstościomierz i
oscyloskop do sieci.
7. Zwiększając amplitudę sygnału generatora , ustawić uwe (~106Hz) na takim
poziomie aby nie obciążać nadmiernie generatora ( zapytać prowadzącego)
8. Zmierzyć f[Hz], uwy[V] dla uwe = const. Zanotować wyniki.
9. Utrzymując uwe = const, zmniejszając częstotliwość, powtórzyć pomiary z p.8
dla co najmniej 12 wartości częstotliwości rozłożonych równomiernie ale w
skali logarytmicznej , poczynając od cz. najwyższej aż do ok. 40Hz.
10.Sporządzić wykres uwy= uwy(log�). Na wykresie nanieść wartości R, C, uwe
oraz narysować schemat filtra jako czwórnika.
11. Wyznaczyć częstotliwość graniczną filtra jako położenie punktu przegięcia
na wykresie z p. 10 i porównać ją z oszacowaną na początku.
12. Dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach obliczyć kąt
przesunięcia fazowego Ć = arctg(XC/R); XC=(�C)- 1
lub: Ć = arccos(uwe/uwy). Sporządzić wykres Ć = Ć(log�).
12.Obliczyć T = R(R2 + XC2)- � dla wszystkich częstotliwości użytych w
pomiarach i sporządzić wykres tej zależności. Porównać przebieg T(�) z
przebiegiem uwy(�) i wyciągnąć wnioski.