ch11 12 calki II

Ca lki: pola, obje

to´

sci, ´

srodek cie

˙zko´

sci

Po zapoznaniu sie

z najprostszymi metodami obliczania ca lek, zajmiemy sie

pewnymi za-

stosowaniami teorii.

Twierdzenie 11.1 (o por´

ownywaniu ca lek)

Je´sli funkcje f i g maja

funkcje pierwotne na przedziale [a, b] i dla ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi

nier´owno´s´c f (x) ≤ g(x) , to r´ownie˙z

f (x) dx ≤

g(x) dx .

Dow´

od. Niech F i G oznaczaja

funkcje pierwotne funkcji f i g . W tej sytuacji

′

(x) − F

′

(x) = g(x) − f(x) ≥ 0 ,

zatem funkcja G − F jest niemaleja

ca. Wobec tego

g(x) dx −

f (x) dx = G(b) − G(a) − F (b) − F (a)

= G(b) − F (b)

− G(a) − F (a) ≥ 0 .

Twierdzenie 11.2 (o warto´

sci ´

sredniej)

Niech f : [a, b] −→ IR be

dzie funkcja

cia

g la

. Wtedy istnieje liczba c ∈ [a, b] , taka ˙ze zachodzi

r´

owno´s´c

f (x) dx = f (c)(b − a) .

Dow´

od. Wynika natychmiast z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej zastosowanego do

funkcji pierwotnej funkcji f :

F (b) − F (a) = F

′

(c)(b − a) = f(c)(b − a) .

Deﬁnicja 11.3 (warto´

sci ´

sredniej funkcji.)

Liczbe

b−a

f (x) dx

= f (c)

nazywamy warto´scia

´srednia

funkcji f .

Mo˙zna my´sle´c o niej tak: je´sli funkcja f przyjmuje jedynie warto´sci dodatnie, to liczba

b−a

f (x) dx jest wysoko´scia

prostoka

ta o podstawie b − a , kt´orego pole r´owne jest ,,polu

pod wykresem” funkcji f . Je´sli f (x) oznacza pre

dko´s´c w chwili x , to wtedy

b−a

f (x) dx

oznacza iloraz przebytej drogi

f (x) dx * przez czas b −a zu˙zyty na jej przebycie, czyli ´srednia

pre

dko´s´c w tym ruchu. Naste

pne przyk lady, kt´

ore motywuja

deﬁnicje

pojawia

sie

niebawem

i czytelnik z pewno´scia

je dostrze˙ze.

Przypomnijmy, ˙ze je´

sli F (x) oznacza po lo˙zenie poruszaja֒cego sie֒ punktu w momencie x , to f(x)=F

′

(x) oznacza

pre֒dko´s´c w tym momencie, m´owili´smy o tym przy okazji deﬁnicji pochodnej funkcji jednej zmiennej.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Twierdzenie 11.4 (o addytywno´

sci ca lki wzgle

dem przedzia lu)

Je´sli a < c < b i funkcja f ma funkcje

pierwotna

na przedziale [a, b] , to zachodzi r´owno´s´c

f (x) dx =

f (x) dx +

f (x) dx .

Dow´

od. Niech F oznacza funkcje

pierwotna

funkcji f . Wtedy prawdziwe sa

wzory:

f (x) dx = F (b) − F (a) ,

f (x) dx = F (c) − F (a) ,

f (x) dx = F (b) − F (c) .

Z nich teza wynika natychmiast.

Punktem wyj´scia do wielu zastosowa´

n ca lki jest

Twierdzenie 11.5 (o sumach Riemanna)

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest cia

g la, to dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze

je˙zeli a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b , x

i−1

≤ t

≤ x

oraz x

− x

i−1

< δ dla ka˙zdego

i = 1, 2, . . . , n , to zachodzi nier´owno´s´c

f (x) dx −

f (t

)(x

− x

) + f (t

)(x

− x

) + . . . + f (t

)(x

− x

n−1

)

< ε .

Dow´

od. Poniewa˙z funkcja f jest cia

g la na przedziale [a, b] , wie

c na ka˙zdym z przedzia l´ow

i−1

, x

] przyjmuje kresy. Niech m

oznacza kres dolny, a M

— g´

orny. Wobec tego dla ka˙zdego

x ∈ [x

i−1

, x

] zachodzi nier´

owno´s´c m

i−1

≤ f(x) ≤ M

. Wobec tego, na mocy twierdzenia o po-

r´

ownywaniu ca lek zachodza

nier´

owno´sci:

− x

i−1

) ≤

i−

f (x) dx ≤ M

− x

i−1

) dla ka˙zdego i = 1, 2, . . . , n .

Dodaja

c je stronami i korzystaja

c z twierdzenia o addytywno´sci funkcji wzgle

dem przedzia lu

otrzymujemy

i=1

− x

i−1

) ≤

f (x) dx ≤

i=1

− x

i−1

) .

Poniewa˙z f jest cia

g la na przedziale domknie

tym [a, b] , wie

c dla ka˙zdego ε > 0 istnieje liczba

δ > 0 , taka ˙ze je´sli |t − s| < δ , to |f(t) − f(s)| <

b−a

.* Wobec tego je´sli x

− x

i−1

< δ , to

− m

b−a

dla wszystkich i . Sta

d od razu wynika, ˙ze zachodzi:

i=1

− m

) (x

− x

i−1

) <

b − a

i=1

− x

i−1

) = ε . Sta

d teza wynika natychmiast: liczby

i=1

f (t

)(x

− x

i−1

) oraz

f (x) dx le˙za

mie

dzy sumami

i=1

− x

i−1

) i

i=1

− x

i−1

) ,

kt´

orych r´

o˙znica jest mniejsza od ε . Dow´

od zosta l zako´

nczony.

To nie jest deﬁnicja cia֒g lo´sci i w zasadzie wymaga dowodu!

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Sumy

i=1

− x

i−1

) i

i=1

− x

i−1

) nazywane sa

dolna

i g´

orna

suma

Darboux,

suma

i=1

f (t

)(x

−x

i−1

) — suma

Riemanna. Istnieja

funkcje niecia

g le, kt´

ore maja

funkcje pier-

wotne, czyli sa

ca lkowalne w sensie Newtona, dla kt´

orych teza twierdzenia o sumach Riemanna

nie zachodzi. Przyk lad´ow podawa´c nie be

dziemy, zainteresowany czytelnik mo˙ze je znale´z´c

w pozycjach obszerniejszych, np. we wspominanym ju˙z drugim tomie ksia

˙zki G.M.Fichtenholza,

”Rachunek r´o˙zniczkowy i ca lkowy”. Podamy jednak deﬁnicje

ca lkowalno´sci w sensie Riemanna.

Deﬁnicja 11.6 ( funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna)

Funkcja f : [a, b] −→ IR jest ca lkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
liczba rzeczywista I , taka ˙ze dla ka˙zdej liczby ε > 0 istnieje liczba δ > 0 , taka ˙ze je˙zeli

a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b , x

i−1

≤ t

≤ x

oraz x

− x

i−1

< δ dla ka˙zdego

i = 1, 2, . . . , n , to zachodzi nier´owno´s´c

I −

f (t

)(x

− x

) + f (t

)(x

− x

) + . . . + f (t

)(x

− x

n−1

)

< ε .

Liczba I nazywana jest ca lka

Riemanna funkcji f na przedziale domknie

tym [a, b] i oznaczana

jest symbolem

f (x) dx .

Z twierdzenia o sumach Riemanna wynika, ˙ze funkcje cia

g le sa

ca lkowalne w sensie Rie-

manna i ˙ze ich ca lki Riemanna oraz Newtona to te same liczby. Stosowanie tego samego symbolu

jest wie

c w pe lni uzasadnione tym bardziej, ˙ze mo˙zna udowodni´c, ˙ze je´sli funkcja (niecia

g la) jest

ca lkowalna zar´

owno w sensie Riemanna jak i w sensie Newtona, to obie ca lki sie

pokrywaja

O funkcjach ca lkowalnych w sensie Riemanna powiemy niewiele.

Twierdzenie 11.7 (o ograniczono´

sci funkcji ca lkowalnej w sensie Riemanna) Funkcja

ca lkowalna w sensie Riemanna jest ograniczona.

Twierdzenie 11.8 (o ca lkowalno´

sci funkcji niecia

g lej w sko´

nczenie wielu punktach)

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest ograniczona i ma sko´nczenie wiele punkt´ow niecia

g lo´sci, to jest

ca lkowalna w sensie Riemanna.

Twierdzenie 11.9 (o ca lkowalno´

sci funkcji monotonicznej )

Je´sli funkcja f : [a, b] −→ IR jest monotoniczna, to jest ca lkowalna w sensie Riemanna.

Dowody tych twierdze´

n pomijamy, cho´c nie sa

ani trudne, ani d lugie. Zajmijmy sie

raczej

interpretacja

sum Riemanna. Za l´

o˙zmy, ˙ze f jest funkcja

dodatnia

. By rozpatrze´c sume

Rie-

manna podzielili´smy przedzia l [a, b] na kr´

otkie przedzialiki. W ka˙zdym z nich wybrali´smy

punkt t

. Sk ladnik f (t

)(x

− x

i−1

) , to pole prostoka

ta o podstawie [x

i−1

, x

] i wysoko´sci

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

f (t

) . G´orna podstawa tego prostoka

ta ma punkt wsp´

olny w wykresem funkcji f na przedziale

i−1

, x

] . Mo˙zna wie

c my´sle´c, ˙ze przybli˙zamy ,,pole pod wykresem” za pomoca

wielu wa

skich

prostoka

t´ow. Dolna suma Darboux zwia

zana jest z przybli˙zaniem tego samego pola z do lu,

w tym przypadku prostoka

ty mieszcza

sie

pod wykresem. G´

orna suma Darboux to suma p´ol

nieco wy˙zszych prostoka

t´ow, tak ˙ze ich suma zawiera ,,pole pod wykresem”. Zinterpretownie

sum w przypadku funkcji ujemnej nie nastre

cza k lopot´

ow. W przypadku funkcji zmieniaja

cej

znak nale˙zy podzieli´c przedzia l na cze

´sci tak, by na ka˙zdej z nich funkcja mia la sta ly znak (ni-

estety mo˙ze sie

okaza´c, ˙ze musi ich by´c niesko´

nczenie wiele). Gdyby ca lki s lu˙zy ly jedynie do

obliczania p´ol nie musieliby´smy o nich w og´ole o takich funkcjach m´

owi´c. Poka˙zemy jeszcze

kilka przyk lad´ow geometryczne i ﬁzycznych. W dalszym cia

gu w przypadku zbioru A ⊆ R

przez |A| lub |A|

oznacza´c be

dziemy jego obje

to´s´c (matematycy cze

sto u˙zywaja

terminu: mi-

are

tr´ojwymiarowa

). Pole zbioru A oznacza´c be

dziemy przez |A| lub |A|

, je´sli mo˙zliwe be

tpliwo´sci dotycza

ce wymiaru. Podobnie d lugo´s´c krzywej C oznaczymy przez |C| lub |C|

Obliczanie obje

to´

sci

Za l´

o˙zmy, ˙ze A ⊂ IR

jest przyzwoitym zbiorem ograniczonym.* Niech P (z) oznacza pole

przekroju zbioru A p laszczyzna

przechodza

przez punkt (0, 0, z) , prostopad la

do osi

−−→

OZ .

Wtedy obje

to´s´c |A| zbioru A r´owna jest

P (z) dz , przy czym a i b sa

tak dobrane, by

p laszczyzna, o kt´

orej mowa nie przecina la zbioru A , gdy z /

∈ [a, b] . ´Scis lego dowodu tego wzoru

nie podamy, spr´

obujemy jednak wyja´sni´c jego geneze

. Punktem wyj´scia be

dzie stwierdzenie, ˙ze

je´sli zbi´

or A sk lada sie

z podstawy B zawartej w pewnej p laszczy´znie Π i wszystkich odcink´ow

do niej prostopad lych, tej samej d lugo´sci h , kt´

orych jeden koniec le˙zy w zbiorze B i kt´ore le˙za

po jednej stronie p laszczyzny Π ,

♣

to obje

to´s´c zbioru |A| = |B| · h . To stwierdzenie uog´olnia

wzory na obje

to´s´c walca, prostopad lo´scianu, czy graniastos lupa prostego.

