1
1 Zbiór liczb zespolonych
Definicja 1.1
Rozważmy zbiór C = R × R. W zbiorze C określamy
dwa działania +, ·, które będziemy nazywali dodawaniem i mnożeniem:
1. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami
na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone
są działania +, ·, będziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C
zbiorem liczb zespolonych.
Definicja 1.2
Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.
Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną ¯
z = a − bi.
Twierdzenie 1.1
1. ¯
z = z
2. z
1
+ z
2
= z
1
+ z
2
3. z
1
− z
2
= z
1
− z
2
4. z
1
z
2
= z
1
· z
2
5.
z
1
z
2
=
z
1
z
2
(z
2
6= 0).
Definicja 1.3
Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który
oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbę rzeczywistą
√
a
2
+ b
2
Twierdzenie 1.2 Niech z
1
= |z
1
|(cos ϕ
1
+i sin ϕ
1
) oraz z
2
= |z
2
|(cos ϕ
2
+
i sin ϕ
2
). Wówczas
1. z
1
z
2
= |z
1
||z
2
|(cos(ϕ
1
+ ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
+ ϕ
2
)),
tzn. |z
1
z
2
| = |z
1
||z
2
| oraz arg(z
1
z
2
) = arg z
1
+ arg z
2
2.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
(cos(ϕ
1
− ϕ
2
) + i sin(ϕ
1
− ϕ
2
)),
tzn.
z
1
z
2
=
|z
1
|
|z
2
|
oraz arg
z
1
z
2
= arg z
1
− arg z
2
.
Definicja 1.4
(wzór de Moivre’a)
2
[|z|(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= |z|
n
(cos nϕ + i sin nϕ)
Twierdzenie 1.3
Dla dowolnych liczb zespolonych z
1
i z
2
zachodzi
nierówność
|z
1
+ z
2
| ≤ |z
1
| + |z
2
|
Definicja 1.5
Niech n ∈ N . Pierwiastkiem stopnia n liczby zespolo-
nej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że w
n
= z.
Twierdzenie 1.4
Każda liczba zespolona z = |z|(cos ϕ + i sin ϕ)
różna od zera ma dokładnie n pierwiastków stopnia n postaci:
n
p|z|(cos ϕ + i sin ϕ) =
n
p|z|(cos
ϕ + 2kπ
n
+ i sin
ϕ + 2kπ
n
),
gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1.
Twierdzenie 1.5
Jeżeli w
k
, gdzie k = 0, 1, . . . , n − 1, są pierwiast-
kami stopnia n z liczby z, to
w
k
= w
0
cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
3
2 Wielomiany
Definicja 2.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n ∈
N ∪ {0} nazywamy funkcję W : R −→ R
(W : C −→ C) określoną wzorem
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
gdzie a
k
∈ R (a
k
∈ C) dla 0 ≤ k ≤ n oraz a
n
6= 0. Liczby a
k
nazywamy
współczynnikami wielomianu W .
Definicja 2.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R
resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x ∈ R (x ∈ C) spełniony jest warunek
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q. Jeżeli
R(x) ≡ 0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomian
Q.
Definicja 2.3
Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x
0
nazywamy pier-
wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x
0
) =
0.
Twierdzenie 2.1
(Bézout) Liczba x
0
jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x − x
0
)P (x)
Definicja 2.4
Liczba x
0
jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x − x
0
)
k
P (x)
4
oraz P (x
0
) 6= 0
Twierdzenie 2.2
Niech
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba
całkowita p 6= 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-
nikiem wyrazu wolnego a
0
.
Twierdzenie 2.3
Niech
W (x) = a
n
x
n
+ a
n−1
x
n−1
+ . . . + a
1
x + a
0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz
niech liczba wymierna
p
q
, gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie
pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-
nikiem współczynnika a
0
a q jest dzielnikiem współczynnika a
n
tego
wielomianu.
Twierdzenie 2.4
Każdy wielomian stopnia n ∈ N ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
Twierdzenie 2.5
Niech W będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z
0
jest k-krotnym pierwiast-
kiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z
0
jest pierwiast-
kiem k-krotnym tego wielomianu.
5
3 Macierze i wyznaczniki
Definicja 3.1
Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m × n,
gdzie m, n ∈ N , nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb
rzeczywistych (zespolonych) ustawionych w m wierszach i n kolum-
nach. Będziemy pisali macierz w postaci
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
i oznaczali przez [a
ij
]
m×n
, gdzie a
ij
∈ R (a
ij
∈ C). Skalary a
ij
nazywa-
my wyrazami lub elementami danej macierzy.
Definicja 3.2
Główną przekątną macierzy [a
ij
]
m×n
nazywamy ciąg
elementów (a
11
, a
22
, . . . , a
ss
), gdzie s = min{m, n}.
Definicja 3.3
(rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m × n, której wszystkie elementy są równe 0,
nazywamy macierzą zerową wymiaru m × n i oznaczamy przez
O
m×n
lub O, gdy znamy jej wymiar.
O
m×n
=
0
0
. . .
0
0
0
. . .
0
... ... ... ...
0
0
. . .
0
2. Macierz kwadratowa stopnia n ≥ 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
dolnotrójkątną. Podobnie określa się macierz górnotrójkątną.
6
a
11
0
0
. . .
0
a
21
a
22
0
. . .
0
a
31
a
32
a
33
. . .
0
...
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
. . .
a
nn
a
11
a
12
a
13
. . .
a
1n
0
a
22
a
23
. . .
a
2n
0
0
a
33
. . .
a
3n
...
...
...
. . .
...
0
0
. . .
. . .
a
nn
3. Macierz kwadratowa stopnia n ≥ 2, będąca jednocześnie macie-
rzą dolnotrójkątną jak i górnotrójkątną, nazywana jest macierzą
diagonalną.
a
11
0
0
. . .
0
0
a
22
0
. . .
0
0
0
a
33
. . .
0
...
...
...
. . .
...
0
0
. . .
. . .
a
nn
4. Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej prze-
kątnej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez I
n
lub I, gdy znamy jej stopień.
I
n
=
1
0
. . .
0
0
1
. . .
0
... ... ... ...
0
0
. . .
1
3.1 Działania na macierzach
Definicja 3.4
Dodawaniem macierzy nazywamy działanie w zbiorze
M
m×n
(K) określone w następujący sposób:
7
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
+
b
11
b
12
. . .
b
1n
b
21
b
22
. . .
b
2n
...
...
. . .
...
b
m1
b
m2
. . .
b
mn
=
=
a
11
+ b
11
a
12
+ b
12
. . .
a
1n
+ b
1n
a
21
+ b
21
a
22
+ b
22
. . .
a
2n
+ b
2n
...
...
. . .
...
a
m1
+ b
m1
a
m2
+ b
m2
. . .
a
mn
+ b
mn
.
