W tym rozdziale zajmiemy sie

!

tzw. krzywymi drugiego stopnia. Nazwa ta obej-

muje mie

!

dzy innym elipsy, parabole i hiperbole, a w la´sciwie g l´

ownie te krzywe. Moga

!

one r´

o˙znie le˙ze´c na p laszczy´znie. Zaczniemy od opisania izometrii p laszczyzny, czyli

jej przekszta lce´

n, kt´

ore zachowuja

!

odleg lo´sci mie

!

dzy punktami.

Definicja 18.1 (izometrii)

Przekszta lcenie F :

"

2

−→

"

2

nazywamy izometria

!

wtedy i tylko wtedy, gdy dla

dowolnych punkt´

ow p, q ∈

"

2

zachodzi r´

owno´s´c kF (p) − F (q)k = kp − qk , czyli

gdy odleg lo´s´c obraz´

ow punkt´

ow p, q r´

owna jest odleg lo´sci tych punkt´

ow.

Przyk lad 18.1

Je´sli a, b ∈

"

sa

!

liczbami rzeczywistymi i F

x
y

=

x+a

y+b

, to

przekszta lcenie F jest izometria

!

. Mamy bowiem

F

p

1

p

2

−F

q

1

q

2

=

p

1

+a

p

2

+b

−

q

1

+a

q

2

+b

=

p

1

+a−(q

1

+a)

p

2

+b−(q

2

+b)

=

p

1

−q

1

p

2

−q

2

=

p

1

p

2

−

q

1

q

2

.

Przekszta lcenie F to po prostu przesunie

!

cie o wektor

a

b

.

Przyk lad 18.2

Je´sli α ∈

"

i F

x
y

=

x cos α−y sin α

x sin α+y cos α

, to przekszta lcenie F jest

izometria

!

, w rzeczywisto´sci jest to obr´

ot wok´

o l punktu

0
0

o ka

!

t α w kierunku

przeciwnym do ruchu wskaz´

owek zegara. Sprawdzimy, ˙ze odleg lo´s´c jest zachowywana.

Mamy

F

p

1

p

2

− F

q

1

q

2

=

p

1

cos α−p

2

sin α

p

1

sin α+p

2

cos α

−

q

1

cos α−q

2

sin α

q

1

sin α+q

2

cos α

=

=

(p

1

−q

1

) cos α−(p

2

−q

2

) sin α

(p

1

−q

1

) sin α+(p

2

−q

2

) cos α

=

=

((p

1

− q

1

)

2

cos

2

α − 2(p

1

− q

1

)(p

2

− q

2

) cos α sin α + (p

2

− q

2

)

2

sin

2

α +

+ (p

1

− q

1

)

2

sin

2

α + 2(p

1

− q

1

)(p

2

− q

2

) sin α cos α + (p

2

− q

2

)

2

cos

2

α



1/2

=

=

p(p

1

− q

1

)

2

+ (p

2

− q

2

)

2

=

p

1

p

2

−

q

1

q

2

. Dow´

od zosta l zako´

nczony.

Przyk lad 18.3

Je´sli α ∈

"

i F

x
y

=

x cos α+y sin α
x sin α−y cos α

, to przekszta lcenie F

jest izometria

!

, w rzeczywisto´sci przekszta lcenie F to symetria wzgle

!

dem prostej o

r´

ownaniu x sin

α

2

−y cos

α

2

= 0 . Sprawdzenie, ˙ze F jest izometria

!

przebiega dok ladnie

tak, jak w poprzednim przyk ladzie, wie

!

c je opu´scimy. Zauwa˙zmy, ˙ze

F

x
y

=

 x cos α + y sin α

x sin α − y cos α



=

 cos α

sin α

sin α − cos α



·

 x

y



oraz ˙ze






cos α − λ

sin α

sin α

− cos α − λ






= (−λ)

2

− cos

2

α − sin

2

α = λ

2

− 1 = (λ − 1)(λ + 1) .

Niech M =

 cos α

sin α

sin α − cos α



. Macierz M ma wie

!

c dwie warto´sci w lasne: −1 i 1 .

Znajdziemy wektor w lasny odpowiadaja

!

cy warto´sci w lasnej 1 . Maja

!

by´c spe lnione

1

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

r´

owno´sci x cos α + y sin α = x i x sin α − y cos α = y , czyli y sin α = x(1 − cos α)

i x sin α = y(1 + cos α) . Z wzor´

ow sin α = 2 sin

α

2

cos

α

2

, cos α = 2 cos

2 α

2

− 1 =

1 − 2 sin

2 α

2

wynika, ˙ze otrzymane r´

ownania mo˙zna (po skr´

oceniu) przepisa´c w po-

staci x sin

α

2

= y cos

α

2

. Je´sli punkt

x
y

le˙zy na tej prostej, to

M ·

 x

y



=

 cos α

sin α

sin α − cos α



·

 x

y



=

 x

y



.

Oznacza to, ˙ze przekszta lcenie F pozostawia punkty tej prostej na swoich miejscach

(prosta w lasna odpowiadaja

!

ca warto´sci w lasnej 1 , wie

!

c nic dziwnego w tym nie ma).

W taki sam spos´

ob znajdujemy prosta

!

odpowiadaja

!

ca

!

warto´sci w lasnej −1 . Tym

razem maja

!

by´c spe lnione r´

owno´sci x cos α + y sin α = −x i x sin α − y cos α = −y ,

czyli y sin α = −x(1 + cos α) i x sin α = y(−1 + cos α) . Po skr´oceniu oba r´ownania
wygla

!

daja

!

tak: y sin

α

2

= −x cos

α

2

. Je´sli punkt

x
y

le˙zy na tej prostej, to

M ·

 x

y



=

 cos α

sin α

sin α − cos α



·

 x

y



= −

 x

y



.

Niech ~v =

cos

α

2

sin

α

2

, ~

w =

sin

α

2

− cos

α

2

. Sa

!

to wektory w lasne o d lugo´sci 1 odpowiadaja

!

ce

warto´sciom w lasnym 1 i −1 . Ich iloczyn skalarny r´owny jest 0 , wie

!

c sa

!

one prosto-

pad le. Dla ka˙zdego punktu

x
y

p laszczyzny istnieja

!

takie liczby rzeczywiste r, s , ˙ze

x
y

= r~v + s~

w . Mamy wie

!

c M ·

x
y

= M · (r~v + s~w) = rM~v + sM ~w = r~v − s~w ,

co dowodzi tego, ˙ze przekszta lcenie F jest symetria

!

wzgle

!

dem prostej wyznaczonej

przez wektor ~v .

Podamy bez dowodu twierdzenie charakteryzuja

!

ce izometrie p laszczyzny. Jego

dow´

od nie jest trudny, ale nie be

!

dziemy z niego dalej korzysta´c.

