WYDZIAA FIZYKI TECHNICZNEJ I MODELOWANIA KOMPUTEROWEGO POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ LABORATORIUM ELEKTRONIKI ĆWICZENIE 10 OBWODY RC: 10.1. IMPEDANCJA I KT FAZOWY W POACZENIU RÓWNOLEGAYM RC 10.2. ZASTOSOWANIA UKAADÓW RC POJCIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i prawidłowego wykonania ćwiczenia: 1. Amplituda i faza przebiegu sinusoidalnego. 2. Przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami sinusoidalnymi. 3. Wektorowa reprezentacja fali sinusoidalnej: fazor (wskaz) 4. Wartość chwilowa prądu i napięcia. 5. Wartość pik-pik napięcia i prądu, wartość skuteczna napięcia i prądu. 6. Metoda symboliczna: prawo Ohma dla prądów i napięć sinusoidalnych. 7. Impedancja zastępcza obwodu, składowa rzeczywista i urojona. 8. Reaktancja pojemnościowa. 9. Jak użyć oscyloskopu do pomiaru napięcia, prądu i przesunięcia fazowego. Literatura: 1. Cholewicki T., Elektrotechnika teoretyczna, WN-T, W-a 1967 2. Lagasse J., Teoria obwodów elektrycznych, WN-T, W-a 1982 3. Bolkowski S., Elektrotechnika teoretyczna, WNpT, W-a 1982 4. Niemcewicz L., Radiotechnika, wzory, definicje, obliczenia, WkiA, W-a 1971 5. Floyd T.L., Electronics Fundamentals: cicuits devices and Applications, Mervil Publishing Company 1987 1. Wprowadzenie 1.1.Sinusoidalny przebieg napięcia i prądu. Jedną z najważniejszych form sygnałów elektrycznych (prądowych i napięciowych ) jest forma sinusoidalna. Określona jest ona jednoznacznie przez amplitudę A , fazę początkową �, oraz częstotliwość f w hercach, lub częstość kołową � = 2Ą f , oraz okres T = (2Ą)/� w sekundach. W obwodzie złożonym z elementów biernych R, L, C zasilanym z generatora (zródła) wytwarzającego napięcie ( lub prąd ) sinusoidalne, wszystkie prądy i napięcia są również przebiegami sinusoidalnymi. Odpowiedz takiego obwodu, rozumiana jako prąd lub napięcie na dowolnym jego elemencie, różnić się będzie od przebiegu wymuszającego jedynie amplitudą (różną od amplitudy wymuszenia), i fazą prądy i napięcia mogą nadążać z opóznieniem za lub wyprzedzać przebieg wymuszający). Na rysunku nr.1 przedstawiono schematycznie główne cechy przebiegu sinusoidalnego tak jak można je obserwować na ekranie oscyloskopu. 1.2.Przedstawienie fali sinusoidalnej jako wektora. Korzystając ze związku funkcji sinus z ruchem punktu po okręgu z ustaloną prędkością kątową � , można przedstawić sinusoidalny przebieg napięcia i prądu jako wektor o długości równej amplitudzie napięcia ( lub prądu) wirujący przeciwnie do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową �. Związek ten przedstawiono na rys.2a. Wektor taki nazywamy wskazem lub fazorem. Na rysunku 2b przedstawiono związek wartości chwilowej napięcia V(t); ( t = ą/� ) przebiegu sinusoidalnego z jego przedstawieniem w postaci fazora ( wskazu ). Odległość od czubka wektora (wskazu ) do osi poziomej liczona w pionie, jest miarą aktualnej wartości chwilowej napięcia (np. V(45) = V(t 45) ; t45 = 45/� = (Ą/4)/� ) Tak więc przebiegi sinusoidalne napięcia ( i prądu ) możemy przedstawiać w postaci wskazów jak na rysunku 2c oraz 2d. +A u(t) = Au sin(�t + �u ) ; i(t) = Ai sin(�t + �i ) Argument:ą= �t , ą= �t + � 180 0 360 � - faza początkowa - A t czas , �= 2Ą f , f częstotliwość [ Hz ] A amplituda prądu lub napięcia -przejście przez 0, zmiana polaryzacji na + -przejście przez 0,zmiana polaryzacji na- Pik dodatni lub ujemny y = Asin(ą - � ) A B 0 90 0 � A wyprzedza B o 90 stopni y = Asin(ą + � ) i(t) u(t) 0 0 90 � Prąd wyprzedza napięcie o 90 stopni