Tak więc [a
ij
]
m×n
+ [b
ij
]
m×n
= [a
ij
+ b
ij
]
m×n
.
Definicja 3.5
Mnożeniem macierzy przez skalar nazywamy odwzo-
rowanie dla λ ∈ K i [a
ij
]
m×n
∈ M
m×n
(K) określone w następujący
sposób:
λ [a
ij
]
m×n
= [λa
ij
]
m×n
Zatem
λ
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
=
λa
11
λa
12
. . .
λa
1n
λa
21
λa
22
. . .
λa
2n
...
...
. . .
...
λa
m1
λa
m2
. . .
λa
mn
Definicja 3.6 Niech będą dane dwie macierze: A = [a
ij
]
m×n
oraz B =
[b
ij
]
n×p
. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz AB określoną w
następujący sposób:
AB = [c
ij
]
m×p
,
gdzie
c
ij
=
n
X
s=1
a
is
b
sj
(i = 1, 2, . . . , m,
j = 1, 2, . . . , p)
Twierdzenie 3.1
Niech A = [a
ij
]
m×n
, B = [b
ij
]
n×p
, C = [c
ij
]
p×q
będą
macierzami o elementach ze zbioru K. Wówczas
(AB) C = A (BC) .
8
Twierdzenie 3.2
Niech λ ∈ K oraz A, B, C ∈ M
n
(K). Wówczas
1. A (B + C) = AB + AC oraz (B + C) A = BA + BC - mnożenie
macierzy jest rozdzielne względem ich dodawania
2. (λA) B = A (λB) = λ (AB).
Twierdzenie 3.3
Jeżeli A, I ∈ M
n
(K), to AI = IA = A.
Definicja 3.7 Niech A = [a
ij
]
m×n
∈ M
m×n
(K). Macierzą transpono-
waną do macierzy A nazywamy macierz B = [b
ij
]
n×m
, której elementy
są określone wzorem:
b
ij
= a
ji
,
gdzie
1 ≤ i ≤ n
oraz
1 ≤ j ≤ m.
Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez A
T
.
Twierdzenie 3.4
(własności transponowania macierzy) Niech λ ∈
K oraz A, B ∈ M
m×n
(K).
1. (A + B)
T
= A
T
+B
T
,
2.
A
T
T
= A,
3. (λA)
T
= λA
T
,
4. (AB)
T
= B
T
A
T
.
3.2 Definicja i własności wyznacznika
Definicja 3.8
Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję
det : M
n
(K) −→ K,
która każdej macierzy A = [a
ij
] przypisuje liczbę ze zbioru K. Funkcja
ta określona jest wzorem rekurencyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a
11
,
2. jeżeli macierz A ma stopień n ≥ 2, to
det A = (−1)
1+1
a
11
det A
∗
11
+(−1)
1+2
a
12
det A
∗
12
+. . .+(−1)
1+n
a
1n
det A
∗
1n
9
równoważnie: det A =
n
P
k=1
(−1)
1+k
a
1k
det A
∗
1k
, gdzie A
∗
ij
ozna-
cza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez skre-
ślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy też przez det [a
ij
] lub |A|, a w
formie rozwiniętej przez
det
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
lub
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
.
Twierdzenie 3.5 (reguły obliczania wyznaczników stopnia drugiego
i trzeciego)
1. det
a
b
c
d
= ad − bc,
2. det
a
b
c
d
e
f
g
h
i
= (aei + bf g + cdh) − (ceg + af h + bdi) (reguła
Sarrusa).
Uwaga: Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników nie przenosi się
na wyznaczniki wyższych stopni.
Twierdzenie 3.6
Wyznacznik macierzy dolnotrojkątnej lub górno-
trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej prze-
kątnej.
a
11
0
. . .
0
a
21
a
22
. . .
0
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
=
a
11
a
12
. . .
a
1n
0
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
0
0
. . .
a
nn
= a
11
· a
22
· . . . · a
nn
10
3.3 Rozwinięcie Laplace’a
Definicja 3.9
Niech będzie dana macierz A ∈ M
n
(K), gdzie n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym elementu a
ij
nazywamy liczbę określoną
następująco:
A
ij
= (−1)
i+j
det A
∗
ij
,
gdzie A
∗
ij
oznacza macierz stopnia n − 1 otrzymaną z macierzy A przez
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Twierdzenie 3.7 (rozwinięcie Laplace’a) Niech będzie dana macierz
A = [a
ij
] ∈ M
n
(K). Wówczas
det A = a
i1
A
i1
+ a
i2
A
i2
+ . . . + a
in
A
in
=
n
X
k=1
a
ik
A
ik
(i = 1, 2, . . . , n)
det A = a
1j
A
1j
+ a
2j
A
2j
+ . . . + a
nj
A
nj
=
n
X
k=1
a
kj
A
kj
(j = 1, 2, . . . , n) .
Twierdzenie 3.8
(własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz)
złożoną z samych zer jest równy 0.
a
11
a
12
. . .
0
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
0
. . .
a
2n
...
...
. . . ... ...
...
a
n1
a
n2
. . .
0
. . .
a
nn
= 0
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przesta-
wimy między sobą dwie kolumny (wiersze).
a
1i
a
1j
a
2i
a
2j
. . .
...
. . .
...
. . .
a
ni
a
nj
= −
a
1j
a
1i
a
2j
a
2i
. . .
...
. . .
...
. . .
a
nj
a
ni
11
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe ko-
lumny (wiersze) jest równy 0.
α
α
β
β
. . .
... . . . ... . . .
%
%
= 0
4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy
kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można
wyłączyć przed wyznacznik macierzy.
a
11
a
12
. . .
ca
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
ca
2j
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
ca
nj
. . .
a
nn
= c
a
11
a
12
. . .
a
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2j
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nj
. . .
a
nn
Ponadto
ca
11
ca
12
. . .
ca
1n
ca
21
ca
22
. . .
ca
2n
...
...
. . .
...
ca
n1
ca
n2
. . .
ca
nn
= c
n
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej ko-
lumny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wier-
sza) są zastąpione tymi składnikami.
12
a
11
a
12
. . .
a
1j
+ a
0
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2j
+ a
0
2j
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nj
+ a
0
nj
. . .
a
nn
=
=
a
11
a
12
. . .
a
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2j
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nj
. . .
a
nn
+
a
11
a
12
. . .
a
0
1j
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
0
2j
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
0
nj
. . .
a
nn
6. Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolum-
ny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny
(wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.
a
11
. . .
a
1i
. . .
a
1j
. . .
a
1n
a
21
. . .
a
2i
. . .
a
2j
. . .
a
2n
...
. . .
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
. . .
a
ni
. . .
a
nj
. . .
a
nn
=
a
11
. . .
a
1i
+ ca
1j
. . .
a
1j
. . .
a
1n
a
21
. . .
a
2i
+ ca
2j
. . .
a
2j
. . .
a
2n
...