Twierdzenie 18.2 (o postaci izometrii p laszczyzny)

Je´sli przekszta lcenie F jest izometria

!

p laszczyzny, to istnieja

!

takie liczby a, b, α ∈

"

,

˙ze albo dla dowolnego punktu

x
y

zachodzi r´

owno´s´c

F

x

y



=

 cos α − sin α

sin α

cos α



·

 x

y



+

 a

b



,

albo dla dowolnego punktu

x
y

zachodzi r´

owno´s´c

F

x

y



=

 cos α

sin α

sin α

− cos α



·

 x

y



+

 a

b



.

Oznacza to, ˙ze albo izometria jest z lo˙zeniem obrotu wok´

o l punktu

0
0

i przesunie

!

cia,

albo jest z lo˙zeniem symetrii wzgle

!

dem prostej przechodza

!

cej przez pocza

!

tek uk ladu

2

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

wsp´

o lrze

!

dnych i przesunie

!

cia. Analogiczne twierdzenie mo˙zna sformu lowa´c w przy-

padku izometrii przestrzeni, kt´

orej wymiar jest wie

!

kszy ni˙z 2 .

Podamy teraz geometryczne definicje krzywych zwanych sto˙zkowymi, albo krzy-

wymi drugiego. stopnia.

Definicja 18.3 (paraboli)

Parabola

!

o ognisku F i kierownicy d nieprzechodza

!

cej przez punkt F nazywamy

zbi´

or z lo˙zony ze wszystkich tych punkt´

ow, kt´

orych odleg lo´s´c od prostej d jest r´

owna

odleg lo´sci od punktu F .

Jasne jest, ˙ze w´sr´

od punkt´

ow paraboli jest ´srodek odcinka prostopad lego do

prostej d , kt´

ory zaczyna sie

!

w punkcie F i ko´

nczy na prostej d . Dla prostoty

rozwa˙za´

n zak ladamy dalej, ˙ze punkt opisany w poprzednim zdaniu jest ´srodkiem

uk ladu wsp´

o lrzednych, ˙ze F =

0

f

. Wtedy r´ownanie prostej d ma posta´c y = −f .

Odleg lo´s´c punktu

x
y

od prostej d r´owna jest |y +f| , odleg lo´s´c od punktu F r´owna

jest

px

2

+ (y − f)

2

. Ma wie

!

c by´c spe lniona r´

owno´s´c |y +f| =

px

2

+ (y − f)

2

, czyli

|y + f|

2

= x

2

+ (y − f)

2

, tzn. y

2

+ 2yf + f

2

= x

2

+ y

2

− 2yf + f

2

. Po uproszczeniu

4yf = x

2

, albo y =

1

4f

x

2

, co zgadza sie

!

z definicja

!

szkolna

!

. Otrzymane r´

ownanie

paraboli nazywamy kanonicznym.

Definicja 18.4 (elipsy)

Elipsa

!

o ogniskach F

1

, F

2

nazywamy zbi´

or z lo˙zony ze wszystkich takich punkt´

ow X

p laszczyzny, dla kt´

orych kX − F

1

k + kX − F

2

k = 2a , gdzie a oznacza liczbe

!

wie

!

ksza

!

(ostro) od po lowy odleg lo´sci ognisk elipsy.

Dla uproszczenia przyjmiemy, ˙ze ogniska le˙za

!

na osi OX symetrycznie wzgle

!

dem

punktu

0
0

. Niech F

1

=

−f

0

, F

2

=

f

0

, f > 0 . Punkt

x
y

le˙zy na elipsie wte-

dy i tylko wtedy, gdy

p(x + f)

2

+ y

2

+

p(x − f)

2

+ y

2

= 2a . Po podniesieniu obu

stron do kwadratu i przeniesieniu nieomal wszystkich sk ladnik´

ow na prawa

!

strone

!

otrzymujemy r´

owno´s´c: 2

p(x + f)

2

+ y

2

·

p(x − f)

2

+ y

2

= 4a

2

− 2f

2

− 2x

2

− 2y

2

.

Dzielimy te

!

r´

owno´s´c przez 2 i podnosimy do kwadratu:

(x + f)

2

+ y

2

 · (x − f)

2

+ y

2

 = [2a

2

− f

2

− x

2

− y

2

]

2

, wie

!

c

(x

2

+ y

2

+ f

2

) + 2f x

 · (x

2

+ y

2

+ f

2

) − 2fx

 = [2a

2

− (f

2

+ x

2

+ y

2

)]

2

, zatem

−4f

2

x

2

= 4a

4

− 4a

2

(f

2

+ x

2

+ y

2

) , czyli

(a

2

− f

2

)x

2

+ a

2

y

2

= a

2

(a

2

− f

2

) .

Niech b > 0 be

!

dzie taka

!

liczba

!

, ˙ze b

2

= a

2

−f

2

. Dziela

!

c otrzymane ostatnio r´

ownanie

3

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

przez a

2

b

2

otrzymujemy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 .

To ostatnie r´

ownanie nazywane jest r´

ownaniem kanonicznym elipsy.

Definicja 18.5 (hiperboli)

Hiperbola

!

o ogniskach F

1

, F

2

nazywamy zbi´

or z lo˙zony ze wszystkich takich punkt´

ow

X p laszczyzny, dla kt´

orych



kX − F

1

k − kX − F

2

k



 = 2a , gdzie

a oznacza liczbe

!

mniejsza

!

(ostro) od po lowy odleg lo´sci ognisk hiperboli.

Dla uproszczenia przyjmiemy, ˙ze ogniska le˙za

!

na osi OX symetrycznie wzgle

!

dem

punktu

0
0

. Niech F

1

=

−f

0

, F

2

=

f

0

, f > 0 . Punkt

x
y

le˙zy na elipsie wtedy

i tylko wtedy, gdy





p(x + f)

2

+ y

2

−

p(x − f)

2

+ y

2



 = 2a . Po podniesieniu obu

stron do kwadratu i przeniesieniu nieomal wszystkich sk ladnik´

ow na prawa

!

strone

!

otrzymujemy r´

owno´s´c: −2

p(x + f)

2

+ y

2

·

p(x − f)

2

+ y

2

= 4a

2

− 2f

2

− 2x

2

− 2y

2

.

Dzielimy te

!

r´

owno´s´c przez −2 i podnosimy do kwadratu:

(x + f )

2

+ y

2

 · (x − f)

2

+ y

2

 = [f

2

+ x

2

+ y

2

− 2a

2

]

2

, wie

!

c

(x

2

+ y

2

+ f

2

) + 2f x

 · (x

2

+ y

2

+ f

2

) − 2fx

 = [(f

2

+ x

2

+ y

2

) − 2a

2

]

2

, zatem

−4f

2

x

2

= 4a

4

− 4a

2

(f

2

+ x

2

+ y

2

) , czyli

(a

2

− f

2

)x

2

+ a

2

y

2

= a

2

(a

2

− f

2

) .

Niech b > 0 be

!

dzie taka

!

liczba

!