Za l´

o˙zmy teraz, ˙ze zbi´

or A jest ,,dostatecznie przyzwoity” oraz ˙ze

a = z

< z

< . . . < z

n−1

< z

= b

jest podzia lem przedzia lu [a, b] na dostatecznie kr´

otkie przedzia ly. Wtedy obje

to´s´c tej cze

´sci

zbioru A , kt´

ora jest zawarta mie

dzy p laszczyznami o r´

ownaniach z = z

i−1

i z = z

r´owna jest

P (t

)(z

− z

i−1

) , gdzie t

∈ [z

i−1

, z

] jest odpowiednio dobranym punktem

liczba P (t

) ma

by´c ´srednia

warto´scia

p´

ol P (z) dla z ∈ [z

i−1

, z

] — ta cze

´s´c zbioru A to nieomal walec, na og´o l

nieko lowy, o polu podstawy P (t

)

. W tej sytuacji mo˙zemy twierdzi´c, ˙ze obje

to´s´c r´owna jest

Nie mo˙zemy tu wyja´

snia´

c o jakie zbiory mo˙ze w rzeczywisto´

sci chodzi´

c. Wystarczy powiedzie´

c, ˙ze to o czym

chcemy powiedzie´

c mo˙ze by´

c stosowane w przypadku zbior´

ow otwartych, domknie֒tych i wielu innych, kiedy´s

my´

slano, ˙ze do wszystkich, ale tak nie jest. Rozstrzyganie tych kwestii nale˙zy pozostawi´

c matematykom. Nie-

matematyk mo˙ze przyja֒´c, ˙ze chodzi o wszystkie zbiory.

♣

Matematycy nazywaja֒ taki zbi´or walcem o podstawie B , a zwyk ly walec — walcem ko lowym.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

i=1

P (t

)(z

− z

i−1

) . Gdyby´smy nie starali sie

wybra´c punktu t

tak, by zachodzi la r´owno´s´c,

to i tak zachodzi laby r´owno´s´c przybli˙zona przy za lo˙zeniu, ˙ze pole P (z) jest funkcja

cia

g la

a przynajmniej ca lkowalna

w sensie Riemanna, zmiennej z . To m´

owi o tym jak nale˙zy my´sle´c

o obje

to´sci. Powinna by´c r´owna |A| =

P (z) dz . Mo˙zna albo u´sci´sli´c deﬁnicje

obje

to´sci, albo

przyja

´c, ˙ze podany wz´or to jej deﬁnicja. Poka˙zemy teraz na kilku przyk ladach jak ten wz´or

dzia la. Zaczniemy od wzor´ow znanych ze szko ly.

Przyk lad 11.1

Niech B be

dzie zbiorem zawartym w p laszczy´znie Π , kt´

orego pole r´owne jest

P . Niech W be

dzie punktem le˙za

cym poza p laszczyzna

Π i niech S oznacza sume

wszystkich

odcink´ow zaczynaja

cych sie

w punkcie W , kt´orych drugi koniec le˙zy w zbiorze B (je´sli B jest

ko lem i punkt W le˙zy nad jego ´srodkiem, to S jest sto˙zkiem o podstawie B i wierzcho lku W ;

je´sli B jest wieloka

tem, to S jest ostros lupem o wierzcho lku W i podstawie B ) — taki zbi´or S

matematycy nazywaja

sto˙zkiem o podstawie B i wierzcho lku W . Niech h oznacza odleg lo´s´c

punktu W od p laszczyzny Π , czyli wysoko´s´c sto˙zka S . Przetnijmy sto˙zek S p laszczyzna

r´

ownoleg la

do Π , kt´

orej odleg lo´s´c od p laszczyzny Π r´

owna jest z ∈ [0, h] . Otrzymany przekr´oj

jest ﬁgura

podobna

do B , w skali

h−z

. Poniewa˙z stosunek p´

ol ﬁgur podobnych jest r´owny

kwadratowi skali podobie´

nstwa, wie

c pole P (z) tego przekroju jest r´

owne

h−z

P . Wobec

tego

|S| =

h−z

P dz =

− 2hz + z

dz =

− h

1
3

P h .

Otrzymali´smy wie

c podawane w szko lach wzory na obje

to´s´c sto˙zka i ostros lupa jednocze´snie,

w rzeczywisto´sci wz´

or otrzymany w tym przyk ladzie jest nieco og´

olniejszy.

Przyk lad 11.2

Za l´

o˙zmy, ˙ze ka˙zdy przekr´

oj poziomy zbioru A otrzymany w wyniku prze-

cie

cia zbioru A p laszczyzna

znajduja

sie

na wysoko´sci z ∈ [0, h] ma to samo pole P i ˙ze

przekroje p laszczyznami poziomymi znajduja

cymi sie

na innych wysoko´sciach sa

puste. Wobec

tego zachodzi r´

owno´s´c |A| =

P dz = P h . Otrzymany wynik stosuje sie

oczywi´scie do

prostopad lo´scianu, ale r´

ownie˙z do r´

ownoleg lo´scianu, moga

doj´s´c skre

cenia r´

o˙zne na r´o˙znych

poziomach. Twierdzenie to zosta lo sformu lowane w XVII w. przez Cavalieri’ego. Jest zwane za-

sada

Cavalieri’ego. W czasach kiedy autor tego tekstu by l uczniem liceum, zasada ta znajdowa la

sie

w podre

czniku do geometrii, z kt´

orego uczyli sie

wtedy wszyscy liceali´sci w Polsce.

Przyk lad 11.3

Zajmijmy sie

kula

o promieniu r . Bez straty og´

olno´sci rozwa˙za´

n mo˙zna

przyja

´c, ˙ze jej ´srodkiem jest punkt 0 . Przecinaja

c kule

p laszczyzna

z lo˙zona

z punkt´ow, kt´orych

trzecia wsp´

o lrze

dna r´

owna jest z otrzymujemy ko lo o promieniu

√

− z

. Pole tego ko la

r´

owne jest π(r

− z

) . Wobec tego obje

to´s´c kuli r´

owna jest

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−r

π(r

− z

) dz = π r

· 2r −

1
3

−

1
3

(−r)

4
3

πr

Zn´ow otrzymali´smy w bardzo prosty spos´ob znany ze szko ly wz´

or. Otrzyma l go dawno temu

Archimedes dzie

ki zre

cznemu rozumowaniu geometrycznemu. Nie znano wtedy ca lek, wie

c zaje

mu to wie

cej miejsca ni˙z nam korzystaja

cym z wielu znacznie p´

o´zniejszych pomys l´ow.

Przyk lad 11.4

Znajdziemy obje

to´s´c de

tki zak ladaja

c, ˙ze powstaje ona w wyniku obrotu

ko la o promieniu r > 0 wok´o l prostej le˙za

cej w p laszczy´znie tego ko la w odleg lo´sci R > r od

jego ´srodka. Matematycy powierzchnie

tki nazywaja

torusem, czego oczywi´scie nie trzeba

pamie

ta´c. Przyjmiemy, ˙ze ´srodkiem ko la o promieniu r jest punkt (R, 0, 0) oraz ˙ze to ko lo le˙zy

w p laszczy´znie y = 0 . Przetnijmy (w my´sli) de

tke

p laszczyzna

pozioma

przechodza

przez

punkt (0, 0, z) . Przekr´oj jest pier´scieniem ko lowym, kt´

orego promie´

n wewne

trzny r´owny jest

R −

√

− z

a zewne

trzny to R +

√

− z

, zatem polem tego pier´scienia ko lowego jest liczba

π R +

√

− z

− π R −

√

− z

= 4πR

√

− z

Wynika sta

d, ˙ze obje

to´scia

tki jest

−r

4πR

√

− z

dz = 4πR ·

1
2

πr

= 2π

. Zadanie

zosta lo rozwia

zane.

Tych kilka przyk lad´

ow nie´zle ilustruje skuteczno´s´c rachunku ca lkowego. Otrzymanie tych

wzor´

ow bez rachunku ca lkowego jest mo˙zliwe, ale znane autorowi wyprowadzenia w istocie

zawieraja

przej´scia graniczne r´

ownowa˙zne temu, kt´

ore pojawia sie

w twierdzeniu o sumach

Riemanna. Mo˙zna wie

c twierdzi´c, ˙ze stworzenie rachunku ca lkowego stanowi lo ukoronowanie

wysi lk´

ow wielu ludzi obliczaja

cych r´

o˙zne wielko´sci, np. obje

to´sci.

Obliczanie p´

ol jeszcze raz

Przedstawili´smy przed chwila

podej´scie do kwestii obliczania obje

to´sci polegaja

ce na ,,plas-

terkowaniu” zbioru tr´

ojwymiarowego. Za l´

o˙zmy, ˙ze na przedziale domknie

tym dane sa

dwie

funkcje cia

g le g, f : [a, b] −→ IR , przy czym dla ka˙zdego x ∈ [a, b] zachodzi r´owno´s´c g(x) ≥ f(x).

Korzystaja

c z wzoru na pole pod wykresem funkcji i odejmuja

c pola pod wykresem funkcji f

od pola pod wykresem funkcji g otrzymujemy

g(x) dx −

f (x) dx =

(g(x) − f(x)) dx .

Jest to pole obszaru ograniczonego z do lu wykresem funkcji f , a z g´

ory — wykresem funkcji g

(mo˙zna oczywi´scie za lo˙zy´c, ˙ze f (x) ≥ 0 dla ka˙zdego x ∈ [a, b] , bo pole nie zmienia sie

przy prze-

sunie

ciu). Jest mniej wie

cej jasne, ˙ze je´sli opu´scimy za lo˙zenie g ≥ f , to wz´or na pole obszaru

ograniczonego wykresami funkcji g i f w dalszym cia

gu be

dzie obowia

zywa´c tyle, ˙ze w wy-

niku otrzymamy

|f(x) − g(x)|dx . Okazuje sie

, ˙ze ca lkujemy d lugo´s´c odcinka otrzymanego

w przecie

ciu obszaru prosta

pionowa

(zamiast pola przekroju w przypadku obje

to´sci) i w wyniku

otrzymujemy pole obszaru (zamiast obje

to´sci). Przyk ladowo pole ko la mo˙zna oblicza´c traktuja

je jako obszar zawarty mie

dzy wykresami funkcji −

√

− x

oraz

√

− x

. Jest wie

c ono

r´

owne

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−r

√

− x

− −

√

− x

dx = 2 R

−r

√

− x

dx = 2

πr

= πr

Nie be

dziemy teraz mno˙zy´c przyk lad´ow. Zaznaczy´c chcieli´smy jedynie, ˙ze pola mo˙zna oblicza´c

pos luguja

c sie

sama

idea

, kt´ora ma zastosowanie w przypadku obje

to´sci. Sugeruje to mo˙zli-

wo´s´c zbudowania og´olniejszej teorii niezale˙znej od wymiaru. Dokonali tego matematycy na

prze lomie XIX i XX wieku, dwa najwa˙zniejsze nazwiska to B.Riemann i H.Lebesgue. Teoria

Lebesgue’a zyska la wielka

popularno´s´c ze wzgle

du na znacznie wygodniejsze w u˙zyciu twierdze-

nia pozwalaja

ce na obliczanie granic cia

g´ow ca lek. Tych problem´

ow nie be

dziemy tu omawia´c.

przedstawione w wielu podre

cznikach przeznaczonych dla matematyk´

ow i ﬁzyk´ow teoretyk´ow.

D lugo´

s´

c wykresu funkcji

Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f : [a, b] −→ (0, +∞) jest r´o˙zniczkowalna i ˙ze jej pochodna f

′

jest cia

g la na

przedziale [a, b] . Jasne jest, ˙ze d lugo´s´c krzywej powinni´smy przybli˙za´c d lugo´scia

lamanej (linii

z lo˙zonej z odcink´ow), kt´orej wierzcho lki dziela

wykres funkcji f na ma le fragmenty. Om´owimy

to nieco dok ladniej.