. . .
...
. . .
...
. . .
...
a
n1
. . .
a
ni
+ ca
nj
. . .
a
nj
. . .
a
nn
7. Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n1
a
n2
. . .
a
nn
=
a
11
a
21
. . .
a
n
a
12
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
n
a
2n
. . .
a
n
2
Twierdzenie 3.9
(Cauchy) Niech A, B ∈ M
n
(K). Wówczas
det AB = det A· det B.
3.4 Macierz odwrotna
Definicja 3.10
Niech będzie dana macierz A ∈ M
n
(K). Macie-
rzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A
−1
,
spełniającą warunek:
13
AA
−1
= A
−1
A = I
Definicja 3.11
Macierz A ∈ M
n
(K) nazywamy osobliwą, jeżeli
det A = 0.
W przeciwnym wypadku macierz A nazywamy nieosobliwą.
Twierdzenie 3.10
Macierz A ∈ M
n
(K) jest odwracalna wtedy i
tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Wniosek 3.1
Niech będzie dana macierz nieosobliwa A ∈ M
n
(K).
Wówczas
A
−1
=
1
det A
A
11
A
12
. . .
A
1n
A
21
A
22
. . .
A
2n
...
...
. . .
...
A
n1
A
n2
. . .
A
nn
T
Twierdzenie 3.11
(własności macierzy odwrotnych) Niech A, B ∈
M
n
(K) będą macierzami odwracalnymi oraz α ∈ K \ {0}. Wtedy ma-
cierze A
−1
, A
T
, AB, αA także są odwracalne i prawdziwe są równości:
1. det(A
−1
) = (det A)
−1
2. (A
−1
)
−1
= A
3.
A
T
−1
= (A
−1
)
T
4. (AB)
−1
= B
−1
A
−1
5. (αA)
−1
=
1
α
A
−1
14
4 Układy równań liniowych
Definicja 4.1
Układem równań liniowych nazywamy układ
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= b
1
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= b
2
.................................................
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= b
m
gdzie a
ij
, b
i
∈ R lub a
ij
, b
i
∈ C, (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n). Skala-
ry a
ij
nazywamy współczynnikami przy niewiadomych, a b
i
- wyrazami
wolnymi.
Definicja 4.2
Ciąg skalarów (c
1
, c
2
, . . . , c
n
), gdzie c
i
∈ R lub c
i
∈
C, (i = 1, 2, . . . , n), nazywamy rozwiązaniem układu równań, jeżeli
zachodzą równości:
a
11
c
1
+ a
12
c
2
+ . . . + a
1n
c
n
= b
1
a
21
c
1
+ a
22
c
2
+ . . . + a
2n
c
n
= b
2
.................................................
a
m1
c
1
+ a
m2
c
2
+ . . . + a
mn
c
n
= b
m
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamy układem sprzecz-
nym.
Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzo-
wej:
AX = B,
gdzie
A =
a
11
a
12
. . .
a
1n
a
21
a
22
. . .
a
2n
...
...
. . .
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
,
X =
x
1
x
2
...
x
m
,
B =
b
1
b
2
...
b
m
15
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań, macierz X ma-
cierzą (kolumną) niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów wol-
nych.
Definicja 4.3
Macierz
[A|B] =
a
11
a
12
. . .
a
1n
b
1
a
21
a
22
. . .
a
2n
b
2
...
...
. . .
...
...
a
m1
a
m2
. . .
a
mn
b
m
nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) układu AX = B.
Definicja 4.4
Układ równań liniowych
a
11
x
1
+ a
12
x
2
+ . . . + a
1n
x
n
= 0
a
21
x
1
+ a
22
x
2
+ . . . + a
2n
x
n
= 0
.................................................
a
m1
x
1
+ a
m2
x
2
+ . . . + a
mn
x
n
= 0
nazywamy układem jednorodnym.
Definicja 4.5
Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważ-
nymi, jeżeli maja ten sam zbiór rozwiązań.
4.1 Układy Cramera
Definicja 4.6 Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
AX = B, w którym macierz A jest nieosobliwa, czyli jest macierzą kwa-
dratową, gdzie det A 6= 0.
Twierdzenie 4.1
Układ Cramera AX = B z n równaniami ma do-
kładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:
x
j
=
W
x
j
W
,
(j = 1, 2, . . . , n)
16
gdzie W = det A oraz W
x
j
jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z
macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów
wolnych B.
17
5 Funkcje liczbowe
Definicja 5.1
Niech zbiory X, Y ⊂ R będą niepuste. Funkcją okre-
śloną na zbiorze X o wartościach w zbiorze Y nazywamy przyporząd-
kowanie każdemu elementowi x ∈ X dokładnie jednego elementu y ∈ Y
i oznaczamy przez
f : X −→ Y
Wartość funkcji f w punkcie x oznaczamy przez f (x).
Definicja 5.2
Niech f : X −→ Y . Zbiór X nazywamy dziedziną
funkcji f i oznaczamy symbolem D
f
. Zbiór Y nazywamy przeciwdzie-
dziną funkcji f a zbiór
y ∈ Y : ∃
x∈D
f
y = f (x)
nazywamy zbiorem jej wartości.
Definicja 5.3
Funkcje f : D
f
−→ Y oraz g : D
f
−→ Y są równe,
jeżeli
D
f
= D
g
∧
∀
x∈D
f
f (x) = g(x)
Definicja 5.4
Wykresem funkcji f : X −→ Y nazywamy zbiór
(x, y) ∈ R
2
: x ∈ X, y = f (x)
Definicja 5.5
Funkcja f odwzorowuje zbiór X na zbiór Y , jeżeli
∀
y∈Y
∃
x∈X
f (x) = y.
Piszemy wtedy f : X
na
−→ Y .
Definicja 5.6
Funkcję f : X −→ Y nazywamy okresową, jeżeli
∃
T >0
∀
x∈X
x + T ∈ X
∧
f (x + T ) = f (x)
18
Liczbę T nazywamy okresem funkcji f . Jeżeli istnieje najmniejszy okres
funkcji f , to nazywamy go okresem podstawowym.
Definicja 5.7
Funkcję f : X −→ Y nazywamy parzystą, jeżeli
∀
x∈X
− x ∈ X
∧
f (−x) = f (x)
Definicja 5.8
Funkcję f : X −→ Y nazywamy nieparzystą, jeżeli
∀
x∈X
− x ∈ X
∧
f (−x) = −f (x)
Definicja 5.9
Funkcja f jest ograniczona z dołu na zbiorze A ⊂ D
f
,
jeżeli
∃
m∈R
∀
x∈A
f (x) ≥ m.
Definicja 5.10 Funkcja f jest ograniczona z góry na zbiorze A ⊂ D
f
,
jeżeli
∃
M ∈R
∀
x∈A
f (x) ≤ M.