, ˙ze b

2

= −(a

2

− f

2

) . Dziela

!

c otrzymane ostatnio

r´

ownanie przez −a

2

b

2

otrzymujemy

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1 .

To ostatnie r´

ownanie nazywane jest r´

ownaniem kanonicznym hiperboli.

Wyka˙zemy teraz, ˙ze w przypadku elipsy i hiperboli te˙z mo˙zna my´sle´c o kierow-

nicach.

Twierdzenie 18.6 (o kierownicach i mimo´

srodzie elipsy)

Je´sli a > b > 0 , to istnieje taka prosta d

1

i liczba ε ∈ (0, 1) zwana mimo´srodem

elipsy, ˙ze elipsa E o r´

ownaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 sk lada sie

!

ze wszystkich takich punkt´

ow

X , dla kt´

orych stosunek odleg lo´sci punktu X od ogniska F

1

do odleg lo´sci punktu

X od kierownicy d

1

r´

owny jest mimo´srodowi ε . Analogiczna prosta mo˙ze by´c do-

pasowana do ogniska F

2

.

Dow´

od. Za l´

o˙zmy (prawem kaduka), ˙ze prosta d

1

jest prostopad la do prostej F

1

F

2

.

Jej r´

ownanie ma wie

!

c posta´c x = δ , gdzie δ jest pewna

!

liczba

!

rzeczywista

!

. Stosunek

4

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

|x−δ|

√

(x+f )

2

+y

2

ma by´c niezale˙zny od wyboru punktu

x
y

z interesuja

!

cej nas elipsy. Tym

bardziej jego kwadrat ma by´c sta ly, czyli

1

ε

2

=

(x − δ)

2

(x + f )

2

+ y

2

=

x

2

− 2δx + δ

2

x

2

+ 2f x + f

2

+ b

2

− b

2

x

2

/a

2

ma by´c sta ly. Jest to r´

ownowa˙zne r´

owno´sci

a

2

− b

2

a

2

x

2

+ 2f x + f

2

+ b

2

= ε

2

x

2

− 2ε

2

δx + ε

2

δ

2

,

a poniewa˙z r´

owno´s´c ta ma zachodzi´c dla niesko´

nczenie wielu liczb x , wie

!

c musza

!

by´c

spe lnione warunki a

2

−b

2

= a

2

ε

2

, 2f = −2δε

2

i f

2

+ b

2

= δ

2

ε

2

. Z dw´

och pierwszych

r´

owna´

n wynika, ˙ze ε =

√

a

2

−b

2

a

=

f
a

i δ = −

f

ε

2

= −

a

2

f

= −

a

ε

. Wtedy

f

2

+ b

2

− δ

2

ε

2

= a

2

− b

2

+ b

2

−

f

2

ε

2

= a

2

−

(aε)

2

ε

2

= 0 .

Znale´zli´smy wie

!

c kierownice

!

i mimo´sr´

od. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze ten wyb´

or jest jedno-

znaczny (bez za lo˙zenia, ˙ze kierownica jest prostopad la do prostej F

1

F

2

).

Z otrzymanych wzor´

ow wynika od razu, ˙ze 0 < ε < 1 i −δ =

a

2

f

= a

a
f

> a .

Oczywi´scie kierownica wyste

!

puja

!

ca w parze z drugim ogniskiem jest opisana r´

owna-

niem x = −δ .

Twierdzenie 18.7 (o kierownicach i mimo´

srodzie hiperboli)

Je´sli a, b > 0 , to istnieje taka prosta d

1

i liczba ε > 1 zwana mimo´srodem hiperboli,

˙ze hiperbola o r´

ownaniu

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1 sk lada sie

!

ze wszystkich takich punkt´

ow X , dla

kt´

orych stosunek odleg lo´sci punktu X od ogniska F

1

do odleg lo´sci punktu X od

kierownicy d

1

r´

owny jest mimo´srodowi ε . Analogiczna prosta mo˙ze by´c dopasowana

do ogniska F

2

.

Dow´

od. Za l´

o˙zmy (prawem kaduka), ˙ze prosta d

1

jest prostopad la do prostej F

1

F

2

.

Jej r´

ownanie ma wie

!

c posta´c x = δ , gdzie δ jest pewna

!

liczba

!

rzeczywista

!

. Stosunek

|x−δ|

√

(x+f )

2

+y

2

ma by´c niezale˙zny od wyboru punktu

x
y

z interesuja

!

cej nas hiperboli.

Tym bardziej jego kwadrat ma by´c sta ly, czyli

1

ε

2

=

(x − δ)

2

(x + f )

2

+ y

2

=

x

2

− 2δx + δ

2

x

2

+ 2f x + f

2

− b

2

+ b

2

x

2

/a

2

ma by´c sta ly. Jest to r´

ownowa˙zne r´

owno´sci

a

2

+ b

2

a

2

x

2

+ 2f x + f

2

− b

2

= ε

2

x

2

− 2ε

2

δx + ε

2

δ

2

,

5

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

a poniewa˙z r´

owno´s´c ta ma zachodzi´c dla niesko´

nczenie wielu liczb x , wie

!

c musza

!

by´c

spe lnione warunki a

2

+ b

2

= a

2

ε

2

, 2f = −2δε

2

i f

2

−b

2

= δ

2

ε

2

. Z dw´

och pierwszych

r´

owna´

n wynika, ˙ze ε =

√

a

2

+b

2

a

=

f
a

i δ = −

f

ε

2

= −

a

2

f

. Wtedy

f

2

+ b

2

− δ

2

ε

2

= a

2

− b

2

+ b

2

−

f

2

ε

2

= a

2

−

(aε)

2

ε

2

= 0 .

Znale´zli´smy wie

!

c kierownice

!

i mimo´sr´

od. Mo˙zna wykaza´c, ˙ze ten wyb´

or jest jedno-

znaczny (bez za lo˙zenia, ˙ze kierownica jest prostopad la do prostej F

1

F

2

).

Z otrzymanych wzor´

ow wynika od razu, ˙ze −δ =

a

2

f

= a

a
f

= a ·

a

√

a

2

+b

2

< a oraz

ε =

√

a

2

+b

2

a

> 1 . Oczywi´scie kierownica wyste

!

puja

!

ca w parze z drugim ogniskiem jest

opisana r´

ownaniem x = −δ .

Z tych definicji i twierdze´

n wynika, ˙ze mo˙zna poda´c wsp´

olna

!

definicje

!

elipsy,

paraboli i hiperboli m´

owia

!

c, ˙ze jest to zbi´

or z lo˙zony z punkt´

ow, dla kt´

orych stosu-

nek odleg lo´sci od ustalonego punktu zwanego ogniskiem do ustalonej prostej zwanej

kierownica

!

jest r´

owny ε > 0 .

Naste

!

pna interesuja

!

ca i bardzo wa˙zna w lasno´s´c opisanych krzywych jest zwia

!

za-

na z prawem odbicia promieni ´swietlnych. Zaczniemy od paraboli.