Niech a = x

< x

< . . . < x

= b . Niech l

oznacza d lugo´s´c odcinka la

cza

cego

punkty x

i−1

, f (x

i−1

)

i x

, f (x

)

. Mamy wie

− x

i−1

)

+ (f (x

) − f(x

i−1

))

Z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej wynika, ˙ze istnieje taka liczba t

∈ [x

i−1

, x

] , ˙ze

zachodzi r´

owno´s´c

p(x

− x

i−1

)

+ f

′

)

− x

i−1

)

= (x

− x

i−1

)

p1 + (f

′

)

) .

Sta

d wynika, ˙ze d lugo´s´c lamanej r´

owna jest

+ l

+ . . . + l

i=1

− x

i−1

)

p1 + (f

′

)

) .

D lugo´s´c wykresu funkcji f to wobec tego

1 + (f

′

(x))

dx — wynika to oczywi´scie z twier-

dzenia o sumach Riemanna.

Ten wynik jest bardzo jasny z punktu widzenia ﬁzyki. Za l´

o˙zmy, ˙ze wykres funkcji to np.

szosa, po kt´

orej porusza sie

samoch´

od w ten spos´

ob, ˙ze sk ladowa pozioma wektora pre

dko´sci

r´

owna jest 1 . Niech x oznacza czas. Wtedy w chwili x znajdujemy sie

w punkcie

x, f (x)

— zak ladamy, ˙ze startujemy z punktu a, f (a)

, wtedy f

′

(x) mierzy pre

dko´s´c zmian warto´sci

funkcji f w chwili x , jest wie

c to sk ladowa pionowa wektora pre

dko´sci naszego pojazdu. Jego

pre

dko´scia

skalarna

jest wie

c d lugo´s´c wektora pre

dko´sci, czyli liczba

1 + (f

′

(x))

, ta pre

dko´s´c

jest oczywi´scie zale˙zna od czasu. Przebyta

droge

nale˙zy oblicza´c mno˙za

c czas przez pre

dko´s´c.

Poniewa˙z pre

dko´s´c jest zmienna, wie

c prowadzi to do dzielenia czasu podr´

o˙zy, na kr´otkie od-

cinki, w kr´

otkim okresie czasu pre

dko´s´c jest prawie sta la (pre

dko´s´c jest funkcja

cia

g la

czasu),

naste

pnie mno˙zymy ten kr´

otki czas przez pre

dko´s´c z jaka

sie

w nim poruszamy i sumujemy.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Otrzymujemy sume

Riemanna funkcji

1 + (f

′

(x))

, a po przej´sciu granicznym (rozpatrywane

odcinki czasu sa

coraz bli˙zsze 0 ) otrzymujemy ca lke

1 + (f

′

(x))

dx . Rozumuja

c analo-

gicznie doj´s´c mo˙zna do wniosku, ˙ze

f (x) dx jest droga

przebyta

przez pojazd poruszaja

sie

po prostoliniowej drodze w ten spos´ob, ˙ze w chwili x jego pre

dko´scia

jest f (x) .

Ten argument jest bardzo wa˙zny historycznie: Newton tworzy l rachunek r´

o˙zniczkowy i ca l-

kowy w silnym zwia

zku z ﬁzyka

. Poje

cie pre

dko´sci nie jest trudne, przemawia do wyobra´zni, wie

studenci proszeni sa

o chwile

zastanowienia nad tym tekstem! Warto te˙z zda´c sobie sprawe

z te-

go, ˙ze ca lkowicie analogicznie przyspieszenie jest powia

zane z pre

dko´scia

— po prostu wsze

dzie

zaste

pujemy po lo˙zenie przez pre

dko´s´c i jednocze´snie pre

dko´

s´

przez przyspieszenie.

Przyk lad 11.5

Obliczymy d lugo´s´c luku paraboli y = x

zaczynaja

cego sie

w punkcie (0, 0)

i ko´

ncza

cego sie

w punkcie a, a

. Zgodnie z poprzedzaja

cymi ten przyk lad rozwa˙zaniami ta

d lugo´s´c r´owna jest

p1 + (2x)

dx . Podobna

ca lke

obliczyli´smy w przyk ladzie 10.28. Teraz

zrobimy to nieco inaczej. Niech x =

1
2

tg t . Wtedy

√

1 + 4x

p1 + tg

t =

cos

cos t

— mo˙zemy tak napisa´c, bo mo˙zemy przyjmowa´c, ˙ze t ∈ (−

) i wobec tego cos t > 0 . Je´sli

x =

1
2

tg t , to dx =

2 cos

dt , wie

R √1 + 4x

dx =

2 cos

dt =

cos

t+sin

2 cos

dt =

1
2

cos t

dt +

1
2

R sin t

sin t

cos

przez

=====

cze֒´sci

1
2

cos t

dt +

1
2

sin t

2 cos

−

1
2

cos t

2 cos

dt =

sin t

4 cos

1
4

cos t

dt =

sin t

4 cos

1
4

cos t

1−sin

dt =

sin t

4 cos

1
8

cos t

1−sin t

dt +

1
8

cos t

1+sin t

dt + C =

sin t

4 cos

−

1
8

ln(1 − sin t) +

1
8

ln(1 + sin t) + C =

sin t

4 cos

1
8

1+sin t
1−sin t

+ C =

sin t

4 cos

1
8

(1+sin t)

1−sin

+ C =

sin t

4 cos

1
4

1+sin t

cos t

+ C =

1
4

cos t

· tg t + ln(

cos t

+ tg t)

+ C =

1
4

√

1 + 4x

· 2x + ln(

√

1 + 4x

+ 2x)

+ C

Sta

d wynika, ˙ze ten luk paraboli ma d lugo´s´c.

a
2

√

1 + 4a

1
4

ln 2a +

√

1 + 4a

Okazuje sie

, ˙ze wynik jest zadziwiaja

co skomplikowany. W XIX w. matematykom uda lo sie

wykaza´c, ˙ze d lugo´s´c elipsy, kt´

ora nie jest okre

giem, nie daje sie

wyrazi´c za pomoca

tzw. funkcji

elementarnych. Mo˙zna to zrobi´c za pomoca

tzw. funkcji eliptycznych. Piszemy o tym po to

jedynie, by raz jeszcze przestrzec, ˙ze m´

owimy tu jedynie o rzeczach w matematyce najprostszych,

bo te tylko znajduja

sie

w i tak wype lnionych programach studi´

ow.

Obliczymy teraz d lugo´s´c okre

gu, a w la´sciwie jego po lowy, cho´c wszyscy dobrze wiedza

, co

otrzymamy. Tu rachunek be

dzie bardzo prosty, a r´

o˙znica mie

dzy okre

giem i elipsa

tak niewielka.

Niewielka ale bardzo istotna: w ca lce, kt´

ora

trzeba znale´z´c w przypadku elipsy wyste

puje iloraz

dw´

och

wielomian´

ow kwadratowych, w przypadku okre

gu wielomian jest tylko jeden.

Przyk lad 11.6

P´

o lokra

g o promieniu r > 0 mo˙zemy potraktowa´c jako wykres funkcji

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

√

− x

zdeﬁniowanej na przedziale [−r, r] . Wobec tego jego d lugo´s´c r´owna jest

−r

1 +

√

− x

′

dx =

−r

1 +

−x

√

−x

dx =

−r

1 +

−x

dx =

−r

√

−x

x=r sin t

==========

dx=r cos t dt

= r

π/2

−π/2

dt = πr .

Otrzymali´smy wie

c dobrze znany wynik.*

Pola powierzchni bry l obrotowych

Poka˙zemy teraz jest jeszcze jedno zastosowanie geometryczne ca lek, tym razem do obliczania

pola powierzchni bry ly obrotowej. Tym razem punktem wyj´scia be

dzie wz´

or na pole powierzchni

bocznej sto˙zka πrl , gdzie r to promie´

n podstawy sto˙zka, a l to d lugo´s´c tworza

cej. Z tego wzoru

bez trudu mo˙zna wyprowadzi´c wz´or na pole powierzchni bocznej sto˙zka ´scie

tego, w kt´orym

wie

ksza podstawa ma promie´

n r

, mniejsza — promie´

n r

, a tworza

ca to l . Ten sto˙zek ´scie

mo˙zna potraktowa´c jako wynik odcie

cia od sto˙zka o promieniu podstawy r

i tworza

cej l

−r

sto˙zka o promieniu podstawy r

i tworza

cej l

−r

— wynika to z podobie´

nstwa tr´ojka

t´ow.

Wobec tego pole powierzchni bocznej sto˙zka ´scie

tego jest r´

owne π

2
1

−r

−π

2
2

−r

= πl (r

+ r

) .*

Za l´

o˙zmy, ˙ze funkcja f : [a, b] −→ (0, +∞) jest r´o˙zniczkowalna i ˙ze jej pochodna jest cia

g la.

Obr´

ocimy wykres funkcji f wok´

o l osi x . W wyniku otrzymamy powierzchnie

, kt´orej pole

obliczymy. Zauwa˙zmy jeszcze tylko, ˙ze je´sli funkcja f jest liniowa, to w wyniku tego obrotu

otrzymujemy powierzchnie

boczna

sto˙zka ´scie

tego ewentualnie walca, je´sli funkcja jest sta la.

Podzielimy przedzia l [a, b] punktami a = x

< x

< . . . < x

= b na kr´

otkie, niekoniecznie

r´

owne, przedzia ly. To, co powstaje w wyniku obrotu cze

´sci wykresu odpowiadaja

cej przedzia lowi

i−1

, x

] , mo˙zna przybli˙zy´c sto˙zkiem ´scie

tym o wysoko´sci x

− x

i−1

i promieniach podstaw

f (x

) , f (x

i−1

) — ten sto˙zek staje sie

walcem, gdy f (x

i−1

) = f (x

) . Pole powierzchni bocznej

takiego sto˙zka, to zgodnie z przypomnianymi przed chwila

wzorami πl

f (x

i−1

) + f (x

)

, gdzie

oznacza jego tworza

, czyli

− x

i−1

)

+ (f (x

) − f(x

i−1

))

= (x

− x

i−1

)

1 + f

′

)

dla pewnego t

∈ (x

i−1

, x

) , istnienie takiej liczby t wynika z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci

´sredniej. Poniewa˙z przedzia l [x

i−1

, x

] jest ,,kr´

otki”, wie

πl

(f (x

i−1

) + f (x

)) ≈ 2π · f(t

)

1 + f

′

)

przyje

li´smy tu, ˙ze f (x

i−1

) ≈ f(t

) ≈ f(x

) , co jest dopuszczalne, ale nie chcemy sie

wdawa´c

w bardziej szczeg´

o lowe szacunki, bo dla os´

ob o niewielkiej wprawie be

one trudnawe i na

pewno ˙zmudne, dla wprawnych — banalne.

Wobec tego pole powierzchni powsta lej w wyniku obrotu wykresu funkcji f mo˙zna przy-

Troche֒ oszukuja֒c: funkcja

√

−x

nie ma sko´

nczonej pochodnej w ko´

ncach przedzia lu, o tym opowiemy p´

o´

zniej.

Troche֒ to przypomina wz´or na pole trapezu:

1
2

(2πr

+2πr

)l – po lowa sumy podstaw razy wysoko´

s´

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

bli˙zy´c suma

i=1

2π·f(t

)

1 + f

′

)

, kt´ora z kolei, na mocy twierdzenia o sumach Riemanna,

przybli˙za ca lke

2πf (t)

1 + f

′

(t)

dt . Ta ca lka jest wie

c r´

owna polu powierzchni powsta lej

w wyniku obrotu funkcji f wok´o l osi x . B le

dy, kt´ore pope lniamy w kolejnych krokach sa

ma le

i to jako b le

dy wzgle

dne, co jest wa˙zne, bo pola cze

´sci, na kt´

ore poszatkowali´smy powierzchnie

ma le i jest ich wiele, wie

c teoretycznie b le

dy mog lyby sie

zsumowa´c do czego´s du˙zego — tak

sie

nie dzieje, bo jak zapewniamy czytelnik´ow, b le

dy wzgle

dne sa

ma le! Tu jeszcze raz stykamy

sie

z jedna

z podstawowych idei analizy matematycznej: funkcje

przybli˙zamy funkcja

liniowa

tak, by b la

d wzgle

dny

by l ma ly! Czas na jaki´s przyk lad.