Definicja 5.11 Funkcja f jest ograniczona na zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∃
m,M ∈R
∀
x∈A
m ≤ f (x) ≤ M.
Definicja 5.12
Funkcja f jest rosnąca na zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∀
x
1
,x
2
∈A
[x
1
< x
2
=⇒ f (x
1
) < f (x
2
)] .
Definicja 5.13
Funkcja f jest malejąca na zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∀
x
1
,x
2
∈A
[x
1
< x
2
=⇒ f (x
1
) > f (x
2
)] .
Definicja 5.14
Funkcja f jest niemalejąca na zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∀
x
1
,x
2
∈A
[x
1
< x
2
=⇒ f (x
1
) ≤ f (x
2
)] .
19
Definicja 5.15
Funkcja f jest nierosnąca na zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∀
x
1
,x
2
∈A
[x
1
< x
2
=⇒ f (x
1
) ≥ f (x
2
)] .
Definicja 5.16
Niech f : X −→ Y oraz g : Z −→ W , gdzie Y ⊂ Z.
Złożeniem funkcji g i f nazywamy funkcję g ◦ f : X −→ W określoną
wzorem:
(g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Definicja 5.17 Funkcja f jest różnowartościowa na zbiorze A ⊂ D
f
,
jeżeli
∀
x
1
,x
2
∈A
[x
1
6= x
2
=⇒ f (x
1
) 6= f (x
2
)] .
Definicja 5.18
Niech funkcja f : X
na
−→ Y będzie różnowartościo-
wa. Funkcje odwrotną do funkcji f nazywamy funkcję f
−1
: Y −→ X
spełniającą warunek:
f
−1
(y) = x ⇐⇒ y = f (x)
gdzie x ∈ X, y ∈ Y .
Twierdzenie 5.1 Niech funkcja f : X
na
−→ Y będzie różnowartościo-
wa. Wtedy
∀
x∈X
f
−1
(f (x)) = x
oraz
∀
y∈Y
f (f
−1
(y)) = y
Definicja 5.19
1. Funkcję odwrotną do funkcji sinus obciętej do przedziału
−
π
2
,
π
2
nazywamy arcus sinus i oznaczamy przez arcsin.
2. Funkcję odwrotną do funkcji cosinus obciętej do przedziału h0, πi
nazywamy arcus cosinus i oznaczamy przez arccos.
3. Funkcję odwrotną do funkcji tangens obciętej do przedziału
−
π
2
,
π
2
nazywamy arcus tangens i oznaczamy przez arctg.
4. Funkcję odwrotną do funkcji cotangens obciętej do przedziałuu
h0, πi nazywamy arcus cotangens i oznaczamy przez arcctg.
20
6 Ciągi liczbowe
Definicja 6.1
Ciągiem nazywamy funkcję f : N −→ R. Wartość tej
funkcji dla liczby naturalnej n ∈ N będziemy nazywać n-tym wyrazem
ciągu i oznaczać przez a
n
, tzn. f (n) = a
n
. Sam ciąg oznaczać będziemy
symbolem (a
n
).
Definicja 6.2
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z dołu, jeżeli
∃
m∈R
∀
n∈N
a
n
≥ m.
Definicja 6.3
Ciąg (a
n
) jest ograniczony z góry, jeżeli
∃
M ∈R
∀
n∈N
a
n
≤ M.
Definicja 6.4
Ciąg (a
n
) jest ograniczony, jeżeli
∃
m,M ∈R
∀
n∈N
m ≤ a
n
≤ M.
Definicja 6.5
Ciąg (a
n
) jest rosnący, jeżeli
∀
n∈N
a
n
< a
n+1
.
Definicja 6.6
Ciąg (a
n
) jest malejący, jeżeli
∀
n∈N
a
n
> a
n+1
.
Definicja 6.7
Ciąg (a
n
) jest niemalejący, jeżeli
∀
n∈N
a
n
≤ a
n+1
.
Definicja 6.8
Ciąg (a
n
) jest nierosnący, jeżeli
∀
n∈N
a
n
≥ a
n+1
.
21
6.1 Granica właściwa ciągu
Definicja 6.9
Ciąg (a
n
) jest zbieżny do granicy właściwej a ∈ R, co
zapisujemy
a
n
→ a
lub
lim
n→∞
a
n
= a,
jeżeli
∀
>0
∃
n
0
∈N
∀
n>n
0
|a
n
− a| <
Twierdzenie 6.1
Jeżeli ciągi (a
n
), (b
n
) są zbieżne do granicy wła-
ściwej, to
1. lim
n→∞
(a
n
+ b
n
) = lim
n→∞
a
n
+ lim
n→∞
b
n
2. lim
n→∞
(a
n
− b
n
) = lim
n→∞
a
n
− lim
n→∞
b
n
3. lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = lim
n→∞
a
n
· lim
n→∞
b
n
4. lim
n→∞
(
a
n
b
n
) =
lim
n→∞
a
n
lim
n→∞
b
n
, o ile lim
n→∞
b
n
6= 0
5. lim
n→∞
(ca
n
) = c lim
n→∞
a
n
Twierdzenie 6.2
Jeżeli ciąg jest zbieżny, to ma dokładnie jedną
granicę.
Twierdzenie 6.3
Jeżeli ciąg jest zbieżny do granicy właściwej, to
jest ograniczony.
Twierdzenie 6.4
lim
n→∞
a
n
= 0 ⇐⇒ lim
n→∞
|a
n
| = 0.
Twierdzenie 6.5
lim
n→∞
a
n
= a =⇒ lim
n→∞
|a
n
| = |a|.
Twierdzenie 6.6
Jeżeli lim
n→∞
a
n
= 0 oraz ciąg (b
n
) jest ograniczo-
ny, to lim
n→∞
(a
n
· b
n
) = 0.
Twierdzenie 6.7
(o trzech ciągach) Jeżeli ciągi (a
n
), (b
n
), (c
n
) speł-
niają warunki:
1. ∃
n
0
∈N
∀
n≥n
0
a
n
≤ b
n
≤ c
n
2. lim
n→∞
a
n
= lim
n→∞
c
n
= b,
to lim
n→∞
b
n
= b.
22
Twierdzenie 6.8 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest
zbieżny.
6.2 Granica niewłaściwa ciągu
Twierdzenie 6.9
Jeżeli ciągi (a
n
), (b
n
) spełniają warunki:
1. ∃
n
0
∈N
∀
n≥n
0
a
n
≤ b
n
2. lim
n→∞
a
n
= ∞ (odpowiednio lim
n→∞
b
n
= −∞)
to lim
n→∞
b
n
= ∞ (odp. lim
n→∞
a
n
= −∞)
Definicja 6.10
Wyrażenia
[∞ − ∞] , [0 · ∞] ,
h
∞
∞
i
,
0
0
, [1
∞
] ,
0
0
, ∞
0
nazywamy wyrażeniami nieoznaczonymi. Ich wartości zależą od postaci
ciągów je tworzących.
