RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 7
Układy równań różniczkowych
Definicja
Układem równań różniczkowych rzędu pierwszego w postaci normalnej
nazywamy układ równań
y1'=� f1(t, y1, y2,K�, yn)
��
��y '=� f2(t, y1, y2,K�, yn)
��
2
��
M�
��
��yn'=� fn(t, y1, y2,K�, yn)
��
o niewiadomych y1, y2, & , yn , (n > 1), t  zmienna niezależna.
Uwaga
Jeżeli n = 2, to zazwyczaj piszemy x, y zamiast y1, y2 oraz f, g zamiast f1, f2
(jeżeli n = 3, to piszemy x, y, z zamiast y1, y2, y3 oraz f, g, h zamiast f1, f2, f3).
2
Układy równań różniczkowych
W notacji wektorowej układ równań różniczkowych ma postać
y'=� f(t,y)
,
gdzie
y1' y1 f1(t, y1, y2,K�, yn)
�� ł� �� ł� �� ł�
ę�y 'ś� ę�y ś� ę�
f2(t, y1, y2,K�, yn)ś�
2 2
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
y'=� y =� f(t,y) =�
ę� ś� ę� ś� ę� ś�
M� M� M�
ę�y 'ś� ę�y ś� ę�
fn(t, y1, y2,K�, yn)ś�
�� n �� �� n�� �� ��
3
Układy równań różniczkowych
Definicja
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) układu równań nazywamy ciąg funkcji
(y1(t), y2(t), ... , yn(t)) określonych i różniczkowalnych na przedziale (a, b), które zamieniają
wszystkie równania tego układu w tożsamości
y1'(t) �� f1(t, y1(t), y2(t),K�, yn(t))
��
��y '(t) �� f2(t, y1(t), y2(t),K�, yn(t))
��
2
��
M�
��
��yn'(t) �� fn(t, y1(t), y2(t),K�, yn(t))
��
na przedziale (a, b).
4
Układy równań różniczkowych
Definicja
Układ równań różniczkowych
y1'=� f1(t, y1, y2,K�, yn)
��
��y '=� f2(t, y1, y2,K�, yn)
��
2
��
M�
��
��yn'=� fn(t, y1, y2,K�, yn)
��
oraz układ warunków
0 0 0
y1(t0) =� y1 , y2(t0) =� y2, K�, yn(t0) =� yn
nazywamy zagadnieniem Cauchy ego (zagadnieniem początkowym).
0 0 0
t0, y1 , y2,K�, yn nazywamy wartościami początkowymi.
Liczby
W notacji wektorowej zagadnienie Cauchy ego ma postać
y'=� f(t,y), y(t0) =� y0
.
5
Układy równań różniczkowych
Definicja
Ciąg funkcji (y1(t), y2(t), ..., yn(t)) jest rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego jeżeli jest
rozwiązaniem układu równań na pewnym przedziale zawierającym punkt t0 i spełnia warunki
początkowe.
Interpretacja geometryczna zagadnienia Cauchy ego
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego polega na wyznaczeniu krzywej w przestrzeni
n + 1  wymiarowej, o przedstawieniu parametrycznym y = y(t), przechodzącej przez punkt
0 0 0
(t0, y1 , y2,K�, yn).
o współrzędnych
Jeżeli dla n = 2 zmienna niezależna t reprezentuje czas, to układ równań opisuje wektor prędkości
punktu poruszającego się w płaszczyz
nie fazowej xOy.
Krzywa będąca rozwiązaniem układu, to trajektoria toru ruchu punktu.
6
Układy równań różniczkowych
Twierdzenie
Jeśli prawa strona f(t,y) w równaniu różniczkowym
dy(t)
=� f(t,y(t))
, (*)
dt
jest ciągła ze względu na zmienne t i y oraz ze względu na zmienną y spełnia
warunek Lipschitza, tzn.
�� Ł� Ł� f(t,y1) -�f(t,y2) Ł� L y1 -�y2 .
L��R t ��]a,b[ y1,y2 ��Rn
to dla zadanego warunku początkowego y(t0) = y0 istnieje otoczenie t0,
w którym równanie (*) ma dokładnie jedno rozwiązanie.
