J. Szantyr  Wykład nr 16  Podobieństwo przepływów I
Eksperymentalne badanie przepływów odbywa się najczęściej na
modelach będących odwzorowaniem obiektów rzeczywistych w
określonej skali. Aby wyniki pomiarów na modelu mogły być
zastosowane do obiektu rzeczywistego, muszą być spełnione
odpowiednie warunki podobieństwa przepływu modelowego i
rzeczywistego.
System wymiarowania wielkości fizycznych
System wymiarowania wielkości fizycznych
Jednostki podstawowe Jednostki pochodne
Długość [m]
m
îÅ‚kg Å‚Å‚
[N]=
Siła
ïÅ‚
s2 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Masa [kg]
îÅ‚ Å‚Å‚
m2
[W]=
Czas [s] Moc
ïÅ‚kg
s3 śł
ðÅ‚ ûÅ‚
Temperatura [K]
Formułowanie praw fizycznych nie zależy od wyboru jednostek
Twierdzenie Buckinghama (twierdzenie )
1. Każdą funkcję n parametrów
Edgar Buckingham
wymiarowych
1867 - 1940
ai , z których k ma
wymiary podstawowe, można
przedstawić w postaci funkcji n-k
ak +1
parametrów bezwymiarowych typu:
k +1 =
k +1
p1 p2 pk
p2
1 k
a a .....a
a1p a2 .....akp
2. Jeżeli parametry bezwymiarowe  będą identyczne dla dwóch
różnych sytuacji (np. dwóch różnych skal), to zjawisko będzie
przebiegało identycznie, pomimo różniących się parametrów typu a.
Parametry typu  można więc nazwać parametrami podobieństwa
lub kryteriami podobieństwa.
Na postawie ww. twierdzenia można przeprowadzić analizę
wymiarową równań mechaniki płynów i wyprowadzić odpowiednie
kryteria podobieństwa.
Analiza wymiarowa równania zachowania masy
( )+
" Áuy "(Áuz
"Á "(Áux) )
dla skali 1
+ + = 0
"t "x "y "z
2 2
( )+
" Á uy "(Á uz
2 2 2 2 2
"Á "(Á ux) )
+ + = 0
dla skali 2
2 2 2 2
"t "x "y "z
2
2 t = Ä…tt
Á = Ä…Á Á
Wprowadzamy przeliczniki skal:
2
2
2 2 2
2 2 2
2 y = Ä… y uz = Ä…uzuz
2 y = Ä… y uz = Ä…uzuz
x = Ä…xx z = Ä…z z ux = Ä…uxux 2
x = Ä…xx z = Ä…z z ux = Ä…uxux 2
uy = Ä…uyuy
uy = Ä…uyuy
y
y
Postulujemy podobieństwo geometryczne pomiędzy przepływami w
obu skalach, czyli:
2
l
Ä…x = Ä… = Ä…z = Ä…l =
y
l
Ponadto postulujemy podobieństwo kinematyczne, czyli
podobieństwo pól prędkości pomiędzy przepływami w obu skalach,
czyli:
2
u
Ä…ux = Ä…uy = Ä…uz = Ä…u =
u
Teraz równanie dla skali 2 można zapisać w postaci:
( )+
Ä…Á "Á Ä…ÁÄ…u "(Áux) " Áuy "(Áuz
îÅ‚ Å‚Å‚
)
+ + = 0
śł
Ä…t "t Ä…l ïÅ‚ "x "y "z
ðÅ‚ ûÅ‚
Warunek identyczności równań w skali 1 i 2 ma
Vincent Strouhal
postać:
Ä…Á Ä…ÁÄ…u Ä…l
1850 - 1922
=1
= lub
Ä…t Ä…l Ä…tÄ…u
2
l l tc
Wobec tego z zapisu skal wynika równość:
= = = Sh
2 2
2 2
tu t u t
tu t u t
Sh  liczba Strouhala
tc - czas charakterystyczny przepływu (czyli czas pokonania przez
płyn charakterystycznego wymiaru liniowego l  np. długości
rurociągu, z prędkością charakterystyczną u)
t
- czas zmienności niestacjonarnych warunków przepływu, np.
długość cyklu pracy pompy tłokowej
Wykorzystując liczbę Strouhala można napisać równanie zachowania
masy w postaci bezwymiarowej:
Ć
( )+
" Áûy "(Áûz
Ć Ć Ć
"Á "(Áûx) )
Sh + + = 0
Ć
"t "x "w
"Ä™
gdzie wszystkie wielkości są odniesione do odpowiednich wielkości
charakterystycznych, co czyni je bezwymiarowymi, np.:
Á
ux
t
x
Ć
Á =
ûx =
tĆ =
Ć
x = itd.