6.3 Granice pewnych ciągów
Twierdzenie 6.10
Ciąg e
n
= 1 +
1
n
n
jest rosnący i ograniczony.
Twierdzenie 6.11 lim
n→∞
1 +
1
n
n
= e, gdzie e ≈ 2, 718281828459045
Twierdzenie 6.12
lim
n→∞
a
n
= 0
dla a ∈ (−1, 1)
= 1
dla a = 1
= ∞
dla a ∈ (1, ∞)
nie istnieje
dla a ∈ (−∞, −1i
23
7 Granice funkcji
7.1 Podstawowe definicje
Definicja 7.1
1. Sąsiedztwem lewostronnym punktu x
0
∈ R nazywamy przedział
S
−
(x
0
) = (x
0
− δ, x
0
) dla dowolnego δ > 0.
2. Sąsiedztwem prawostronnym punktu x
0
∈ R nazywamy prze-
dział S
+
(x
0
) = (x
0
, x
0
+ δ) dla dowolnego δ > 0.
3. Sąsiedztwem punktu x
0
∈ R nazywamy przedział S(x
0
) = (x
0
−
δ, x
0
) ∪ (x
0
, x
0
+ δ) dla dowolnego δ > 0.
Definicja 7.2
1. Sąsiedztwem ∞ nazywamy przedział S(∞) = (a, ∞) dla dowol-
nego a ∈ R.
2. Sąsiedztwem −∞ nazywamy przedział S(−∞) = (−∞, a) dla
dowolnego a ∈ R.
Definicja 7.3
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x
0
). Liczba g jest granicą właściwą funkcji
f w punkcie x
0
, co zapisujemy
lim
x→x
0
f (x) = g, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(x
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
Definicja 7.4 Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego sąsiedztwa lewostronnego S
−
(x
0
). Liczba g jest granicą wła-
ściwą lewostronną funkcji f w punkcie x
0
, co zapisujemy lim
x→x
−
0
f (x) =
g, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S
−
(x
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
24
Definicja 7.5
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określo-
na dla pewnego sąsiedztwa prawostronnego S
+
(x
0
). Liczba g jest gra-
nicą właściwą prawostronną funkcji f w punkcie x
0
, co zapisujemy
lim
x→x
+
0
f (x) = g, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S
+
(x
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
Definicja 7.6
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x
0
). Funkcja f ma granicę niewłaściwą ∞
w punkcie x
0
, co zapisujemy lim
x→x
0
f (x) = ∞, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(x
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞
Definicja 7.7
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego sąsiedztwa S(x
0
). Funkcja f ma granicę niewłaściwą −∞
w punkcie x
0
, co zapisujemy lim
x→x
0
f (x) = −∞, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(x
0
)
lim
n→∞
x
n
= x
0
=⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = −∞
Twierdzenie 7.1
Funkcja f ma w punkcie x
0
granicę właściwą
(niewłaściwą) wtedy i tylko wtedy, gdy lim
x→x
−
0
f (x) = lim
x→x
+
0
f (x).
Wspólna wartość granic jednostronnych jest wtedy granicą funkcji f .
Twierdzenie 7.2
Jeżeli
1. lim
n→∞
x
0
n
= x
0
, gdzie x
0
n
6= x
0
dla każdego n ∈ R, oraz lim
n→∞
f (x
0
n
) =
g
0
2. lim
n→∞
x
00
n
= x
0
, gdzie x
00
n
6= x
0
dla każdego n ∈ R, oraz lim
n→∞
f (x
00
n
) =
g
00
3. g
0
6= g
00
,
to granica lim
x→x
0
f (x) nie istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
25
Definicja 7.8 Niech funkcja f będzie określona dla pewnego sąsiedz-
twa S(∞). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w ∞, co zapisujemy
lim
x→∞
f (x) = g, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(∞)
lim
n→∞
x
n
= ∞ =⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
Definicja 7.9
Niech funkcja f będzie określona dla pewnego są-
siedztwa S(−∞). Liczba g jest granicą właściwą funkcji f w −∞, co
zapisujemy lim
x→−∞
f (x) = g, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(−∞)
lim
n→∞
x
n
= −∞ =⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = g
Definicja 7.10
Niech funkcja f będzie określona dla pewnego są-
siedztwa S(∞). Funkcja f ma w ∞ granicę niewłaściwą ∞, co zapisu-
jemy lim
x→∞
f (x) = ∞, jeżeli
∀
(x
n
)⊂S(∞)
lim
n→∞
x
n
= ∞ =⇒ lim
n→∞
f (x
n
) = ∞
Twierdzenie 7.3
Jeżeli
1. lim
n→∞
x
0
n
= ∞ oraz lim
n→∞
f (x
0
n
) = g
0
2. lim
n→∞
x
00
n
= ∞ oraz lim
n→∞
f (x
00
n
) = g
00
3. g
0
6= g
00
,
to granica lim
x→∞
f (x) nie istnieje (właściwa lub niewłaściwa).
7.2 Twierdzenia o granicach funkcji
Twierdzenie 7.4 Jeżeli funkcje f i g mają granice właściwe w punk-
cie x
0
, to
1. lim
x→x
0
(f (x) + g(x)) = lim
x→x
0
f (x) + lim
x→x
0
g(x)
2. lim
x→x
0
(f (x) − g(x)) = lim
x→x
0
f (x) − lim
x→x
0
g(x)
3. lim
x→x
0
(cf (x)) = c lim
x→x
0
f (x), gdzie c ∈ R
4. lim
x→x
0
(f (x) · g(x)) = lim
x→x
0
f (x) · lim
x→x
0
g(x)
26
5. lim
x→x
0
f (x)
g(x)
=
lim
x→x0
f (x)
lim
x→x0
g(x)
, o ile lim
x→x
0
g(x) 6= 0
6. lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= (lim
x→x
0
f (x))
lim
x→x0
g(x)
Twierdzenie 7.5
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1. lim
x→x
0
f (x) = y
0
2. f (x) 6= y
0
dla każdego x ∈ S(x
0
)
3. lim
y→y
0
g(y) = q
to lim
x→x
0
g(f (x)) = q.
Twierdzenie 7.6
lim
x→0
sin x
x
= 1
Twierdzenie 7.7
lim
x→0
a
x
−1
x
= ln a, a > 0
Twierdzenie 7.8
Jeżeli istnieje funkcja odwrotna do funkcji g w
pewnym otoczeniu S(x
0
), to
lim
x→x
0
f (x) = lim
t→g(x
0
)
f (g
−1
(t))
7.3 Asymptoty funkcji
Definicja 7.11
Prosta x = a jest asymptotą pionową lewostronną
funkcji f , jeżeli
lim
x→a
−
f (x) = −∞
albo
lim
x→a
−
f (x) = ∞
Definicja 7.12
Prosta x = a jest asymptotą pionową prawostronną
funkcji f , jeżeli
lim
x→a
+
f (x) = −∞
albo
lim
x→a
+
f (x) = ∞
Definicja 7.13
Prosta jest asymptotą pionową obustronną funkcji,
jeżeli jest asymptotą pionową prawostronną i lewostronną.