Rys.1. Fala sinusoidalna prądu i napięcia cechy charakterystyczne. ó a) 135o 45o 180o 0o 315o 225o 0o 45o 90o 135o 180o 225o 270o 315o 360o Związek fali sinusoidalnej z ruchem obrotowym wskazu b) Vp Vp V(ą) ą ą = 45o Związek wykresu wskazowego oraz wartości chwilowej napięcia sinusoidalnego V(ą=45o). c) d) B Amplituda napięcia (prądu) Wartość chwilowa A napięcia (prądu) � 30o - 45o 2V 90o 1.67mA B 60o 0o 30o i(t)=1.67sin(3t 45o) A u(t)=2sin(4t + 60o) Rys.2.c) przykłady wskazów napięcia i prądu, d) wykres wskazowy 2 przebiegów o różnych amplitudach, przesuniętych w fazie o 30o. Wzajemną relację 2 przebiegów sinusoidalnych można przedstawić kreśląc 2 wektory jak to pokazano na rys.2d. Korzystając z takiego sposobu możemy łatwo sumować napięcia i prądy jako wektory oraz wyznaczać ich moduły i fazy. I tak np. znając wskaz prądu przepływającego przez opornik R, i wiedząc, że napięcie na oporniku jest w fazie z prądem, możemy wydłużyć wskaz prądu R razy i otrzymamy wskaz napięcia na tym oporniku. 1.3.Wartość pik pik , wartość skuteczna napięcia i prądu przemiennego. Na ekranie oscyloskopu możemy zmierzyć napięcie pik pik przebiegu sinusoidalnego równe podwojonej jego amplitudzie: vpp = 2Au ; ipp = 2Ai , Au amplituda napięcia [ V ], Ai amplituda prądu [ A ]. Multimetry (woltomierze i amperomierze prądu przemiennego) mierzą i pokazują wartości skuteczne napięć i prądów w ograniczonym zakresie częstotliwości. Zakres ten podaje producent w instrukcji obsługi. Wartość skuteczna napięcia przemiennego Vs , to taka wartość napięcia stałego, które przyłożone do opornika wydzieli w nim taką samą ilość ciepła jak przebieg sinusoidalny. Podobnie określamy natężenie skuteczne prądu. Relacje pomiędzy wartością skuteczną a amplitudą są następujące: Us = (0.5)1/2 Au E" 0.707Au ; Is = (0.5)1/2 Ai E" 0.707 Ai 1.4. Pomiar przesunięcia fazowego pomiędzy dwoma przebiegami napięcia lub prądu przy użyciu oscyloskopu. Porównywane przebiegi podłączyć odpowiednio do wejścia kanału 1 i 2 oscyloskopu. Regulując wzmocnieniem obu kanałów oraz częstotliwością podstawy czasu doprowadzić do zatrzymania i widoczności obu przebiegów w obszarze ekranu. 1.4.1. Dobieramy wzmocnienie kanału 1 oraz podstawę czasu tak aby na ekranie zmieściła się dokładnie połowa okresu przebiegu A (rys.3.) Rys.3. Pomiar przesunięcia fazowego za pomocą oscyloskopu. 18o/1działka � 0.5 okresu = 180o Kąt przesunięcia fazowego � = 3dz. * 18o = 54o 1.4.2. Szerokość ekranu (w działkach ) odpowiada wtedy 180o miary kątowej. Obliczamy z proporcji ile stopni przypada na jedną działkę w poziomie. 1.4.3. wyznaczamy ilość działek odpowiadającą � ( liczba działek odpowiadająca odstępowi pomiędzy punktami czerwonym i niebieskim) 1.4.4. obliczamy kąt przesunięcia fazowego (jak na rysunku). 1.5. Pomiar napięcia i natężenia prądu za pomocą oscyloskopu. Pokrętła wzmocnienia regulacja ciągła, przekręcić przeciwnie do ruchu wskazówek zegara do oporu (położenie kalibrowane). Napięcie w woltach na działkę podane jest na przełącznikach skokowych. Liczbę działek odpowiadającą napięciu pik pik (lub amplitudzie) pomnożyć przez liczbę woltów przypadającą na jedną działkę. 1.5.1. Natężenie prądu przemiennego mierzymy jako napięcie na oporniku pomiarowym 10 &! (lub 100&!) połączonym szeregowo z elementem przez który przepływa mierzony prąd. Impedancja tego elementu powinna być przynajmniej 100 razy większa od oporu 10 &!. Ponieważ wiązka elektronów w kineskopie oscyloskopu nie posiada praktycznie bezwładności, prądy i napięcia można mierzyć w całym paśmie częstotliwości pracy oscyloskopu. 