WPPT (Matematyka)

Analiza matematyczna 2

Kolokwium nr 1, 28 IV 2006

Grupa ♥

1. Oblicz

[9 pkt.]

Z

0

−π/4

1

cos x

dx.

2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregów

[12 pkt.]

∞

X

n=1



n

3



n

·

1

n!

,

∞

X

n=1

(−1)

n+1

· (

√

n

2

+ 1 − n).

3. Oblicz iloczyn nieskończony

[9 pkt.]

∞

Y

n=3



1 −

1

n

2



.

4. Oblicz granicę

[10 pkt.]

lim

n→∞

n−1

X

k=0





1

n

·

4

s

2k + 1

n





.

5. Niech (b

n

) będzie ustalonym ciągiem liczb rzeczywistych takim, że lim

n→∞

b

n

= ∞.

Udowodnij, że istnieje szereg zbieżny

P

∞
n=1

a

n

o wyrazach nieujemnych taki, że szereg

P

∞
n=1

a

n

b

n

jest rozbieżny.

[10 pkt.]

WPPT (Matematyka)

Analiza matematyczna 2

Kolokwium nr 1, 28 IV 2006

Grupa

?

1. Oblicz

[9 pkt.]

Z

π/2

π/4

1

sin x

dx.

2. Zbadaj zbieżność i zbieżność bezwzględną szeregów

[12 pkt.]

∞

X

n=1

2

n

n!

n

n

,

∞

X

n=1

(−1)

n+1

· (n −

√

n

2

− 1).

3. Oblicz iloczyn nieskończony

[9 pkt.]

∞

Y

n=4

1 +

1

n(n − 2)

!

.

4. Oblicz granicę

[10 pkt.]

lim

n→∞

n

X

k=1





1

n

·

3

s

2k − 1

n





.

5. Niech (b

n

) będzie ustalonym ciągiem liczb rzeczywistych takim, że lim

n→∞

b

n

= ∞.

Udowodnij, że istnieje szereg zbieżny

P

∞
n=1

a

n

o wyrazach nieujemnych taki, że szereg

P

∞
n=1

a

n

b

n

jest rozbieżny.

[10 pkt.]