27
Definicja 7.14
Prosta y = b jest asymptotą poziomą lewostronną
funkcji f , jeżeli
lim
x→−∞
f (x) = b
Definicja 7.15
Prosta y = b jest asymptotą poziomą prawostronną
funkcji f , jeżeli
lim
x→∞
f (x) = b
Definicja 7.16 Prosta y = ax+b jest asymptotą ukośną lewostronną
funkcji f , jeżeli
lim
x→−∞
[f (x) − (ax + b)] = 0
Definicja 7.17
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną prawo-
stronną funkcji f , jeżeli
lim
x→∞
[f (x) − (ax + b)] = 0
Twierdzenie 7.9
Prosta y = ax + b jest asymptotą ukośną prawo-
stronną (lewostronną) funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy
a = lim
x→∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→∞
[f (x) − ax]
a = lim
x→−∞
f (x)
x
oraz
b = lim
x→−∞
[f (x) − ax]
28
8 Ciągłość funkcji
8.1 Podstawowe definicje
Definicja 8.1
1. Otoczeniem lewostronnym punktu x
0
∈ R nazywamy przedział
O
−
(x
0
) = (x
0
− δ, x
0
] dla dowolnego δ > 0.
2. Otoczeniem prawostronnym punktu x
0
∈ R nazywamy prze-
dział O
+
(x
0
) = [x
0
, x
0
+ δ) dla dowolnego δ > 0.
3. Otoczeniem punktu x
0
∈ R nazywamy przedział O(x
0
) = (x
0
−
δ, x
0
+ δ) dla dowolnego δ > 0.
Definicja 8.2
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
, jeżeli
lim
x→x
0
f (x) = f (x
0
)
Definicja 8.3 Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia lewostronnego O
−
(x
0
). Funkcja f jest lewostronnie
ciągła w punkcie x
0
, jeżeli
lim
x→x
−
0
f (x) = f (x
0
)
Definicja 8.4
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia prawostronnego O
+
(x
0
). Funkcja f jest prawo-
stronnie ciągła w punkcie x
0
, jeżeli
lim
x→x
+
0
f (x) = f (x
0
)
Definicja 8.5
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
wtedy
i tylko wtedy, gdy jest lewostronnie i prawostronnie ciągła w x
0
.
29
Definicja 8.6
Funkcja jest ciągła na zbiorze, jeżeli jest ciągła w
każdym punkcie tego zbioru.
Definicja 8.7
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Funkcja f ma w punkcie x
0
nieciągłość
I rodzaju, jeżeli istnieją granice skończone lim
x→x
−
0
f (x), lim
x→x
+
0
f (x)
oraz
lim
x→x
−
0
f (x) 6= f (x
0
)
lub
lim
x→x
+
0
f (x) 6= f (x
0
)
Definicja 8.8
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Funkcja f ma w punkcie x
0
nieciągłość
II rodzaju, jeżeli co najmniej jedna z granic lim
x→x
−
0
f (x), lim
x→x
+
0
f (x)
nie istnieje lub jest niewłaściwa.
8.2 Działania na funkcjach ciągłych
Twierdzenie 8.1
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x
0
, to
ciągłe są w punkcie x
0
także funkcje: f + g, f − g, f · g oraz funkcja
f
g
,
o ile g(x
0
) 6= 0.
Twierdzenie 8.2
Jeżeli
1. funkcja f jest ciągła w punkcie x
0
2. funkcja g jest ciągła w punkcie y
0
= f (x
0
)
to funkcja złożona g ◦ f jest ciągła w punkcie x
0
.
Twierdzenie 8.3
Funkcje elementarne są ciągłe w swoich dziedzi-
nach.
30
9 Rachunek różniczkowy funkcji jed-
nej zmiennej
9.1 Podstawowe definicje
Definicja 9.1 Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia O(x
0
). Ilorazem różnicowym funkcji f w punkcie x
0
odpowiadającym przyrostowi ∆x zmiennej niezależnej, gdzie ∆x 6= 0
oraz x
0
+ ∆x ∈ O(x
0
), nazywamy liczbę
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
Definicja 9.2
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Pochodną właściwą funkcji f w punkcie
x
0
nazywamy granicę właściwą
f
0
(x
0
) = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
Definicja 9.3
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego lewostronnego otoczenia O
−
(x
0
). Pochodną lewostronną
właściwą funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granicę właściwą
f
0
−
(x
0
) = lim
∆x→0
−
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
Definicja 9.4 Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego prawostronnego otoczenia O
+
(x
0
). Pochodną prawostronną
właściwą funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granicę właściwą
f
0
+
(x
0
) = lim
∆x→0
+
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
31
Twierdzenie 9.1
Funkcja ma pochodna w punkcie x
0
wtedy i tylko
wtedy, gdy
f
0
−
(x
0
) = f
0
+
(x
0
)
Twierdzenie 9.2
Jeżeli funkcja ma pochodną właściwą w punkcie,
to jest w tym punkcie ciągła.
Definicja 9.5
Funkcja ma pochodną właściwą na zbiorze, jeżeli ma
pochodna w każdym punkcie tego zbioru.
Definicja 9.6
Niech f będzie ciągła w punkcie x
0
. Funkcja ma po-
chodną niewłaściwą w punkcie x
0
, jeżeli
lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
= ±∞
9.2 Twierdzenia o pochodnej funkcji
Twierdzenie 9.3
Jeżeli funkcje f i g mają pochodne właściwe w
punkcie x
0
, to
1. [f + g]
0
(x
0
) = f
0
(x
0
) + g
0
(x
0
)
2. [cf ]
0
(x
0
) = cf
0
(x
0
), gdzie c ∈ R
3. [f · g]
0
(x
0
) = f
0
(x
0
)g(x
0
) + f (x
0
)g
0
(x
0
)
4.
h
f
g
i
0
(x
0
) =
f
0
(x
0
)g(x
0
)−f (x
0
)g
0
(x
0
)
[g(x
0
)]
2
, o ile g(x
0
) 6= 0
Twierdzenie 9.4
Jeżeli
1. funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie x
0
2. funkcja g ma pochodną właściwą w punkcie f (x
0
)
to
(g ◦ f )
0
(x
0
) = g
0
(f (x
0
)) · f
0
(x
0
)
Twierdzenie 9.5
Jeżeli funkcja f ma następujące własności:
32
1. jest ciągła w otoczeniu O(x
0
)
2. jest malejąca lub rosnąca na otoczeniu O(x
0
)
3. ma pochodną właściwą f
0
(x
0
)
to
(f
−1
)
0
(y
0
) =
1
f
0
(x
0
)
,
gdzie
y
0
= f (x
0
)
9.3 Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Definicja 9.7 Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona dla
pewnego otoczenia O(x
0
). Prosta jest styczna do wykresu funkcji f w
punkcie (x
0
, f (x
0
)), jeżeli jest granicznym położeniem siecznych funkcji
f przechodzących przez punkty (x
0
, f (x
0
)), (x, f (x)), gdy x −→ x
0
.
Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji
Jeżeli α oznacza kąt między styczną do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)) i dodatnią półosią Ox, to
f
0
(x
0
) = tgα
Jeżeli α
+
oraz α
−
oznaczają odpowiednio kąty między prawą i lewą
stycznej do wykresu funkcji f w punkcie (x
0
, f (x
0
)) a dodatnią półosią
Ox, to
f
0
+
(x
0
) = tgα
+
oraz
f
0
−
(x
0
) = tgα
−
Twierdzenie 9.6 Równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
)) ma postać:
y = f (x
0
) + f
0
(x
0
)(x − x
0
)
33
9.4 Różniczka funkcji
Definicja 9.8
Niech funkcja f ma pochodna właściwą w punkcie
x
0
. Różniczką funkcji f w punkcie x
0
nazywamy funkcję df zmiennej
∆x = x − x
0
określoną wzorem
df (∆x) = f
0
(x
0
)∆x
Twierdzenie 9.7 Jeżeli funkcja f ma pochodną właściwą w punkcie
x
0
, to
f (x
0
+ ∆x) ≈ f (x
0
) + f
0
(x
0
)∆x
Błąd jaki popełniamy zastępując przyrost funkcji ∆f = f (x
0
+ ∆x) −
f (x
0
) jej różniczką df = f
0
(x
0
)∆x, dąży szybciej do zera niż przyrost
zmiennej niezależnej ∆x, tzn.
lim
∆x→0
∆f − df
∆x
= 0
9.5 Pochodne wyższych rzędów
Definicja 9.9
Pochodną właściwą n-tego rzędu funkcji f w punkcie
x
0
definiujemy rekurencyjnie:
1. f
(1)
(x
0
) = f
0
(x
0
)
2. f
(n)
(x
0
) =
f
(n−1)
0
(x
0
) dla n ≥ 2
Dodatkowo przyjmujemy, że f
(0)
(x
0
) = f (x
0
).
Twierdzenie 9.8
(Leibniza) Jeżeli funkcje f i g mają pochodne
właściwe n-tego rzędu w punkcie x
0
, to
(f · g)
(n)
(x
0
) =
n
X
k=0
n
k
f
(n−k)
(x
0
) · g
(k)
(x
0
)
34
9.6 Twierdzenia o wartości średniej
Twierdzenie 9.9
(Rolle’a) Jeżeli funkcja f :
1. jest ciągła na [a, b]
2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
3. f (a) = f (b)
to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f
0
(c) = 0
Twierdzenie 9.10
(Lagrange’a) Jeżeli funkcja f
1. jest ciągła na [a, b]
2. ma pochodną właściwą lub niewłaściwą na (a, b)
to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f
0
(c) =
f (b) − f (a)
b − a
Wnioski z tw. Lagrange’a
Wniosek 9.1
Jeżeli funkcja f spełnia warunek
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) = 0,
to jest stała na przedziale (a, b).
Wniosek 9.2
Jeżeli funkcja f spełnia warunek
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) > 0,
to jest rosnąca na przedziale (a, b).
Wniosek 9.3
Jeżeli funkcja f spełnia warunek
∀
x∈(a,b)
f
0
(x) < 0,
to jest malejąca na przedziale (a, b).
35
9.7 Reguła de L’Hospitala
Twierdzenie 9.11
Jeżeli funkcje f i g spełniają warunki:
1. lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) = 0 lub lim
x→x
0
f (x) = lim
x→x
0
g(x) =
∞
2. istnieje granica lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
,
to
lim
x→x
0
f (x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
9.8 Rozwinięcie Taylora funkcji
Twierdzenie 9.12 (wzór Taylora z resztą Lagrange’a) Niech x
0
∈ R
oraz niech funkcja f będzie określona dla pewnego otoczenia O(x
0
).
Jeżeli funkcja f ma w otoczeniu O(x
0
) n-tą pochodną, to dla każdego
x ∈ O(x
0
) istnieje punkt c taki, że zachodzi równość
f (x) = f (x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) +
f
00
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ . . . +
+
f
(n−1)
(x
0
)
(n − 1)!
(x − x
0
)
n−1
+
f
n
(c)
n!
(x − x
0
)
n
,
gdzie c = x
0
+ θ(x − x
0
), 0 < θ < 1.
9.9 Ekstrema funkcji
Definicja 9.10
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R minimum lokalne,
jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x
0
) takie, że
∀
x∈S(x
0
)
f (x) ≥ f (x
0
)
Definicja 9.11
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R maksimum lokalne,
jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x
0
) takie, że
∀
x∈S(x
0
)
f (x) ≤ f (x
0
)
36
Definicja 9.12
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R minimum lokalne
właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x
0
) takie, że
∀
x∈S(x
0
)
f (x) > f (x
0
)
Definicja 9.13
Funkcja f ma w punkcie x
0
∈ R maksimum lokalne
właściwe, jeżeli istnieje sąsiedztwo S(x
0
) takie, że
∀
x∈S(x
0
)
f (x) < f (x
0
)
Definicja 9.14
Liczba m ∈ R jest najmniejszą wartością funkcji na
zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∃
x
0
∈A
f (x
0
) = m
oraz
∀
x∈A
f (x) ≥ m
Definicja 9.15
Liczba M ∈ R jest największą wartością funkcji na
zbiorze A ⊂ D
f
, jeżeli
∃
x
0
∈A
f (x
0
) = M
oraz
∀
x∈A
f (x) ≤ M
Twierdzenie 9.13
(Fermata) Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. ma ekstremum lokalne w x
0
2. istnieje f
0
(x
0
)
to
f
0
(x
0
) = 0
Twierdzenie 9.14
Funkcja może mieć ekstrema lokalne tylko w
punktach, w których jej pochodna równa się zero albo w punktach, w
których jej pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 9.15
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = 0
2. istnieje sąsiedztwo lewostronne S
−
(x
0
) i prawostronne S
+
(x
0
)
takie, że
37
∀
x∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) > 0
oraz
∀
x∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) < 0
to w punkcie x
0
ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.16
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = 0
2. istnieje sąsiedztwo lewostronne S
−
(x
0
) i prawostronne S
+
(x
0
)
takie, że
∀
x∈S
−
(x
0
)
f
0
(x) < 0
oraz
∀
x∈S
+
(x
0
)
f
0
(x) > 0
to w punkcie x
0
ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.17
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0
2. f
(n)
(x
0
) < 0
3. n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 2
to w punkcie x
0
ma maksimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.18
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0
2. f
(n)
(x
0
) > 0
3. n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 2
to w punkcie x
0
ma minimum lokalne właściwe.