Twierdzenie 18.8 (o zwierciad lach parabolicznych)

Je´sli F jest ogniskiem paraboli P , X ∈ P , L

X

prosta

!

przechodza

!

ca

!

przez punkt X

r´

ownoleg la

!

do osi symetrii paraboli, a T

X

prosta

!

styczna

!

do paraboli P w punkcie

X , to ka

!

t mie

!

dzy prostymi F X i T

X

r´

owny jest ka

!

towi mie

!

dzy prostymi L

X

i T

X

.

Dow´

od. Niech F = (0, f ) i niech kierownica

!

be

!

dzie prosta y = −f . Niech X =

a

b

, wie

!

c b =

1

4f

a

2

. Niech X

0

be

!

dzie rzutem prostopad lym punktu X na kierownice

!

paraboli, czyli X

0

=

a

−f

. Z definicji paraboli wynika, ˙ze odcinki F X i XX

0

sa

!

r´

owne. Wobec tego w tr´

ojka

!

cie F XX

0

dwusieczna ka

!

ta przy wierzcho lku X jest te˙z

´srodkowa

!

tego tr´

ojka

!

ta. Wystarczy wie

!

c wykaza´c, ˙ze ´srodek odcinka F X

0

le˙zy na

prostej T

X

. Poniewa˙z r´

ownaniem paraboli jest

1

4f

x

2

− y = 0 , wie

!

c gradient funkcji

1

4f

x

2

− y w punkcie

a

b

, czyli wektor

−−−−−−→

a

2f

, −1

jest prostopad ly do prostej T

X

.

R´

ownanie prostej T

X

wygla

!

da wie

!

c tak:

0 =

a

2f

(x − a) + (−1)(y − b) =

a

2f

(x − a) − y −

1

4f

a

2

.

´

Srodkiem odcinka F X

0

jest punkt

1
2

(F + X

0

) =

1
2



0

f

+

a

−f

 =

a/2

0

. Le˙zy on na

prostej T

X

, bo

a

2f

(

a
2

− a) − 0 −

1

4f

a

2

= 0 .

Z tego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli w ognisku zwierciad la parabolicznego umie´s-

cimy punktowe ´zr´

od lo ´swiat la, to promienie odbite od zwierciad la be

!

da

!

r´

ownoleg le

do osi symetrii paraboli. Z tego powodu np. anteny radioteleskop´

ow maja

!

kszta lt

6

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

paraboloidy obrotowej, czyli powierzchni powsta lej przez obr´

ot paraboli wok´

o l jej osi

symetrii.

Twierdzenie 18.9 (o zwierciad lach eliptycznych)

Je´sli F

1

, F

2

sa

!

ogniskami elipsy E , X ∈ E , T

X

prosta

!

styczna

!

do elipsy E

w punkcie X , to ka

!

t mie

!

dzy prostymi F

1

X i T

X

r´

owny jest ka

!

towi mie

!

dzy prostymi

F

2

X i T

X

.

Dow´

od. Za l´

o˙zmy, ˙ze

r

t

∈ E . Poniewa˙z gradient ~n = grad

x

2

a

2

+

y

2

b

2

−1





x=r,y=s

=

=

−−−−−→

2r
a

2

,

2s
b

2

* jest wektorem prostopad lym do prostej stycznym do elipsy w punkcie

r
s

, wie

!

c wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ka

!

ty mie

!

dzy tym wektorem i wektorami

−−−−−→

F

1

, X

oraz

−−−−−→

F

2

, X

sa

!

r´

owne. W tym celu podzielimy iloczyn skalarny gradientu i wektora

~v

1

=

−−−−−→

F

1

, X

=

−−−→

r+f

s

przez d lugo´s´c wektora ~v

1

; potem zrobimy to samo w przy-

padku wektora wektora ~v

2

=

−−−−−→

F

2

, X

=

−−−→

r−f

s

. Je´sli otrzymane wyniki oka˙za

!

sie

!

identyczne, to be

!

dziemy mogli stwierdzi´c r´

owno´s´c kosinus´

ow zajmuja

!

cych nas ka

!

t´

ow,

wie

!

c r´

ownie˙z r´

owno´s´c ka

!

t´

ow — ka

!

ty mie

!

dzy wektorami znajdujemy w przedziale

[0, π] . Po skorzystaniu z kanonicznego r´

ownania elipsy i twierdzenia o kierownicy

otrzymujemy

~n·

~

v

1

k~v

1

k

= 2

(r+f)·

r

a

2

+s·

s

b

2

 ·

1

√

(r+f )

2

+s

2

= 2

1+

rf
a

2

 ·

1

ε(r−δ)

= 2

1+

aεr

a

2

 ·

1

εr+a)

=

2
a

.

Otrzymany wynik nie zale˙zy od r ani od s . Rachuja

!

c w nieomal identyczny

spos´

ob stwierdzamy, ˙ze w przypadku drugiego ogniska, otrzymujemy te

!

sama

!

wiel-

ko´s´c, co dowodzi prawdziwo´sci tezy.

Z udowodnionego twierdzenia wynika, ˙ze je´sli umie´scimy w jednym ognisku

zwierdziad la eliptycznego punktowe ´zr´

od lo ´swiat la, to po odbiciu od zwierciad la

wszystkie promienie przejda

!

przez drugie ognisko. Ta w lasno´s´c zwierciad la eliptycz-

nego bywa wykorzystywana do niszczenia kom´

orek rakowych nale˙zy tak umie´sci´c

zwierciad lo, by ´swiat lo (lub inne fale) skupi lo sie

!

dok ladnie tam, gdzie znajduja

!

sie

!

kom´

orki, kt´

ore medyk zamierza zniszczy´c.

Odpowiednia

!

w lasno´s´c maja

!

te˙z zwierciad la hiperboliczne.

Twierdzenie 18.10 (o zwierciad lach hiperbolicznych)

Je´sli F

1

, F

2

sa

!

ogniskami hiperboli H , X ∈ H , T

X

prosta

!

styczna

!

do hiperboli H

w punkcie X , to ka

!

t mie

!

dzy prostymi F

1

X i T

X

r´

owny jest ka

!

towi mie

!

dzy prostymi

F

2

X i T

X

.

