Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Wykład 8
8. Zasada zachowania energii
8.1 Wstęp
Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona pokazaliśmy, że
W = "Ek
Często na punkt materialny działa kilka sił, których suma wektorowa jest siłą wypad-
kowÄ…: F = F1 + F2 + F3 +.......+ Fn. Wtedy praca jest sumÄ… algebraicznÄ… prac wykona-
nych przez poszczególne siły: W = W1 + W2 + W3 +...........+ Wn.
Twierdzenie o pracy i energii ma wtedy postać
W1 + W2 + W3 +...........+ Wn ="Ek
Będziemy właśnie rozpatrywać układy, w których działają różne siły, pozwoli to na de-
finiowanie różnych rodzajów energii.
8.2 Siły zachowawcze i niezachowawcze
Zaczynamy od rozważmy przykładów dwóch rodzajów sił: sił zachowawczych i sił nie-
zachowawczych.
V
Najpierw rozpatrzmy sprężynę jak w przykładzie z poprzedniego wykładu.
Przesuwamy ciało o masie m z prędkością v w kierunku sprężyny, tak jak na rysunku.
Założenia:
" ruch na płaszczyz
nie odbywa siÄ™ bez tarcia,
" sprężyna jest idealna tzn. spełnia ona prawo Hooke'a: F = -kx, gdzie F jest siłą wy-
wieraną przez sprężynę kiedy jej swobodny koniec jest przemieszczony na odległość x,
" masa sprężyny jest zaniedbywalnie mała w porównaniu z masą ciała, więc cała ener-
gia kinetyczna w układzie sprężyna + ciało jest zgromadzona w tym ciele.
Przy ściskaniu sprężyny, prędkość ciała, a wobec tego i energia kinetyczna maleje
aż do zatrzymania ciała. Następnie ciało porusza się w przeciwnym kierunku pod
wpływem sprężyny. Prędkość i energia kinetyczna rosną aż do wartości jaką ciało miało
początkowo. Interpretowaliśmy energię kinetyczną jako zdolność ciała do wykonania
pracy kosztem jego ruchu (kosztem Ek). Po przebyciu zamkniętej drogi (cyklu) zdolność
ciała do wykonania pracy pozostaje taka sama, jest zachowana. Siła sprężysta wywiera-
na przez idealną sprężynę jest zachowawcza. Inne siły, działają także w ten sposób, np.
8-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
siła grawitacji. Ciało rzucone do góry, przy zaniedbaniu oporu powietrza, wróci z tą
samą prędkością i energią kinetyczną.
Jeżeli jednak ciało, na które działa jedna lub więcej sił powraca do położenia początko-
wego i ma inną energię kinetyczną niż na początku to oznacza, że po przebyciu drogi
zamkniętej zdolność tego ciała do wykonania pracy nie została zachowana. Oznacza to,
że przynajmniej jedną z działających sił określa się jako niezachowawczą.
Aby zilustrować ten przypadek, załóżmy, że powierzchnia nie jest idealnie gładka,
że mamy do czynienia z tarciem. Ta siła tarcia przeciwstawia się ruchowi bez względu
w którym kierunku porusza się ciało (nie tak jak siła sprężystości czy grawitacji) i ciało
wraca z mniejszą energią kinetyczną. Mówimy, że siła tarcia (i inne działające podob-
nie) sÄ… niezachowawcze.
Możemy przeanalizować zachowawczy charakter sił analizując pracę jaką wykonuje
ta siła nad punktem materialnym.
W pierwszym przykładzie (bez tarcia) praca wykonana przez siłę sprężystą, gdy
sprężyna ulega ściskaniu, jest ujemna (siła jest skierowana przeciwnie do przemiesz-
czenia, cos180° = -1). Gdy sprężyna rozprężą siÄ™ praca jest dodatnia (siÅ‚a i przemiesz-
czenie jednakowo skierowane). Podczas pełnego cyklu praca wykonana przez siłę sprę-
żystą (siłę wypadkową) jest równa zero.
W drugim przykładzie (uwzględniamy tarcie). Praca wykonywana przez siłę tarcia
jest ujemna dla każdej części cyklu (tarcie zawsze przeciwstawia się ruchowi).
