Wykład 08
Witold Obłoza
2 grudnia 2010
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
TWIERDZENIE 90
Mamy nastepujace granice specjalne:
1
lim (1 + )x = e,
x
x"
1
Jeżeli lim f(x) = " to lim (1 + )f(x) = e,
xx0 xx0 f(x)
ln(1 + x)
lim = 1,
x0
x
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
ex - 1
lim = 1,
x0
x
ef (x)-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1,
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
(1+x)Ä…-1
lim = Ä…,
x
x0
(1+f(x))alpha-1
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ą,
xx0 xx0 f(x)
sinx
lim = 1.
x0
x
sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
DOWÓD:
Z Twierdzenia o granicah specjalnych dla ciągów ( punkt 7) mamy, że
1
n
" [xn} takiego, że lim xn = " zachodzi równośc lim (1 + )x = e.
xn
n" n"
Wnioskujemy stąd na podstawie definicji Heine go granicy funkcji, że
1
lim (1 + )x = e
x
x"
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
1
Wiemy, że "µ > 0 "M, że "x e" M |(1 + )x - e| < µ.
x
Z drugiej strony "M "´ > 0 takie, że "x
( 0 < |x - x0| < ´ =Ò! f(x) > M.)
1
Mamy stÄ…d dla x " (x0 - ´, x0 + ´) \ [x0] |(1 + )f(x) - e| < µ.
f(x)
1
Czyli lim (1 + )f(x) = e.
xx0 f(x)
ln(1 + x) 1
x
lim = lim ln(1 + x) ,
x0 x0
x
1
x
Ale lim (1 + x) = e,
x0
1
x
Z ciągłości funkcji logarytmicznej mamy lim ln(1 + x) = 1.
x0
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Dowody uogólnień przebiegają analogicznie jak poprzednio i nie będą
powtarzane.
ln(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1 i mamy stąd
xx0 xx0 f(x)
ex - 1 ex - 1
lim = lim = 1.
x0 x0
x ln(1 + ex - 1)
(1 + x)Ä… - 1 eÄ…ln(1+x) - 1
lim = lim =
x0 x0
x x
eÄ…ln(1+x) - 1 Ä…ln(1 + x)
= lim · = Ä….
x0 Ä…ln(1 + x) x
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
Z nieparzystości funkcji sinus i funkcji identycznościowej wystarczy
sin x
pokazać, że lim = 1.
x0+ x
Dla x > 0 przyjmując |OB| = 1 i porównując pola trójkąta OBC,
wycinka kołowego OBC oraz trójkąta OBD otrzymujemy ciąg
nierówności:
|OB| · sin x x|OB|2
d" d"
2 2
|OB| · tg x
.
2
StÄ…d sin x d" x d" tg x.
DzielÄ…c przez
sin x > 0 mamy:
x 1
1 d" d" .
sin x cos x
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
x
Z Twierdzenia o granicy trzech funkcji wynika, że lim = 1.
x0+ sin x
sin x
Zatem lim = 1.
x0+ x
TWIERDZENIE 91
Z poprzedniego twierdzenia łatwo wynika, że
tgx
lim = 1,
x0
x
tg f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
arcsinx
lim = 1,
x0
x
arc sin f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
arctgx
lim = 1,
x0
x
arc tg f(x)
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = 1.
xx0 xx0 f(x)
loga(1 + x) 1
lim = ,
x0
x ln a
1
loga(1+f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = .
xx0 xx0 f(x)
ln a
ax - 1
lim = ln a.
x0
x
ax-f(x))
Jeżeli lim f(x) = 0 to lim = ln a.
xx0 xx0 f(x)
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
DOWÓD:
tgx sin x 1
lim = lim · = 1,
x0 x0
x x cos x
arcsinx arcsinx
lim = lim = 1,
x0 x0
x sin arcsinx
arctgx arctgx
lim = lim = 1,
x0 x0
x tg arctgx
loga(1 + x) ln(1 + x) 1 1
lim = lim = ,
x0 x0
x x ln a ln a
ax - 1 exln a - 1 exln a - 1
lim = lim = lim · ln a = ln a.
x0 x0 x0
x x xln a
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
PRZYKA
AD 92
x-x0 x+x0
2sin cos
sin x - sin x0
2 2
lim = = cos x0.
