UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita
Kolokwium 2 - zakres, typowy zestaw zadań
Działania algebraiczne na macierzach. Macierz odwrotna.
1.1. Podane sÄ… macierze
,
Wyznaczyć macierz .
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy .
Kombinacja liniowa wektorów a iloczyn macierzy.
1.2. Zapisać wektory jako wektory kolumnowe, we współrzędnych w bazie
standardowej ( zero-jedynkowej ): , , .
Następnie przedstawić kombinację liniową wektorów , w postaci
iloczynu odpowiednich macierzy. Sprawdzić słuszność tej równości wykonując działania
algebraiczne na wektorach oraz mnożąc tradycyjnie macierze przez siebie.
Zależność współrzędnych wektora od wyboru bazy. Zmiana bazy ( macierz odwrotna )
1.3. Znane sÄ… współrzÄ™dne wektora w bazie e1 =ð (3,1) , e2 =ð (2,0) .
Obliczyć współrzędne wektora w bazie , .
Wyznaczniki - właściwości, obliczanie.
2.1. Podać właściwości wyznacznika wykorzystywane w dowodach oraz przy obliczaniu
wartości wyznacznika. Obliczyć wyznacznik:
a ) b)
Układy równań liniowych:  istnienie i liczba rozwiązań, metody rozwiązywania.
3.1. Podać postać macierzową układu równań
a) b) c)
Sformułować twierdzenie Kroneckera-Capelliego i określić liczbę rozwiązań układu
równań. Rozwiązać układ równań jedną z metod eliminacji kolejnych niewiadomych:
metodą wektorów ortogonalnych lub metodą eliminacji Gaussa.
Układy równań liniowych typu Cramera  metody rozwiązywania.
3.2. Podać postać macierzową układu równań . Sprawdzić, czy jest to układ typu
Cramera. Rozwiązać układ równań metodą macierzy odwrotnej lub ze wzorów Cramera.
1
UKSW ALGEBRA LINIOWA
Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita
a) b)
Interpretacja geometryczna układu równań liniowych
4.1. Prostą w opisuje układ równań liniowych
Wyznaczyć równanie parametryczne prostej. Wyznaczyć wektory kierunkowe i normalne oraz
współrzędne dowolnego punktu należącego do tej prostej.
4.2. Podane jest równanie parametryczne płaszczyzny w
Wyznaczyć układ równań liniowych jaki spełniają współrzędne punktów należących do tej
płaszczyzny. Wyznaczyć wektory kierunkowe i normalne płaszczyzny oraz współrzędne
dowolnego punktu należącego do tej płaszczyzny.
Przekształcenia liniowe  macierz przekształcenia liniowego
4.3. Wyznaczyć macierz przekształcenia liniowego
f : R3 ®ð R2 , .
w zero-jedynkowych bazach standardowych. Korzystając z postaci macierzy przekształcenia
liniowego wyznaczyć obraz wektora .
4.4. Macierz przeksztaÅ‚cenia liniowego f : R2 ®ð R3 w bazach standardowych
e1 =ð (1,0) , e2 =ð (0,1) oraz e'1 =ð (1,0,1) , e'2 =ð (0,1,0) , e'3 =ð (2,0,1) , ma postać
Podać postać naturalną wektora będącego obrazem wektora ,
a także jego współrzędne w bazie .
Przekształcenia liniowe  obraz przekształcenia, jądro przekształcenia i przeciwobraz
wektora ( jednorodny i niejednorodny układ równań liniowych )
4.5. Macierz przeksztaÅ‚cenia liniowego f : R3 ®ð R2 w bazach standardowych:
e1 =ð (1,0,0) , e2 =ð (0,1,0) , e3 =ð (0,0,1) oraz e'1 =ð (1,0) , e'2 =ð (0,1) , ma postać
Określić Im f oraz Kerf podając wymiary oraz przykładowe bazy tych podprzestrzeni.
Znalez
ć obraz wektora . Znalez
ć przeciwobraz wektora .
Czy zbiory oraz są podprzestrzeniami liniowymi? Podać interpretację
geometryczną zbiorów oraz .
2