Przyk lad 11.7

Niech f (x) =

√

− x

dla a ≤ x ≤ a + h , przy czym −r ≤ a oraz

a + h ≤ r . W wyniku obrotu wykresu funkcji f okre´slonej na przedziale [a, a + h] otrzymujemy
cze

´s´c powierzchni kuli zawarta

mie

dzy dwiema r´ownoleg lymi p laszczyznami, kt´orych odleg lo´s´c

r´owna jest h . Zgodnie z om´owionym wzorem pole tej cze

´sci sfery r´

owne jest

2π

a+h

− x

1 +

−x

√

− x

dx = 2πr

a+h

dx = 2πrh .

W szczeg´

olno´sci, je˙zeli a = −r i h = 2r otrzymujemy wz´or na pole powierzchni ca lej kuli, kt´ory

wie

kszo´s´c maturzyst´

ow mia la okazje

pozna´c w szkole. Jednak otrzymali´smy co´s wie

cej: wz´or na

pole powierzchni cze

´sci sfery zawartej mie

dzy dwiema r´

ownoleg lymi p laszczyznami oddalonymi

o h . Zauwa˙zmy jeszcze, ˙ze we wzorze tym NIE wyste

puje liczba a . Oznacza to, ˙ze pole jest od

a niezale˙zne, wa˙zne jest tylko to, ˙ze obie p laszczyzny przecinaja

sfere

. Mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze jedna

z tych p laszczyzn przechodzi przez jeden z biegun´

ow, a mo˙ze sie

zdarzy´c, ˙ze p laszczyzna r´ownika

dzieli przestrze´

n mie

dzy nimi na p´o l. Pola sa

r´

owne! Nie jest to chyba ca lkiem oczywiste, cho´c

Archimedes z pewno´scia

to wiedzia l.*

Przyk lad 11.8

Obliczymy teraz pole powierzchni de

tki opisanej ju˙z w przyk ladzie 11.4.

Przypomnijmy: powierzchnia de

tki by la otrzymana jako wynik obrotu okre

gu zdeﬁniowanego

r´

ownaniami y = 0 , (x − R)

+ z

= r

wok´

o l osi z . Mo˙zna wie

c przyja

´c, ˙ze obracamy wok´o l

osi z (a nie wok´

o l osi x ) wykresy dwu funkcji zmiennej z R +

√

− z

oraz R −

√

− z

Cze

´s´c wsp´

olna otrzymanych powierzchni sk lada sie

z dw´

och okre

g´

ow, wie

c jej pole r´owne jest 0,

zatem mo˙zemy obliczy´c pola obu powierzchni i doda´c. W pierwszym przypadku pole r´owne jest

2π

−r

R +

√

− z

1 +

−z

√

−z

dz = 2πr

−r

√

−z

+ 1

dz = 2π

rR + 2πr

W podre֒czniku do geometrii u˙zywanym we wszystkich polskich liceach, gdy autor tego tekstu by l uczniem,

twierdzenie to by lo podane wraz z dowodem nie korzystaja֒cym w jawnej postaci z ca lek. Oczywi´scie tylko

cze֒´s´c uczni´ow je zauwa˙za la.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

wie

c w drugim —

2π

−r

R −

√

− z

1 +

−z

√

−z

dz = 2π

rR − 2πr

. Sumuja

otrzymujemy 4π

rR .

Jest wie

c widoczne, ˙ze za pomoca

ca lek mo˙zna da´c sobie rade

z obliczaniem obje

to´sci, p´ol

i d lugo´sci. Doda´c warto, ˙ze cze

sto wyniki nie daja

sie

wyrazi´c za pomoca

funkcji elementarnych.

Jednak wyra˙zenie ich nawet za pomoca

samej ca lki jest wa˙zne, bo wymy´slono wiele metod

przybli˙zonego obliczania ca lek, wie

c nawet je´sli mamy wynik nieelementarnie wyra˙zony, to i tak

mo˙zna uzyskiwa´c istotne oszacowania z dok ladno´scia

ca lkowicie wystarczaja

dla zastosowa´

w matematyce i poza nia

. Nie be

dziemy oczywi´scie tych temat´

ow rozwija´c w ramach wyk ladu

wprowadzaja

cego student´ow I roku w matematyke

Ca lki niew la´

sciwe

Spotkali´smy sie

przy obliczaniu d lugo´sci okre

gu z problemem ca lkowania funkcji, kt´ora nie by la

zdeﬁniowana w ko´

ncu przedzia lu, a nawet w obu ko´

ncach. Takie funkcje pojawiaja

sie

w wielu

sytuacjach. Trzeba wie

c wyja´sni´c nieco dok ladniej jak deﬁniujemy ca lki i co mo˙zna wnioskowa´c

z ich istnienia.

Deﬁnicja 11.10 (ca lki niew la´

sciwej )

Je´sli funkcja f : [a, b) −→ IR ma funkcje

pierwotna

i istnieje granica lim

c→b

−

f (x) dx , to granice

nazywamy ca lka

niew la´sciwa

funkcji f na przedziale [a, b) . Oznaczamy ja

tak samo, jak

ca lke

w la´sciwa

f (x) dx . Je´sli ca lka niew la´sciwa jest sko´

nczona, to m´

owimy, ˙ze jest zbie˙zna.

Analogicznie deﬁniowana jest ca lka niew la´sciwa z funkcji okre´slonej na przedziale otwarto–

domknie

tym (a, b] .

Je´sli funkcja jest okre´slona na przedziale otwartym (a, b) i istnieja

ca lki niew la´sciwe na

przedzia lach (a, c] i [c, b) , to ich sume

, je´sli jest zdeﬁniowana, nazywamy ca lka

niew la´sciwa

funkcji f na przedziale (a, b) . Oznaczamy jak zwykle symbolem

f (x) dx .

Przyk lad 11.9

Obliczymy ca lke

−r

√

−x

dx . Funkcja jest niezdeﬁniowana w obu ko´

ncach

przedzia lu, wie

c rozpatrzymy oddzielnie dwie ca lki:

√

−x

dx oraz

−r

√

−x

dx . Zachodzi

wz´

√

−x

dx = arcsin

+ C , zatem

lim

c→r

−

√

−x

dx = lim

c→r

−

arcsin

c
r

− arcsin

0
r

= arcsin

r
r

Podobnie

lim

c→−r

√

−x

dx =

lim

c→−r

arcsin

0
r

− arcsin

−r

= arcsin 1 =

. Obie ca lki sa

sko´

nczone, czyli zbie˙zne. Zgodnie z deﬁnicja

ca lka

−r

√

−x

dx jest zbie˙zna do

= π .

Przyk lad 11.10

Obliczymy ca lke

∞

1+x

dx . Zachodza

r´

owno´sci

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

∞

1+x

dx = lim

c→∞

1+x

dx = lim

c→∞

(arctg x)

= lim

c→∞

(arctg c − arctg 0) =

Ca lka jest wie

c sko´

nczona, zatem funkcja arctg ma ca lke

niew la´sciwa

na p´

o lprostej [0, ∞) . Bez

trudu stwierdzi´c mo˙zna, ˙ze zachodzi r´owno´s´c

∞

−∞

1+x

dx = π .

Przyk lad 11.11

Teraz zajmiemy sie

ca lka

∞

dx zak ladaja

c, ˙ze a 6= −1 . Mamy

∞

dx =

lim

c→∞

dx =

lim

c→∞

a+1

lim

c→∞

−1

a+1

+∞ je´sli a > −1 ,

−1

a+1

je´sli a < −1 .

Okaza lo sie

, ˙ze im wie

kszy wyk ladnik tym wie

ksza ca lka. Dla ,,du˙zych” wyk ladnik´ow ca lka

jest niesko´

nczona dla ,,ma lych” sko´

nczona: tym mniejsza im mniejszy wyk ladnik. Oczywi´scie

s lowa ,,ma ly” i ,,du˙zy” maja

znaczenie umowne.

Przyk lad 11.12

Obliczymy

∞

−λx

dx zak ladaja

c, ˙ze λ > 0 , w przypadku λ ≤ 0 warto´sci

funkcji podca lkowej nie sa

mniejsze ni˙z 1, wie

c ca lka jest niesko´

nczona, bo musi by´c wie

ksza od

pola prostoka

ta o wysoko´sci 1 i dowolnie d lugiej podstawie. Mamy

∞

−λx

dx = lim

c→∞

−λx

dx = lim

c→∞

−

−λx

λ>0

====

Wykazali´smy wie

c, ˙ze dla ka˙zdego λ > 0 funkcja e

−λx

ma sko´

nczona

ca lke

niew la´sciwa

p´

o lprostej [0, ∞) .

Przyk lad 11.13

Wyka˙zemy teraz, ˙ze ca lka

+∞

−∞

−x

dx jest sko´

nczona. Mamy e

≥ 1+x

dla ka˙zdej liczby rzeczywistej x , wie

−x

dx ≤

1+x

dx <

. Ca lka

−x

dx ro´snie

wraz z c , oczywi´scie teraz rozwa˙zamy tylko c > 0 . Wobec tego granica lim

c→∞

−x

dx istnieje

i jedyna

kwestia

jest to, czy jest ona sko´

nczona. Poniewa˙z dla ka˙zdego c > 0 ca lka jest mniejsza

ni˙z

, wie

∞

−x

dx = lim

c→∞

−x

dx ≤

Spe lnili´smy obietnice

: udowodnili´smy, ˙ze ca lka jest sko´

nczona, cho´c jej nie obliczyli´smy, bo to

jest nieco trudniejsze.

Wida´c z powy˙zszych przyk lad´ow, ˙ze powody, dla kt´

orych trzeba rozpatrywa´c czasem ca lki

nieoznaczone, bywaja

r´

o˙zne. Mo˙zemy mie´c do czynienia z nieograniczona

funkcja lub z nieogra-

niczona

dziedzina

funkcji. Nie be

dziemy tych spraw dok ladnie omawia´c, bo jak ju˙z wielokrotnie

m´

owili´smy, studenci nie musza

tych kwestii zg le

bi´c, natomiast powinni troche

o nich wiedzie´c.

Wypada stwierdzi´c, ˙ze jedna z podstawowych r´

o˙znic miedzy ca lka

Riemanna i ca lka

nie-

w la´sciwa

jest to, ˙ze w przypadku ca lki niew la´sciwej nie jest prawdziwe twierdzenie o sumach

Riemanna. W przypadku ca lki niew la´sciwej mo˙zna na og´

o l po wybraniu drobnego podzia lu

dziedziny wybra´c w przedzia lach, kt´

ore tworza

ten podzia l, punkty w taki spos´

ob, ˙ze otrzymana

suma Riemanna be

dzie odleg la od ca lki.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Je´sli np. rozwa˙zamy ca lke

√

1−x

dx , to dziela

c przedzia l [0, 1] na kr´otkie przedzia-

liki punktami 0 = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= 1 , nie jeste´smy w stanie unikna

´c tego,

˙ze w przedziale [x

n−1

, x

) funkcja

√

1−x

przyjmuje warto´sci dowolnie du˙ze. Mo˙zemy wie

wybra´c w nim punkt t

w taki spos´ob, by liczba

−x

n−

√

1−t

by la wie

ksza ni˙z np. 15071410, co

spowoduje, ˙ze niezale˙znie od tego jak wybierzemy punkty w pozosta lych przedzialikach warto´s´c

sumy Riemanna be

dzie wielokrotnie przewy˙zsza´c d lugo´s´c okre

gu o promieniu 1.

Oczywi´scie stwarza to problemy z interpretacja

ca lki, ale nic na to nie mo˙zna poradzi´c.

Ca lki niew la´sciwe pojawiaja

sie

w naturalny spos´ob, bo przecie˙z nie mo˙zna uzna´c obliczania

d lugo´sci okre

gu za zadanie bardzo sztuczne. Po prostu nale˙zy z wie

ksza

ostro˙zno´scia

je stosowa´c,

ale nale˙zy to robi´c. We wspomnianym przypadku mo˙zna np. twierdzi´c, ˙ze rozpatruja

c nieco

kr´otszy luk odpowiadaja

cy przedzia lowi [0, c) mo˙zemy go przybli˙za´c ca lka

, ca lka

√

1−x

r´o˙zni sie

minimalnie od ca lki

√

1−x

dx , wie

c sumy Riemanna pierwszej z nich, wie

c w la´sciwej,

przybli˙zaja

wie

c kr´otszy luk, ale ten kr´otszy przybli˙za d lu˙zszy, wie

c suma Riemanna ca lki

√

1−x

dx przybli˙za ´cwier´c d lugo´sci okre

gu o promieniu 1.