Á0
u0
t0
x0
0
Mała wartość liczby Strouhala w danym przepływie oznacza, że
niestacjonarne zjawiska w tym przepływie są mało istotne i mogą
być pominięte.
Analiza wymiarowa równania Naviera - Stokesa
Dodatkowo należy wprowadzić przeliczniki skal:
2
2 p = Ä… p
µ = Ä…µµ
2 p
f = Ä… f
f
Po podstawieniu do równania N-S otrzymujemy:
2
Ä…ÁÄ…u "u Ä…ÁÄ…u Ä…
îÅ‚ Å‚Å‚
"u "u "u
p
Á + ÁïÅ‚ux + uy + uz śł = Ä…ÁÄ… Áf - gradp +
f
Ä…t "t Ä…l "x "y "z Ä…l
ðÅ‚ ûÅ‚
Ä…µÄ…u Ä…µÄ…u
2
öÅ‚
- gradëÅ‚ µdivu + div(2µ[D])
ìÅ‚ ÷Å‚
Ä…l2 3 Ä…l2
íÅ‚ Å‚Å‚
Równanie to jest identyczne w dwóch różnych skalach 1 i 2 przy
spełnieniu następującego warunku:
2
Ä…ÁÄ…u Ä…ÁÄ…u Ä… Ä…µÄ…u Po podzieleniu stronami przez
p
= = Ä…ÁÄ… = =
f
drugi wyraz i po wykorzystaniu
Ä…t Ä…l Ä…l Ä…l2
definicji skal otrzymujemy:
2
l l
Liczba Strouhala: Sh = =
2 2
tu t u
William Froude
1810 - 1879
2 2
u2 u
2
(Fr) = =
Liczba Froude a:
2 2
fl f l
Liczba Froude a wyraża stosunek sił bezwładności do sił
masowych
2
p p
Leonhard Euler
Leonhard Euler
Liczba Eulera:
Liczba Eulera:
Eu = =
Eu = =
2
1707 - 1783
2 2 2
2 2 2
Á Á
Áu2 Á u
Liczba Eulera wyraża stosunek sił ciśnienia do sił bezwładności
2 2 2
Ául Á u l
Osborne Reynolds
Liczba Reynoldsa:
Re = =
1842 - 1912
2
µ µ
Liczba Reynoldsa wyraża stosunek sił bezwładności
do sił lepkości
WykorzystujÄ…c liczby Strouhala, Froude a, Eulera i Reynoldsa
można napisać równanie Naviera Stokesa w postaci bezwymiarowej:
"u Á
ShÁ + Á(ugrad)u = f - Eu Å" gradp +
"t (Fr)
1 îÅ‚ 2
ëÅ‚ öÅ‚
-
ïÅ‚gradìÅ‚ 3 µdivu ÷Å‚ - div(2µ[D])Å‚Å‚
śł
Re
íÅ‚ Å‚Å‚
ðÅ‚ ûÅ‚
W równaniu powyższym wszystkie parametry zostały odniesione do
wielkości charakterystycznych, podobnie jak w równaniu zachowania
wielkości charakterystycznych, podobnie jak w równaniu zachowania
masy.
Jeżeli równanie N-S w powyższej postaci zastosujemy do przepływów
w dwóch różnych skalach, to uzyskamy pełne podobieństwo zjawisk
przy zachowaniu równości wszystkich kryteriów podobieństwa. Nie
zawsze jest to możliwe. Przy zachowaniu tylko niektórych kryteriów
uzyskujemy tzw. podobieństwo częściowe, a wyniki pomiarów lub
obliczeń są obciążone tzw. efektem skali (patrz przykład poniżej).
