Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Poprawi lem 10 pa´

zdziernika 2012, godz 17:20

Znajdziemy teraz wz´or na odleg lo´s´c punktu (x

0

, y

0

) od prostej ` opisanej r´owna-

niem ax + by + c = 0 . Oczywi´scie po to, by to r´ownanie przedstawia lo prosta

,

trzeba

za lo˙zy´c, ˙ze wektor [a, b] ma co najmniej jedna

,

wsp´o lrze

,

dna

,

r´o˙zna

,

od 0 . Oznacza to,

˙ze a

2

+ b

2

> 0 .

Za l´o˙zmy, ˙ze ruszamy z punktu (x

0

, y

0

) i poruszamy sie

,

ze sta la

,

pre

,

dko´scia

,

wek-

torowa

,

[a, b] . Po czasie t przemie´scimy sie

,

o wektor t · [a, b] , znajdziemy sie

,

wie

,

c w

punkcie (x

0

, y

0

) + t · [a, b] = (x

0

+ at, y

0

+ bt) . Poniewa˙z poruszamy sie

,

w kierunku

prostopad lym do prostej ` , wie

,

c pre

,

dzej czy p´o´zniej natrafimy na nia

,

— w tym przy-

padku mo˙ze zdarzy´c sie

,

, ˙ze t < 0 , co oznacza loby, ˙ze byli´smy ju˙z w przesz lo´sci na

prostej i oddalamy sie

,

od niej. Za l´o˙zmy, ˙ze po czasie t

1

trafili´smy w punkt pros-

tej ` . Mamy wie

,

c 0 = a(x

0

+ t

1

a) + b(y

0

+ t

1

b) + c = ax

0

+ by

0

+ c + t

1

(a

2

+ b

2

) ,

a sta

,

d wnioskujemy, ˙ze t

1

= −

ax

0

+by

0

+c

a

2

+b

2

. Wobec tego przemieszczenie r´owne jest

t

1

· [a, b] = −

ax

0

+by

0

+c

a

2

+b

2

· [a, b] , a to oznacza, ˙ze d lugo´s´c przebytej drogi, czyli od-

leg lo´s´c punktu (x

0

, y

0

) od prostej ` r´owna jest





 −

ax

0

+ by

0

+ c

a

2

+ b

2





 ·

p

a

2

+ b

2

=

|ax

0

+ by

0

+ c|

√

a

2

+ b

2

.

Rozumuja

,

c analogicznie mo˙zemy otrzyma´c wz´or na odleg lo´s´c punktu od p lasz-

czyzny, szczeg´o ly dowodu pozostawiamy czytelnikom.

Twierdzenie 3.1 (o odleg lo´sci punktu od p laszczyzny)

Odleg lo´s´c punktu (x

0

, y

0

, z

0

) od p laszczyzny o r´ownaniu ax + by + cz + d = 0 r´owna

jest

|ax

0

+ by

0

+ cz

0

+ d|

√

a

2

+ b

2

+ c

2

.

Wypada tu stwierdzi´c, ˙ze r´ownanie

0 = ax + by + cz + d = a



x +

ad

a

2

+b

2

+c

2



+ b



y +

bd

a

2

+b

2

+c

2



+



z +

cd

a

2

+b

2

+c

2



,

czyli r´ownanie

[a, b, c] ·



x −

−ad

a

2

+ b

2

+ c

2

, y −

−bd

a

2

+ b

2

+ c

2

, z −

−cd

a

2

+ b

2

+ c

2



= 0 ,

opisuje p laszczyzne

,

, kt´ora przechodzi przez punkt



−ad

a

2

+b

2

+c

2

,

−bd

a

2

+b

2

+c

2

,

−cd

a

2

+b

2

+c

2



i jest prostopad la do wektora [a, b, c] — suma wszystkich prostych prostopad lych do

prostej ` przechodza

,

cych przez ustalony punkt P ∈ ` jest p laszczyzna

,

przechodza

,

ca

,

przez punkt P prostopad la

,

do prostej ` .