2. Prawo Ohma i prawa Kirchoffa dla przebiegów sinusoidalnych. Gdy przyłożymy zmienne w czasie napięcia do obwodu złożonego z oporników, to prawa te są spełnione podobnie jak dla napięć i prądów stałych. 2. Prąd i napięcie na oporniku przy wymuszeniu sinusoidalnym. Wzajemną relację pomiędzy napięciem sinusoidalnym o znanej amplitudzie i częstotliwości a prądem przezeń wywołanym w oporniku o wartości oporu R można łatwo zaobserwować np. w układzie przedstawionym na rys.4. iR Generator mA fg H" ug uR mA ug(t) R ug = uR , R = ( ug/iR ) i(t) R `" f ( � ), � = 2Ąfg Rys.4. Pomiar prądu i napięcia na oporniku R; R nie zależy od częstotliwości (dla opornika idealnego). Jeszcze prościej, przyjmując, że sygnał z generatora ma postać ug= Ausin(�t) , a prąd ( co wiadomo z doświadczenia) iR= Aisin(�t), możemy obliczyć, że: (t) (t) sin(�t) u g u A A R u u = = = = R (t) (t) sin(�t) i i A A R R i i Oznacza to, że jeżeli opornik nadąża z rozpraszaniem ciepła, czyli nie zmienia swojej temperatury, to można przyjąć, że dla nie bardzo dużych częstotliwości R = const. Opór stawiany przez opornik prądowi przemiennemu nazywamy ogólniej Impedancją Z . Impedancja opornika ZR jest równa jego oporowi omowemu R. ZR = R . Prąd iR (t) zmienia się dokładnie synchronicznie z napięciem ug(t). Mówimy, że oba przebiegi pozostają w tej samej fazie, lub, że przesunięcie fazowe pomiędzy nimi wynosi zero. Ilustrację graficzną tego faktu w terminologii wykresu wskazowego przedstawiono na rysunku 5. uR uR iR iR UR = R iR � = 0 90o ZR = R 0o Impedancja opornika jest rzeczywista, nie posiada składowej pionowej czyli urojonej w terminologii liczb Rys.5. Prądy i napięcia przemienne na oporniku , impedancja rzeczywista. 3. Impedancja i kąt fazowy w połączeniu równoległym RC: zależność od częstotliwości. Zadania do wykonania: 1.Zmierzyć multimetrem opór R i pojemność C wskazane przez prowadzącego. Zanotować wyniki. 2. Nie podłączając niczego do sieci zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku nr.6 i(t) a) i(t) f[Hz] ug R C Z ug(t) iR iC Impedancja połączenia szeregowego RC: Z; i2 = iR2 + iC2 , iR = (ug/R), iC = (ug/XC) XC = (�C)- 1 ; Z- 1 = R- 1+ i�C ; i = (- 1)1/2- jednostka urojona 2 R Xc - i R2 Xc ; Z = R Xc ; Z = 2 2 2 2 2 2 + + R Xc R Xc + R Xc tg� = (Zy/Zx) = (R2Xc/RX2c) = (Rug/Xcug) = (iR/iC) b) i[mA] f[Hz] iR iC ugS ug i(t) C R ug(t) ug(t) = Ausin(�t) 10&! 10&! iC(� ) Kanał 1 oscyloskopu Kanał 2 oscyloskopu iR(f) iR = (u10R/10) iC = (u10C/10) Rys.6. Schemat do pomiaru impedancji zespolonej połączenia równoległego RC, a) schemat ideowy, b) praktyczna realizacja a). 2. Multimetr cyfrowy nastawić na pomiar prądu przemiennego (IAC), zakres 200mA. 3. Multimetr generatora ustawić na pomiar napięć przemiennych (V~), zakres 10V. 4. Po sprawdzeniu poprawności połączeń włączyć do sieci generator, oscylograf oraz multimetr cyfrowy. Ustawić amplitudę sygnału generatora na kilka woltów (multimetr generatora) i zaobserwować i(t) (multimetr cyfrowy) oraz iR oraz iC (ekran oscyloskopu). Zmierzyć również kąt przesunięcia fazowego pomiędzy iR oraz iC (ekran oscyloskopu kanały 1 i 2 jednocześnie). 5. Zmieniając częstotliwość pokrętłem generatora zaobserwować wpływ zmiany częstotliwości na i, iR, iC oraz przesunięcie fazowe �. 6. Ustawić f na ok. 40Hz i zmierzyć: amplitudę sygnału wymuszającego generatora Au[V], natężenie prądu całkowitego przepływającego przez połączenie równoległe RC i[mA], natężenie prądu gałęzi opornika iR[mA], natężenie prądu gałęzi kondensatora iC[mA]. 