*

znale´

zli´

smy gradient i podstawili´

smy x=r oraz y=s

7

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

Dow´

od. Za l´

o˙zmy, ˙ze

r

t

∈ H . Poniewa˙z gradient ~n = grad

x

2

a

2

−

y

2

b

2

−1





x=r,y=s

=

=

−−−−−−→

2r
a

2

, −

2s
b

2

* jest wektorem prostopad lym do prostej stycznym do elipsy w punkcie

r
s

, wie

!

c wystarczy stwierdzi´c, ˙ze ka

!

ty mie

!

dzy tym wektorem i wektorami

−−−−−→

F

1

, X

oraz

−−−−−→

F

2

, X

sa

!

r´

owne. W tym celu podzielimy iloczyn skalarny gradientu i wektora

~v

1

=

−−−−−→

F

1

, X

=

−−−→

r+f

s

przez d lugo´s´c wektora ~v

1

; potem zrobimy to samo w przy-

padku wektora wektora ~v

2

=

−−−−−→

F

2

, X

=

−−−→

r−f

s

. Je´sli otrzymane wyniki oka˙za

!

sie

!

identyczne, to be

!

dziemy mogli stwierdzi´c r´

owno´s´c kosinus´

ow zajmuja

!

cych nas ka

!

t´

ow,

wie

!

c r´

ownie˙z r´

owno´s´c ka

!

t´

ow — ka

!

ty mie

!

dzy wektorami znajdujemy w przedziale

[0, π] . Po skorzystaniu z kanonicznego r´

ownania elipsy i twierdzenia o kierownicy

otrzymujemy

~n·

~

v

1

k~v

1

k

= 2

(r+f)·

r

a

2

−s·

s

b

2

 ·

1

√

(r+f )

2

+s

2

= 2

1+

rf
a

2

 ·

1

ε(r−δ)

= 2

1+

aεr

a

2

 ·

1

εr+a)

=

2
a

.

Otrzymany wynik nie zale˙zy od r ani od s . Rachuja

!

c w nieomal identyczny

spos´

ob stwierdzamy, ˙ze w przypadku drugiego ogniska, otrzymujemy te

!

sama

!

wiel-

ko´s´c, co dowodzi prawdziwo´sci tezy.

Promienia ´swiat la wychodza

!

ce z ogniska F

1

wygla

!

daja

!

tak, jakby wychodzi ly z

ogniska F

2

nie odbijaja

!

c ani nie za lamuja

!

c sie

!

po drodze.

Umieszczali´smy do tej pory krzywe w wygodny dla naszych chwilowych cel´

ow

spos´

ob w uk ladzie wsp´

o lrze

!

dnych. Te krzywe pojawiaja

!

sie

!

w r´

o˙znych problemach

same i wtedy niekoniecznie od razu wiadomo, ˙ze to z nimi mamy do czynienia. Niech

 x

y



= F

u

v



=

 cos α − sin α

sin α

cos α



·

 u

v



+

 p

q



,

czyli x = u cos α − v sin α + p i y = u sin α + v cos α + q . Izometria be

!

da

!

ca z lo˙zeniem

obrotu o ka

!

t α i przesunie

!

cia o wektor

−→

p
q

. Przekszta lca punkt

u
v

na punkt

x
y

.

Pewien zbi´

or jest przekszta lcany na elipse

!

o r´

ownaniu

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 . Jasne jest, ˙ze

mo˙zemy napisa´c r´

ownanie tego zbioru, kt´

ory jest oczywi´scie elipsa

!

niekanonicznie

umieszczona

!

w uk ladzie wsp´

o lrze

!

dnych. To r´

ownanie ma posta´c

1 =

x

2

a

2

+

y

2

b

2

=

(u cos α − v sin α + p)

2

a

2

+

(u sin α + v cos α + q)

2

b

2

.

Podnosza

!

c sumy do kwadratu i porza

!

dkuja

!

c doprowadzi´c mo˙zemy to r´

ownanie do

postaci

Au

2

+ 2Buv + Cv

2

+ 2Du + 2Ev + F = 0 ,

(kwa)

*

znale´

zli´

smy gradient i podstawili´

smy x=r oraz y=s

8

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

gdzie A, B, C, D, E, F sa

!

pewnymi sta lymi, kt´

ore znajdujemy w trakcie przekszta l-

cania wzoru, np. A =

cos

2

α

a

2

+

sin

2

α

b

2

, B = −

sin α cos α

a

2

+

sin α cos α

b

2

.

Jest dosy´c oczywiste, ˙ze przekszta lcaja

!

c w ten spos´

ob r´

ownanie kanoniczna hi-

perboli albo paraboli te˙z otrzymamy r´

ownanie postaci (kwa). Wsp´

o lczynniki be

!

da

!

oczywi´scie nieco inne, to z oczywistych przyczyn jest zale˙zne od rozpatrywanego

przypadku.

Powstaje pytanie: czy mo˙zna rozpozna´c krzywa

!

opisana

!

r´

ownaniem (kwa) bez

pr´

oby znalezienia ka

!

ta α i wektora przesunie

!

cia i czy r´

ownanie kwadratowe dwu

zmiennych, tj. r´

ownanie postaci (kwa) mo˙ze opisywa´c zbiory r´

o˙zne od wymienionych?

Spr´

obujemy odpowiedzie´c na to pytanie. Zak lada´c be

!

dziemy, ˙ze r´

ownanie jest

kwadratowe, co oznacza, ˙ze co najmniej jedna z liczb A, B, C jest r´

o˙zna od 0 .

Jasne jest, ˙ze poza wymienionymi trzema typami krzywych moga

!

pojawi´c sie

!

inne. Mo˙ze pojawi´c sie

!

okra

!

g o promieniu 1 i ´srodku

2

−5

0 = (x − 2)

2

+ (y + 5)

2

− 1 = x

2

+ y

2

− 4x + 4 + 10y + 24 = 0

lub jakikolwiek inny.

Mo˙ze pojawi´c sie

!

jeden punkt x

2

+ y

2

= 0 , zbi´

or pusty x

2

+ y

2

+ 13 = 0 albo

dwie proste:

0 = (x + y − 1)(2x − 3y − 6) = 2x

2

− xy − 3y

2

− 8x − 3y + 6 .

Te proste moga

!

mie´c punkt wsp´

olny, jak w podanym przyk ladzie, moga

!

te˙z by´c

r´

ownoleg le 0 = (x − y)(x − y + 1) = x

2

− 2xy + y

2

+ x − y , a moga

!

sie

!

te˙z pokry´c

0 = (x + 2y)

2

= x

2

+ 4xy + 4y

2

. Wida´c, ˙ze sa

!

r´

o˙zne mo˙zliwo´sci.

Aby u latwi´c sobie ˙zycie przepiszemy r´

ownanie (kwa) w postaci macierzowej

0 =( x

y

1 )·





A

B

D

B

C

E

D

E

F





·





x

y
1





=( x y

1 )·





Ax + By + D
Bx + Cy + E
Dx + Ey + F





=

= x(Ax + By + D) + y(Bx + Cy + E) + Dx + Ey + F =

= Ax

2

+ 2Bxy + Cy

2

+ 2Dx + 2Ey + F

(kwam) .

W dalszym cia

!

gu

M

3

=





A

B

D

B

C

E

D

E

F





i

M

2

=

 A B

B

C



.

Zaczniemy od wyja´snienia, jak wygla

!

da r´

ownanie zbioru, kt´

ory przekszta lcany jest

przez izometrie

!