1

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

Zajmiemy sie

,

teraz wzorem na pole r´ownoleg loboku o wierzcho lkach

(0, 0) ,

(x

1

, y

1

) ,

(x

1

+ x

2

, y

1

+ y

2

) ,

(x

2

, y

2

) ,

wie

,

c r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez wektory ~v

1

= [x

1

, y

1

] i ~v

2

= [x

2

, y

2

] . Jak

wiemy, jest ono r´owne

p

k~v

1

k

2

· k~v

2

k

2

− (~v

1

· ~v

2

)

2

=

p

(x

2

1

+ y

2

1

) · (x

2

2

+ y

2

2

) − (x

1

x

2

+ y

1

y

2

)

2

=

=

p

x

2

1

· x

2

2

+ y

2

1

· x

2

2

+ x

2

1

· y

2

2

+ y

2

1

· y

2

2

− (x

2

1

x

2

2

+ 2x

1

x

2

y

1

y

2

+ y

2

1

y

2

2

) =

=

p

x

2

1

· y

2

2

+ y

2

1

· x

2

2

− 2x

1

x

2

y

1

y

2

=

p

(x

1

· y

2

− y

1

· x

2

)

2

= |x

1

· y

2

− y

1

· x

2

| =

=|









x

1

y

1

x

2

y

2







 | .

Wykazali´smy wie

,

c, ˙ze zachodzi naste

,

puja

,

ce

Twierdzenie 3.2

Pole r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez wektory ~v

1

= [x

1

, y

1

] i ~v

2

= [x

2

, y

2

] jest

r´owne

|









x

1

y

1

x

2

y

2







 | .

Wniosek 3.3

Wektory ~v

1

= [x

1

, y

1

] i ~v

2

= [x

2

, y

2

] sa

,

wsp´o lliniowe (czyli le˙za

,

na jednej prostej)

wtedy i tylko wtedy, gdy









x

1

y

1

x

2

y

2







 = 0 .

Przyjmujemy, ˙ze wektor zerowy jest wsp´o lliniowy z ka˙zdym wektorem.

Znajdziemy teraz obraz punktu (x, y) w obrocie o ka

,

t β wok´o l punktu (0, 0) .

Niech r =

p

x

2

+ y

2

i niech α oznacza taki ka

,

t, ˙ze x = r cos α i y = r sin α . Po

obrocie o ka

,

t β wok´o l punktu (0,0) punkt (x, y) = (r cos α, r sin α) trafia w punkt

(x

0

, y

0

) = r cos(α + β), r sin(α + β)

=

= r cos α cos β − r sin α sin β, r sin α cos β + r cos α sin β

=

= (x cos β − y sin β, x sin β + y cos β) .

Udowodnimy teraz twierdzenie o zachowywaniu warto´sci wyznacznika









x

1

y

1

x

2

y

2









przy obrotach wok´o l punktu (0, 0) .

Twierdzenie 3.4 (o zachowywaniu warto´sci wyznacznika pary wektor´

ow)

Je´sli obrazem punktu (x

1

, y

1

) w obrocie o ka

,

t β wok´o l punktu (0, 0) jest punkt

(x

0

1

, y

0

1

) , a obrazem punktu (x

2

, y

2

) — punkt (x

0

2

, y

0

2

) , to









x

1

y

1

x

2

y

2







 =









x

0

1

y

0

1

x

0

2

y

0

2







 .

Dow´

od. Mamy x

0

1

= x

1

cos β − y

1

sin β , y

0

1

= x

1

sin β + y

1

cos β ,

x

0

2

= x

2

cos β − y

2

sin β , y

0

2

= x

2

sin β + y

2

cos β . Wynika sta

,

d, ˙ze

2

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych









x

0

1

y

0

1

x

0

2

y

0

2







 = x

0

1

y

0

2

− y

0

1

x

0

2

= (x

1

cos β − y

1

sin β)(x

2

sin β + y

2

cos β) −

−(x

1

sin β + y

1

cos β)(x

2

cos β − y

2

sin β) = x

1

x

2

(cos β sin β − sin β cos β) +

+ x

1

y

2

(cos

2

β + sin

2

β) − y

1

x

2

(sin

2

β + cos

2

β) + y

1

y

2

(sin β cos β − cos β sin β) =

= x

1

y

2

− y

1

x

2

=









x

1

y

1

x

2

y

2







 . Dow´od zosta l zako´

nczony.