7. Pomiary z p.6 powtórzyć dla co najmniej 10 częstotliwości , rozłożonych równomiernie ale w skali logarytmicznej w przedziale od 40Hz do ok. 10kHz. 8. W oparciu o wyniki pomiarów obliczyć � = arctg(iC(�)/iR(�)). Obliczyć również | Z | oraz XC dla wszystkich częstotliwości użytych w punkcie 7. 9. Sporządzić wykresy zależności : � = � (log(�)), zmierzonej bezpośrednio oraz obliczonej z formuły arctg( iC(�)/iR(�)) ; Z = Z(log(�)) 10. Sprawdzić dla 4 wybranych częstotliwości czy spełniona jest zależność : i2 = iR2 + iC2 . 11. Dla 3 wybranych częstotliwości przyjąć skalę i sporządzić wykres wskazowy według wzoru: 0.1A iC [A] i3 iC(�3) i2 iC(�2) i1 [A] iC(�1) iR 4. Zastosowania układów RC Połączenia szeregowe i równoległe RC stosowane są powszechnie w układach elektronicznych między innymi jako: przesuwniki fazy prądów i napięć, filtry dolno- i górno przepustowe oraz jako układy całkujące i różniczkujące. 5.1. Czwórnik RC jako przesuwnik fazy i filtr dolno-przepustowy. Napięcie z generatora przyłożone do szeregowego połączenia RC rozkłada się na opór R i reaktancję pojemnościową XC. Prąd w obu elementach jest ten sam. (rys.7.) a) b) i i R ug uR C uwe uwy uC i uwe = ug uwy = uC c) 1 = u C +"idt C uR � Ć Ć = 90o- arctg(XC/R) uwe uC = uwy Rys.7. Napięcie wyjściowe opóznia się w fazie względem wejściowego o kąt Ć, którego wartość zależy od R, C i częstotliwości. Jeżeli sygnał z generatora potraktujemy jako sygnał wejściowy dla układu RC a napięcie wyjściowe będziemy zbierać z kondensatora o pojemności C (rys.7a i b) to ponieważ XC zależy odwrotnie proporcjonalnie od częstotliwości, to kąt Ć będzie zależał również (rys.7c.). Zakres w którym można zmieniać ten kąt zależy również od wartości R i C. Układ przedstawiony na rys.7b jest również układem całkującym gdyż napięcie wyjściowe jest całką z prądu przepływającego przez połączenie szeregowe RC. Układ ten (rys.7b) działa jako całkujący jeżeli za sygnał wejściowy przyjmiemy prąd i (rys.7 a oraz b). Zadania do wykonania: pomiar charakterystyki częstotliwościowej przenoszenia filtru dolnoprzepustowego RC 1.Zmierzyć multimetrem wartość oporu R wskazaną przez prowadzącego. 2. Obliczyć pojemność C dla której częstotliwość graniczna filtru będzie się mieściła w okolicy środka przedziału 40Hz 100kHz: fg = (2ĄRC)- 1 np. 104 ~ (2*3.14*104C)- 1 C ~ 1.6nF ( dla R = 10k&!, fg = 104 Hz) 3. Nie podłączając niczego do sieci, zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku nr.8. Użyć przyjętych wartości R i zbliżonej wartości C do obliczonej w punkcie poprzednim. Oszacować ponownie wartość częstotliwości granicznej dla pary wartości R,C którymi dysponujemy praktycznie. R uwe uwy C f[Hz] Kanał 1 oscyloskopu uwe[V] = uwe(�) Rys.8. Schemat układu do pomiaru charakterystyki częstotliwościowej filtru dolnoprzepustowego RC. wy wy Kana ł 2 oscyloskopu
u [V] = u ( � ) 4. Multimetr cyfrowy ustawić na pomiar częstotliwości f[Hz]. Pokrętło amplitudy generatora skręcić na 0. Częstotliwość generatora ustawić na ok. 2 dekady powyżej fg (punkt2.): np. jeżeli fg ~ 104 Hz f~106Hz 5. Pokrętła wzmocnienia obu kanałów oscyloskopu ustawić w pozycjach kalibrowanych, umożliwiających pomiary amplitud napięć w woltach. 6. Po sprawdzeniu poprawności połączeń podłączyć generator, częstościomierz i oscyloskop do sieci. 7. Zwiększając amplitudę sygnału generatora , ustawić uwe (~106Hz) na takim poziomie aby nie obciążać nadmiernie generatora ( zapytać prowadzącego) 8. Zmierzyć f[Hz], uwy[V] dla uwe = const. Zanotować wyniki. 