Definicja
Pęd ciała definiujemy jako iloczyn jego masy i prędkości (wektorowej)
r r
p = mv
r
r
r r
r
r dr
v
p = pxi + py j + pzk
p = mv = m
dt
dy dz
dx
py = m pz = m
px = m
dt dt
dt
Pęd jest wektorem, o kierunku zgodnym z kierunkiem prędkości.
1
Definicja
Jeżeli na ciało o masie m działa siła F, to definiujemy ją jako
zmianę w czasie pędu ciała
r
r
dp
F =
r r
dt
r
d(mv) dm r dv
F = = v + m
dt dt dt
v
r
dv r
Gdy masa jest stała:
F = m = ma
dt
I zasada Newtona
Ciało, na które nie działa żadna siła (lub gdy siła wypadkowa jest równa zeru)
pozostaje w spoczynku lub porusza się ze stałą prędkością po linii prostej.
II zasada Newtona
Tempo zmian pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej na to ciało.
Dla ciała o stałej masie sprowadza się to do iloczynu masy i przyspieszenia ciała.
r
r r
dp
r
F = lub m = const
wyp F = ma,
wyp
dt
III zasada Newtona
Gdy dwa ciała oddziałują wzajemnie, to siła wywierana przez ciało drugie na ciało
pierwsze jest równa i przeciwnie skierowana do siły, jaką ciało pierwsze działa na drugie.
r r
F12 = -F21
2
Pierwsza zasada dynamiki wydaje się być szczególnym przypadkiem drugiej bo gdy
a = 0 to i Fwyp = 0 . Przypisujemy jej jednak wielką wagę dlatego, że zawiera ważne
pojęcie fizyczne: definicję inercjalnego układu odniesienia.
Definicja
Pierwsza zasada dynamiki stwierdza, że jeżeli na ciało nie działa żadna siła
(lub gdy siła wypadkowa jest równa zeru) to istnieje taki układ odniesienia,
w którym to ciało spoczywa lub porusza się ruchem jednostajnym
prostoliniowym. Taki układ nazywamy układem inercjalnym.
Następstwem istnienia układu inercjalnego jest zasada względności
Galileusza, głosząca, że ruch jednostajny i prostoliniowy układu odniesienia
nie wpływa na przebieg zachodzących w nim procesów mechanicznych.
Do porównania wielkości fizyczne między układami inercjalnymi
stosuje siÄ™ transformacja Galileusza.
Transformacja Galileusza
x = x' + X
vx = vx' +V
ax = ax '
y = y'
vy = vy'
ay = ay '
z = z'
vz = vz '
az = az'
t = t'
Z równości przyspieszeń wynika, że II prawo Newtona w układach poruszających się
względem siebie ze stałą prędkością będzie miało taką samą postać, a tym samym
obaj obserwatorzy stwierdzą działanie takiej samej siły (przyczyny ruchu).
r r
r r
'
r r
F = ma F = ma'
'
Ò! F = F
r r
m = const
a = a'
3
r r r
r r r
F = F(r,v,t)
Fwyp = ma
r r r r
r r
r
d2r dr Fwyp = F1 + F2 + F3 +K
r,
m = F(r ,t)
dt2 dt
d2x dx dy dz
m = Fx (x, y, z, , , ,t)
dt2 dt dt dt
d2 y dx dy dz
m = Fy (x, y, z, , , ,t)
dt2 dt dt dt
d2z dx dy dz
m = Fz (x, y, z, , , ,t)
dt2 dt dt dt
r r
r r
F = Fxi + Fy j + Fzk
r
r
r r
d2r d2x d2 y d2z
r
a = = i + j + k
dt2 dt2 dt2 dt2
r
r r
r(t)
r = x(t)i + y(t) j + z(t)k
x = x(t)
Å„Å‚
ôÅ‚y = y(t)
òÅ‚
ôÅ‚
z = z(t)
ół
4
3ma = F - N
F F
1
a = =
2ma = N - N
m + 2m + 3m 6m
1 2
ma = N
d2x F
2
= = const
dt2 6m
F t2
x(t) =
6m 2
r
r
F = -kr k
É =
r r
m
ma = -kr
x(t) = Ax cosÉt + Bx sinÉt
r
d2r k
r
+ r = 0
y(t) = Ay cosÉt + By sinÉt
dt2 m
z(t) = Az cosÉt + Bz sinÉt
d2x k
+ x = 0
r
dt2 m
r(t) r
r = AcosÉt + B sinÉt
d2 y k
+ y = 0
r r
r r
dt2 m
A = Axi + Ay j + Azk
d2z k r
r
r r
+ z = 0
B = Bxi + By j + Bzk
dt2 m
5
Siły kontaktowe są normalne (prostopadłe) do powierzchni.