Definicja 3.5 (dodatnio zorientowanej pary wektor´

ow)

Uporza

,

dkowana para wektor´ow niewsp´o liniowych ~v

1

= [x

1

, y

1

] , ~v

2

= [x

2

, y

2

] jest

dodatnio zorientowana wtedy i tylko wtedy, gdy









x

1

y

1

x

2

y

2







 > 0 , w przypadku prze-

ciwnym para ta jest zorientowana ujemnie.

Za l´o˙zmy, ˙ze uporza

,

dkowana para wektor´ow niewsp´o liniowych ~v

1

= [x

1

, y

1

] ,

~v

2

= [x

2

, y

2

] jest dodatnio zorientowana. Mo˙zemy za lo˙zy´c, ˙ze wektor ~v

1

= [x

1

, y

1

]

jest zaczepiony w punkcie (0, 0) , tzn. ten wektor zaczyna sie

,

w punkcie 0 = (0, 0) ,

a ko´

nczy sie

,

w punkcie (x

1

, y

1

) . Analogicznie wektor ~v

2

= [x

2

, y

2

] zaczyna sie

,

w punkcie 0 = (0, 0) , a ko´

nczy w punkcie (x

2

, y

2

) . Obr´o´cmy oba o ka

,

t β wok´o l

punktu 0 tak, by obraz (x

0

1

, y

0

1

) punktu (x

1

, y

1

) znalaz l sie

,

na dodatniej p´o losi OX .

Oznacza to, ˙ze x

0

1

> 0 i y

0

1

= 0 . Niech (x

0

2

, y

0

2

) be

,

dzie obrazem punktu (x

2

, y

2

)

w tym obrocie. Mamy 0 <









x

1

y

1

x

2

y

2







 =









x

0

1

y

0

1

x

0

2

y

0

2







 =









x

0

1

0

x

0

2

y

0

2







 = x

0

1

y

0

2

, wie

,

c y

0

2

> 0 .

Wynika sta

,

d, ˙ze je´sli para wektor´ow ~v

1

, ~v

2

jest dodatnio zorientowana, to pierw-

szy nale˙zy obraca´c w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz´owek zegara, by trafi´c

na p´o lprosta

,

, na kt´orej le˙zy drugi (oczywi´scie mowa o obrocie o ka

,

t mniejszy ni˙z

π radian´ow). Oczywi´scie w przypadku pary zorientowanej ujemnie nale˙zy pierwszy

wektor obraca´c zgodnie z ruchem wskaz´owek zegara, by trafi´c na p´o lprosta

,

, na kt´orej

le˙zy drugi wektor.

Twierdzenie 3.6 (

o obje

,

to´

sci r´

ownoleg lo´

scianu rozpie

,

tego przez wektory

~

u,~

v,~

w∈R

3

)

Niech ~u = (u

1

, u

2

, u

3

) , ~v = (v

1

, v

2

, v

3

) , ~

w = (w

1

, w

2

, w

3

) . Wtedy obje

,

to´s´c r´owno-

leg lo´scianu rozpie

,

tego przez wektory ~u, ~v, ~

w (zaczepione w punkcie 0 ) r´owna jest

|(~u × ~v) · ~

w| = |













u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3













| ,

a jej kwadrat r´owny jest













~u · ~u

~u · ~v

~u · ~

w

~v · ~u

~v · ~v

~v · ~

w

~

w · ~u

~

w · ~v

~

w · ~

w













.

3

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

Dow´

od. Obje

,

to´s´c r´ownoleg lo´scianu r´owna jest iloczynowi pola podstawy przez jego

wysoko´s´c. Niech podstawa

,

be

,

dzie r´ownoleg lobok rozpie

,

ty przez wektory ~u i ~v . Pole

tego r´ownoleg loboku to k~u × ~vk . Trzeba wie

,

c znale´z´c wysoko´s´c. Wektor ~u × ~v jest

prostopad ly do ka˙zdego z wektor´ow ~u, ~v , wie

,

c wysoko´s´c jest odcinkien r´ownoleg lym

do wektora ~u × ~v . Innymi s lowy nale˙zy zrzutowa´c prostopadle wektor ~

w na prosta

,

wyznaczona

,

przez wektor ~u × ~v . Ten rzut to wektor

~

w·(~

u×~

v)

k~

u×~

vk

2

~u × ~v . Jego d lugo´s´c,

czyli wysoko´s´c r´ownoleg lo´scianu, to







~

w·(~

u×~

v)

k~

u×~

vk





 . Wobec tego obje

,

to´s´c r´owna jest

k~u × ~vk ·







~

w·(~

u×~

v)

k~

u×~

vk





 =



~w · (~u × ~v)



 ,

co mieli´smy udowodni´c. R´owno´s´c (~u × ~v) · ~

w =













u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3













wykazujemy bez

trudu rozwijaja

,

c wyznacznik wzgle

,

dem trzeciego wiersza (po przypomnieniu sobie

definicji iloczynu wektorowego).

