Ćwiczenie 4

Wyznaczanie modułu Younga metodą rozciągania

drutu i strzałki ugięcia pręta

1. Wprowadzenie

Przyjmijmy, że na pręt (drut) o przekroju kołowym i długości pierwotnej l działa osiowa siła rozciągająca F. Pręt wydłuży się wówczas o Δl przyjmując długość l₁. Wielkość nazywamy wydłużeniem bezwzględnym (całkowitym lub wprost przyrostem długości).

Wydłużeniem jednostkowym lub względnym ε (a ogólniej odkształceniem) pręta nazywamy stosunek przyrostu długości do jego długości początkowej i oznaczamy je:

. (1)

Ciśnienie lub w przypadku rozciągania pręta naprężenie σ określamy jako stosunek siły rozciągającej F do powierzchni przekroju poprzecznego pręta S :

. (2)

Badania zależności naprężenia od odkształcenia wykazały, że dla niewielkich odkształceń naprężenia są wprost proporcjonalne do odkształceń. Jest to tzw. prawo Hooke'a. Można go zapisać:

, (3)

gdzie E jest stałą dla danego materiału nazywaną modułem Younga lub współczynnikiem sprężystości wzdłużnej.

Rys.1. Zależność między naprężeniem

i wydłużeniem względnym pręta

W szerszym zakresie odkształceń, zależność naprężeń od odkształceń dla stali (i wielu metali) ma przebieg podobny do przedstawionego na rys.1.

Wyróżniamy tu kilka obszarów: OA - obszar proporcjonalnego wzrostu naprężeń do odkształceń, w którym spełnione jest prawo Hooke'a. W obszarze AB odkształcenia są jeszcze sprężyste, tzn. po usunięciu naprężenia odkształcenie wraca do zera, lecz nie zachodzi tu już proporcjonalność. Obszar BC, prawie równoległy do osi odciętych, w którym materiał staje się podobnym do ciasta i potocznie mówimy, że “płynie”; jest to tzw. obszar plastyczności. W obszarze tym wywiązuje się sporo ciepła na skutek przesuwania się wzajemnego mikrokryształów materiału, a uprzednio wypolerowana powierzchnia pręta staje się matowa. Powyżej punktu C materiał czyni jak gdyby ostatni wysiłek, aby się oprzeć siłom rozrywającym, następuje znów wzrost naprężeń. W punkcie D naprężenie osiąga największą wartość, czyli granicę wytrzymałości. Tu materiał przestaje się wydłużać równomiernie tak, że w pewnym punkcie powstaje tzw. “szyjka” czyli miejscowe przewężenie. Przy ciągłym odkształcaniu naprężenia spadają, krzywa zagina się i następuje zerwanie (punkt D').

Wykonanie ćwiczenia i opracowanie wyników

Za d a n i e 1

Wyznaczanie modułu Younga przez rozciąganie drutu.

Jeden koniec stalowego drutu o długości około dwu metrów jest zamocowany w uchwycie górnego wspornika w ścianie. Do dolnego końca drutu jest przytwierdzona ciężka ramka stalowa wsparta na czujniku mikrometrycznym, podtrzymywanym przez uchwyt dolnego wspornika w ścianie (rys.2). Ramka wstępnie napina i prostuje drut. Do ramki podwieszona jest szalka na odważniki. Czujnik mikrometryczny pozwala mierzyć przyrosty długości Δl z dokładnością 0,005 mm.

Rys.2. Schemat stanowiska do

pomiaru E

pomiaru E

Czujnik jest tak skonstruowany, że możliwe jest przed przystąpieniem do pomiarów naprowadzenie jego wskazówki na zero skali. Po wykonaniu tej czynności (wyzerowaniu), będziemy kładli na szalkę ciężary F i odczytywali przyrosty długości Δl.

Uwaga: podczas dodawania ciężarków na szalkę należy czynić to ostrożnie, aby uniknąć uderzeń.

Długość drutu l jest zwykle podana (w przeciwnym razie należy ją zmierzyć taśmą mierniczą). Średnicę drutu D mierzymy mikrometrem w kilku miejscach w różnych kierunkach prostopadłych do osi drutu, wyniki wpisujemy do tabeli 1 i obliczamy ich średnią.

Drut obciążamy kolejno kilkoma ciężarami F i odczytujemy odpowiadające im wydłużenia Δl względem uprzednio ustawionego zera. Wyniki umieszczamy w tabeli 2.

Tabela 1 Tabela 2

Lp.

1

2

........