( - jest symbolem normy)
7
Układy równań różniczkowych
Definicja
Rodzinę funkcji wektorowych
y1(t,C1,C2,K�,Cn)
�� ł�
ę�y (t,C1,C2,K�,Cn)ś�
2
ę� ś�
y(t,C1,C2,K�,Cn) =�
ę� ś�
M�
,
ę�y (t,C1,C2,K�,Cn)ś�
�� n ��
zależnych od parametrów rzeczywistych C1, C2, ..., Cn nazywamy rozwiązaniem ogólnym układu
równań jeżeli:
każda funkcja wektorowa z tej rodziny jest rozwiązaniem szczególnym układu,
(t0,y0), dla którego rozwiązanie istnieje i jest
dla każdego układu warunków początkowych
y(t0,C1,C2,K�,Cn) =� y0
jednoznaczne, można dobrać stałe C1, C2, ..., Cn tak, aby .
(Każda funkcja wektorowa otrzymana z rozwiązania ogólnego przy ustalonych wartościach
parametrów C1, C2, ..., Cn jest rozwiązaniem szczególnym układu równań.)
8
Układy równań różniczkowych
Jedną z metod rozwiązywania układów równań różniczkowych jest metoda eliminacji.
Polega ona na sprowadzeniu układu n równań pierwszego rzędu do równania różniczkowego rzędu n.
Przykład
Rozwiązać układ równań
dx
��
��dt =� y
��
��dy
��
��dt =� -�x
��
x(0) =� 0, y(0) =�1.
z warunkami początkowymi
Różniczkujemy pierwsze równanie
d2x dy
=�
dx2 dt
Wstawiamy do drugiego równania
d2x
+� x =� 0
dx2
x =�C1sint +�C2 cost, y =� x'=�C1 cost -�C2 sint.
Stąd
x =� sint, y =� cost.
Uwzględniając warunki początkowe
9
Układy równań różniczkowych
Przykład
Rozwiązać układ równań
dx
��
=� y
��
�� dt
��
��dy =� y2
��
�� dt x
Różniczkujemy pierwsze równanie
d2x dy
=�
dx2 dt
Wstawiamy do drugiego równania
d2x (x')2 x" x'
=� �� =�
dx2 x x' x
Całkując obustronnie dostajemy
ln | x'|=� ln | x| +�ln | C1 | czyli x'=�C1x
Stąd
1 1
x =� C2eC t, y =� C1C2eC t
10
Układy równań różniczkowych
Układy równań różniczkowych liniowych pierwszego rzędu
Definicja
Układem równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego nazywamy układ równań
postaci
y1'=� a11(t)y1 +� a12(t)y2 +�K�+� a1n(t)yn +�b1(t)
��
��y '=� a21(t)y1 +� a22(t)y2 +�K�+� a2n(t)yn +�b2(t)
��
2
��
M�
��
��yn'=� an1(t)y1 +� an2(t)y2 +�K�+� ann(t)yn +�bn(t)
��
b1(t), b2(t),...,bn(t)
Jeżeli wszystkie funkcje są równe zeru, to układ nazywamy jednorodnym.
W przeciwnym przypadku układ nazywamy niejednorodnym.
11
Układy równań różniczkowych
W notacji wektorowej układ równań przyjmuje postać
y'=� A(t)y +�b(t)
y1' a11(t) a12(t) K� a1n(t) y1 b1(t)
�� ł� �� ł��� ł� �� ł�
ę�y 'ś� ę�a (t) a22(t) K� a2n(t)ś�ę�y2ś� ę�b (t)ś�
2 21 2
ę� ś� ę� ś�ę� ś� ę� ś�
=� +�
ę� ś� ę� ś�ę� ś� ę� ś�
M� M� M� M�
ę�y 'ś� ę�a (t) an2(t) K� ann(t)ś�ę�ynś� ę�b (t)ś�
�� n �� ��
{� {�
1�n1 4� 3� 1�2�3�
4�4�4�4� 2�4�4�4�4�4����� �� �� n ��
y' =� A(t) y +� b(t)
Jeżeli współczynniki macierzy A(t) są stałe to układ nazywamy układem równań
różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach.
Układ równań różniczkowych liniowych o ciągłych funkcjach aij oraz bk ma jednoznaczne
rozwiązanie zagadnienia Cauchy ego.