R´owno´s´c













u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3













2

=













~u · ~u

~u · ~v

~u · ~

w

~v · ~u

~v · ~v

~v · ~

w

~

w · ~u

~

w · ~v

~

w · ~

w













wyka˙zemy p´o´zniej, gdy poznamy wie

,

cej w lasno´sci wyznacznik´ow.

Wniosek 3.7

Trzy wektory ~u, ~v, ~

w ∈ R

3

, zaczepione w punkcie ~0 = (0, 0, 0) le˙za

,

w jednej

p laszczy´znie wtedy i tylko wtedy, gdy













u

1

u

2

u

3

v

1

v

2

v

3

w

1

w

2

w

3













= 0 ⇐⇒













~u · ~u

~u · ~v

~u · ~

w

~v · ~u

~v · ~v

~v · ~

w

~

w · ~u

~

w · ~v

~

w · ~

w













= 0 .

Opisali´smy poprzednio obr´ot na p laszczy´znie wok´o l punktu (0, 0) . To pozwala

opisa´c natychmiast obr´ot w przestrzeni wok´o l osi OZ o ka

,

t β : obrazem punktu

(x, y, z) jest punkt (x

0

, y

0

, z

0

) przy czym x

0

= x cos β − y sin β , y

0

= x sin β + y cos β ,

z

0

= z . Obrazem punktu (x, y, z) w obrocie o ka

,

t β wok´o l osi OY jest punkt

(x cos β − z sin β, y, x sin β + z cos β) . Wreszcie obrazem punktu (x, y, z) w obrocie

o ka

,

t β wok´o l osi OX jest punkt (x, y cos β − z sin β, y sin β + z cos β) .

Mo˙zemy teraz udowodni´c (ale na wyk ladzie ten dow´od pomina

,

lem)

Twierdzenie 3.8 (o zachowaniu warto´sci wyznacznika tr´

ojki wektor´

ow)

