1
Przykład z ksi
ąż
ki:
str. 48-54 oraz fragmenty ze stron: 54-60
Przykład 1. Określić szczegółowo właściwości częstotliwościowe układu przedstawionego na rys.
1.23, jeżeli
µ
F
200
,
40
=
Ω
=
C
R
.
•
Wyznaczyć transmitancję operatorową
)
(
/
)
(
)
(
1
2
s
U
s
U
s
H
=
oraz częstotliwościową
)
j
(
ω
H
.
•
Wyprowadzić charakterystykę amplitudową i fazową.
•
Obliczyć
odpowiedź
impulsową
i
jednostkową
oraz
odpowiedź
na
wymuszenie
V
)
120
400
(
sin
2
50
)
(
1
o
−
=
t
t
u
.
•
Sporządzić wykresy Bodego oraz Nyquista.
Rys. 1.23. Schemat układu elektrycznego do przykładu 1.1
Rozwi
ą
zanie analityczne:
Transmitancja układu z rys. 1.23 została podana w tabeli 1.2. W celu ilustracji ogólnej procedury
wyprowadzania transmitancji w pasywnym układzie elektrycznym, wyznaczymy ją tutaj. Zakładamy,
ż
e transformata wymuszenia
)
(
1
s
U
jest znana i wyznaczamy transformatę odpowiedzi
)
(
2
s
U
.
Następnie zapisujemy iloraz
)
(
/
)
(
1
2
s
U
s
U
. W układzie tym jest jedno oczko. Zgodnie z II prawem
Kirchhoffa dla transformat, dla
0
)
0
(
2
=
u
,
prąd w dwójniku
)
(
1
1
)
(
)
(
1
1
1
s
U
RC
s
C
s
C
s
R
s
U
s
I
+
=
+
=
(1.118)
Napięcie na wyjściu układu jest równe napięciu na kondensatorze, dlatego transmitancja
operatorowa
125
125
/
1
/
1
1
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
1
2
+
=
+
=
+
=
=
=
s
C
R
s
C
R
C
R
s
s
U
C
s
s
I
s
U
s
U
s
H
(1.119)
)
(
2
s
U
(1)
(2)
(0)
C
s
1
)
(
1
s
U
R
0
)
(
2
=
s
I
)
(
1
s
I
2
Czyniąc podstawienie
ω
j
=
s
, uzyskujemy
transmitancję częstotliwościową
1
j
1
)
j
(
)
j
(
)
j
(
1
2
+
=
=
C
R
U
U
H
ω
ω
ω
ω
(1.120)
Zatem
charakterystyka amplitudowa opisana jest zależnością
1
)
(
1
1
j
1
)
j
(
)
(
2
+
=
+
=
=
C
R
C
R
H
H
ω
ω
ω
ω
(1.121)
a
charakterystyka fazowa – zależnością
[
]
)
(
arctg
)
j
(
arg
)
(
C
R
H
Θ
ω
ω
ω
−
=
=
(1.122)
Logarytmiczna charakterystyka amplitudowa
+
−
=
+
=
=
1
log
10
1
)
(
1
log
20
)
(
log
20
)
(
2
2
2
gr
dB
C
R
H
H
ω
ω
ω
ω
ω
(1.123)
gdzie
rad/s
125
)
(
1
=
=
C
R
gr
ω
nosi nazwę pulsacji granicznej układu RC. Wartość charakterystyki
amplitudowej dla pulsacji granicznej wynosi
707
,
0
2
2
1
)
(
1
)
(
2
≈
=
+
=
C
R
H
gr
gr
ω
ω
(1.124)
W przeliczeniu na decybele
dB
3
707
,
0
log
20
)
(
−
=
≈
gr
dB
H
ω
.
