Politechnika Wrocławska

Wydział Budownictwa

Lądowego i Wodnego

Laboratorium z Konstrukcji Metalowych

Pomiar ugięć elementów

zginanych

Prowadzący: Wykonali:

dr inż. Jan Rządkowski Krzysztof Michalak

Elżbieta Pawlik

Tomasz Juszczak

Aleksander Korcz

Rok IV gr.KB1

Rok akad. 2000/2001

1.Dane wyjściowe:

W doświadczeniu badano ugięcie belki stalowej IPE 100 umieszczonej na stanowisku pomiarowym i obciążonej dwoma siłami skupionymi. Do pomiarów przemieszczeń użyto pięciu czujników zegarowych rozmieszczonych jak na rys. nr 1. Zmierzona rozpiętość pomiędzy podporami wynosi 2400 mm, a siły skupione są przyłożone w odległości 1050 mm od podpór w kierunku środka belki. Czujniki zegarowe umieszczono na podporach, w środku rozpiętości belki oraz w środku dwa w celu pomiaru zwichrzenia belki zginanej. Zmiana obciążenia szalki następuje w granicach od 0 do 800 kg co 100 kg przy obciążaniu jak i przy odciążaniu.

Dane:L=240cmWx=34,2cm³

Ix=171cm⁴Ciężar jarzma=27,5kg

Ciężar szalki=39,4kg

Suma ciężarów=66,9kg

2.Pomiar ugięcia belki:

Pomiaru dokonano w środku rozpiętości belki i porównano z wynikami z obliczeń teoretycznych ze wzoru:

gdzie:

l - rozpiętość belki między podporami

l = 240 cm

a - odległość sił skupionych od podpór

a = 105cm

Obciążenie szalki	Obciążenie całkowite	Odczyt czujnika	Ugięcie zmierzone	Siła P	Ugięcie obliczone	Różnica
[kg]	[kg]	[mm]	[mm]	[kN]	[mm]	[%]
0,00	66,90	6,22	0,00	0,33	-0,527	100,00
100,00	166,90	5,37	-0,85	0,82	-1,315	35,36
200,00	266,90	4,54	-1,68	1,31	-2,103	20,11
300,00	366,90	3,71	-2,51	1,80	-2,891	13,17
400,00	466,90	2,90	-3,32	2,29	-3,678	9,75
500,00	566,90	2,12	-4,10	2,78	-4,466	8,20
600,00	666,90	1,22	-5,00	3,27	-5,254	4,84
700,00	766,90	0,32	-5,90	3,76	-6,042	2,35
800,00	866,90	0,07	-6,15	4,25	-6,830	9,95
700,00	766,90	0,30	-5,92	3,76	-6,042	2,02
600,00	666,90	1,17	-5,05	3,27	-5,254	3,89
500,00	566,90	2,02	-4,20	2,78	-4,466	5,96
400,00	466,90	2,85	-3,37	2,29	-3,678	8,39
300,00	366,90	3,66	-2,56	1,80	-2,891	11,44
200,00	266,90	4,49	-1,73	1,31	-2,103	17,73
100,00	166,90	5,32	-0,90	0,82	-1,315	31,56
0,00	66,90	6,18	-0,04	0,33	-0,527	92,41

Różnica:

Obciążenie		0	100	200	300	400	500	600	700	800
Ugięcie doświadczalne		-0,02	-0,875	-1,705	-2,535	-3,345	-4,15	-5,025	-5,91	-6,15
Ugięcie teoretyczne		-0,527	-1,315	-2,103	-2,891	-3,678	-4,466	-5,254	-6,042	-6,83