Je´sli w obrocie wok´o l jednej z osi obrazem wektora ~v

1

= [x

1

, y

1

, z

1

] jest wektor

~v

0

1

= [x

0

1

, y

0

1

, z

0

1

] , obrazem wektora ~v

2

= [x

2

, y

2

, z

2

] — wektor ~v

0

2

= [x

0

2

, y

0

2

, z

0

2

] , a

4

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

wektora ~v

3

= [x

3

, y

3

, z

3

] — wektor ~v

0

3

= [x

0

3

, y

0

3

, z

0

3

] , to













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













=













x

0

1

y

0

1

z

0

1

x

0

2

y

0

2

z

0

2

x

0

3

y

0

3

z

0

3













Dow´

od. We wszystkich trzech przypadkach jest taki sam. Przeprowadzimy go dla

obrotu wok´ol osi OZ korzystaja

,

c z latwych do wykazania w lasno´sci wyznacznik´ow,

kt´ore jednak uzasadnimy p´o´zniej. Mamy













x

0

1

y

0

1

z

0

1

x

0

2

y

0

2

z

0

2

x

0

3

y

0

3

z

0

3













=













x

1

cos β − y

1

sin β

x

1

sin β + y

1

cos β

z

1

x

2

cos β − y

2

sin β

x

2

sin β + y

2

cos β

z

2

x

3

cos β − y

3

sin β

x

3

sin β + y

3

cos β

z

3













=

= cos β













x

1

x

1

sin β + y

1

cos β

z

1

x

2

x

2

sin β + y

2

cos β

z

2

x

3

x

3

sin β + y

3

cos β

z

3













− sin β













y

1

x

1

sin β + y

1

cos β

z

1

y

2

x

2

sin β + y

2

cos β

z

2

y

3

x

3

sin β + y

3

cos β

z

3













=

= cos β sin β













x

1

x

1

z

1

x

2

x

2

z

2

x

3

x

3

z

3













+ cos

2

β













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













−

− sin

2

β













y

1

x

1

z

1

y

2

x

2

z

2

y

3

x

3

z

3













− sin β cos β













y

1

y

1

z

1

y

2

y

2

z

2

y

3

y

3

z

3













=

powt´

orzone

=========

kolumny

cos

2

β













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













− sin

2

β













y

1

x

1

z

1

y

2

x

2

z

2

y

3

x

3

z

3













=

przestawiamy

==========

kolumny

cos

2

β













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













+ sin

2

β













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













=













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













.

Definicja 3.9 (tr´

ojki wektor´

ow dodatnio zorientowanej)

Uporza

,

dkowana tr´ojka niewsp´o lp laszczyznowych (tj. niele˙za

,

cych w jednej p laszczy´z-

nie) wektor´ow ~v

1

, ~v

2

, ~v

3

∈ R

3

jest dodatnio zorientowana w przestrzeni tr´ojwymia-

rowej wtedy i tylko wtedy, gdy













x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3













> 0 .

Z definicji wynika latwo, ˙ze je´sli tr´ojka (~v

1

, ~v

2

, ~v

3

) jest uk ladem dodatnio zorien-

towanym, to tr´ojka (~v

2

, ~v

1

, ~v

3

) uk ladem dodatnio zorientowanym nie jest — zmiana

kolejno´sci wierszy powoduje zmiane

,

znaku wyznacznika.

Mo˙zna i nale˙zy sobie wyobra˙za´c, ˙ze uk lad trzech wzajemnie prostopad lych wek-

tor´ow jest dodatnio zorientowany, gdy mo˙zna ten uk lad obr´oci´c (kilka razy, np. trzy

wok´o l r´o˙znych osi ) wok´o l osi uk ladu wsp´o lrze

,

dnych tak, by po tych obrotach wektor

~v

0

1

by l zgodnie r´ownoleg ly (czyli r´ownoleg ly i skierowany w te

,

sama

,

strone

,

) do wek-

tora ~i = (1, 0, 0) , wektor ~v

0

2

— do wektora ~j = (0, 1, 0) i wektor ~v

0

3

— do wektora

5

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

~k = (0, 0, 1) . Temu stwierdzeniu mo˙zna nada´c bardzo precyzyjne znaczenie i wtedy

je udowodni´c.

Gdy wektory nie sa

,

prostopad le, to za pomoca

,

kilku obrot´ow przekszta lcamy

pierwszy z tr´ojki w p´o lprosta

,

wyznaczona

,

przez ~i = (1, 0, 0) , drugi trafia w p´o lp lasz-

czyzne

,

{(x, y, z):

y > 0, z = 0} . Wyznacznik ma wtedy posta´c













x

0

1

0

0

x

0

2

y

0

2

0

x

0

3

y

0

3

z

0

3













, jest

wie

,

c dodatni, gdy z

3

> 0 .

Dodajmy, ˙ze iloczyn wektorowy wektor´ow ~v

1

, ~v

2

∈ R

3

mo˙zna zdefiniowa´c geo-

metrycznie. Oczywi´scie mimo u˙zycia innych s l´ow definiujemy dok ladnie ten sam wek-

tor. Iloczyn wektorowy v

1

× v

2

jest wektorem

prostopad lym do obu wektor´ow ~v

1

, ~v

2

,

o d lugo´sci r´ownej polu r´ownoleg loboku rozpie

,

tego przez te wektory,

o takim zwrocie, ˙ze tr´ojka ~v

1

, ~v

2

, ~v

1

× ~v

2

jest dodatnio zorientowana.

Zadania

1. Na paraboli y = x

2

znale´z´c punkt le˙za

,

cy najbli˙zej punktu (0, 2) . Znale´z´c kosinus

ka

,

ta mie

,

dzy wektorem [1, 0] i wektorem la

,

cza

,

cym punkt (0, 2) ze znalezionym

punktem.

2. Niech A = (−3, −3) , B = (5, −1) , C = (1, 5) . Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego

na tr´ojka

,

cie ABC i pole tego tr´ojka

,

ta. Wyja´sni´c, czy tr´ojka

,

t jest ostroka

,

tny,

prostoka

,

tny czy rozwartoka

,

tny.