Pulsację graniczną dla układu RC definiuje się więc jako pulsację, dla której, zgodnie z (1.98),
2
/
2
/
/
1
2
=
=
U
U
X
Y
lub
2
/
1
/
/
2
1
2
2
2
2
=
=
U
U
X
Y
. Kwadraty amplitud wartości skutecznych
sygnałów sinusoidalnych na wejściu i wyjściu układu są proporcjonalne do mocy. W takim razie dla
pulsacji granicznej tylko połowa mocy podawanej na wejście dochodzi na wyjście. Reszta mocy
rozpraszana jest w elementach stratnych układu (np. w opornikach) lub jest magazynowana w
elementach reaktancyjnych. Podana definicja pulsacji granicznej jest uniwersalna i stosowana do
większości układów, których charakterystyka amplitudowa zmienia się w funkcji
ω
, czyli do filtrów.
Dla pulsacji
gr
ω
ω
>>
można zaniedbać jedynkę w nawiasie wyrażenia (1.123), opisującego
)
(
ω
dB
H
, co prowadzi do
gr
gr
gr
dB
H
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
log
20
log
20
log
20
log
10
)
(
2
2
+
−
=
−
=
−
=
(1.125)
Jeżeli podziałka na osi pulsacji jest logarytmiczna, to dla
gr
ω
ω
>>
można z dużą dokładnością
zastąpić charakterystykę amplitudową linią prostą o równaniu
b
x
a
y
+
=
, dla której rolę zmiennej
niezależnej x pełni
ω
log
. Współczynnik kierunkowy tej prostej
20
−
=
a
oznacza, że wartość
charakterystyki amplitudowej maleje o 20 decybeli przy wzroście
ω
log
o 1, a więc przy 10
−
krotnym
wzroście pulsacji. Mówimy, że szybkość opadania charakterystyki amplitudowej wynosi 20 dB/dec
(skrót dec oznacza dekadę).
Dla pulsacji
gr
ω
ω
<<
można w (1.123) zaniedbać pierwszy składnik, co prowadzi do
dB
0
1
log
10
)
(
=
−
=
ω
dB
H
. Oznacza to, że układ RC ani nie tłumi, ani nie wzmacnia sygnałów
3
sinusoidalnych o niskich częstotliwościach. Sygnały takie przechodzą na wyjście rozważanego układu
praktycznie bez zmiany amplitudy.
Rozważany układ jest przykładem realizacji, na elektrycznych elementach pasywnych, układu
zwanego filtrem dolnoprzepustowym. Przedział
)
,
0
(
gr
ω
ω
∈
nazywa się pasmem przepuszczania
filtru dolno-przepustowego, a przedział
)
,
(
+∞
∈
gr
ω
ω
nazywa się pasmem zaporowym. Za
częstotliwość graniczną, czyli umowną granicę między pasmem przepuszczania a zaporowym,
przyjmuje się częstotliwość
gr
ω
, dla której zachodzi równość
R
C
gr
=
)
/(
1
ω
. Wartość charakterystyki
fazowej
π
/4
)
1
(
arctg
)
(
arctg
)
(
−
=
−
=
−
=
C
R
Θ
gr
gr
ω
ω
.
Aby wyznaczyć funkcje
)
(
ω
P
oraz
)
(
ω
Q
dla
charakterystyki Nyquista (1.100), należy pomnożyć
licznik i mianownik
)
j
(
ω
H
przez sprzężenie zespolone mianownika. Po rozdzieleniu części
rzeczywistej i urojonej, otrzymujemy
2
)
(
1
1
)
(
C
R
P
ω
ω
+
=
,
2
)
(
1
)
(
C
R
C
R
Q
ω
ω
ω
+
−
=
(1.126)
Wyprowadzimy teraz funkcję
))
(
f(
)
(
ω
ω
P
Q
=
, opisującą analitycznie
wykres Nyquista. Łatwo
zauważyć, że
)
(
)
(
ω
ω
ω
P
C
R
Q
−
=
. Iloczyn
C
R
ω
należy uzależnić od
)
(
ω
P
. W tym celu
przekształcamy algebraicznie pierwszą zależność w (1.126) i otrzymujemy
1
)
(
1
−
±
=
ω
ω
P
C
R
.