0
xx0 - x0 2x-x
x
2
x-x0 x+x0
cos x - cos x0 -2sin sin
2 2
lim = = -sin x0.
x-x0
xx0 - x0 2
x
2
0 0
ax - ax ax-x - 1
0 0
lim = ax = ax ln a.
xx0 - x0 x - x0
x
Ä…
x0+x-x0
- 1
xÄ… - xÄ… x0
0
lim = lim xÄ… =
xx0 - x0 Ä… 0 x - x0
xx0
x
x-x0
1 + - 1
x0
lim xÄ… = Ä…xÄ…-1.
0
xx0 0 x-x0
x0 x0
GRANICE SPECJALNE DLA FUNKCJI
x
loga x0 loga x0+x-x0
logax - logax0
x0
lim = lim = lim =
xx0 - x0 x x0 x0
xx0 - x0
xx0 x-x0
x
x-x0
loga 1 +
x0 1
lim = .
xx0 x-x0
x0 x0 x0ln a
POCHODNA
DEFINICJA 93
Niech dana bedzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x0. Jeżeli
f(x) - f(x0)
istnieje granica właściwa lim = f (x0) to nazywamy ja
xx0 - x0
x
pochodna funkcji f w punkcie x0.
TWIERDZENIE 94
Niech dana bedzie funkcja f określona w otoczeniu punktu x0. Jeżeli ma
pochodna w punkcie x0 to jest w tym punkcie ciagła.
DOWÓD:
Å„Å‚
+ h) - f(x0)
òÅ‚f(x0
- f (x0) dla h = 0,

Funkcja É(x0, h) = jest
ół0 h
dla h = 0
ciagła w zerze.
POCHODNA
Mamy ponadto f(x0 + h) = f(x0) + hf (x0) + hÉ(x0, h) czyli
lim f(x0 + h) = f(x0).
h0
DEFINICJA 95
Jeżeli funkcja f : (a, b) - R ma pochodna w każdym punkcie punkcie
x " (a, b) to funkcje f : (a, b) x - f (x) " R nazywamy funkcja
pochodna funkcji f.
TWIERDZENIE 96
Zachodza nastepujace wzory:
1
(xÄ…) = Ä…xÄ…-1, (ax) = axln a, (logax) = ,
xln a
(sin x) = cos x, (cos x) = -sin x,
POCHODNA
TWIERDZENIE 97
Niech bedzie dana bijekcja ciagła f : (a, b) - (c, d), x0 " (a, b) i niech
f (x0) = 0 wtedy funkcja odwrotna ma pochodna w punkcie y0 = f(x0)

1
i ponadto (f-1) (y0) = .
f (x0)
DOWÓD:
f-1(y) - f-1(y0) x - x0 1
lim = lim = .
yy0 - y0 f(x)
xx0 - f(x0) f (x)
y
POCHODNA
PRZYKA
AD 98
Dla funkcji cyklometrycznych mamy następujące wzory:
1 -1
(arcsin x) = " , (arccos x) = " ,
1 - x2 1 - x2
DOWÓD:
Ä„ Ä„
Niech x = sin y dla y " [- , ] wówczas y = arc sin x.
2 2
1 1 1
Mamy: (arc sin x) = = = .
(sin y) cos y
1 - si2y
Drugi wzór dowodzimy analogicznie.
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Jeżeli funkcje g, f są określone w otoczeniu x0 maja pochodna w
punkcie x0 to funkcje (f + g), (f - g), (f · g) maja pochodna w punkcie
x0 i ponadto
(f + g) (x0) = f (x0) + g (x0),
(f - g) (x0) = f (x0) - g (x0),
(f · g) (x0) = f (x0)g(x0) + g (x0)f(x0).