Przykład
Rozpatrujemy przypadek podpory mostu (1), która jest badana w
Rozpatrujemy przypadek podpory mostu (1), która jest badana w
laboratorium na modelu (2) w skali zmniejszonej (1:10), w celu
określenia wypadkowej siły hydrodynamicznej działającej na
podporę. Siła ta składa się z części lepkościowej, zależnej przede
wszystkim od liczby Reynoldsa, oraz z części falowej zależnej
przede wszystkim od liczby Froude a. Postulujemy:
m
przy np.: U1 = 5,0îÅ‚ Å‚Å‚ L1 = 10,0[m]
F = Fw(Fr)+ Fv(Re)
ïÅ‚ śł
s
ðÅ‚ ûÅ‚
Fr1 = Fr2
W przypadku pełnego podobieństwa Re = Re2 można napisać:
1
F2
Á1
=
F1 = CF1 U12S1 gdzie: CF1 = CF 2
Á
2
2
U2 S2
2
Zachowanie równości liczb Froude a prowadzi do:
U1 U2 L2 m
= U2 = U1 = 0,3162Å"U1 U2 =1,581îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
L1 s
gL1 gL2
ðÅ‚ ûÅ‚
Z kolei zachowanie równości liczb Reynoldsa prowadzi do:
Z kolei zachowanie równości liczb Reynoldsa prowadzi do:
U1L1 U2L2 L1 m
= U1L1 = U2L2 U2 = U1 U2 = 50,0îÅ‚ Å‚Å‚
ïÅ‚ śł
½ ½ L2 s
ðÅ‚ ûÅ‚
Widać wyraz
nie, że jednoczesne spełnienie obu kryteriów podobieństwa
jest niemożliwe. A
atwiejsze jest spełnienie kryterium Froude a, gdyż
spełnienie kryterium Reynoldsa wymaga zastosowania w laboratorium
bardzo wysokiej prędkości. Powoduje to powstanie efektu skali, który
powinien być wzięty po uwagę przy przeliczaniu wyników.
Procedura przeliczania wyniku ze skali modelowej na skalÄ™ rzeczywistÄ…
z uwzględnieniem konsekwencji częściowego podobieństwa, czyli
efektu skali.
1. Mierzymy siłę oporu
F2 w skali modelowej
2. Obliczamy współczynnik oporu całkowitego na modelu
F2
CF 2 =
Załóżmy, że wynosi
Á
2
on np. 0,008
U2 S2
2
2
3. Obliczamy liczbÄ™ Reynoldsa dla modelu
L2U2 1,0Å"1,581
Re2 = = = 1,36Å"106
½ 1,16Å"10-6
2
4. Obliczamy współczynnik oporu tarcia dla modelu
0,074 0,074
CV 2 = = = 0,00439
5
Re2 5 1360000
5. Od współczynnika oporu całkowitego dla modelu odejmujemy
współczynnik oporu tarcia dla modelu, uzyskując współczynnik
oporu falowego, który skaluje się z liczbą Froude a, czyli w tym
przypadku jest taki sam dla modelu i dla obiektu rzeczywistego
CW 2 = CF 2 - CV 2 = 0,008 - 0,00439 = 0,00371 = CW1
6. Obliczamy liczbÄ™ Reynoldsa dla obiektu rzeczywistego
L1U1 5,0Å"10,0
Re1 = = = 4,31Å"107
½1 1,16Å"10
½1 1,16Å"10-6
7. Obliczamy współczynnik oporu tarcia dla obiektu rzeczywistego
0,074 0,074
CV1 = = = 0,0022
5
Re1 5 43100000
8. Obliczamy współczynnik oporu całkowitego dla obiektu
rzeczywistego
CF1 = CW1 + CV1 = 0,00371+ 0,0022 = 0,00591
9. Obliczamy opór całkowity na obiekcie rzeczywistym
1
F1 = CF1 Å" Á Å"U12 Å" S1 = 0,5Å"0,00591Å"1000Å"5,02 Å"100 = 7387,5[N]
2
Uwaga: przyjęte pole zwilżone obiektu rzeczywistego S1 =100[m2]
obejmuje obie strony podpory
Komentarz: gdybyśmy nie uwzględnili efektu skali i przyjęli, że
współczynniki oporu całkowitego są równe dla modelu i obiektu
rzeczywistego, to wyznaczona siła oporu na obiekcie rzeczywistym
rzeczywistego, to wyznaczona siła oporu na obiekcie rzeczywistym
wynosiłaby:
F1 = 0,5Å"0,008Å"1000Å"5,02 Å"100 =10000[N]
czyli byłaby zawyżona o około 35%
W tym przypadku efekt skali zawiera się w różnicy współczynników
oporu tarcia wynikającej z niedotrzymania kryterium podobieństwa
Reynoldsa.