Ten przyk lad pokazuje, jak mo˙zna radzi´c sobie z tego rodzaju problemami. W dalszym

cia

gu be

dziemy przyjmowa´c, ˙ze opisane wcze´sniej interpretacje ca lek w la´sciwych (d lugo´sci, pola,

obje

to´sci) zachowuja

sens r´

ownie˙z w przypadku ca lek niew la´sciwych. Poka˙zemy teraz jak ko-

rzystaja

c z tych interpretacji mo˙zna obliczy´c ca lke

+∞

−∞

−x

dx . Przypomijmy, ˙ze funkcja pier-

wotna funkcji e

−x

jest nieelementarna, wie

c nasze poste

powania be

dzie ca lkowicie odmienne

od prezentowanych dotychczas.

Przyk lad 11.14

Wyka˙zemy, ˙ze

+∞

−∞

−x

dx =

√

π . Zaczniemy od obliczenia obje

to´sci

zbioru pod wykresem funkcji z = e

−x

−y

, wie

c funkcji dwu zmiennych x i y . Opiszmy ten

zbi´

or wzorami: A =

(x, y, z):

0 ≤ z ≤ e

−x

−y

. Jego obje

to´s´c to zgodnie z tym, o czym

wcze´sniej m´

owili´smy, ca lka (tym razem niew la´sciwa) z funkcji P (z) , gdzie P (z) oznacza pole

przekroju zbioru A p laszczyzna

pozioma

przechodza

przez punkt (0, 0, z) . Ten przekr´oj

to ko lo le˙za

ce w p laszczy´znie poziomej. Sk lada sie

ono z tych punkt´

ow (x, y, z) , dla kt´orych

spe lniona jest nier´

owno´s´c: 0 < z ≤ e

−x

−y

(przypominamy, ˙ze liczba z > 0 jest na razie

ustalona). Jest ona r´

ownowa˙zna nier´

owno´sci − ln z ≥ x

+ y

. Wobec tego kwadrat promienia

tego ko la jest r´

owny − ln z , wie

c pole tego ko la r´

owne jest −π ln z .

Teraz spojrzymy na to zagadnienie z nieco innej strony. Przetniemy zbi´

or A p laszczyzna

prostopad la

do osi

−−→

przechodza

przez punkt (0, y, 0) . Niech S(y) oznacza pole tego

przekroju. Jasne jest, ˙ze przekr´

oj sk lada sie

z tych punkt´

ow postaci (x, y, z) , dla kt´orych

spe lniona jest nier´

owno´s´c 0 < z ≤ e

−x

−y

, wie

c ta sama co poprzednio z tym jednak, ˙ze tym

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

razem ustalona jest liczba y , natomiast liczby x oraz z sie

zmieniaja

sie

w podanych granicach.

To pole to oczywi´scie pole pod wykresem funkcji e

−x

−y

, wie

c r´

owne jest ono

+∞

−∞

−x

−y

dx ,

zn´

ow ca lka niew la´sciwa. Mamy wie

c S(y) = e

−y

+∞

−∞

−x

dx ; e

−y

jako wielko´s´c niezale˙zna

od x mo˙ze i powinna by´c traktowana jako sta la, wie

c mo˙zna ja

wy la

czy´c przed ca lke

. Liczba

+∞

−∞

−x

dx nie zale˙zy od y , wie

c obje

to´s´c zbioru A jest r´

owna

+∞

−∞

S(y) dy =

+∞

−∞

−x

dx ·

+∞

−∞

−y

dy .

Oczywi´scie

+∞

−∞

−x

dx =

+∞

−∞

−y

dy — warto´s´c ca lki z danej funkcji jest niezale˙zna od

nazwy zmiennej. Mamy wie

c prawo napisa´c:

+∞

−∞

−x

π(− ln z)dz = −π

ln z dz .

Wystarczy teraz obliczy´c

ln z dz . Mamy

R ln z dz = z ln z − z + C , te

ca lke

obliczali´smy ju˙z

wcze´sniej. Wobec tego

ln z dz = 1 · ln(1) − 1 − lim

z→0

z ln z − z

= −1 , bo lim

z→0

z ln z = 0 , co

mo˙zna obliczy´c korzystaja

c z regu ly de l’Hospitala. Wykazali´smy zatem, ˙ze zachodzi r´owno´s´c

π =

+∞

−∞

−x

, a wie

c po wycia

gnie

ciu pierwiastka z obu stron otrzymujemy obiecana

r´

owno´s´c

√

π =

+∞

−∞

−x

dx .

Czytelnicy, kt´

orzy s lyszeli co´s o szeregach, z pewno´scia

zauwa˙zyli podobie´

nstwa mie

dzy

ca lkami niew la´sciwymi i szeregami, nawet terminologia jest w podobna. Podamy teraz wa˙zne

twierdzenie, kt´

ore to podobie´

nstwo podkre´sla i kt´

ore nie mie´sci sie

w programie matematyki dla

student´

ow chemii.

Twierdzenie 11.11 (Kryterium ca lkowe Cauchy’ego Maclaurina zbie ˙zno´

sci

Je´sli funkcja f : [1, ∞] −→ [1, ∞) jest nierosna

ca, to szereg

∞

n=1

f (n) jest zbie˙zny, czyli cia

o wyrazie f (1) + f (2) + · · · + f(n) ma sko´nczona

granice

, wtedy i tylko wtedy, gdy ca lka

niew la´sciwa

∞

f (x) dx jest zbie˙zna.

Dow´

od. Nie ma oczywi´scie ˙zadnego problemu z istnieniem ca lek

f (c) dx , bowiem ich ist-

nienie jest konsekwencja

monotoniczno´sci funkcji f (tego twierdzenia nie dowodzili´smy, jednak

przytoczyli´smy je). Podobnie szereg

∞

n=1

f (n) ma sume

by´c mo˙ze niesko´

nczona

, bo jego wyrazy

nieujemne. Funkcja f jest nierosna

ca, wie

c nier´

owno´s´c f (n) ≥

n+1

f (x) dx ≥ f(n + 1)

ma miejsce dla ka˙zdej liczby naturalnej n . Sta

d wynika, ˙ze

∞

n=1

f (n) ≥

∞

f (x) dx ≥

∞

n=2

f (n) .

Z tej nier´

owno´sci teza twierdzenia wynika natychmiast.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Warto podkre´sli´c, ˙ze twierdzenie bywa u˙zyteczne w wielu przypadkach, czasem latwiej

mo˙zna stwierdzi´c zbie˙zno´s´c ca lki a w innych przypadkach — szeregu. Podajemy je tylko po

to, by zilustrowa´c mo˙zliwo´sci przeformu lowywania zagadnie´

n, nie chcemy jednak wdawa´c sie

w analize

przyk lad´ow. Om´owimy jeszcze jedno bardzo proste zastosowanie ca lek w ﬁzyce.

Srodek masy

Przypomnijmy, ˙ze ´srodkiem masy uk ladu dw´och punkt´

ow materialnych A, B , kt´orych masy

r´owne m

, m

nazywamy taki punkt C odcinka AB , ˙ze |AC| m

= |BC| m

(prawo

d´zwigni). Za l´o˙zmy, ˙ze A = (x

, y

, z

) , B = (x

, y

, z

) . Z twierdzenia Pitagorasa zas-

tosowanego dwukrotnie wynika, ˙ze

|AB| =

p(x

− x

)

+ (y

− y

)

+ (z

− z

)

— jest to d lugo´s´c przeka

tnej prostopad lo´scianu (by´c mo˙ze zdegenerowanego do prostoka

ta lub

odcinka), kt´orego krawe

dzie sa

r´ownoleg le do osi uk ladu wsp´

o lrze

dnych i kt´

orego przeciwleg lymi

wierzcho lkami sa

punkty A i B . Powinna by´c spe lniona r´

owno´s´c

C = A +

(B − A) =

= x

− x

), y

− y

), z

− z

)

A +

B .

Przyjmujemy tu, ˙ze dodajemy punkty (lub wektory) sumuja

c ich pierwsze wsp´

o lrze

dne, potem

drugie i trzecie. To samo dotyczy mno˙zenia punktu (wektora) przez liczbe

Przyjmuje sie

, ˙ze ´srodek masy uk ladu 3 punkt´

ow jest ´srodkiem masy pary punkt´ow, z kt´o-

rych jeden to kt´

orykolwiek z rozpatrywanej tr´

ojki, a drugi to ´srodek masy pozosta lych dw´och.

Deﬁnicja ta nie zale˙zy, jak sie

za chwile

przekonamy od tego, jak tr´

ojke

,,dzielimy”. Gdyby

stwierdzenie to nie by lo prawda

, to deﬁnicja musia laby by´c zmieniona jako niezbyt dobrze

nadaja

ca sie

do opisu rzeczywisto´sci. Podobnie deﬁniujemy ´srodek masy wie

kszej liczby punkt´ow

materialnych: wybieramy dwa i zaste

pujemy je ich ´srodkiem masy (jego masa

jest suma mas).

Stosuja

c te

deﬁnicje

do punkt´

ow A

= (x

, y

, z

) , A

= (x

, y

, z

) , . . . , A

= (x

, y

, z

)

stwierdzamy, ˙ze ich ´srodek masy to

C =

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ · · · +

+ m

+ · · · + m

, czyli

C =

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

+ m

+ · · · + m

Z tego wzoru natychmiast wynika, ˙ze kolejno´s´c punkt´

ow jest nieistotna. Wada

tego okre´slenia

jest to, ˙ze uk lady z lo˙zone ze sko´

nczenie punkt´

ow (np. n ) materialnych nie sa

jedynymi, z kt´o-

rymi mamy do czynienia. Wyste

puja

te˙z inne, np. cia la sztywne itp. Poka˙zemy teraz na

przyk ladach jak poje

cie ´srodka masy mo˙ze by´c uog´

olnione na inne przypadki.

Zaczniemy od ,,tworu jednowymiarowego”. Be

dziemy my´sle´c dla prostoty o cienkim, jed-

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

norodnym

drucie, kt´ory ma kszta lt wykresu funkcji f : [a, b] −→ R . Wyobra´zmy sobie, ˙ze drut

sk lada sie

z kr´otkich ,,kawa lk´ow” odpowiadaja

cych podzia lowi przedzia lu [a, b] na przedzia ly

, x

] , [x

, x

] , . . . , [x

n−1

, x

] , przy czym a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b.

Poniewa˙z te kawa lki sa

kr´otkie, wie

c wydaje sie

rozsa

dnym za lo˙zenie, ˙ze ´srodek masy i –tego

kawa lka to punkt (t

, f (t

)) .* Za lo˙zyli´smy, ˙ze drut jest jednorodny, co oznacza, ˙ze mo˙zna

przyja

´c, ˙ze masa jest proporcjonalna do d lugo´sci. D lugo´s´c kawa lka odpowiadaja

cego przedzia-

lowi [x

i−1

, x

] to

i−

p1 + (f

′

(t))

dt . Przyjmuja

c, ˙ze masa w la´sciwa jest r´

owna ̺ mo˙zemy

przyja

´c, ˙ze masa i –tego kawa lka jest r´owna

i−

p1 + (f

′

(t))

dt ≈ ̺(x

− x

i−1

)

p1 + (f

′

))

Wobec tego pierwsza wsp´o lrze

dna ´srodka masy drutu jest w przybli˙zeniu r´

owna

·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+t

·̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

Na mocy twierdzenia o sumach Riemanna wielko´s´c ta jest w przybli˙zeniu r´

owna

p1 + (f

′

(t))

p1 + (f

′

(t))

Dla drugiej wsp´

o lrze

dnej ´srodka masy drutu otrzymujemy kolejno wyra˙zenia

f (t

)·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+f (t

)·̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+f (t

)·̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+̺·(x

−x

)·

√

1+(f

′

))

+···+̺·(x

−x

n−

)·

√

1+(f

′

))

oraz

f (t)

p1 + (f

′

(t))

p1 + (f

′

(t))

Przyk lad 11.15

Sprawdzimy jak uzyskane wzory dzia laja

w przypadku odcinka. Przyjmi-

jmy, ˙ze f (x) = kx + l , gdzie k, l sa

ustalonymi liczbami rzeczywistymi. Rozwa˙zamy funkcje

na przedziale domknie

tym [a, b] . Dla prostoty przyjmujemy, ˙ze ̺ = 1 . Oczywi´scie f

′

(x) = k

dla ka˙zdego x ∈ [a, b] . Niech C = (c

, c

) oznacza ´srodek masy odcinka, kt´

orego ko´

ncami sa

punkty a, f (a)

= a, ka + l , b, f (b) = b, kb + l . Stosuja

c wyprowadzone wzory otrzymu-

jemy

√

1+k

√

1+k

b2−a2

√

1+k

(b−a)

√

1+k

b+a

oraz

(kt+l)

√

1+k

√

1+k

b2−a2

+l(b−a)

√

1+k

(b−a)

√

1+k

= k

b+a

+ l .