3. Zestawienie wyników oraz wykresy zależności przemieszczenia od zmiany obciążenia w pozostałych punktach pomiarowych

obciążenie szalki	odczyt z czujnika 1	odczyt z czujnika 3	odczyt z czujnika 4	odczyt z czujnika 5	przem. na podporze A	przem. na podporze B	przem. pasa górnego	przem. pasa dolnego
[kg]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
0	5,5	3,46	5,41	5,14	0	0	0	0
100	5,49	3,42	5,5	5,24	-0,01	-0,04	0,09	0,1
200	5,47	3,4	5,73	5,36	-0,03	-0,06	0,32	0,22
300	5,45	3,37	5,94	5,53	-0,05	-0,09	0,53	0,39
400	5,43	3,35	6,23	5,64	-0,07	-0,11	0,82	0,5
500	5,42	3,32	6,77	5,94	-0,08	-0,14	1,36	0,8
600	5,41	3,31	7,25	6,15	-0,09	-0,15	1,84	1,01
700	5,41	3,29	8,2	7,46	-0,09	-0,17	2,79	2,32
800	5,4	3,27	8,78	7,79	-0,1	-0,19	3,37	2,65
700	5,4	3,27	8,6	6,39	-0,1	-0,19	3,19	1,25
600	5,4	3,27	7,2	6,02	-0,1	-0,19	1,79	0,88
500	5,4	3,28	6,68	5,77	-0,1	-0,18	1,27	0,63
400	5,41	3,28	6,25	5,52	-0,09	-0,18	0,84	0,38
300	5,42	3,31	5,9	5,45	-0,08	-0,15	0,49	0,31
200	5,46	3,32	5,63	5,2	-0,04	-0,14	0,22	0,06
100	5,48	3,36	5,4	5,08	-0,02	-0,1	-0,01	-0,06
0	5,49	3,42	5,21	5	-0,01	-0,04	-0,2	-0,14

4.Wnioski:

Prosta przedstawiająca ugięcie belki wyznaczona doświadczalnie ma większy kąt nachylenia do osi poziomej od kąta nachylenia prostej ugięcia wyliczonego ze wzoru. Różnica ta może wynikać z błędu stałych E i Ix, których wartość podstawiona do wzoru morze odbiegać od rzeczywistej. Różnica pomiędzy wynikami doświadczalnymi, a teoretycznymi waha się w granicach miedzy 0% -10% za wyjątkiem pomiarów przy obciążeniu samą szalką, gdzie wartość teoretyczna jest bardziej poprawna ze względu na brak pomiarów ugięcia w schemacie bez obciążenia szalką i jarzmem.

Przemieszczenie pasów w środku belki wskazuje na przesunięcie się przekroju, co może być spowodowane niesymetrycznym obciążeniem lub podatnością podpór.

Na podporze B wyniki wskazywałyby na przemieszczenie belki jednak w rzeczywistości jest to winą złego ułożenia czujnika, który nie był postawiony w środku przekroju dokładnie nad podporą. Stąd też minimalne przemieszczenia na podporze A.

Politechnika Wrocławska

Wydział Budownictwa

Lądowego i Wodnego

Laboratorium z Konstrukcji Metalowych

Wyznaczenie częstości drgań własnych poprzecznych

Prowadzący: Wykonali:

dr inż. Jan Rządkowski Krzysztof Michalak

Elżbieta Pawlik

Tomasz Juszczak

Aleksander Korcz

Rok IV gr.KB1

Rok akad. 2000/2001

1. Wstęp teoretyczny

1. Drgania poprzeczne zginające

Równanie opisujące swobodne poprzeczne drgania nietłumione ważkiej belki o stałym przekroju:

E - moduł Younga

Ix - moment bezwładności przekroju poprzecznego

q - ciężar pręta na jednostkę długości

g - przyspieszenie ziemskie

t - czas

w(z,t) - poprzeczne odkształcenie pręta zależne od czasu (rys.1)

Rys.1 Schemat zginania belki

Rozwiązania równania (1) najlepiej poszukać jako sumy całek szczególnych w postaci funkcji o rozdzielonych zmiennych.

w(z,t)=Z(z)·T(t)

co prowadzi do równań:

gdzie:

Ostateczne rozwiązanie ma postać:

Ugięcie:

w(z,t)=(Asin(kz)+Bcos(kz)+Csinh(kz)+Dcosh(kz))·T(t)

Moment:

Po podstawieniu warunków brzegowych, które dla pręta o długości l swobodnie podpartego na obu końcach wynoszą:

w =0

M =0

Otrzymuje się warunek:

sin(kl)=0 => kl=π,2π,...,nπ (n=1,2,...)