Znak minus przed pierwiastkiem jest konieczny, ponieważ
)
,
(
+∞
−∞
∈
ω
. W takim razie
)
(
1
)
(
1
)
(
ω
ω
ω
P
P
Q
−
=
m
(1.127)
Podnosząc obie strony równania (1.127) do kwadratu i uwzględniając fakt, że dla każdego
)
,
(
+∞
−∞
∈
ω
wyrażenie
podpierwiastkowe
jest
dodatnie,
dostajemy
zależność
)
(
)
(
)
(
2
2
ω
ω
ω
P
P
Q
−
=
, którą można przekształcić do
2
2
2
2
1
)
(
2
1
)
(
=
+
−
ω
ω
Q
P
(1.128)
Jest to równanie okręgu o środku w punkcie (½, 0) i promieniu ½. Jeżeli ograniczymy się do
przedziału
)
,
0
(
+∞
∈
ω
, to wykres Nyquista jest pół-okręgiem leżącym w czwartej ćwiartce
płaszczyzny Gaussa, gdyż
0
)
(
<
ω
Q
.
Teraz zajmiemy się
wyznaczeniem odpowiedzi czasowych na wybrane wymuszenia. Ponieważ
wymuszenie ma charakter napięciowy, to w celu uzyskania odpowiedzi impulsowej, rozważamy
wejściowy
impuls napięcia opisany deltą Diraca. Wymuszenie i jego transformata Laplace’a mają
postać:
1
)
(
),
(
)
(
1
1
=
=
s
U
t
t
u
δ
. Zgodnie z (1.76), odpowiedź impulsowa układu jest równa odwrotnej
transformacie Laplace’a jego transmitancji operatorowej
)
(
e
1
/
1
/
1
)}
(
{
)
(
1
1
1
t
C
R
C
R
s
C
R
s
H
t
y
t
C
R
ε
δ
−
−
−
=
+
=
=
L
L
(1.129)
Ponieważ
ms
8
=
C
R
oraz
1
s
125
/
1
−
=
C
R
, to
V
)
(
e
125
)
(
125
t
t
y
t
ε
δ
−
=
.
4
Odpowiedź jednostkowa dla rozważanego układu to odpowiedź na włączenie na wejściu w chwili
0
=
t
źródła napięcia stałego o wartości 1 V. Wymuszenie oraz jego transformata Laplace’a mają
postać:
)
(
)
(
1
t
t
u
ε
=
,
s
s
U
/
1
)
(
1
=
. Zgodnie ze wzorem (1.78), odpowiedź jednostkowa
V
)
(
)
e
1
(
)
(
)
e
1
(
)
/(
1
1
1
1
1
)
1
(
1
)
(
)
(
125
1
1
1
1
1
1
t
t
C
R
s
s
C
R
s
C
R
s
C
R
s
s
s
s
H
t
y
t
t
C
R
ε
ε
ε
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
=
+
−
=
+
−
=
+
=
=
L
L
L
L
L
(1.130)
Przejdźmy teraz do wyznaczenia odpowiedzi rozważanego układu
RC na zadane wymuszenie
sinusoidalne
V
)
120
400
(
sin
2
50
)
(
1
o
−
=
t
t
u
. Założona pulsacja
rad/s
400
=
ω
wymuszenia
)
(
1
t
u
jest większa od pulsacji granicznej
rad/s
125
=
gr
ω
, a wi
ęc leży ona w paśmie zaporowym
rozwa
żanego filtru dolno-przepustowego
RC. Z tego względu sinusoidalna odpowiedź w stanie
ustalonym b
ędzie miała stłumioną amplitudę w stosunku do wymuszenia, zgodnie z zależnością
(1.98). Oznacza to,
że
1
2
)
(
U
H
U
ω
=
, gdzie
2
U i
1
U oznaczają wartości skuteczne sygnałów
)
(
2
t
u
i
)
(
1
t
u
. Warto