(m)

Lp.

m

F = mg

Δl

D (mm)

kg

N

mm

m

l = ...... (m)

Opracowanie wyników

1. Do wzoru (3) podstawiamy wyrażenia (1) i (2) w celu otrzymania postaci dogodnieszej do wyznaczenia modułu Younga E:

. (4)

Rys.3. Zależność odkształcenia Δl

od siły wydłużającej F

2. Na podstawie danych zawartych w tabeli 2 sporządzamy wykres zależności przyrostu długości Δl od siły wydłużającej F nanosząc na niego prostokąty niepewności (jak na rys.3). Jeżeli przy obciążaniu drutu nie przekroczyliśmy granicy stosowalności prawa Hooke'a, punkty pomiarowe powinny się układać na prostej wychodzącej z początku układu (u nas a = 4l/πD²E, b = 0). Dla dokładnego wyznaczenia parametru a prostej oraz niepewności nachylenia Δa należy zastosować metodę graficzną lub skorzystać z zawartych we wstępie do skryptu wzorów regresji liniowej. Prostą wyprowadza się wówczas z początku układu współrzędnych i prowadzi przez punkt, którego współrzędnymi są średnie wartości (
).

3. Ostatecznie wartość modułu Younga obliczamy jako:

.

4. Obliczamy niepewność względną wyznaczonej wartości E metodą pochodnej logarytmicznej, a następnie niepewność średnią kwadratową lub maksymalną pomiaru ΔE (nie­pew­noś­­ci maksymalne ΔD i Δa równe są potrojonej wartości odchyleń standardowych
).

5. Należy porównać otrzymaną wartość E z wartościami tablicowymi pamiętając, że wartości te mają charakter orientacyjny, gdyż zależą od składu oraz obróbki termicznej i mechanicznej materiału.

Za d a n i e 2

Wyznaczanie modułu Younga przez pomiar strzałki ugięcia pręta.

Rys.4. Pomiar strzałki ugięcia pręta

Stosunkowo prostą metodą jest wyznaczanie modułu Younga przez pomiar tzw. strzałki ugięcia. Jest to wielkość przesunięcia swobodnego końca pręta z jednej strony sztywno zamocowanego w uchwycie i poddanego na drugim końcu działaniu siły F prostopadłej do jego długości (rys.4).

Dla pręta o przekroju prostokątnym długości l (mierzonej od uchwytu), szerokości d i grubości h, według teorii sprężystości strzałka ugięcia Y jest równa:

. (5)

Wzór ten można stosować dla pręta wykonanego z materiału jednorodnego i izotropowego oraz w przypadku promieni krzywizny dużych w porównaniu z jego długością. Wyznaczając zależność strzałki ugięcia Y od wartości siły F można obliczyć współczynnik a nachylenia prostej Y=f(F), który jest współczynnikiem proporcjonalności we wzorze (5):

. (6)

Wyliczony ze wzoru (6) moduł Younga wynosi:

. (7)

Aby go obliczyć, należy zatem wyznaczyć d, h, l, oraz współczynnik regresji liniowej a analogicznie jak w metodzie poprzedniej.

Dokładność pomiaru można zwiększyć zaopatrując koniec pręta we wskazówkę o długości S. Koniec jej po ugięciu pr*ta przesunie si* o odcinek Y', przy czym Y'>Y. Z teorii sprężystości wiadomo, że styczna do osi pręta na jego wolnym końcu po ugięciu przecina oś pręta nieobciążonego w odległości 2/3 l od tego końca. Z rys.4 wynika, że:

, (8)

skąd

. (9)

Aby zatem wyznaczyć E należy zmierzyć szerokość d, grubość h i długość l stalowego pręta. Następnie pręt obciążamy kolejno odważnikami F i za każdym razem odczytujemy wychylenie końca wskazówki Y'.

Wyniki pomiarów dla pręta wpisujemy w tabelach 3 i 4.

Uwaga: Duży wpływ na dokładność pomiaru E mają wielkości h i l występujące we wzorze (7) w wyższych potęgach. Należy zatem zmierzyć je wyjątkowo starannie.

Tabela 3 Tabela 4

Lp.

1

2

............

Lp.

m

F = mg

Y'

Y

d (m)

= ...(m)

kg

N

mm

m

h (m)

= ... (m)

l =

.......

(m)

Opracowanie wyników

1. Na podstawie tabeli 4 wykonujemy na papierze milimetrowym wykres zależności Y = f(F) (podobnie jak w poprzedniej metodzie - rys.3). Przy niezbyt dużych, dopuszczalnych ugięciach pręta, wykres powinien być linią prostą.

2. Metodą graficzną lub metodą regresji liniowej znajdujemy współczynnik a nachylenia prostej uzyskanej z punktów pomiarowych oraz niepewność pomiaru Δa.

3. Do wzoru (7) podstawiamy znane nam wartości i wyliczamy E.

4. Liczymy niepewność pomiaru ΔE metodą różniczkową (patrz: uwagi do zadania 1), a następnie otrzymaną wartość modułu Younga porównujemy z wartością E uzyskaną metodą poprzednią.

Literatura

[1] J.Massalski, M.Massalska: Fizyka dla inżynierów, t.1. WN-T, Warszawa

1975.

[2] I.W.Sawieliew: Kurs fizyki, t.1. PWN, Warszawa 1987, s.74-78.

[3] R.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands: Feynmana wykłady z fizyki,

t.II, cz.2, PWN, Warszawa 1970.

^*

* Opracował: K.Frankiewicz na podstawie skryptu J.Halaunbrenner, M.Kmiecik: Ćwiczenia
laboratoryjne z fizyki.

7

---