F na zbi´

or zdefiniowany r´

ownaniem (kwam). Niech

x
y

= F

u
v

i niech x = u cos α − v sin α + p i y = u sin α + v cos α + q .

9

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

Zauwa˙zmy, ˙ze





u cos α − v sin α + p
u sin α + v cos α + q

1





=





cos α

− sin α p

sin α

cos α

q

0

0

1









u
v

1





. Zdefiniu-

jemy jeszcze jedna

!

macierz: R =





cos α − sin α p

sin α

cos α

q

0

0

1





. Mo˙zemy teraz napisa´c*

0 =( x

y

1 )·





A

B

D

B

C

E

D

E

F





·





x

y
1





=





x

y
1





T

·





A

B

D

B

C

E

D

E

F





·





x
y

1





=

=









cos α

− sin α p

sin α

cos α

q

0

0

1









u

v
1









T

·





A

B

D

B

C

E

D

E

F





·





cos α

− sin α p

sin α

cos α

q

0

0

1









u

v
1





=

=( u v

1 ) ·





cos α

sin α

0

− sin α cos α 0

p

q

1





·





A

B

D

B

C

E

D

E

F





·





cos α

− sin α p

sin α

cos α

q

0

0

1









u

v
1





.

Oznacza to, ˙ze w r´

ownaniu ze zmiennymi u, v zamiast macierzy M

3

wyste

!

puje

macierz

˜

M

3

= R

T

M

3

R . Mamy det( ˜

M

3

) = det(R

T

) det(M

3

) det(R) = det(M

3

) .

Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze dzie

!

ki obecno´sci zer w macierzy R we w la´sciwych miejscach

zachodzi r´

owno´s´c

˜

M

2

=



cos α

sin α

− sin α cos α



· M

2

·

 cos α − sin α

sin α

cos α



.

Niech R

α

=

 cos α − sin α

sin α

cos α



. Korzystaja

!

c z tego, ˙ze

R

−α

· R

α

=



cos α

sin α

− sin α cos α



·

 cos α − sin α

sin α

cos α



=

 1 0

0 1



= I ,

mo˙zemy stwierdzi´c, ˙ze

det( ˜

M

2

− λI) = det(R

−α

· M

2

· R

α

− λR

−α

· R

α

) = det R

−α

· (M

2

− λI) · R

α

=

= det(R

−α

) · det(M

2

− λI) · det(R

α

) = det(M

2

− λI) .

Okaza lo sie

!

, ˙ze macierze M

2

i ˜

M

2

maja

!

ten sam wielomian charakterystyczny, wie

!

c

r´

ownie˙z te same warto´sci w lasne. Oczywi´scie

det(M

2

− λI) =






A − λ

B

B

C − λ






= λ

2

− (A + C)λ + AC − B

2

.

Widzimy wie

!

c, ˙ze przy przej´sciu od zmiennych u, v do zmiennych x, y zachowuja

!

sie

!

A + C , det(M

2

) = AC − B

2

i det(M

3

) = ACF + 2BDE − CD

2

− AE

2

− F B

2

.

Podkre´sli´c wypada, ˙ze wsp´

o lczynniki A, B, C, D, E, F moga

!

sie

!

zmienia´c i na og´

o l

zmieniaja

!

sie

!

. Podobnie wektory w lasne macierzy M

2

na og´

ol zmieniaja

!

sie

!

, chocia˙z

warto´sci w lasne nie ulegaja

!

zmianie.

*

Przypominamy, ˙ze je´

sli Q jest macierza

!

, to Q

T

oznacza macierz transponowana

!

— kolejne wiersze

macierzy Q sa

!

kolejnymi kolumnami macierzy Q

T

. Zachodzi oczywisty wz´

or (Q

1

Q

2

)

T

=Q

T
2

Q

T
1

.

10

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

Zapiszemy uzyskane wyniki jako twierdzenie.

Twierdzenie 18.11 (o niezmiennikach izometrii)

Je´sli w r´

ownaniu

Ax

2

+ 2Bxy + Cy

2

+ 2Dx + 2Ey + F = 0

podstawimy x = u cos α−v sin α+p i y = u sin α+v cos α+q , to trzymamy r´ownanie

˜

Au

2

+ 2 ˜

Buv + ˜

Cv

2

+ 2 ˜

Du + 2 ˜

Ev + ˜

F = 0 .

Spe lnione sa

!

wtedy r´

owno´sci

A + C = ˜

A + ˜

C ,






A

B

B

C






=






˜

A

˜

B

˜

B

˜

C






,








A

B

D

B

C

E

D

E

F








=








˜

A

˜

B

˜

D

˜

B

˜

C

˜

E

˜

D

˜

E

˜

F








.

Macierz M

2

jest symetryczna, wie

!

c jej warto´sci w lasne sa

!

rzeczywiste, co zreszta

!

mo˙zna wywnioskowa´c z tego, ˙ze ∆ = (A + C)

2

− 4(AC − B

2

) = (A − C)

2

+ 4B

2

≥ 0 .

Przy okazji mo˙zemy zauwa˙zy´c, ˙ze ∆ = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy A = C i B = 0 .

Wtedy r´

ownanie (kwa) przyjmuje posta´c

0 = Ax

2

+ Ay

2

+ 2Dx + 2Ey + F = A

(x +

D

A

)

2

+ (y +

E
A

)

2

+

F
A

−

D

2

A

2

−

E

2

A

2

] =

= A

(x +

D

A

)

2

+ (y +

E
A

)

2

+

AF −D

2

−E

2

A

2

 .

Je´sli 0 < AF − D

2

− E

2

=

1

A

det(M

3

) , to jest to r´

ownanie zbioru pustego. Je´sli

0 = AF −D

2

−E

2

=

1

A

det(M

3

) , to r´

ownanie jest spe lnione jedynie przez wsp´

o lrze

!

dne

punktu

−D/A
−E/A

. Je´sli natomiast 0 > AF −D

2

−E

2

=

1

A

det(M

3

) , to r´

ownanie opisuje

okra

!

g o ´srodku

−D/A
−E/A

i promieniu

√

−AF + D

2

+ E

2

.

W dalszym cia

!

gu zak lada´c be

!

dziemy, ˙ze

∆ = (A + C)

2

− 4(AC − B

2

) = (A − C)

2

+ 4B

2

> 0 ,

wie

!

c A 6= C lub B 6= 0 . Warto´sci w lasne macierzy M

2

sa

!

w tej sytuacji r´

o˙zne. Niech

λ

1

, λ

2

be

!

da

!

tymi warto´sciami w lasnymi.