Wobec tego częstości drgań własnych (ze wzoru 2) wynoszą:

Rys.2 Kilka postaci drgań harmonicznych belki swobodnie podpartej

W podobny sposób jak wyznaczono częstość drgań dla belki swobodnie podpartej można również wyznaczyć częstości innych belek:

• 
  dla pręta obustronnie utwierdzonego

- dla wspornika

1. Drgania wymuszone

Równanie opisujące wymuszone drgania giętne belki:

Opisując rozwiązanie do drgań wywołanych siłą o postaci:

p(z,t)=P­_osinωt

przyłożoną w odległości a od lewej podpory, z równania (4) otrzymujemy następującą postać ustalonych drgań wymuszonych:

Gdy częstość drgań własnych zbliżona jest do częstości wymuszenia to ugięcie belki wg wzoru (5) dąży do nieskończoności. Jest to przypadek zilustrowany ciągła linią na Rys.3. W rzeczywistości nie obserwuje się takiego zachowania belki. Ograniczone ugięcie spowodowane jest tłumieniem, którego w tych rozważaniach nie uwzględniono. Rzeczywiste zmiany amplitudy zaznaczone są liniami przerywanymi na rysunku 3 (dla różnych współczynników tłumienia).

Rys.3. Zmiana amplitud drgań

W konstrukcjach budowlanych tłumienie można zazwyczaj pominąć, ponieważ współczynnik tłumienia jest niewielki, a jego wpływ widoczny jest dopiero w bezpośredniej bliskości rezonansu (nie jest to dopuszczalne w budownictwie). Poza tym wartość tłumienia, a raczej czułość ustroju na tłumienie maleje ze wzrostem liczby stopni swobody.

2. Metody praktycznego wyznaczania częstości lub okresu drgań własnych.

1. Wyznaczanie częstości giętnych drgań własnych belki metodą rezonansu.

Metoda rezonansu polega na wymuszaniu drgań belki siłą o regulowanej częstości kołowej ω i obserwacji amplitudy drgań wymuszonych. Dla maksymalnej wartości amplitudy mierzymy liczbę obrotów układu wymuszającego otrzymując w ten sposób częstość drgań własnych belki. Okres drgań własnych obliczamy ze wzoru:

T=n^-1

gdzie:

n - liczba obrotów mimośrodu

2. Wyznaczanie częstości giętnych drgań własnych metodą rejestracji przebiegu drgań.

Metoda ta polega na wprowadzeniu belki w drganie (np. przez jednorazowy impulsowy nacisk na belkę) oraz na rejestrowaniu drgań. Ta metodą można mierzyć nast. parametry: przemieszczenia (amplituda), prędkość, przyspieszenie, częstotliwość, naprężenie, faza i przemieszczenie kątowe. W budownictwie przy badaniu elementów konstrukcji mierzy się najczęściej przemieszczenie i częstotliwość. Czujniki zastosowane w tej metodzie przetwarzają parametry drgań na zmianę indukcyjności lub automatycznie zapisują potrzebne wielkości na taśmę papierową nawiniętą na wałek.

3. Przebieg ćwiczenia

Celem ćwiczenia jest wyznaczenie częstości giętnych drgań własnych belki swobodnie podpartej i obciążonej jak na Rys.4:

Rys.4 Schemat stanowiska do badań.

1. Opis przebiegu ćwiczenia

I 100 PE (Rys.4) obciążono ciężarem 500 kg (Q_z­)

Q=Q_z+Q_s+Q_j=500+39,4+27,5=566,9kg

gdzie:

Q_s - ciężar szalki

Q_j - ciężar jarzma

Następnie wychylono belkę z położenia równowagi energicznie naciskając ją z góry i rejestrowano przebieg drgań. W wyniku otrzymano graficzny obraz drgań belki na pasku papierowym dołączonym do sprawozdania.

2. Analityczne wyznaczenie częstości drgań własnych

Schemat belki:

Częstość własną układu obliczamy ze wzoru:

Pomiar częstości drgań własnych belki w ćwiczeniu laboratoryjnym:

Pomierzony czas Jednego okresu	Częstość drgań własnych ω=2π/T
T1=0,15	41,89 Hz
T2=0,16	39,27 Hz
T3=0,17	36,96 Hz
T4=0,18	34,91 Hz
Tsr=0,165	38,08 Hz

4. Wnioski

W początkowej fazie drgań (zaraz po wzbudzeniu) częstość drgań własnych była zbliżona do częstości obliczonej analitycznie, po upływie ok.1 s częstość ustabilizowała się na poziomie ok.37 Hz. Widoczny jest zatem wpływ tłumienia pominiętego w obliczeniach analitycznych. Pominięto również ciężar własny belki zwiększający liczbę stopni swobody układu z jednego do nieskończoności. Wartość częstości drgań belki otrzymana z doświadczenia wskazuje na to, że zgodnie z PN-92/B-03200 belka taka mogłaby być wykorzystana w budownictwie jako np. belka stropowa.

---