3. Niech A = (1, 2) , B = (5, 4) , C = (3, 8) . Znale´z´c ´srodek okre

,

gu opisanego

na tr´ojka

,

cie ABC i pole tego tr´ojka

,

ta. Wyja´sni´c, czy tr´ojka

,

t jest ostroka

,

tny,

prostoka

,

tny czy rozwartoka

,

tny.

4. Obliczy´c wyznaczniki













1 −2

3

2

4 −1

−1

0 −3













,













1 −2

4

2

4

8

−1

3

9













,













1

3

5

−1

3

−5

2 111 −1













.

5. (1) Niech ~u =



6

6
3



i ~v =



1

4
8



. Znale´z´c wsp´o lrze

,

dne wektora ~

w :=

1
9

~u × ~v .

Znale´z´c d lugo´sci k~uk i k~vk wektor´ow ~u i ~v .

(2) Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow, kt´ore tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach:

6x + 6y + 3z = 15 i x + 4y + 8z = 13 .

(3) Niech A = (1, 1, 1) , B = A +

1
3

~u × ~

w , C = A +

1
3

~u × ~

w +

1
3

~v × ~

w ,

D = A +

1
3

~v × ~

w .

Znale´z´c pole czworoka

,

ta ABCD i jego ´srodek symetrii, je´sli ten czworoka

,

t

jest ´srodkowosymetryczny.

6

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

6. (1) Niech ~u =



1

2
3



i ~v =



3

2
1



. Znale´z´c wsp´o lrze

,

dne wektora ~

w := −

1
4

~u × ~v .

Znale´z´c d lugo´sci k~uk i k~vk wektor´ow ~u i ~v .

(2) Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow, kt´ore tworza

,

p laszczyzny o r´ownaniach:

x + 2y + 3z = 0

i

3x + 2y + z = 0 .

(3) Niech A = (1, −2, 1) , B = A+~u× ~

w , C = A+~u× ~

w+~v× ~

w , D = A+~v× ~

w .

Znale´z´c pole czworoka

,

ta ABCD i jego ´srodek symetrii, je´sli ten czworoka

,

t

jest ´srodkowosymetryczny.

(4) Znale´z´c punkt symetryczny do punktu E = (3, 0, 4) wzgle

,

dem p laszczyzny

x + 2y + 3z = 0 .

7. Niech A = (1, 1, 2) , B = (9, 1, 1) , C = (1, 3, 1) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow utworzonych przez p laszczyzne

,

ABC i p laszczyzne

,

o r´ownaniu x + y + z = 1 .

8. Niech A = (1, 1, 3) , B = (4, 1, 1) , C = (5, 2, 0) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny zawieraja

,

cej punkt O, kt´ora jest r´ownoleg la do

p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy p laszczyzna

,

ABC i osia

,

OX .

9. Niech A = (16, 38, 55) , B = (−8, −10, −5) , C = (1, 2, 3) .

Znale´z´c jaki´s (niezerowy) wektor prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

10. Niech A = (16, 38, 55) , B = (−8, −10, −5) , C = (1, 2, 3) .

Znale´z´c ´srodek M

C

odcinka AB .

Znale´z´c punkt X na odcinku CM

C

, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku

2 : 1 , tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka C ma by´c dwukrotnie

wie

,

ksza od jego odleg lo´sci od punktu M

C

.

Znale´z´c dowolny punkt Y = (y

1

, y

2

, y

3

) , kt´ory le˙zy na dwusiecznej (to

p´

o lprosta) ka

,

ta ACB .

Informacja: d lugo´sci odcink´ow AC i BC sa

,

liczbami ca lkowitymi.

7

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

11. Niech A = (4, 8, 9) , B = (4, 8, 25) , C = (1, 2, 3) .

Znale´z´c wektory CB , CA ,

−−→

BA i

−−→

AB oraz ich d lugo´sci.

Znale´z´c kosinus najwie

,

kszego z ka

,

t´ow tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c jaki´s (niezerowy) wektor prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c ´srodek M

C

odcinka AB .

Znale´z´c punkt X na odcinku CM

C

, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku

2 : 1 , tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka C ma by´c dwukrotnie

wie

,

ksza od jego odleg lo´sci od punktu M

C

.