Wektory odpowiadaja

!

ce warto´sciom w lasnym macierzy symetrycznej sa

!

prosto-

pad le (niezale˙znie od jej wymiaru). W naszym przypadku mo˙zemy napisa´c r´

ownania

prostych w lasnych: Ax + By = λ

1

x i Ax + By = λ

2

x , czyli (A − λ

1

)x + By = 0 i

(A − λ

2

)x + By = 0 . Proste te sa

!

prostopad le, bo iloczyn skalarny gradient´

ow funkcji

(A − λ

1

)x + By i (A − λ

2

)x + By jest r´

owny

(A − λ

1

)(A − λ

2

) + B

2

= A

2

+ B

2

− A(λ

1

+ λ

2

) + λ

1

· λ

2

wzory

======

Vi´

ete’a

= A

2

+ B

2

− A(A + C) + AC − B

2

= 0 .

Niech ~v

1

, ~v

2

be

!

da

!

wektorami w lasnymi o d lugo´sci 1 odpowiadaja

!

cymi war-

to´sciom w lasnym λ

1

, λ

2

. Istnieje taka liczba α , ˙ze ~v

1

=

−−−−−−−−→

(cos α, sin α) . Wtedy

~v

2

=

−−−−−−−−−−→

(− sin α, cos α) lub ~v

2

=

−−−−−−−−−−→

(sin α, − cos α) . Mo˙zna przyja

!

´c, ˙ze zachodzi pierwszy

11

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

z wymienionych wzor´

ow, bo wektor przeciwny do wektora w lasnego jest te˙z wekto-

rem w lasnym odpowiadaja

!

cym tej samej warto´sci w lasnej. Niech ~e

1

=

1
0

, ~e

2

=

0
1

.

Mamy wtedy R

−α

M

2

R

α

~e

1

= R

−α

M

2

~v

1

= R

−α

λ

1

~v

1

= λ

1

R

−α

~v

1

= λ

1

~e

1

=

λ

1

0

—

znale´zli´smy pierwsza

!

kolumne

!

macierzy R

−α

M

2

R

α

. W taki sam spos´

ob znajdujemy

druga

!

: R

−α

M

2

R

α

~e

2

= R

−α

M

2

~v

2

= R

−α

λ

2

~v

2

= λ

2

R

−α

~v

2

= λ

2

~e

2

=

0

λ

2

. Mamy

wie

!

c R

−α

M

2

R

α

=

 λ

1

0

0

λ

2



, wie

!

c r´

ownanie Ax

2

+2Bxy +Cy

2

+2Dx+2Ey +F = 0

we wsp´

o lrze

!

dnych u, v ma posta´c

λ

1

u

2

+ λ

2

v

2

+ 2 ˜

Du + 2 ˜

Ev + ˜

F = 0 ,

(kwa2)

gdzie przez ˜

D, ˜

E, ˜

F oznaczyli´smy sta le, kt´

ore pojawia

!

sie

!

w r´

ownaniu po prze-

kszta lceniach (podstawieniu lub znalezieniu macierzy ˜

M

3

zgodnie z otrzymanymi

wcze´sniej wzorami).

Oczywi´scie mo˙ze zdarzy´c sie

!

, ˙ze 0 = λ

1

λ

2

= AC − B

2

, czyli ˙ze jedna z warto´sci

w lasnych macierzy M

2

jest zerem (dwie nie moga

!

by´c zerami, bo za lo˙zyli´smy, ˙ze

sa

!

r´

o˙zne). Mo˙zemy przyja

!

´c, ˙ze λ

2

= 0 . Je´sli r´

ownie˙z ˜

E = 0 , to w r´

ownaniu nie

wyste

!

puje zmienna v . R´

ownanie kwadratowe λ

1

u

2

+2 ˜

Du+ ˜

F = 0 z jedna

!

niewiadoma

!

(i) mo˙ze nie mie´c rozwia

!

za´

n (gdy ˜

D

2

− λ

1

˜

F < 0 ),

(ii) mo˙ze mie´c jedno rozwia

!

zanie rzeczywiste (gdy ˜

D

2

− λ

1

˜

F = 0 ) lub

(iii) dwa rozwia

!

zania rzeczywiste (gdy ˜

D

2

− λ

1

˜

F > 0 ).

Wtedy zbi´

or opisany r´

ownaniem (kwa2)

(i) jest pusty,

(ii) jest prosta

!

r´

ownoleg la

!

do wektora ~v

2

(tzn do osi OV ),

(iii) sk lada sie

!

z dwu prostych r´

ownoleg lych do wektora ~v

2

.

Teraz nale˙zy przedyskutowa´c przypadek ˜

E 6= 0 = λ

2

. Jasne jest, ˙ze mamy

teraz do czynienia z parabola

!

. Wypada jedynie zwr´

oci´c uwage

!

na to, ˙ze o´s symetrii

paraboli jest r´

ownoleg la do jednego z kierunk´

ow w lasnych macierzy M

2

tego, kt´

ory

odpowiada warto´sci w lasnej r´

ownej 0 .

Mo˙zemy w dalszym cia

!

gu zak lada´c, ˙ze 0 6= λ

1

λ

2

= AC − B

2

. Poniewa˙z po-

mno˙zenie r´

ownania przez liczbe

!

r´

o˙zna

!

od 0 nie zmienia zbioru opisanego przez to

r´

ownanie, wie

!

c bez straty og´

olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna przyja

!

´c, ˙ze λ

1

> 0 . Je´sli r´

ownie˙z

λ

2

> 0 (tzn. 0 < λ

1

λ

2

= AC − B

2

), to r´

ownanie (kwa2) mo˙zna przepisa´c w postaci

0 = λ

1

u +

˜

D

λ

1

2

+ λ

2

v +

˜

E

λ

2

2

+ ˜

F −

˜

D

2

λ

1

−

˜

E

2

λ

2

=

= λ

1

u +

˜

D

λ

1

2

+ λ

2

v +

˜

E

λ

2

2

+

λ

1

λ

2

˜

F −λ

2

˜

D−λ

1

˜

E

λ

1

λ

2

.

(i) Nie ma ono rozwia

!

za´

n, gdy 0 < λ

1

λ

2

˜

F − λ

2

˜

D − λ

1

˜

E = det(M

3

) ;

12

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

(ii) ma jedno rozwia

!

zanie, gdy 0 = λ

1

λ

2

˜

F − λ

2

˜

D − λ

1

˜

E = det(M

3

) ,

(iii) przedstawia elipse

!

o ´srodku symetrii −

˜

D/λ

2

˜

E/λ

2

i osiach symetrii r´ownoleg lych

do wektor´

ow w lasnych macierzy M

2

, gdy zachodzi nier´

owno´s´c

0 > λ

1

λ

2

˜

F − λ

2

˜

D − λ

1

˜

E = det(M

3

) .

Teraz dla odmiany przyjmiemy, ˙ze λ

2

< 0 < λ

1

, czyli 0 > λ

1

λ

2

= AC − B

2

.

Podobnie jak w przypadku poprzednim mo˙zemy przepisa´c r´

ownanie w postaci 0 =

λ

1

u +

˜

D

λ

1

2

+ λ

2

v +

˜

E

λ

2

2

+ ˜

F −

˜

D

2

λ

1

−

˜

E

2

λ

2

=

= λ

1

u +

˜

D

λ

1

2

− |λ

2

| v +

˜

E

λ

2

2

+

λ

1

λ

2

˜

F −λ

2

˜

D−λ

1

˜

E

λ

1

λ

2

.