Jak wida´c otrzymali´smy ´srodek odcinka, czego nale˙za lo oczekiwa´c.

Przyk lad 11.16

Teraz zajmiemy sie

lukiem okre

gu x

+ y

= 1 , kt´

orego ko´

ncami sa

punkty

(cos α, sin α) i (cos β, sin β) , 0 ≤ β < α ≤ π . Zn´ow zak ladamy, ˙ze ̺ = 1 . Luk wybrali´smy tak,

Troche֒ nacia֒gamy. Jak sie֒ za chwile֒ przekonamy, ´srodek cia la masy wcale nie musi by´c punktem tego tego cia la,

najprostszy przyk lad, to sko´

nczony uk lad punkt´

ow, a inny to luk okre֒gu. Ju˙z nied lugo!

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

by mie´sci l sie

w ca lo´sci w g´ornym p´o lokre

gu, bo m´owimy jedynie o wykresach funkcji. W tym

wypadku o wykresie funkcji

√

1 − x

, kt´orej pochodna

jest

√

1 − x

′

1
2

(1 − x

)

−1/2

· (−2x) =

−x

√

1−x

Niech C = (c

, c

) oznacza ´srodek masy tego luku. Mamy wie

c jak poprzednio

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

−

√

1−t

cos β

cos α

−arccos(t)

cos β

cos α

sin α−sin β

α−β

— przypomnie´c warto, ˙ze arccos to funkcja odwrotna do funkcji cos rozpatrywanej na prze-

dziale [0, π] . Wz´or na jej pochodna

mo˙zna wywnioskowa´c z r´

owno´sci x = arccos(cos x) ; na

przedziale [0, π] funkcja sinus przyjmuje jedynie nieujemne warto´sci, wie

√

1 − cos

α = sin α

oraz

p1 − cos

β = sin β . Analogicznie

cos β

cos α

√

1−t

−t

√

1−t2

cos β

cos α

−t

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

√

1−t2

cos β

cos α

√

1−t2

cos β

cos α

−arccos(t)

cos β

cos α

cos β−cos α

α−β

Wobec tego ´srodkiem masy jednorodnego luku o ko´

ncach (cos α, sin α) i (cos β, sin β) jest

sin α−sin β

α−β

cos β−cos α

α−β

Jest on odleg ly od ´srodka okre

gu o

sin α−sin β

α−β

cos β−cos α

α−β

sin

α−2 sin α sin β+sin

β+cos

β−2 cos β cos α+cos

(α−β)

cos(β−α)=cos β cos α+sin β sin α

=======================

2−2 cos(β−α)

(α−β)

cos(2γ)=1−2 sin

=============

4 sin

2 α−β

(α−β)

sin

α−β

< 1 .

Widzimy wie

c, ˙ze ´srodek masy tego luku znajduje sie

poza tym lukiem. Mo˙zna sobie wyobrazi´c,

˙ze do luku do la

czono cie

ciwe

, na kt´

orej jest on oparty i obszar ograniczony przez luk i cie

ciwe

wype lniono substancja

doskonale sztywna

o masie 0, masa cie

ciwy jest r´

ownie˙z r´owna 0. Wtedy

´srodek masy tego nowego (abstrakcyjnego) tworu pokrywa sie

ze ´srodkiem masy luku i mo˙zna

my´sle´c, ˙ze jest to punkt, w kt´

orym to cia lo nale˙zy podeprze´c, by mia lo szanse znale´z´c sie

w r´ow-

nowadze w polu grawitacyjnym Ziemi. Nie wydaje sie

, by ten wynik by l ca lkiem oczywisty, cho´c

oczywi´scie nie u˙zywaja

c ca lek te˙z mo˙zna go uzyska´c (niekoniecznie w p´

o l minuty).

Uwaga 11.12 Je´sli a < b < c i f : [a, c] → R jest funkcja

o cia

g lej pochodnej, C

= (x

, y

)

jest ´srodkiem masy wykresu funkcji f : [a, b] −→ R , C

= (x

, y

) — ´srodkiem masy wykresu

funkcji f : [b, c] −→ R przy za lo˙zeniu, ˙ze ̺ = 1 , to ´srodkiem masy wykresu funkcji f: [a, c] −→ R
jest punkt

C =

gdzie m

1 + f

′

(t)

dt , m

1 + f

′

(t)

dt sa

masami odpowiednio wykres´ow

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

funkcji f : [a, b] → R i f: [b, c] → R .
Wynika to natychmiast z wzoru

g(t) dt =

g(t) dt +

g(t) dt : je´sli C = (u, v) , to

u =

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

oraz

v =

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

f (t)

1+ f

′

(t)

1+ f

′

(t)

Oznacza to, ˙ze deﬁnicja ´srodka masy, kt´

ora

podali´smy jest niesprzeczna z czynionym w trakcie

wyprowadzania wzoru na jego wsp´

o lrze

dne za lo˙zeniem, ˙ze mo˙zna fragmenty cia la zaste

powa´c

ich ´srodkami masy i traktowa´c p´

o´zniej jako punkty materialne.

Przyk lad 11.17

(Tr´

ojka

)

Znajdziemy ´srodek obwodu tr´

ojka

ta, zn´

ow zak ladamy, ˙ze ̺ = 1 , kt´

orego wierzcho lkami sa

punkty A, B, C ∈ R

. Za l´

o˙zmy, ˙ze boki le˙za

ce naprzeciwko wierzcho lk´

ow A , B i C maja

odpowiednio d lugo´sci a , b i c , czyli ˙ze masy tych bok´

ow r´

owne sa

a, b, c . Wtedy ´srodkami

mas bok´

ow a , b i c sa

punkty

B+C

C+A

A+B

, w kt´

orych umieszczono masy a , b i c .

Zgodnie z om´

owionymi wcze´sniej wzorami ´srodkiem masy tego uk ladu trzech punkt´ow materi-

alnych jest punkt

M =

a+b+c

B+C

a+b+c

A+C

a+b+c

A+B

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

Mo˙zna te˙z spojrze´c na te

r´

owno´s´c inaczej: umieszczono w wierzcho lku A mase

b + c , w wierz-

cho lku B — mase

c + a , w wierzcho lku C — mase

a + b , wtedy ´srodkiem masy uk ladu tych

trzech punkt´

ow materialnych jest punkt

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C ,

czyli ´srodek masy obwodu tr´

ojka

ta. Mo˙zna zapyta´c: w jakich tr´

ojka

tach ´srodek masy obwodu

tr´ojka

ta pokrywa sie

z punktem

A+B+C

, czyli ´srodkiem masy uk ladu trzech punkt´ow materi-

alnych A, B, C z r´

ownymi masami? Odpowied´z na to pytanie jest prosta, je´sli punkty A, B, C

nie le˙za

na jednej prostej (czyli sa

wierzcho lkami tr´

ojka

ta). Jest tak w tr´

ojka

cie r´ownobocznym

(oczywiste) i tylko w nim, co zaraz wyka˙zemy. Rzecz w tym, ˙ze je´sli te dwa punkty pokrywaja

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

sie

, to

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C = A +

c+a

2(a+b+c)

(B − A) +

a+b

2(a+b+c)

(C − A) oraz

A+B+C

= A +

1
3

(B − A) +

1
3

(C − A) .

Wobec tego z r´owno´sci

b+c

2(a+b+c)

A +

c+a

2(a+b+c)

B +

a+b

2(a+b+c)

C =

A+B+C

wynika, ˙ze

c+a

2(a+b+c)

−

1
3

(B − A) = −

b+a

2(a+b+c)

1
3

(C − A) , a poniewa˙z wektory

−−−−→

B − A

−−−−→

C − A nie sa

r´ownoleg le,* wie

c musza

zachodzi´c r´owno´sci:

c+a

2(a+b+c)

−

1
3

= 0 = −

b+a

2(a+b+c)

1
3

one r´ownowa˙zne r´owno´sciom a + c = 2b i a + b = 2c . Z nich wynika, ˙ze 2b − c = a = 2c − b ,

wie

c 3b = 3c , czyli b = c . Wtedy r´ownie˙z a = b , co oznacza, ˙ze tr´

ojka

t jest r´

ownoboczny.

Warto jeszcze zauwa˙zy´c, ˙ze je´sli w wierzcho lkach tr´ojka

ta umie´scimy r´

owne masy, to ´srodkiem

masy uk ladu takich trzech punkt´ow materialnych be

dzie punkt przecie

cia ´srodkowych tr´ojka

ta,

czyli punkt zwany ´srodkiem cie

˙zko´sci tr´ojka

ta. Jest tak, bo ´srodek masy uk ladu dw´och punkt´ow

materialnych A, B o r´ownych masach m, ´srodek odcinka la

cza

cego te punkty, w kt´orym

umieszczamy mase

2m . Teraz szukamy ´srodka masy punktu C z masa

m i punktu

A+B

z masa

2m . Jest to punkt

m+2m

C +

m+2m

A+B

A+B+C

, zgodnie z obietnica

Zadanko: wykaza´

c, ˙ze w przypadku punkt´

A, B, C le˙za

cych na jednej prostej wypowiedziane

wy˙zej twierdzenie nie jest prawdziwe, czyli poda´

c przyk lad trzech punkt´

ow materialnych

A, B, C

le˙za

cych na jednej prostej, kt´

orych ´srodkiem masy jest punkt

A+B+C

, chocia˙z masy w nich

umieszczone nie sa

r´

owne.

Warto doda´c, ˙ze w r´

o˙znych przypadkach nie mo˙zna zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest sta la, np.

cze

´s´c drutu mo˙ze by´c zrobiona z jednego metalu, inna cze

´s´c z drugiego. W przypadku badania

ruchu np. statku kosmicznego, te˙z nie bardzo mo˙zna zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest sta la: inna

maja

np. ´sciany (pancerz!), inna

kosmonauci, jeszcze inna

powietrze, kt´

orym oddychaja

ludzie.

Ten komentarz wyja´snia, ˙ze w zasadzie nawet trudno zak lada´c, ˙ze ge

sto´s´c masy jest cia

g la, na

og´

o l nie jest, ale takimi kwestiami zajmowa´c sie

nie be

dziemy. Za l´

o˙zmy na razie, ˙ze mamy do

czynienia z cia lem, kt´

orego kszta lt jest dobrze opisany jako wykres funkcji f : [a, b] −→ R , kt´ora

ma cia

g la

pochodna

w przedziale [a, b] . My´slimy o warto´sci funkcji ̺ jak o granicy ilorazu

m(x

)

ℓ(x

)

, liczba ℓ(x

, x

) oznacza d lugo´s´c fragmentu wykresu funkcji f , kt´

orego ko´

ncami sa

punkty (x

, f (x

)) i (x

, f (x

)) , a liczba m(x

, x

) — jego mase

, x

≤ x ≤ x

, przechodzimy

do granicy przy x

− x

−→ 0 . Zak ladamy, ˙ze ta granica istnieje i ˙ze jest funkcja

cia

g la

na x [a, b] .

