Pytania z matematyki na egzamin magisterski

 

Na egzaminie student (studentka) z pięćdziesięciu siedmiu pytań losuje trzy. Z wylosowanych

pytań odrzuca jedno i wybiera dwa, z których jest egzaminowany (egzaminowana).

 

Każda odpowiedz powinna zawierać: definicje podstawowych pojęć, najważniejsze twierdzenia,

przykłady (kontrprzykłady) i zastosowania.

1. Relacja, relacja równoważności, klasy abstrakcji. Funkcja jako relacja.

2. Równoliczność zbiorów, moc zbioru. Zbiory przeliczalne i ich własności. Zbiory

nieprzeliczalne, moc continuum.

3. Definicja przestrzeni metrycznej. Ciągi i granice ciągów w przestrzeniach metrycznych.

4. Zbiory otwarte, domknięte i spójne w przestrzeniach metrycznych.

5. Pojęcia zwartości i zupełności przestrzeni metrycznych.

6. Granica ciągu liczbowego. Własności ciągów zbieżnych. Twierdzenie o trzech ciągach.

7. Zbieżność ciągów monotonicznych. Liczba e. Twierdzenie Bolzano - Weierstrassa.

8. Warunki równoważne ciągłości funkcji.

9. Własności funkcji ciągłych na zbiorach zwartych.

10. Ciągłość, jednostajna ciągłość, warunek Lipschitza - definicje, porównanie, przykłady.

11. Pojecie pochodnej w punkcie funkcji jednej zmiennej- interpretacja fizyczna i geometryczna.

Warunek konieczny różniczkowalności.

12. Pochodna funkcji odwrotnej, pochodna superpozycji.

13. Ekstrema lokalne. Warunek konieczny i warunki dostateczne istnienia ekstremów lokalnych

funkcji jednej zmiennej.

14. Twierdzenia o wartości średniej i twierdzenie o przyrostach funkcji rzeczywistej zmiennej

rzeczywistej.

15. Twierdzenie Taylora i jego zastosowania.

16. Pochodna kierunkowa, pochodne cząstkowe, pochodna mocna.

17. Pochodne wyższych rzędów. Macierz Jacobiego, jakobian, gradient. Twierdzenie Schwarza.

18. Definicja ekstremum lokalnego funkcji wielu zmiennych. Warunki konieczne i dostateczne

do istnienia ekstremum lokalnego.

19. Definicja funkcji uwikłanej. Twierdzenie o funkcji uwikłanej.

20. Twierdzenie Fubiniego i jego zastosowanie do obliczania całek wielokrotnych.

1 / 2

Pytania z matematyki na egzamin magisterski

21. Funkcja pierwotna, całka nieoznaczona. Całkowanie przez części i przez podstawienie.

22. Całka Riemanna funkcji jednej zmiennej - określenie i własności.

23. Całka niewłaściwa po przedziale nieograniczonym. Całka niewłaściwa z funkcji

nieograniczonej.

24. Twierdzenie o funkcji górnej granicy całkowania. Twierdzenia o wartości średniej dla całek.

25. Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego.

26. Zbieżność szeregów liczbowych. Kryteria zbieżności.

27. Zbieżność punktowa i jednostajna ciągów funkcyjnych.

28. Ciągłość, różniczkowalność i całkowalność granicy ciągu funkcyjnego.

29. Szeregi funkcyjne. Kryterium jednostajnej zbieżności szeregu funkcyjnego

30. Szeregi potęgowe i ich zbieżność. Własności sumy szeregu potęgowego.

31. Szeregi Fouriera - ich zbieżność punktowa i jednostajna. Rozwijanie funkcji w szereg

Fouriera.

32. Zagadnienie Cauchy’ego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania

zagadnienia Cauchy’ego.

33. Przestrzeń Banacha. Przykłady.

34. Przestrzeń Hilberta. Przykłady.

35. Miara zewnętrzna Lebesgue’a. Zbiory mierzalne w sensie Lebesgue’a.

36. Zbiory miary zero. Mierzalność zbiorów borelowskich.

37. Porównanie całki i całkowalności w sensie Riemanna i Lebesgue’a.

38. Twierdzenia o przechodzeniu do granicy pod znakiem całki Lebesgue’a.

39. Funkcje mierzalne i ich własności.

40. Definicja grupy i podgrupy.

41. Definicja macierzy. Wyznacznik macierzy i jego własności.

42. Rząd macierzy i jego własności. Macierz odwrotna.

43. Przestrzenie liniowe. Definicja przestrzeni liniowej i podprzestrzeni liniowej. Baza i wymiar

przestrzeni liniowej.

44. Operacje na przestrzeniach liniowych: suma prosta i iloraz.

45. Przekształcenia liniowe: monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm. Jadro i obraz

przekształcenia liniowego.

46. Opis macierzowy odwzorowania liniowego. Mnożenie macierzy, a złożenie odwzorowań

liniowych.

47. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.

48. Wartości własne i wektory własne odwzorowania liniowego, ich znajdowanie i rola.

49. Ciała i _-ciała zbiorów. Zbiory borelowskie. Definicja miary przeliczalnie addytywnej.

50. Przestrzeń probabilistyczna. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1, według

prawdopodobieństwa, według średniej kwadratowej, według rozkładu. Przykłady.

51. Dystrybuanta zmiennej losowej.

52. Zmienne losowe i ich charakterystyki liczbowe. Przykłady.

53. Definicja procesu stochastycznego. Proces Wienera.

54. Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-L´evy’ego.

55. Prawa wielkich liczb i ich interpretacja.

56. Testowanie hipotez. (Omówić jedno wybrane zagadnienie).

57. Estymacja statystyczna parametrów. Estymacja przedziałowa. (Omówić jedno wybrane

zagadnienie).

2 / 2