Ogólnie: Siła jest zachowawcza, jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem mate-
rialnym, który porusza się po dowolnej drodze zamkniętej jest równa zeru. Siła jest nie-
zachowawcza jeżeli praca wykonana przez tę siłę nad punktem materialnym, który po-
rusza się po dowolnej drodze zamkniętej nie jest równa zeru.
Możemy jeszcze trzecim sposobem rozważyć różnicę między siłami niezachowawczy-
B
B
1
1
2
2
A
A
mi i zachowawczymi. Rozpatrzmy ruch z punktu A do B po jednej drodze (1) a powrót z
B do A po innej (2) (patrz rysunek).
Jeżeli siła jest zachowawcza to
WAB,1 + WBA,2 = 0
bo droga zamknięta. Możemy to zapisać inaczej
WAB,1 = - WBA,2
Ale gdyby odwrócić kierunek ruchu i przejść z A do B po drugiej drodze to, ponieważ
8-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
zmieniamy tylko kierunek to
WAB,2 = -WBA,2
SkÄ…d otrzymujemy
WAB,1 = WAB,2
Widać z tego, że praca wykonana przez siłę zachowawczą przy przemieszczaniu od A
do B jest taka sama dla obu dróg. Drogi 1 i 2 mogą mieć dowolny kształt byleby tylko
łączyły te same punkt A i B.
Siłę nazywamy zachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią nad punktem mate-
rialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy tylko od tych punktów, a nie
od łączącej je drogi. Siłę nazywamy niezachowawczą jeżeli praca wykonana przez nią
nad punktem materialnym poruszającym się między dwoma punktami zależy od drogi
Å‚Ä…czÄ…cej te punkty.
Przedstawione definicje są równoważne.
8.3 Energia potencjalna
Skupimy się teraz na odosobnionym układzie ciało + sprężyna. Zamiast mówić ciało
się porusza będziemy mówić: stan układu się zmienia.
Widzieliśmy, że gdy nie występuje tarcie to energia kinetyczna maleje a potem ro-
śnie tak, że wraca do początkowej wartości w cyklu zamkniętym. W tej sytuacji (gdy
działają siły zachowawcze) staje się celowe wprowadzenie pojęcia energii stanu lub
energii potencjalnej Ep. Mówimy, że jeżeli energia kinetyczna układu zmieni się o war-
tość "Ek to tym samym zmienił się stan układu to energia potencjalna Ep (stanu) tego
układu musi się zmienić o wartość równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwną
co do znaku, tak że suma tych zmian jest równa zeru
"Ek + "Ep = 0
Innymi słowy, każda zmiana energii kinetycznej Ek jest równoważona przez równą co
do wartości, a przeciwną co do znaku zmianę energii potencjalnej Ep układu, tak że ich
suma pozostaje przez cały czas stała
Ek + Ep. = const. (8.1)
Energia potencjalna przedstawia formę nagromadzonej energii, która może być całko-
wicie odzyskana i zamieniona na energię kinetyczną. Nie można więc wiązać energii
potencjalnej z siłą niezachowawczą.
W przykładzie ze sprężyną (bez tarcia) energia kinetyczna ciała początkowo maleje,
a zlokalizowana w sprężynie energia potencjalna rośnie. Z twierdzenia o pracy i energii
W = "Ek
więc dla zachowawczej siły F
W = "Ek = - "Ep
8-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
StÄ…d
x
"Ep = -W = - F(x)dx (8.2)
+"
x0
Możemy więc zapisać zależność między siłą i energią potencjalną
dEp (x)
F(x) = - (8.3)
dx
Trzeba zwrócić uwagę, że naprawdę potrafimy tylko policzyć "Ep a nie Ep samą. Po-
nieważ "Ep = EpB  EpA. Żeby znalez
ć EpB trzeba nie tylko znać siłę ale jeszcze wartość
EpA
x
EpB = "Ep + EpA = - F(x)dx + EpA
+"
x0
Punkt A nazywamy punktem odniesienia i zazwyczaj wybieramy go tak (umowa), żeby
Ep było równe zeru w tym punkcie (porównanie z potencjałem elektrycznym).
Przykłady energii potencjalnej dla jednowymiarowych sił zachowawczych
" grawitacyjna energia potencjalna (w pobliżu powierzchni Ziemi)
Ruch wzdłuż osi y
F(y) = -mg
F jest stała. Przyjmujemy, że dla y = 0, Ep(0) = 0.