Niech a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b be

takimi punktami przedzia lu [a, b] , ˙ze

r´

o˙znice x

− x

i−1

,,ma le” dla i = 1, 2, . . . , n . Niech x

i−1

≤ t

≤ x

. W takiej sytuacji masa

bo punkty A,B,C nie le˙za֒ na jednej prostej.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

wykresu funkcji f : [a, b] −→ R jest r´owna w przybli˙zeniu

̺(t

)

− x

)

+ f (x

) − f(x

)

+ ̺(t

)

− x

)

+ f (x

) − f(x

)

+ · · · +

+ ̺(t

)

− x

n−1

)

+ f (x

) − f(x

n−1

)

= ̺(t

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ ̺(t

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ · · · +

+ ̺(t

)(x

− x

n−1

)

1 + f

′

(τ

)

istnienie liczb τ

, τ

, . . . , τ

wynika z twierdzenia Lagrange’a o warto´sci ´sredniej; oczywi´scie

i−1

< τ

< x

dla i = 1, 2, . . . , n . Liczby t

, t

, . . . , t

zosta ly wybrane dowolnie z przedzia l´ow

, x

] , [x

, x

] , . . . , [x

n−1

, x

] . Wobec tego nic nie stoi na przeszkodzie, by przyja

´c, ˙ze t

= τ

dla wszystkich i . Wtedy masa wykresu funkcji f : [a, b] −→ R r´owna jest w przybli˙zeniu

̺(τ

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ ̺(τ

)(x

− x

)

1 + f

′

(τ

)

+ · · · +

+ ̺(τ

)(x

− x

n−1

)

1 + f

′

(τ

)

Prowadzi to, na mocy twierdzenia o sumach Riemanna, do stwierdzenia, ˙ze masa krzywej r´owna

jest

̺(t)

1 + f

′

(t)

dt .

Mo˙zemy teraz zastanowi´c sie

nad wsp´

o lrze

dnymi ´srodka masy tej krzywej.

Oznaczmy go

przez C = (c

, c

) . Rozumuja

c tak, jak w przypadku sta lej ge

sto´sci otrzymujemy przybli˙zone

r´

owno´sci:

≈

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

(τ

))

+···+τ

̺(τ

)̺(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

(τ

))

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

))

+···+̺(τ

)(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

))

oraz

≈

f (τ

)̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

(τ

))

+···+f (τ

)̺(τ

)̺(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

(τ

))

̺(τ

)(x

−x

)

√

1+(f

′

))

+···+̺(τ

)(x

−x

n−

)

√

1+(f

′

))

Sta

d i z twierdzenia o sumach Riemanna wnioskujemy, ˙ze

t̺(t)

√

1+(f

′

(t))

̺(t)

√

1+(f

′

(t))

f (t)̺(t)

√

1+(f

′

(t))

̺(t)

√

1+(f

′

(t))

Z punktu widzenia matematyka te r´

owno´sci to deﬁnicja ´srodka masy, dla ﬁzyka to zapewne

twierdzenie, kt´

orego dow´

od podany zosta l wy˙zej.

Zajmiemy sie

teraz ´srodkiem masy obszaru p laskiego. Dla uproszczenia zajmowa´c sie

dziemy obszarem postaci G = {(x, y) :

a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} , gdzie f: [a, b] −→ [0, ∞)

oznacza funkcje

cia

g la

. Zak ladamy od razu, ˙ze masa nie ma sta lej ge

sto´sci i oznaczamy ge

sto´s´c

masy przez ̺(x, y) — deﬁnicja ge

sto´sci analogiczna do poprzednio podanej z tym, ˙ze teraz

rozpatrujemy zbiory dwuwymiarowe, wie

c mo˙zemy np. dzieli´c mase

ma lego ko la przez jego pole

i oblicza´c granice

zak ladaja

c, ˙ze promie´

n da

˙zy do 0 . Tak jak poprzednio zak ladamy, ˙ze ̺ jest

funkcja

cia

g la

w zbiorze G .

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Zn´ow podzielimy przedzia l [a, b] na kr´otkie przedzia ly:

a = x

< x

< . . . < x

n−1

< x

= b .

Zaczniemy od jednego pionowego ,,paska”:

= {(x, y) :

i−1

≤ x ≤ x

, 0 ≤ y ≤ f(x)} .

Mo˙zna przyja

´c, ˙ze ze wzgle

du na cia

g lo´s´c ge

sto´sci masy ̺ i znikoma

szeroko´s´c S

sto´s´c

zale˙zy tylko od zmiennej y . Rozumuja

c tak jak w przypadku krzywej dochodzimy do wniosku,

˙ze ´srodek masy zbioru S

(ti)

s̺(t

,s)ds

(ti)

̺(t

,s)ds

, gdzie t

oznacza odpowiednio dobrany punkt

przedzia lu [x

i−1

, x

] . Mo˙zna wie

c przyja

´c (i to w la´sciwie robimy), ˙ze ´srodkiem masy pionowego

odcinka o ko´

ncach (x, 0) , (x, f (x)) jest punkt

(x)

s̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

i ˙ze masa w nim skupiona to

f (x)

̺(x, s)ds . Niech C = (c

, c

) oznacza poszukiwany ´srodek masy obszaru G . Rozumuja

tak jak poprzednio stwierdzamy, ˙ze

(x)

̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

s̺

(x,s)ds

(x)

(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

(x)

s̺(x,s)ds

(x)

̺(x,s)ds

Widzimy, ˙ze w obu wzorach mianownik jest taki sam: to masa zbioru G . W liczniku ca lkujemy

raz pierwsza

wsp´

o lrze

dna

wymno˙zona

przez ge

sto´s´c masy, raz druga

. Doda´c nale˙zy, ˙ze mo˙zna

rozpatrze´c zbi´

or ograniczony z g´

ory wykresem funkcji cia

g lej g: [a, b] −→ R i z do lu wykresem

funkcji cia

g lej f : [a, b] −→ R za lo˙zywszy, ˙ze f(x) ≤ g(x) dla a ≤ x ≤ b . Jest mniej wie

cej

jasne, ˙ze uzyskane wzory be

wygla

da´c tak:

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

s̺(x, s)ds

g(x)

f (x)

̺(x, s)ds

(´sr.m.)

Podkre´sli´c wypada, ˙ze rozwa˙zania poprzedzaja

ce te wzory to nie dow´

od (przynajmniej nie

z punktu widzenia matematyka) — sa

to argumenty za przyje

ciem, ˙ze wzory (´sr.m.) deﬁniuja

´srodek masy zbioru G = {x, y:

a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)} przy za lo˙zeniu, ˙ze funkcja

cia

g la ̺: G −→ [0, ∞) jest ge

sto´scia

masy. Zapewne ﬁzyk teoretyk by lby sk lonny zgodzi´c sie

z matematykiem, ale ﬁzyk eksperymentator uzna lby te rozwa˙zania za dow´

od. Nie be

dziemy teraz

rozwa˙za´c ˙zadnych przyk lad´

ow ze zmienna

sto´scia

masy, wie

c na zako´

nczenie tych rozwa˙za´

napiszmy jeszcze, ˙ze w przypadku sta lej ge

sto´sci, dla prostoty przyjmujemy ̺ ≡ 1 , otrzymujemy

x g(x)−f (x)

g(x)−f (x)

(x)

sds

g(x)−f (x)

1
2

(g(x))

−(f (x))

g(x)−f (x)

(´sr.m.’)

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

Przyk lad 11.18

Znajdziemy teraz ´srodek masy tr´

ojka

ta zak ladaja

c, ˙ze ge

sto´s´c masy r´owna

jest 1 we wszystkich jego punktach (tzn. tr´ojka

t jest jednorodny). Za l´

o˙zmy, ˙ze wierzcho lkami

tr´ojka

ta sa

punkty A = (0, 0) , B = (b

, b

) i C = (c

, c

) przy czym 0 ≤ c

≤ b

, b

> 0 .

Oczywi´scie zak ladamy, ˙ze A 6= B 6= C 6= A . Zak ladamy te˙z, ˙ze −b

+ b

> 0 , ten warunek

m´owi, ˙ze punkt C le˙zy ,,nad” prosta

−b

x + b

y = 0 , kt´

ora przechodzi przez punkty A i B .

♥

Niech f (x) =

x . Wykresem funkcji f jest prosta AB . Ograniczmy jej dziedzine

do przedzia-

lu [0, b

] . Wtedy jej wykresem jest odcinek AB. Na tym samym przedziale okre´slimy funkcje

g :

g(x) =

x dla 0 ≤ x ≤ c

i g(x) =

−c

(x − c

) + c

−c

(x − b

) + b

dla c

≤ x ≤ b

oczywi´scie je´sli c

= 0 — obowia

zuje jedynie drugi wz´

or, a je´sli c

= b

— tylko pierwszy.

Funkcje f, g zdeﬁniowali´smy, by m´oc stwierdzi´c, ˙ze zbi´

G = {(x, y) :

0 ≤ x ≤ b

, f (x) ≤ y ≤ g(x)}

jest tr´ojka

tem o wierzcho lkach A, B, C i zastosowa´c wzory na wsp´

o lrze

dne ´srodka masy tak

okre´slonego zbioru. Niech M = (m

, m

) be

dzie ´srodkiem masy G . Znajdziemy najpierw pole

|G| tr´ojka

ta G . Mamy

|G| =

g(x) − f(x)

dx = R

g(x) − f(x)

dx + R

g(x) − f(x)

dx =

−

xdx + R

−c

(x − b

) + b

−

dx =

−b

x dx +

−c

(x − b

) −

(x − b

)

dx =

−b

x dx +

−c

−

(x − b

)dx =

−b

−c

)

(x−b

)

−b

2
1

−

−b

−c

)

−b

)

−b

+ b

− c

) =

1
2

− b

— otrzymali´smy wz´

or na pole tr´

ojka

ta, oczywi´scie mogli´smy obej´s´c sie

bez ca lek, ale z ca lkami

jest wygodniej ze wzgle

du na stosowany tu opis tr´

ojka

ta. Teraz trzeba znale´z´c jeszcze dwie

ca lki. Mamy

|G| =

x g(x) − f(x)

dx = R

x g(x) − f(x)

dx + R

x g(x) − f(x)

dx =

−

dx +

−c

(x − b

) + b

−

dx =

−c

dx +

−c

(x − b

) −

(x − b

)

dx =

−c

dx +

−c

−

− b

x)dx =

−c

−b

−c

)

− b

♥

Ka˙zdy tr´

ojka֒t mo˙zna przesuna֒´c bez obracania, tak, by jego skrajny lewy punkt znalaz l sie֒ na osi OY , je´sli

tych skrajnych lewych punkt´

ow jest wiele, to na osi rze֒dnych znajduje sie֒ ca ly bok, tr´ojka֒t przesuwamy tak,

by najni˙zszy ze skrajnych lewych punkt´

ow znalaz l sie֒ w pocza֒tku uk ladu wsp´o lrze֒dnych. Jedyne ograniczaja֒ce

za lo˙zenie to c

≤b

, ale rozwa˙zenie drugiego przypadku nie nastre֒cza ˙zadnych trudno´sci. Zreszta֒, gdyby´smy

dopu´

scili obroty nie ograniczaja֒c sie֒ do przesuwania w og´ole ˙zadnych k lopot´ow tego rodzaju by nie by lo.

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−c

3
1

−b

−c

)

3
1

−c

3
1

− b

2
1

−c

2
1

−b

2
1

−b

2
1

− b

2
1

−b

)

−b

2
1

−b

+2c

2
1

−b

)

+ b

− 2c

−b

)(b

)

zatem m

0+b

. Otrzymali´smy wz´or zgodny z obietnica

: pierwsza ´srodka masy

tr´ojka

ta jednorodnego to ´srednia arytmetyczna pierwszych wsp´

o lrze

dnych jego wierzcho lk´ow.