12
Układy równań różniczkowych
Twierdzenie
Jeżeli funkcje wektorowe y1, y1, & , yn, są rozwiązaniami układu liniowego jednorodnego,
to ich kombinacja liniowa
y = C1y1 + C1y2 + & + Cnyn,
jest też rozwiązaniem tego układu.
Jeżeli dodatkowo są liniowo niezależne (tworzą układ fundamentalny rozwiązań),
to ich kombinacja liniowa jest rozwiązaniem ogólnym układu równań.
Twierdzenie
Rozwiązania y1, y1, & , yn, tworzą fundamentalny układ rozwiązań, jeżeli wyznacznik
(wrońskian)
y11 y12 ... y1n
y21 y22 ... y2n
W =�| y1,y2,...yn |=� ą� 0
...
yn1 yn2 ... ynn
jest różny od zera na przedziale określoności równania.
13
Układy równań różniczkowych
Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań metodą Eulera
Rozważamy układ równań
y'=� Ay (ma on rozwiązanie zerowe!)
Szukamy rozwiązań niezerowych w postaci
y(t) =� el�tv, v��Rn, l� ��R
Wstawiając do równania dostajemy
l�el�tv =� Ael�tv �� (A-�l�I)v =� 0
Otrzymany układ równań posiada rozwiązanie niezerowe, gdy wyznacznik macierzy
głównej układu jest równy zeru tzn.
det(A-�l�I) =� 0
jest to tzw. równanie charakterystyczne układu (macierzy), jego rozwiązania,
to wartości własne macierzy A, a odpowiadające im wektory v, to wektory własne
macierzy.
Równanie to ma dokładnie n pierwiastków zespolonych. Ich znajomość umożliwia
konstrukcję układu fundamentalnego rozwiązań.
14
Układy równań różniczkowych
Konstrukcja układu fundamentalnego zależy od następujących przypadków:
pierwiastki równania charakterystycznego są różne i rzeczywiste,
pierwiastki równania charakterystycznego są różne, ale są wśród nich
pierwiastki zespolone,
wśród pierwiastków równania charakterystycznego występują pierwiastki
wielokrotne.
15
Układy równań różniczkowych
Przykład (różne, rzeczywiste wartości własne)
Rozwiązać układ równań
x'=� -�x -� 2y
��
��y'=� 3x +� 4y
��
Macierz układu
-�1 -�2
�� ł�
A =�
ę� ś�
3 4
�� ��
Równanie charakterystyczne
-�1-�l� -�2
det(A-�l�I) =� 0 �� =� 0 �� l�2 -�3l� +� 2 =� 0
3 4-�l�
Wartości własne l�1 = 1, l�1 = 2.
Wektory własne:
-�2v1 -� 2v2 =� 0 v1 1
�� �� ł� �� ł�
�� v1 =� -�v2 v =� =�
��
ę� ś� ę� ś�
Dla l�1 = 1,
3v1 +� 3v2 =� 0
�� ��-�v1�� ��-�1��
stąd rozwiązanie szczególne
x =� et, y =� e-�t
16
Układy równań różniczkowych
Przykład (c. d.)
-�3v1 -� 2v2 =� 0 2
�� �� ł�
�� 3v1 =� -�2v2 v =�
��
ę� ś�
Dla l�1 = 2,
3v1 +� 2v2 =� 0
�� ��-�3��
Rozwiązanie szczególne
x =� 2e2t, y =� -�3e2t
Rozwiązanie ogólne układu
��
��x =� C1et +� 2C2e2t
��
��
��y =� -�C1et -�3C2e2t
17
Układy równań różniczkowych
Związek pomiędzy równaniem rzędu n i układem równań pierwszego rzędu
Równanie rzędu n w postaci normalnej
y(n) =� f (t, y, y', y", ..., y(n-�1))
�� �� �� ��
y1 y2 y3 yn
jest równoważne układowi równań rzędu pierwszego
'
��
y1 =� y2
��
'
y2 =� y3
��
��
...
��
'
��yn =� f (t, y1, y2, ..., yn)
��
(związek ten jest wykorzystywany przy rozwiązywaniu równań wyższego rzędu metodami
numerycznymi)
18
DZI
KUJ
ZA UWAG