Wtedy
yy
Ep (y) = - F(y)dy + Ep (0) = -
+"+"(-mg)dy = mgy
00
Sprawdzenie
dEp (y)
d(mgy)
F = - = - = -mg
dy dy
" energia potencjalna sprężyny
Ruch wzdłuż osi x
F(x) = -kx
Przyjmujemy dla x = 0, Ep(0) = 0.
Wtedy
8-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
x
kx2
Ep = -
+"(-kx)dx =
2
0
Sprawdzenie:
ëÅ‚ öÅ‚
kx2
ìÅ‚ ÷Å‚
dìÅ‚ ÷Å‚
dEp (x)
2
íÅ‚ Å‚Å‚
F = - = - = -kx
dx dx
8.3.1 Energia potencjalna i potencjał pola grawitacyjnego
W przykładzie powyżej obliczyliśmy energię potencjalną związaną z siłą grawita-
cyjną w pobliżu powierzchni Ziemi, gdzie przyjmowaliśmy, że siła grawitacji jest stała.
Teraz zajmiemy się zagadnieniem bardziej ogólnym i znajdziemy energię potencjalną
masy m znajdującej się w dowolnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o r od
środka Ziemi.
Dla sił zachowawczych zmianę energii potencjalnej ciała przy przejściu ze stanu A
do stanu B możemy zapisać jako
"Ep = EpB - EpA = -WAB
skÄ…d
EpB = -WAB + EpB
Żeby policzyć energię potencjalną w punkcie B musimy znać energię potencjalną w
punkcie odniesienia A i policzyć pracę WAB.
Dla masy m znajdującej się w pewnym punkcie nad powierzchnią Ziemi odległym o
r od środka Ziemi stan odniesienia wybiera się tak, że Ziemia i masa m znajdują się od
siebie w nieskończonej odległości. Temu położeniu (r ") przypisujemy zerową ener-
gię potencjalną, EpA = 0. Zwróćmy uwagę, że stan zerowej energii jest również stanem
zerowej siły. Siła grawitacji jest siłą zachowawczą więc dla wybranego punktu odnie-
sienia
Ep (r) = -W"r + 0
Musimy teraz obliczyć pracę -W"r . Ponieważ znamy siłę
M m
Z
F = -G
2
r
to możemy obliczyć pracę i w konsekwencji energię potencjalną (znak minus wskazuje
kierunek działania siły do środka Ziemi; siła przyciągająca)
8-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
r r
Mm
ëÅ‚ öÅ‚d r =
Ep (r) = -W"r = - Fd r = - G
÷Å‚
+" +"ìÅ‚- 2
r
íÅ‚ Å‚Å‚
" "
(8.4)
r
Mm Mm
- G = -G
r r
"
Energia potencjalna ma wartość równo zeru w nieskończoności (punkt odniesienia)
i maleje w miarę zmniejszania się r. Oznacza to, że siła jest przyciągająca. Wzór ten jest
prawdziwy bez względu na wybór drogi po jakiej punkt porusza się z nieskończoności
do r.
Widzimy, że z polem siły grawitacji wiąże się przestrzenny rozkład energii E(r) da-
ny równaniem (8.4).
Omawiając na Wykładzie 6 pole grawitacyjne przedstawialiśmy siłę działającą na
umieszczony w tym polu obiekt jako iloczyn natężenia pola i masy tego obiektu.
Stwierdziliśmy, że jedna masa wytwarza pole, a następnie to pole działa na drugą masę.
Inaczej mówiąc rozdzieliliśmy siłę na dwie części i w ten sposób uniezależniliśmy nasz
opis od masy obiektu wprowadzanego do pola.
Podobnie możemy postąpić z energią potencjalną. Zauważmy, że zgodnie z wyraże-
niem (8.4) możemy ją przedstawić jako iloczyn masy m i pewnej funkcji V(r)
Ep (r) = mV (r) (8.5)
Funkcję V(r) nazywamy potencjałem pola grawitacyjnego i definiujemy jako stosunek
grawitacyjnej energii potencjalnej masy m do wartości tej masy
Ep (r)
M
V (r) = = -G (8.6)
m r
Jak już wspominaliśmy z pojęcia pola korzysta się nie tylko w związku z grawitacją.