Znajdziemy druga

wsp´o lrze

dna

. ´

Srodek masy odcinka jednorodnego [f (x), g(x)] to oczywi´scie

f (x)+g(x)

, jego (umowna) masa to g(x) − f(x) , zatem

|G| =

1
2

g(x)

− f(x)

dx =

1
2

−

dx +

1
2

−c

(x − b

) + b

−

dx =

1
2

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

dx +

1
2

−c

(x − b

) + b

−

−c

(x − b

) + b

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

1
2

−b

−c

)

(x − b

)

−b

−c

)

(x − b

) + 2b

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

1
2

−b

−c

)

−b

−c

)

(x − b

)

+ 2b

−b

−c

)

(x − b

)

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−b

)(2b

−b

)

−c

)

(x − b

)

+ b

−b

−c

)

(x − b

)

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−

−b

)(2b

−b

)

−c

)

− b

)

+ b

−b

−c

)

− b

)

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

−(b

−b

)(2b

−b

)(c

−b

)+3b

−b

)(c

−b

)

= (b

− b

)

+(2b

−b

)(c

−b

)−3b

−b

)

= (b

− b

)

−b

−(−b

−b

= (b

− b

)

−b

Wynika sta

d, ˙ze m

0+b

, a to jest wynik, kt´

ory chcieli´smy uzyska´c. Po d lugich

i cie

˙zkich cierpieniach zako´

nczyli´smy dow´

od tego, ˙ze ´srodek cie

˙zko´sci tr´

ojka

ta jest ´srodkiem

masy jednorodnego tr´

ojka

ta. No i nareszcie KONIEC!

Poka˙zemy jak mo˙zna to rozumowanie skr´

oci´c. Zaczniemy od pola tr´

ojka

ta. Znajdziemy

najpierw odleg lo´s´c punktu C = (c

, c

) od prostej b

x − b

y = 0 . Prosta sk lada sie

z punkt´ow

postaci (tb

, tb

) , t ∈ R . Znajdziemy najmniejsza

z liczb

p(c

− tb

)

+ (c

− tb

)

. Mamy

− tb

)

+ (c

− tb

)

= t

+ b

) − 2t(b

+ b

) + c

+ c

= (b

+ b

) t −

−

)

+ c

Sta

d wynika, ˙ze najmniejsza warto´s´c wyra˙zenia (c

− tb

)

+ (c

− tb

)

jest r´

owna

−

)

+ c

2
1

2
2

)(c

2
1

2
2

)−(b

)

2
1

2
2

2
1

2
2

−(b

2
1

2
2

+2b

)

2
2

2
1

2
2

−2b

−b

)

Wynika sta

d, ˙ze odleg lo´s´c punktu C = (c

, c

) od prostej b

x−b

y = 0 jest r´

owna

−b

√

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−b

√

♥

Znale´zli´smy wysoko´s´c tr´ojka

ta ABC . Jego pole to

| △ (ABC)| =

1
2

+ b

−b

√

−b

A teraz ju˙z pora na ´srodek masy tr´ojka

ta ABC ale ,,na raty”. Punkt D := (c

) le˙zy

na boku AB tr´ojka

ta ABC . Je´sli 0 < c

< b

, to odcinek CD dzieli tr´

ojka

t ABC na dwa

tr´ojka

ty ADC i DBC .

Zachodzi r´owno´s´c | △ (ADC)| =

1
2

· c

−

− b

♠

Niech E = (e

, e

)

oznacza ´srodek masy tr´ojka

ta ADB . Mamy w tej sytuacji

· | △ (ADC)| = e

− b

= R

x −

dx = R

−c

dx =

−c

3
1

−b

2
1

zatem e

2
3

1
3

0 + c

+ c

. Naste

pnie

· | △ (ADC)| = e

− b

= R

1
2

−

dx =

1
2

−

dx =

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

3·2b

2
1

2
2

−b

2
2

2
1

3·2b

−b

)(b

)

3·2b

zatem e

1
3

0 + c

Pole tr´

ojka

ta DBC r´

owne jest

1
2

− c

) c

−

−c

− b

♣

Niech F = (f

, f

) oznacza ´srodek cie

˙zko´sci tr´

ojka

ta DBC . Mamy wie

· | △ (DBC)| = f

−c

− b

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

dx = R

−c

−

− b

x) dx =

= −

−b

−c

)

− b

x) dx = −

−b

−c

)

− b

= −

−b

−c

)

3
1

−c

3
1

− b

2
1

−c

2
1

= −

−b

2(b

+ b

+ c

) − 3b

+ c

)

= −

−b

− b

+ 2c

−b

− c

+ b

− c

−b

)(b

−c

)

1
3

· b

+ c

Wobec tego f

1
3

· (b

+ c

) .

Znajdziemy druga

wsp´

o lrze

dna

´srodka masy tr´

ojka

ta DBC . Zachodza

r´

owno´sci

· | △ (DBC)| = f

−c

− b

1
2

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

dx =

−c

6(b

−c

)

−c

(x − b

) + b

−

(x − b

) + b

−c

6(b

−c

)

−

−c

6(b

−c

)

−c

6(b

−c

)

− c

−

2
2

− c

−c

+ b

+ c

) − b

+ b

+ c

)

♥

Za lo˙zyli´

smy na wste֒pie, ˙ze b

−b

>0 .

♠

Podstawa֒ jest bok CD

♣

Podstawa֒ jest bok CD

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

−c

− b

) + (b

+ b

)(b

− b

)

−c

)(b

−b

)

+ b

−c

)(b

−b

)

1
3

· b

+ c

Wobec tego f

1
3

· b

+ c

Kilka zada´

int. 01 Obliczy´c obje

to´s´c sto˙zka obrotowego o promieniu podstawy r > 0 i wysoko´sci h > 0 .

int. 02 Obliczy´c obje

to´s´c ostros lupa o polu podstawy P > 0 i wysoko´sci h > 0 .

int. 03 Obliczy´c obje

to´s´c elipsoidy

≤ 1 .

int. 04 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu: y

= 4x

, przy czym y ≥ 0,

0 ≤ x ≤

8
9

int. 05 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = 2

√

x , przy czym 1 ≤ x ≤ 9 .

int. 06 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = ln x , przy czym 1 ≤ x ≤ 2 .
int. 07 Obliczy´c d lugo´s´c krzywej o r´ownaniu y = ln cos x , przy czym 0 ≤ x ≤

int. 08 Por´owna´c ca lki nie obliczaja

c ich:

1
2

sin

x dx

1
2

sin

x dx,

−x

dx .

int. 09 Okre´sli´c znak ca lki

2π

x sin x dx,

1
2

ln x dx ,

−2

dx,

2π

sin x

dx .

int. 10 Obliczy´c ca lki niew la´sciwe

1−x

dx ,

√

x dx ,

∞

−x

dx , wiedza

c, ˙ze

∞

−x

dx =

1
2

√

π ,

∞

−x

dx .

int. 11 Obliczy´c granice

cia

gu (a

) przez obliczenie pewnej ca lki, je´sli a

(a)

n+1

n+2

+ . . .

n+n

(b)

+ . . . +

(c)

√

(d)

+···+n

int. 12 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

dx jest sko´

nczona?

int. 13 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

∞

dx jest sko´

nczona?

int. 14 Dla jakich warto´sci parametru a ∈ R ca lka

∞

x ln

dx jest sko´

nczona?

int. 15 Wykaza´c, ˙ze ca lka

∞

sin x

dx jest zbie˙zna, za´s ca lka

∞

sin x

dx jest rozbie˙zna.

int. 16 Obliczy´c pochodna

funkcji f , je´sli f (x) =

x+1

dt ,

x−1

dt ,

x−1

dt .

int. 17 Obliczy´c ca lke

|x−5|

x−5

+ 1) dx – w punkcie 5 funkcja podca lkowa nie jest zdeﬁniowana,

−1

(|x|)

′

+ x) dx – w punkcie 0 funkcja podca lkowa nie jest zdeﬁniowana,

−1

|x| dx ,

−10

− 5x + 6| dx .

Ca lki: pola, obje

to´sci, ´srodki cie

˙zko´sci

Micha l Krych

int. 18 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego luku paraboli y = x

, 0 ≤ x ≤ 3 .

int. 19 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru {(x, y): 0 ≤ y ≤ x

, 0 ≤ x ≤ 3} .

int. 20 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego luku sinusoidy y = sin x , 0 ≤ x ≤ π .

Jedna z ca lek jest nieelementarna, ale mo˙zna skorzysta´

c z symetrii

D lugo´s´c sinusoidy te˙z nie da sie

, wyrazi´c za pomoca

, funkcji elementarnych, wie

c prosze

o przybli˙zenie. Aby oszacowa´c z do lu nale˙zy np. rozpatrzy´c punkty (0, sin 0) , (

, sin

) ,

(

, sin

) , (

, sin

) , (

, sin

) i znale´z´c d lugo´s´c lamanej (nale˙zy skorzysta´c ze sprze

elektronicznego). Aby oszacowa´c z g´ory nale˙zy z wymienionych punkt´

ow poprowadzi´c

proste styczne do wykresu funkcji sinus, znale´z´c punkty przecie

cia stycznych w kolejnych

punktach i obliczy´c d lugo´s´c lamanej opisanej na luku sinusoidy zaczynaja

cym sie

w punkcie

(0, sin 0) a ko´

ncza

cym sie

w punkcie (

, sin

) . Por´

owna´c wyniki szacowania.

int. 21 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru {(x, y): 0 ≤ y ≤ sin x, 0 ≤ x ≤ π} .
int. 22 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnego obszaru ograniczonego parabolami 2x = y

i 2y = x

int. 23 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnej ´cwiartki elipsy

{(x, y):

≤ 1, 0 ≤ x, 0 ≤ y} .

int. 24 Znale´z´c ´srodek masy jednorodnej p´

o lkuli o promieniu r > 0 .

int. 25 Zale´z´c ´srodek masy p´

o ltorusa, tj bry ly powsta lej w wyniku obrotu ko la o promieniu r > 0

wok´

o l prostej le˙za

cej w jego p laszczy´znie w odleg lo´sci R > r od ´srodka ko la.

int. 26 Wykaza´c, ˙ze je´sli 0 ≤ x ≤ 1 , to lim

n→∞

n(n + 1)x

(1 − x) = 0 i jednocze´snie zachodzi

r´

owno´s´c

n(n + 1)x

n−1

(1 − x)dx = 1 . Wynika sta

d, ˙ze nie mo˙zna wnioskowa´

c tego, ˙ze

ca lki da

˙za

0 z tego tylko, ˙ze funkcje podca lkowe da

˙za

0 .

int. 27

∗

Wyprowadzenie wzoru Wallisa

a. Niech I

π/2

sin

x dx . Wykaza´c, ˙ze dla ka˙zdej liczby naturalnej n ≥ 2 za-

chodzi r´

owno´s´c I

n−1

n−2

. Dla dowodu mo˙zna dwukrotnie sca lkowa´c odpowiednie

funkcje przez cze

´sci: sin

x = sin x · sin

n−1

x = sin

n−1

x · (− cos x)

′

, . . .

b. Obliczy´c I

oraz I

, a naste

pnie I

i I

2n+1

dla dowolnej liczby ca lkowitej n ≥ 0 .

c. Wykaza´c, ˙ze lim

n→∞

= 0 .

d. Wykaza´c, ˙ze cia

g (I

) jest maleja

cy oraz ˙ze lim

n→∞

2n+1

= 1 .

e. Wykaza´c, ˙ze

= lim

n→∞

2n+1

2·4·...·2n

1·3·...·(2n−1)

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
12 Księga II Królewska
ch11 12 wiele zm
Oleksyn Teoria zarzdzania Słownik zarządzania 12 wersja II
ANAT55 test oun 12 termin ii rozwiazany
karne 12 14 II wyklad
ch11 12 pochodne
ch11 12 rr zm rozdz
ch11 12 zesp
Matematyka III (Ćw) - Lista 12 - Całki oznaczone, Zadania
SHSBC 246 ROUTINE 2 12, PART II
Calki II
Matematyka III (Ćw) Lista 12 Całki oznaczone Zadania
ch11 12 geoman2
sprawozdanie zad.12, Polibuda, II semestr, fizyka, FIZA, lab, Chemia laborki, chemia ogolna nie orga
Pasowanie 12 gr II
Egzamin 12 WERSJA II
Fiz Lab 12 1, Studia, II rok, Fizyka Eksperymentalna

więcej podobnych podstron