12. Niech A = (1, 0, 0) , B = (0, 2, 2) , C = (15, 5, 2) , O = (0, 0, 0) .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c jakikolwiek wektor ~v 6= ~0 = [0, 0, 0] prostopad ly do p laszczyzny ABC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC i wyja´sni´c, czy ten tr´ojka

,

t jest ostroka

,

tny, pro-

stoka

,

tny czy rozwartoka

,

tny.

Znale´z´c r´ownanie p laszczyzny ABC .

Znale´z´c kosinusy obu ka

,

t´ow utworzonych przez p laszczyzne

,

ABC i p laszczyzne

,

o r´ownaniu x + y + z = 1 .

13. Niech A = (1, 1, 1) , B = (7, 4, 3) , C = (3, 2, 3) .

Znale´z´c wektory

−−→

CB ,

−−→

CA ,

−−→

BA i

−−→

AB oraz ich d lugo´sci.

Znale´z´c kosinus najwie

,

kszego z ka

,

t´ow tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c

−−→

AB ×

−→

AC .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABC .

Znale´z´c ´srodek M

A

odcinka BC .

Znale´z´c punkt X na odcinku AM

A

, kt´ory dzieli ten odcinek w stosunku 3 : 1 ,

tzn. odleg lo´s´c punktu X od wierzcho lka A ma by´c trzykrotnie wie

,

ksza od jego

odleg lo´sci od punktu M

A

.

14. Obliczy´c wyznacznik













1 −1 2

−1

1 3

−2

1 7













.

Znale´z´c iloczyn wektorowy i skalarny wektor´ow [1, 2, −2] i [14, 5, −2] oraz ko-

sinus i sinus ka

,

ta mie

,

dzy tymi wektorami.

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta o wierzcho lkach (0, 0, 0, ) , (1, 2, −2) i (14, 5, −2) . Czy

wszystkie trzy ka

,

ty tego tr´ojka

,

ta sa

,

ostre?

8

Elementy geometrii analitycznej, c.d.

Micha l Krych

15. Niech O = (1, 0, 1) , A = (2, 2, 3) , B = (4, 2, 7) , C = (2, 4, 9) .

Znale´z´c wektory

−−→

OA ,

−−→

OC i

−−→

OB oraz ich d lugo´sci.

Znale´z´c kosinus najwie

,

kszego z ka

,

t´ow tr´ojka

,

ta ABO .

Znale´z´c

−→

OA ×

−−→

OB .

Znale´z´c pole tr´ojka

,

ta ABO .

Znale´z´c obje

,

to´s´c czworo´scianu ABCO .

Znale´z´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .

16. Dla jakich liczb rzeczywistych x zachodzi r´owno´s´c













1

2

4

√

2 −2

√

2 4

√

2

1

x

x

2













= 0 ?

Dla jakich liczb rzeczywistych x wektor [1, x, x

2

] jest prostopad ly do iloczynu

wektorowego [1, 2, 4] × [1, −2, 4] ?
Znale´z´c punkt X , kt´ory dzieli odcinek o ko´

ncach (1, 2, 4) , (4, 0, −1) , w sto-

sunku 3 : 2 .

17. Niech O = (0, 0, 0) , A = (−2, 2, 3) , B = (−3, 2, 6) , C = (2, −1, 2) .

Znale´z´c iloczyn [O, A] × [O, B] i obliczy´c pole tr´ojka

,

ta OAB .

Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .

Obliczy´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Obliczy´c odleg lo´s´c punktu C od p laszczyzny OAB .

Znale´z´c sinus ka

,

ta jaki tworzy wektor [OC] z p laszczyzna

,

OAB .

18. Niech O = (0, 0, 0) , A = (2, −6, 9) , B = (12, −3, −4) , C = (2, −1, 2) .

Znale´z´c iloczyn

−→

OA ×

−−→

OB i obliczy´c pole tr´ojka

,

ta OAB .

Obliczy´c odleg lo´s´c punktu A od prostej OB .

Obliczy´c obje

,

to´s´c czworo´scianu OABC .

Znale´z´c kosinus ka

,

ta mie

,

dzy wektorami

−→

OA i

−−→

OB .

Napisa´c r´ownanie p laszczyzny OAB .

9