(i) Przedstawia ono dwie przecinaja

!

ce sie

!

proste, gdy 0 = λ

1

λ

2

˜

F −λ

2

˜

D −λ

1

˜

E ;

(ii) hiperbole

!

o osiach symetrii r´

ownoleg lych do wektor´

ow w lasnych macierzy

M

2

, gdy 0 6= λ

1

λ

2

˜

F − λ

2

˜

D − λ

1

˜

E .

Wyja´snili´smy, co mo˙ze opisywa´c r´

ownanie kwadratowe z dwiema niewiadomymi,

czyli jak moga

!

wygla

!

da´c poziomice wielomianu drugiego stopnia.

W wielu sytuacjach warto u˙zywa´c wsp´

o lrze

!

dnych biegunowych zamiast karte-

zja´

nskich. Podamy opis elipsy, paraboli i hiperboli we wsp´

o lrze

!

dnych biegunowych.

Krzywa

!

umie´scimy tak, by ognisko F znalaz lo sie

!

w pocza

!

tku uk ladu wsp´

o lrze

!

dnych.

Przez ognisko poprowadzimy prosta

!

prostopad la

!

do osi symetrii krzywej. Przetnie ona

krzywa

!

w pewnym punkcie P . Niech p oznacza odleg lo´s´c punktu P od ogniska F ,

a ε — mimo´sr´

od krzywej.

Niech X oznacza dowolny punkt krzywej, r odleg lo´s´c punktu X od punktu F ,

ϕ ka

!

t mie

!

dzy odcinkiem F X i osia

!

symetrii krzywej zawieraja

!

ca

!

ognisko F . Ten ka

!

t

jest tak mierzony, ˙ze gdy X = P , to ϕ =

π

2

; gdy X jest „wierzcho lkiem” krzywej

le˙za

!

cym mie

!

dzy F i d , to ϕ = π . Z definicji mimo´srodu wynika, ˙ze odleg lo´s´c punktu

P od kierownicy d zwia

!

zanej z ogniskiem F jest r´

owna

p
ε

. Wobec tego odleg lo´s´c

punktu X od kierownicy d r´

owna jest

p
ε

+r cos ϕ . Wynika sta

!

d, ˙ze zachodzi r´

owno´s´c

r

p
ε

+ r cos ϕ

= ε .

Jasne jest r´

ownie˙z, ˙ze je´sli ta r´

owno´s´c jest spe lniona dla pewnego punktu X , to ten

punkt le˙zy na naszej krzywej. Zwyczajowo otrzymane r´

ownanie krzywej zapisywane

jest w postaci

r =

p

1 − ε cos ϕ

.

Elipsa, parabola i hiperbola zwane sa

!

cze

!

sto sto˙zkowymi, bo mo˙zna je otrzyma´c

przecinaja

!

c niesko´

nczony sto˙zek p laszczyzna

!

. Niesko´

nczony sto˙zek otrzymujemy w

13

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

wyniku obrotu pary prostych wok´

o l dwusiecznej jednego z ka

!

t´

ow przez nie utwo-

rzonych. Wygla

!

da to jak dwa sto˙zki pozbawione podstaw i z la

!

czone wierzcho lkami.

Tna

!

c taki sto˙zek p laszczyzna

!

, kt´

ora nie przechodzi przez wierzcho lek sto˙zka i przecina

wszystkie jego tworza

!

ce otrzymujemy elipse

!

, je´sli nie przechodzi przez wierzcho lek i

jest r´

ownoleg la do dok ladnie dwu tworza

!

cych w przekroju otrzymujemy hiperbole

!

,

a je´sli jest r´

ownoleg la do dok ladnie jednej tworza

!

cej — parabole

!

. Dobre, czytelne

rysunki i dowody geometryczne tych stwierdze´

n znajduja

!

sie

!

np. w ksia

!

˙zce „Geome-

tria pogla

!

dowa

” Dawida Hilberta i Stefana Cohn–Vossena, Warszawa, PWN 1956

(t lumaczenie z niemieckiego). Znale´z´c te˙z mo˙zna om´

owione tu twierdzenia w wielu

ksia

!

˙zkach zatytu lowanych „Geometria analityczna”.

Zadania

18. 01 Co przedstawia r´

ownanie 4x

2

− 9y

2

= 0 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 02 Co przedstawia r´

ownanie 4x

2

− 9y

2

= 1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 03 Co przedstawia r´

ownanie 4x

2

− 9y

2

= −1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 04 Co przedstawia r´

ownanie x

2

− 4xy + 4y

2

= −1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiper-

bole

!

, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 05 Co przedstawia r´

ownanie x

2

−4xy+4y

2

= 0 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 06 Co przedstawia r´

ownanie x

2

−4xy+4y

2

= 1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 07 Co przedstawia r´

ownanie x

2

−4xy+5y

2

= 1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 08 Co przedstawia r´

ownanie x

2

−4xy+5y

2

= 0 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 09 Co przedstawia r´

ownanie x

2

− 4xy + 5y

2

= −1 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiper-

bole

!

, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 10 Co przedstawia r´

ownanie 2xy + x + 5 = 0 ? Je´sli elipse

!

, parabole

!

lub hiperbole

!

,

znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 11 Co przedstawia r´

ownanie 2x

2

− 4xy + 2y

2

+ 8x − 8y − 17 = 0 ? Je´sli elipse

!

,

parabole

!

lub hiperbole

!

, znale´z´c o´s symetrii i ognisko.

18. 12 Wykaza´c, ˙ze je´sli przetniemy elipse

!

lub parabole

!

lub hiperbole

!

tymi wszystkimi

prostymi, kt´

ore kt´

ore sa

!

r´

ownoleg le do wybranej prostej i przecinaja

!

krzywa

!

14

Izometrie, elipsy, parabole, hiperbole

w dw´

och r´

o˙znych punktach, to ´srodki wszystkich tak otrzymanych odcink´

ow

znajda

!

sie

!

na jednej prostej.

18. 13 Wykaza´c, ˙ze asymptotami hiperboli o r´

ownaniu

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 1 , sa

!

proste o

r´

ownanie

x

2

a

2

−

y

2

b

2

= 0 .

18. 14 Niech a > b > 0 . Wykaza´c, ˙ze zbi´

or z lo˙zony z takich punkt´

ow (x, y) , dla kt´

orych

x

2

a

2

+

y

2

b

2

< 1 jest otwarty i wypuk ly.

18. 15 Niech a, b > 0 . Wykaza´c, ˙ze zbi´

or z lo˙zony z takich punkt´

ow (x, y) , dla kt´

orych

x

2

a

2

−

y

2

b

2

< 1 i x > a jest otwarty i wypuk ly.

15