1 2
CAA
KI NIEOZNACZONE
CAA
KA OZNACZONA
2
Funkcją pierwotną funkcji f (x) w przedziale a d" x d" b nazywamy każdą funkcję F(x) taką, że F (x) = f (x)
b
dla każdego x z przedziału a d" x d" b . Całkę oznaczoną funkcji f w przedziale [a,b] oznaczamy symbolem : f (x)dx .
+"
a
Dwie funkcje mające w danym przedziale tę samą skończoną pochodną mogą się różnić co najwyżej o stałą.
INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA CAA
KI OZNACZONEJ
Całką nieoznaczoną funkcji f (x) oznaczaną symbolem f (x)dx, nazywamy wyrażenie F(x) + C , gdzie
+"
Jeżeli w przedziale [a,b] jest f (x) e" 0 to pole obszaru ograniczonego krzywą y = f ((x) , odcinkiem osi Ox oraz
F(x) jest funkcją pierwotną funkcji f (x) , a C jest dowolną stałą. Mamy więc
b
prostymi x = a , x = b równa się całce oznaczonej f (x)dx . Jeżeli zaś w przedziale [a,b] jest f (x) d" 0 , to
2
f (x)dx = F(x) + C , gdzie F (x) = f (x).
+"
+"
a
Zapis f (x)dx jest więc skrótem pytania: jakiej to funkcji pochodną jest funkcja f(x), a dx w zapisie informuje o b
+"
analogiczne pole równa się - f (x)dx .
zmiennej, względem której całkujemy. +"
a
Podstawowe wzory rachunku całkowego
Związek między całką oznaczoną i nieoznaczoną. (Twierdzenie Newtona-Leibniza)
xa+1 dx
Jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , ciągłej w przedziale [a,b], tzn. jeśli F'(x) = f (x) , to zachodzi wzór:
1. xadx = + C, a `" -1. 2. = ln x + C, x `" 0
+" +"
a +1 x
b
Kilka szczególnych przypadków z różnym a to:
f (x)dx = F(b) - F(a) =[F(x)]b .
a
+"
a
" dla a = 0 : = x + C ;
+"dx
DA
UGOŚĆ A
UKU KRZYWEJ
1 dx
" dla a = - : = 2 x + C x > 0 ; Jeżeli krzywa wyznaczona jest równaniem postaci y = f (x) , przy czym funkcja f ma w przedziale a d" x d" b ciągłą
+"
2
x
pochodną, to długość łuku w tym przedziale wyraża się wzorem:
dx 1
b
" dla a = -2 : = - + C x `" 0 .
+"
L = 1+ [ f '(x)]2 dx .
x2 x
+"
x a
a
x x
3. dx = ex + C. 4. dx = + C, a > 0, a `" 1. 5. xdx = sin x + C.
OBJ
TOŚĆ I POLE POWIERZCHNI BRYA
OBROTOWYCH
+"e +"a ln a +"cos
Niech dany będzie łuk AB krzywej o równaniu y = f (x) gdzie f jest funkcją ciągłą i nieujemną w przedziale
dx dx
6. xdx = - cos x + C. 7. = tgx + C cos x `" 0. 8. = -ctgx + C, sin x `" 0.
a d" x d" b . Wówczas objętość bryły obrotowej ograniczonej powierzchnią powstałą w wyniku obrotu łuku AB
+"sin +" +" 2
cos2 x sin x
b b
dx dx
dookoła osi Ox wyraża się wzorem:V = Ą f (x)]2 dx , gdy obrót wokół osi Oy: V = 2Ą xf (x)dx
9. = arcsin x + C = - arccos x + C', -1 < x < 1. 10. = arctgx + C = -arcctgx + C'. +"[ +"
+" +"1+ x2
a a
1- x2
Pole powierzchni obrotowej powstałej przez obrót łuku AB wokół osi Ox obliczamy według wzoru:
b
Własności całek nieoznaczonych:
S = 2Ä„ f (x) | 1+ [ f '(x)]2 dx .
+"|
a
1. Stały czynnik można wynieść przed znak całki, tzn.:
.CAA
KI NIEWA
AÅšCIWE
f (x)dx, k `" 0.
+"kf (x)dx = k+" CAA
KI FUNKCJI NIEOGRANICZONYCH
2. Całka sumy równa się sumie całek, (addytywność całki względem sumy podcałkowej) tzn. Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale a d" x d" c - h , h > 0 oraz w każdym przedziale
c-h b
f (x)dx + g(x)dx.
+"( f (x) + g(x))dx = +" +"
c + k d" x d" b, k > 0 i jeżeli istnieją granice: lim f (x)dx oraz lim f (x)dx ,
+" +"
h0 k0
(podobnie jest z różnicą  na podstawie punktu 1)
a c+k
b
Metody całkowania
to sumę tych granic nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale [a,b] i oznaczamy symbolem f (x)dx .
+"
a
1. (Całkowanie przez części ) Jeżeli u,v są funkcjami zmiennej x mającymi ciągłą pochodną, to Jeżeli któraś z powyższych granic nie istnieje, to mówimy, że całka niewłaściwa jest rozbieżna.
+"u'Å"v = u Å" v - +"u Å" v'
CAA
KI OZNACZONE W PRZEDZIALE NIESKOC
CZONYM.
2. (Całkowanie przez podstawienie) Jeżeli dla a d" x d" b, g(x) = u jest funkcją mającą ciągłą pochodną oraz
Jeżeli funkcja f jest ograniczona i całkowalna w każdym przedziale skończonym a d" x d" v , ( a - ustalone, v -
A d" g(x) d" B , a funkcja f (u) jest ciągła w przedziale [A, B], to v
dowolne ) oraz istnieje granica lim f (x)dx , to granicę tę nazywamy całką niewłaściwą funkcji f w przedziale
2 +"
f (g(x))g (x)dx = f (u)du,
v"
+" +"
a
przy czym po scałkowaniu prawej strony należy w otrzymanym wyniku podstawić u = g(x) . +"
a d" x d" +" i oznaczamy symbolem f (x)dx .
+"
a
Własność ogólna
b b
Jeśli f (x)dx = F(x) + C to f (x + a)dx = F(x + a) + C
+" +" Analogicznie określa się znaczenie symbolu : f (x)dx jako granicę lim f (x)dx .
+" +"
u-"
-" u