Przy opisie zjawisk elektrycznych również będziemy się posługiwali pojęciem pola
(elektrycznego), jego natężenia i potencjału.
Przykład 1
Skorzystajmy teraz z wyrażenia na grawitacyjną energię potencjalną, żeby znalez
ć
prędkość jaką należy nadać obiektowi przy powierzchni Ziemi, aby wzniósł się on na
wysokość h nad powierzchnię Ziemi Stosując zasadę zachowania energii otrzymujemy
Ek + Ep (RZ ) = Ep (RZ + h)
czyli
2
mv M m M m
Z Z
- G = -G
2 RZ RZ + h
a po przekształceniach
ëÅ‚ öÅ‚
1 1
ìÅ‚ ÷Å‚
v = 2GM -
ìÅ‚ ÷Å‚
RZ RZ + h
íÅ‚ Å‚Å‚
8-6
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału dostatecznie dużej energii kinetycz-
nej wtedy ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Jego energia kinetyczna będzie malała w
trakcie oddalania się, a potencjalna rosła.
Przykład 2
Teraz spróbujemy obliczyć jaką prędkość należy nadać obiektowi na Ziemi aby
uciekł on z Ziemi na zawsze.
Praca potrzebna na przeniesieni ciała o masie m z powierzchni Ziemi do nieskończono-
ści wynosi
Ep(RZ) = -GMZm/RZ
Jeżeli na powierzchni Ziemi dostarczymy ciału energii kinetycznej większej wtedy
ucieknie ono z Ziemi i nie powróci. Energia kinetyczna będzie malała w trakcie oddala-
nia się ciała, a potencjalna rosła. Krytyczna prędkość początkowa v0 (prędkość uciecz-
ki) dana jest wzorem
1 M m M
2
Z Z
mv0 = G , czyli v0 = 2G E" 11.2 km s
2 RZ RZ
Oczywiście pominęliśmy inne siły jak siły grawitacyjne wywierane przez Księżyc czy
Słońce itp. Ta prędkość ucieczki nosi nazwę drugiej prędkości kosmicznej. Natomiast
pierwszą prędkością kosmiczną nazywamy najmniejszą możliwą prędkość jaką musi
mieć punkt materialny swobodnie krążący po orbicie wokół Ziemi.
Na poruszający się po orbicie obiekt działają dwie siły; siła grawitacji i siła odśrodko-
wa. Siły te mają przeciwne zwroty i dla stabilnej orbity równoważą się
mv2 M m
Z
= G
2
r r
i stÄ…d znajdujemy
GM
Z
v =
r
Pierwszej prędkości kosmicznej odpowiada orbita o promieniu r równym w przybliże-
niu promieniowi Ziemi R. Dla r = R otrzymujemy wartość v = 7.9 km/s.
8.4 Zasada zachowania energii
Gdy działają siły zachowawcze to
W = "Ek = EkB  EkA
oraz
W = -"Ep = - (EpB  EpA)
więc
- (EpB  EpA) = EkB  EkA
czyli
EkA + EpA = EkB + EpB (8.7)
8-7
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Równania (8.1, 8.4) nazywa się zasadą zachowania energii mechanicznej.
Mówi ona, że dla ciała podlegającego działaniu siły zachowawczej, którego energia
potencjalna jest równa Ep, suma energii kinetycznej i potencjalnej jest stała (o ile nie
działają inne siły).
Przykład 3
Asekuracja wspinacza w górach. Wspinacz dobiera sobie linę, której wytrzymałość na
zerwanie jest 25 razy większa niż jego własny ciężar (Fliny = 25mg). Lina (nylonowa)
podlega prawu Hooke'a aż do zerwania, które następuje gdy lina wydłuży się o 25%
w stosunku do długości początkowej. Czy wyposażony w taką linę wspinacz przeżyje
spadek (niezależnie od wysokości)?
wspinacz
W
l
pnkt. ubezpieczenia
S
h
ubezpieczajÄ… cy
Ponieważ
Fliny = k(0.25l)
więc
25mg = k(0.25l)
skÄ…d
k = 25mg/0.25l
czyli
k = 100mg/l
Przed spadkiem (punkt W)
Epw = mg(h + l)
Po spadku (punkt S)
Eps = mg(h - l - y) + ky2/2
8-8
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Ponieważ w punktach W i S energia kinetyczna wspinacza jest równa zeru, więc
Epw = Eps
czyli
mg(h + l) = mg(h - l - y) +ky2/2
Uwzględniając k = 100 mg/l otrzymujemy
mgl = -mgl - mgy + (1/2)(100mg/l)y2
co daje
50y2  ly - 2l2 = 0
Rozwiązanie fizyczne: y = 0.21l mieści się w granicy wytrzymałości 0.25l.