ść charakterystyki amplitudowej, zgodnie z (1.121), dla pulsacji
rad/s
400
=
ω
, wynosi
0,298
rad/s)
400
(
=
H
. Oznacza to, że sinusoidalne sygnały napięcia o pulsacji równej 400 rad/s
przechodzą na wyjście układu
RC z amplitudą stłumioną do około 30 % swej wartości na wejściu. W
naszym przypadku
V
9
,
14
V
50
298
,
0
)
rad/s
400
(
1
2
=
⋅
=
=
U
H
U
(1.131)
Aby wyznaczyć przesunięcie fazowe między sygnałami
)
(
1
t
u
i
)
(
2
t
u
, należy obliczyć wartość
charakterystyki fazowej dla
rad/s
400
=
ω
. Zgodnie z zależnością (1.98), faza początkowa sygnału
sinusoidalnego
)
(
2
t
u
wynosi
ϕ
ω
ψ
+
=
)
(
Θ
, gdzie
ϕ
jest fazą początkową sygnału
)
(
1
t
u
. W naszym
przypadku
o
120
−
=
ϕ
więc, zgodnie z (1.122) ,
o
6
,
72
rad/s)
400
(
−
=
Θ
. Oznacza to, że sinusoidalne
sygnały napięcia o pulsacji równej 400 rad/s przechodzą na wyjście układu
RC z fazą o 72,6°
mniejszą niż na wejściu, czyli są opóźnione o
ms
17
,
3
)
400
/
π
2
(
202
,
0
)
360
/
6
,
72
(
=
⋅
=
⋅
T
o
o
względem
)
(
1
t
u
. Faza początkowa
o
o
o
o
4
,
167
6
,
192
)
120
(
6
,
72
rad/s)
400
(
≡
−
=
−
+
−
=
+
=
ϕ
ψ
Θ
.
Wykonane obliczenia pozwalają zapisać postać czasową sygnału na wyjściu, mianowicie
V
)
4
,
167
400
(
sin
2
9
,
14
)
(
sin
2
)
(
2
2
o
+
=
+
=
t
t
U
t
u
ψ
ω
.
Warto w tym miejscu zauważyć, że ponieważ badany układ jest układem elektrycznym, to do
wyznaczenia jego odpowiedzi w stanie ustalonym na wymuszenie sinusoidalne możemy, zamiast
pojęcia transmitancji, użyć metody symbolicznej, tzn. metody liczb zespolonych. Obliczenia, które
należy wykonać, w celu wyznaczenia postaci czasowej napięcia na wyjściu, są następujące
V
)
4
,
167
400
(
sin
2
9
,
14
)
(
V
e
9
,
14
e
19
,
1
5
,
12
j
j
A
e
19
,
1
e
9
,
41
e
50
5
,
12
j
40
e
50
)
5
,
12
j
40
(
j
,
5
,
12
1
2
4
,
167
j
6
,
102
j
1
2
6
,
102
j
4
,
17
j
120
j
120
j
1
1
o
o
o
o
o
o
o
+
=
=
⋅
−
=
−
=
=
=
−
=
=
Ω
−
=
−
=
Ω
=
=
−
−
−
−
−
t
t
u
I
X
U
Z
U
I
X
R
Z
C
X
C
C
C
ω
(1.132)
5
Otrzymany wynik jest zgodny z tym, który otrzymaliśmy wcześniej.
Dla układów elektrycznych użycie transmitancji jest wygodniejsze od metody symbolicznej, gdy
należy wyznaczyć sinusoidalną odpowiedź ustaloną (szczególnie dla układów o dużej liczbie
elementów). Transmitancję wyznacza się raz i od razu dla wszystkich pulsacji. Metoda symboliczna
wymaga powtórzenia obliczeń reaktancji, prądów i napięć dla każdej pulsacji osobno.