Istnieje jednak składowa siły kontaktowej leżąca w płaszczyz
nie powierzchni.
Jeżeli ciało pchniemy wzdłuż stołu to po pewnym czasie ciało to zatrzyma się.
Z drugiej zasady dynamiki wiemy, że jeżeli ciało porusza się z przyspieszeniem
(opóz
nieniem) to musi działać siła. Tę siłę, która przeciwstawia się ruchowi
nazywamy siłą tarcia.
r r
r r
F = (m1 + m2)a FK = m2a
T jest w przybliżeniu niezależna od wielkości pola powierzchni styku ciał;
T jest proporcjonalna do siły z jaką jedna powierzchnia naciska na drugą.
r r
T = µ FN rµ - współczynnik tarcia
FN - siła nacisku
v
Tarcie statyczne:
r
TS
µs = r
F
FN
FT = -ivµFn
Tarcie kinetyczne:
r
TK
µK = r
FN
Fn = mg
6
x'(t) = x(t) - x0 (t)
dv(t) d2x(t)
a(t) = =
dt dt2
a'(t) = a(t) - a0 (t)
ma' = F - ma0
Przyspieszenia w obu układach są równe tylko wtedy gdy a0 = 0 więc gdy układ x'y
porusza się względem układu xy ruchem jednostajnym lub względem niego
spoczywa to znaczy gdy układ x'y' też jest układem inercjalnym tak jak xy.
Natomiast gdy a0 różne od 0 to układ x'y' nazywamy układem nieinercjalnym ,
a jego przyspieszenie a0 przyspieszeniem unoszenia . Przyspieszenie ciała zależy
od przyspieszenia układu odniesienia (od przyspieszenia obserwatora),
w którym jest mierzone więc druga zasada dynamiki jest słuszna tylko,
gdy obserwator znajduje się w układzie inercjalnym. Inaczej mówiąc,
prawa strona równania F = ma zmienia się w zależności od przyspieszenia obserwatora.
r
dÉ
r r r r r r r r
' ' '
au = atr + × r + 2É ×v +É × (É × r )
dt
r r
r
r
dÉ
r
'
Fb = matr
Fbo = m × r
dt
r
r r
FC = 2mÉ ×v'
r
r r r
'
Fd = mÉ × (É × r )
7
r
r
dp
r r
r × F = r ×
dt
r r r r
r dp d(r × p) dr r
r × = - × p
dt dt dt
r r r r
d(r × p) r d(r × p)
v
= - v × mv =
dt dt
r r
r
d(r × p)
r
r × F =
dt
r
r
v
r
v r
L = r × p
M = r × F
Moment siły
Moment pędu
M = r × F
L = r × p
r
r sinÄ…
F
r
r sinÄ…
p
8
II zasada Newtona dla ruchu obrotowego:
Zmiana momentu pędu ciała jest równe momentowi
siły wypadkowej działającemu na to ciało.
r
r
dL
M =
dt
r
r r
Lr = r × pr = 0
r
r r r r
LÕ = r × pÕ = r × mvÕ = mr2É
9
r r
v
L = LÕ = IÉ
Moment bezwładności
2
I = mr
r
r
r
dL d(IÉ)
M = =
dt dt
r
r
d(É) r
M = I = Iµ
dt
r
r r
r
dp = Fdt
dL = Mdt
tB
tB
r
r r
v
r r
p - p = Fdt
L - L =
B A +"
B A +"Mdt
tA
tA
Zmiana pędu (momentu pędu) jest równa (wektorowo)
popędowi siły (momentu siły). Jeśli siła (moment siły)
znika to pęd (moment pędu) cząstki jest stały.
r
v
r
r
M = 0 to L = const
F = 0 to p = const
10