1

Całkowanie funkcji trygonometrycznych

(funkcji wymiernych od funkcji trygonometrycznych)

(

)

dx

x

x

R

cos

,

sin

,

( )

v

u

R ,

- funkcja wymierna zmiennych

u , v

.

Sprowadzamy do całek z funkcji wymiernych

0. Podstawienie uniwersalne:

2

x

tg

t

=

,

(

)

π

π

;

−

∈

x

2

1

2

2

t

dt

dx

arctgt

x

+

=

=

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

cos

sin

cos

sin

cos

1

2

1

2

cos

sin

cos

sin

2

sin

t

t

tg

tg

x

t

t

tg

tg

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

+

−

=

+

−

=

+

−

=

+

=

+

=

+

=

1.

(

)

( )

v

u

R

v

u

R

,

,

−

=

−

podstawienie

x

t cos

=

2.

(

)

( )

v

u

R

v

u

R

,

,

−

=

−

podstawienie

x

t sin

=

3.

(

)

( )

v

u

R

v

u

R

,

,

−

=

−

−

podstawienie

tgx

t

=

x

dx

dt

2

cos

=

1

1

cos

sin

sin

sin

2

2

2

2

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

t

t

x

tg

x

tg

x

x

x

x

1

1

1

1

cos

sin

cos

cos

2

2

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

t

x

tg

x

x

x

x

1

1

cos

sin

cos

sin

cos

sin

2

2

2

2

+

=

+

=

+

=

t

t

x

tg

tgx

x

x

x

x

x

x

2

Przykłady

1.

( )

(

)

( )

C

x

x

t

t

t

t

dt

t

t

t

dt

t

dt

x

dx

xdx

dt

x

t

v

u

R

v

u

R

v

u

R

x

dx

u

+

+

−

=

+

−

=

+

−

−

=

+

+

−

=

=

−

=

−

−

=

−

−

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

1

cos

1

cos

ln

1

1

ln

1

ln

1

ln

1

1

1

1

cos

1

sin

sin

cos

,

,

,

sin

2

1

2

1

2

1

2

1

2

2

2

1

2.

( )

(

)

( )

( )

(

)

C

x

x

t

t

dt

t

t

dt

t

t

xdx

dt

x

t

v

u

R

v

u

R

v

u

v

u

R

xdx

x

+

−

=

−

=

=

−

=

−

=

=

=

−

=

−

=

=

5

sin

3

sin

5

3

1

cos

sin

,

,

,

cos

sin

5

3

5

3

4

2

2

2

3

2

3

2

3.

( )

(

)

( )

( )

(

)

C

x

tg

x

tg

x

tg

tgx

tgx

x

tg

t

t

t

t

t

t

dt

t

t

t

t

t

dt

t

k

dt

t

t

k

dt

t

t

t

t

t

dt

t

dt

v

u

R

v

u

R

tgx

t

v

u

R

x

x

dx

k

k

k

k

x

dx

v

u

+

−

−

−

−

+

==

+

+

−

−

−

−

=

=

+

+

+

+

+

=

⋅

=

⋅

=

=

+

=

+

+

+

=

=

−

=

−

−

=

=

=

−

−

−

−

−

=

=

7

5

3

3

3

3

5

7

2

2

4

6

8

8

2

5

0

8

2

5

0

8

5

2

2

2

4

4

2

2

cos

1

4

8

7

1

1

3

10

10

5

3

3

5

10

3

10

1

7

1

5

10

10

5

5

5

1

1

1

1

1

1

,

,

,

cos

sin

2

4

8

opracował Paweł Sztur