9. Utrzymując uwe = const, zmniejszając częstotliwość, powtórzyć pomiary z p.8 dla co najmniej 12 wartości częstotliwości rozłożonych równomiernie ale w skali logarytmicznej , poczynając od cz. najwyższej aż do ok. 40Hz. 10.Sporządzić wykres uwy= uwy(log�). Na wykresie nanieść wartości R, C, uwe oraz narysować schemat filtra jako czwórnika. 11. Wyznaczyć częstotliwość graniczną filtra jako położenie punktu przegięcia na wykresie z p. 10 i porównać ją z oszacowaną na początku. 12. Dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach obliczyć kąt przesunięcia fazowego Ć = 90o- arctg(XC/R); XC=(�C)- 1 lub: Ć = arccos(uwe/uwy). Sporządzić wykres Ć = Ć(log�). 12.Obliczyć T = XC(�)(R2 + XC2)- � dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach i sporządzić wykres tej zależności. Porównać przebieg T(�) z przebiegiem uwy(�) i wyciągnąć wnioski. 5.2. Czwórnik CR jako przesuwnik fazy i filtr górno-przepustowy. Zmieniając miejscami opornik z kondensatorem w układzie z rysunku nr.7 otrzymujemy filtr górno-przepustowy, działający również jako układ różniczkujący gdy jako sygnał wejściowy potraktować prąd i. i uwy = uR Ć C uwe R uwy uwe uC uwy = R(R2 + X2C)- 1/2uwe Ć = arctg(XC/R) = 90o arctg(uR/uC) Zadania do wykonania: pomiar charakterystyki przenoszenia filtru górno- przepustowego CR. 1.Zmierzyć multimetrem wartość oporu R wskazaną przez prowadzącego. 2. Obliczyć pojemność C dla której częstotliwość graniczna filtru będzie się mieściła w okolicy środka przedziału 40Hz 100kHz: fg = (2ĄRC)- 1 np. 104 ~ (2*3.14*104C)- 1 C ~ 1.6nF ( dla R = 10k&!, fg = 104 Hz) 3. Nie podłączając niczego do sieci, zmontować układ pomiarowy według schematu przedstawionego na rysunku nr.8 , zamieniając miejscami opór R z kondensatorem C. Użyć przyjętych wartości R i zbliżonej wartości C do obliczonej w punkcie poprzednim. Oszacować ponownie wartość częstotliwości granicznej dla pary wartości R,C którymi dysponujemy praktycznie. 4. Multimetr cyfrowy ustawić na pomiar częstotliwości f[Hz]. Pokrętło amplitudy generatora skręcić na 0. Częstotliwość generatora ustawić na ok. 2 dekady powyżej fg (punkt2.): np. jeżeli fg ~ 104 Hz f~106Hz 5. Pokrętła wzmocnienia obu kanałów oscyloskopu ustawić w pozycjach kalibrowanych, umożliwiających pomiary amplitud napięć w woltach. 6. Po sprawdzeniu poprawności połączeń podłączyć generator, częstościomierz i oscyloskop do sieci. 7. Zwiększając amplitudę sygnału generatora , ustawić uwe (~106Hz) na takim poziomie aby nie obciążać nadmiernie generatora ( zapytać prowadzącego) 8. Zmierzyć f[Hz], uwy[V] dla uwe = const. Zanotować wyniki. 9. Utrzymując uwe = const, zmniejszając częstotliwość, powtórzyć pomiary z p.8 dla co najmniej 12 wartości częstotliwości rozłożonych równomiernie ale w skali logarytmicznej , poczynając od cz. najwyższej aż do ok. 40Hz. 10.Sporządzić wykres uwy= uwy(log�). Na wykresie nanieść wartości R, C, uwe oraz narysować schemat filtra jako czwórnika. 11. Wyznaczyć częstotliwość graniczną filtra jako położenie punktu przegięcia na wykresie z p. 10 i porównać ją z oszacowaną na początku. 12. Dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach obliczyć kąt przesunięcia fazowego Ć = arctg(XC/R); XC=(�C)- 1 lub: Ć = arccos(uwe/uwy). Sporządzić wykres Ć = Ć(log�). 12.Obliczyć T = R(R2 + XC2)- � dla wszystkich częstotliwości użytych w pomiarach i sporządzić wykres tej zależności. Porównać przebieg T(�) z przebiegiem uwy(�) i wyciągnąć wnioski.