DOWÓD:
(f + g)(x) - (f + g)(x0) f(x) + g(x) - f(x0) - g(x0)
lim = lim =
xx0 xx0
x - x0 x - x0
f(x) - f(x0) g(x) - g(x0)
lim + = f (x0) + g (x0).
xx0 - x0 x - x0
x
POCHODNA
Dowód dla różnicy jest analogiczny i zostaje jako ćwiczenie.
(f · g)(x) - (f · g)(x0) f(x) · g(x) - f(x0) · g(x0)
lim = lim =
xx0 xx0
x - x0 x - x0
f(x) · g(x) - f(x) · g(x0) + f(x) · g(x0) - f(x0) · g(x0)
lim =
xx0
x - x0
f(x) · g(x) - f(x) · g(x0) f(x) · g(x0) - f(x0) · g(x0)
lim + =
xx0
x - x0 x - x0
g(x) - g(x0) f(x) - f(x0)
lim f(x) + g(x0) =
xx0
x - x0 x - x0
= f(x0)g (x0) + g(x0)f (x0).
POCHODNA
TWIERDZENIE 99
Niech beda dane funkcje f : X - Y, g : Y - Z, gdzie X, Y, Z
przedziały w R i niech f(x0) = y0.
Jeżeli istnieja pochodne f (x0), g (y0) to istnieje (g ć% f) (x0)
i ponadto (g ć% f) (x0) = g (y0) · f (x0).
DOWÓD: Jeżeli w każdym sąsiedztwie x0 istnieje x1 takie, że f(x1) = y0
to g(f(x1)) = g(y0) i f (x0) = 0.
Wówczas dla x takich, że f(x) = y0 mamy

g(f(x)) - g(f(x0)) g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
= .
x - x0 f(x) - f(x0) x - x0
Z ciągłości funkcji f w punkcie x0 i istnienia granicy
g(f(x)) - g(f(x0))
lim g(y) - g(y0y - y0 Wnioskujemy, że lim = 0.
yy0 xx0
x - x0
POCHODNA
Jeżeli teraz w pewnym sąsiedztwie punktu x0 funkcja f nie przyjmuje
g(f(x)) - g(f(x0))
wartości y0. to lim =
xx0
x - x0
g(f(x)) - g(f(x0)) f(x) - f(x0)
lim = g (y0) · f (x0).
xx0
f(x) - f(x0) x - x0
TWIERDZENIE 100
Jeżeli funkcje f, g określone w otoczeniu punktu x0 mają pochodne w
f
punkcie x0 oraz g(x0) = 0 to istnieje pochodna funkcji w punkcie x0

g
f f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
i zachodzi wzór (x0) = .
g (g(x0)2)
POCHODNA
DOWÓD:
1 -1
Z Twierdzenia 99 mamy (x0) = .
g (g(x0))2
Z Twierdzenia 98 wynika, że
1 -1 1
) · f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g (g(x0))2 g(x0)
1 1 1
= · f (x0) = (x0) · f(x0) + f (x0) =
g g g(x0)
f (x0) · g(x0) - f(x0) · g (x0)
= .
(g(x0))2
POCHODNA
TWIERDZENIE 101
Mamy następujące wzory
1 -1
(tg x) = , (ctg x) = ,
2 2
cos x sin x
oraz
1 -1
(arctg x) = , (arcctg x) = .
1 + x2 1 + x2
DOWÓD:
2
sin x cos - (sin x)(-sin x) 1
(tg x) = = =
2 2
cos x cos x cos x
POCHODNA
Dowód dla kotangensa jest podobny.
-Ä„ Ä„
Niech x = tg y y " ( , ) czyli y = arc tg x.
2 2
2
1 cos y 1 1
2
(arctg x) = = cos y = = = ,
2 2 2
(tg y) cos y + sin y 1 + tg y 1 + x2
Dowód dla arkus kotangensa jest podobny.