Oszacujmy teraz maksymalne przyspieszenie
Fwyp = ky - mg
więc
ma = ky - mg
skÄ…d
a = ky/m - g = 20g
Duże ale lina musi być sprężysta żeby "złagodzić" hamowanie.
A co z zachowaniem energii w przypadku gdy działa siła niezachowawcza?
Dla sił zachowawczych
"Ek =
"WZ
lub
"Ek + = 0
""Ep
Wielkość po lewej stronie to po prostu zmiana całkowitej energii mechanicznej "E. Za-
tem równanie to ma postać "E = 0.
Jeżeli oprócz kilku sił zachowawczych działa siła niezachowawcza (np. tarcie) to wtedy
WNZ + = "Ek
"WZ
czyli
"Ek + = WNZ
""Ep
co jest równoważne
"E = WNZ
Widać, że siła tarcia zmienia energię mechaniczną układu (zmniejsza ją bo tarcie jest
siłą rozpraszającą czyli dysypatywną).
Co stało się ze "straconą" energią mechaniczną?
Zostaje ona przekształcona na energię wewnętrzną U, która objawia się wzrostem tem-
peratury. U jest równa rozproszonej energii mechanicznej. Więcej o energii wewnętrz-
nej powiemy w dalszych rozdziałach. Uogólnijmy naszą dyskusję
8-9
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
Fwyp = Fzew + FZ + FNZ
Z twierdzenia o pracy i energii wynika, że praca wykonana przez siłę wypadkową jest
równa zmianie energii kinetycznej.
Wzew +WZ +WNZ = "Ek
co jest równoważne
Wzew - "Ep - "U = "Ek
czyli
Wzew = "Ek + "Ep + "U (8.8)
Z równania (8.5) wynika, że każda praca wykonana na ciele przez czynnik zewnętrzny
równa się wzrostowi energii kinetycznej plus wzrost energii potencjalnej plus wzrost
energii wewnętrznej. Cała energia została zarejestrowana. Mamy obejmujące wszystko
zachowanie energii (całkowitej).
Wynika z niego, że energia może być przekształcona z jednej formy w inną, ale nie mo-
że być wytwarzana ani niszczona; energia całkowita jest wielkością stałą.
Przykład 4
Energia i biologia.
Przykładowo, na wykładzie z fizyki osoby śpiące zużywają energię w tempie około
80 J/s, a osoby uważające ok. 150W. A
agodne ćwiczenia 500 W intensywne 1000 W ale
tylko 100 W na zewnątrz ciała jako energia mechaniczna (Człowiek może wykonywać
pracÄ™ mechanicznÄ… tylko z mocÄ… 100 W).
Jak długo trzeba ćwiczyć (np. gimnastyka łagodna 500W) aby stracić (spalić) 500 g
tłuszczu?
TÅ‚uszcz zawiera ok. 40000 J/g. StÄ…d 500 g tÅ‚uszczu zawiera 2·107 J. Ponieważ P = E/t
wiÄ™c t = E/P = 2·107 J/ 500W = 11 h
Ile kalorii musi zawierać pożywienie aby utrzymać się przy życiu?
Minimalna moc 80 W (sen), 150 W gdy się nie śpi, średnio 110 W.
E = Pt = 110W·24·3600s = 9.5·106 J
Ponieważ 1 kilokaloria = 4180 J więc E = 2260 kcal (często mylona z cal).
Przykład 5
Energia i samochód.
Samochód jedzie z prędkością 100 km/h i zużywa 8 litrów benzyny na 100 km. Jaka
moc jest potrzebna do utrzymania tej stałej prędkości?
1 litr benzyny - 3.7·107 J wiÄ™c P = (8·3.7·107 J)/(3600s) = 7·104 W = 70 kW.
Dla porównania w mieszkaniu zużywamy około 1 - 1.5 kW energii elektrycznej.
Samochód zużywa kilkadziesiąt razy więcej.
8-10