Twierdzenie 9.19
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
0
(x
0
) = f
00
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0
2. f
(n)
(x
0
) 6= 0
3. n jest liczbą nieparzystą, gdzie n ≥ 3
to w punkcie x
0
nie ma ekstremum lokalnego.
9.10 Punkty przegięcia funkcji
Definicja 9.16
Funkcja f jest wklęsła na przedziale (a, b), jeżeli dla
dowolnych x
1
, x, x
2
spełniających nierówność a < x
1
< x < x
2
< b
38
zachodzi
f (x) ≥ f (x
1
) +
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
(x − x
1
)
Definicja 9.17
Funkcja f jest wypukła na przedziale (a, b), jeżeli
dla dowolnych x
1
, x, x
2
spełniających nierówność a < x
1
< x < x
2
< b
zachodzi
f (x) ≤ f (x
1
) +
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
(x − x
1
)
Definicja 9.18
Funkcja f jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b),
jeżeli dla dowolnych x
1
, x, x
2
spełniających nierówność a < x
1
< x <
x
2
< b zachodzi
f (x) > f (x
1
) +
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
(x − x
1
)
Definicja 9.19
Funkcja f jest ściśle wypukła na przedziale (a, b),
jeżeli dla dowolnych x
1
, x, x
2
spełniających nierówność a < x
1
< x <
x
2
< b zachodzi
f (x) < f (x
1
) +
f (x
2
) − f (x
1
)
x
2
− x
1
(x − x
1
)
Twierdzenie 9.20
Jeżeli funkcja f spełnia warunek
∀
x∈(a,b)
f
00
(x) > 0,
to jest ściśle wypukła na przedziale (a, b).
Twierdzenie 9.21
Jeżeli funkcja f spełnia warunek
∀
x∈(a,b)
f
00
(x) < 0,
to jest ściśle wklęsła na przedziale (a, b).
Definicja 9.20
Niech x
0
∈ R oraz niech funkcja f będzie określona
dla pewnego otoczenia O(x
0
). Niech funkcja f ma pochodną na O(x
0
).
39
Punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia funkcji f , jeżeli istnieje są-
siedztwo lewostronne S
−
(x
0
) i prawostronne S
+
(x
0
) takie, że f jest
ściśle wypukła na S
−
(x
0
) oraz ściśle wklęsła na S
+
(x
0
) albo odwrotnie.
Twierdzenie 9.22
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia
2. istnieje f
00
(x
0
)
to
f
00
(x
0
) = 0
Twierdzenie 9.23
Funkcja może mieć punkty przegięcia tylko w
punktach, w których jej druga pochodna równa się zero albo w punk-
tach, w których ta pochodna nie istnieje.
Twierdzenie 9.24
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
00
(x
0
) = 0
2. istnieją sąsiedztwa lewostronne S
−
(x
0
) i prawostronne S
+
(x
0
)
takie, że
∀
x∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) > 0
oraz
∀
x∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) < 0
lub
∀
x∈S
−
(x
0
)
f
00
(x) < 0
oraz
∀
x∈S
+
(x
0
)
f
00
(x) > 0
to punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia funkcji f .
Twierdzenie 9.25
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
1. f
00
(x
0
) = f
000
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0
2. f
(n)
(x
0
) 6= 0
3. n jest liczbą nieparzystą, gdzie n ≥ 3
to punkt (x
0
, f (x
0
)) jest punktem przegięcia funkcji f .
Twierdzenie 9.26
Jeżeli funkcja f spełnia warunki:
40
1. f
00
(x
0
) = f
000
(x
0
) = . . . = f
(n−1)
(x
0
) = 0
2. f
(n)
(x
0
) 6= 0
3. n jest liczbą parzystą, gdzie n ≥ 4
to punkt (x
0
, f (x
0
)) nie jest punktem przegięcia funkcji f .
9.11 Badanie przebiegu zmienności funkcji
1. Dziedzina funkcji.
2. Podstawowe własności funkcji:
− parzystość lub nieparzystość
− okresowość
− punkty przecięcia wykresu z osiami Ox i Oy
− ciągłość
3. Granice lub wartości funkcji na „końcach” dziedziny.
4. Asymptoty funkcji.
5. Pierwsza pochodna funkcji:
− dziedzina pochodnej
− przedziały monotoniczności funkcji
− ekstrema funkcji
− granice lub wartości funkcji na „końcach” dziedziny pochod-
nej
6. Druga pochodna funkcji:
− dziedzina drugiej pochodnej
− przedziały wklęsłości i wypukłości funkcji
− punkty przegięcia
7. Tabelka.
8. Wykres funkcji.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
mk wyklady we sem 1 id 303692 Nieznany
BKiIg sem 3 wykład 2 Transport wewnątrzkomórkowy
BKiIG sem 3 wykład 3 Transport do organelli komórkowych i na zewnątrz komórki
BKiIg sem 3 wykład 2 Transport wewnątrzkomórkowy
ż Pytania do wykladu Transport sI 2009 10, matematyka
ściąga chemia wykład, Studia, Sem 1,2 +nowe, ALL, szkoła, Chemia
DROGA I PRĘDKOŚĆ STATKU, Akademia Morska Szczecin, SEMESTR II, NAWIGACJA, wykłady II sem
wykłady chemia sem 1
statystyka -wykłady II sem, statystyka
OPISY do Projektu!!!!, LEŚNICTWO SGGW, MATERIAŁY LEŚNICTWO SGGW, Urządzanie, Wykłady, PROJEKTY sem 8
VI- Małopolska, LEŚNICTWO SGGW, MATERIAŁY LEŚNICTWO SGGW, Urządzanie, Wykłady, PROJEKTY sem 8 Rok Ak
Mikroekonomia Wykłady II sem
Wykłady i Ćwiczenia sem zim 14 15 B
DRUK, Szkoła, penek, Przedmioty, Nawigacja, Teoria, wykłady II sem o6-07, Wydruk
GTD, LEŚNICTWO SGGW, MATERIAŁY LEŚNICTWO SGGW, Urządzanie, Wykłady, PROJEKTY sem 8 Rok Akademicki 20
Kopia Mechanika[1].wyklady, Studia, Sem 1,2 +nowe, Semestr1, 2 semestr, mechanika
nauka organizacji -wykłady z 08, Sem III
Zarządzanie kolokwium wykłady 3, Transport Polsl Katowice, 3 semestr, Rok2 TR
więcej podobnych podstron