Transmitancję można również wykorzystać do obliczenia odpowiedzi uwzględniającej stan
nieustalony układu przy wymuszeniu sinusoidalnym. W tym celu skorzystamy z definicji
transmitancji (1.74) oraz z transformaty nr 22 z dodatku D1, uwzględniając
0
=
a
. Zaburzone
napięcie na wyjściu
2
2
1
1
,
2
cos
sin
2
/
1
/
1
)
(
)
(
)
(
ω
ϕ
ω
ϕ
+
+
⋅
⋅
+
=
=
s
s
U
C
R
s
C
R
s
U
s
H
s
U
z
(1.133)
Podstawienie wartości liczbowych daje transmitancję
)
400
(
)
125
(
1767767
655
,
7654
)
(
2
2
,
2
+
+
−
−
=
s
s
s
s
U
z
(1.134)
Napięcie
)
(
,
2
t
u
z
wyznaczamy w oparciu o transformatę nr 34 z dodatku D1. Uwzględnienie
125
,
1767767
,
655
,
7654
=
−
=
−
=
d
c
b
i
400
=
ω
, prowadzi do
t
z
t
t
t
u
125
,
2
e
617424
,
4
)
sin(
57958
,
20
)
cos(
617424
,
4
)
(
−
−
−
=
ω
ω
(1.135)
Zamiana sumy
)
sin(
)
cos(
t
q
t
p
ω
ω
+
na sinus, wg uwagi z dodatku D1, daje
t
z
t
t
u
125
,
2
e
617424
.
4
)
180
6
,
12
sin(
21.09123
)
(
−
−
+
−
=
o
o
ω
(1.136)
co
można
zaokrąglić
do
t
z
t
t
u
125
,
2
e
62
,
4
)
4
,
167
sin(
2
9
,
4
1
)
(
−
−
+
=
o
ω
i
zapisać
jako
)
(
)
(
)
(
,
2
2
,
2
t
u
t
u
t
u
p
z
+
=
. Łatwo sprawdzić, że
V
0
)
0
(
,
2
=
z
u
. Powinno tak być z powodu ciągłości
napięcia na kondensatorze, który w chwili
0
=
t
nie był naładowany. Wykładnicza składowa
przejściowa
)
(
,
2
t
u
p
praktycznie zaniknie po czasie
ms
40
s
)
125
/
1
(
5
=
⋅
, czyli po około dwóch
okresach sinusa. Wszystkie te spostrzeżenia można zaobserwować na rys. 1.28.
Rozwi
ą
zanie za pomoc
ą
programu PSpice:
Kształt impulsu Diraca, w krótszym przedziale czasu, pokazano na rys. 1.26.
6
Rys. 1.25. Wymuszenie w postaci impulsu (u góry) i odpowiedź impulsowa układu RC:
V(2) – wynik symulacji za pomocą programu PSpice,
125*exp(-125*Time) – odpowiedź dokładna, obliczona analitycznie
Rys. 1.26. Puls prostokątny o polu 1Vs, modelujący napięciowy impuls Diraca
W programie PSpice nie możemy zadeklarować impulsu Diraca, który miałby, zgodnie z
definicją, nieskończoną amplitudę i nieskończenie krótki czas trwania. Do symulacji impulsu Diraca
używamy krótkotrwałego pulsu prostokątnego o tak dobranej amplitudzie i czasie trwania, aby pole
ograniczone jego wykresem i osią czasu wynosiło 1. Puls ten deklarujemy za pomocą źródła typu
PWL
. Pozwala ono generować nieokresowe sygnały prądu lub napięcia zależne od czasu,
aproksymowane odcinkami linii prostej.
Przebieg odpowiedzi jednostkowej przedstawiono na rys. 1.27.
Rys. 1.27. Odpowiedź jednostkowa układu RC
V(1) – napięciowe wymuszenie jednostkowe
V(2) – odpowiedź jednostkowa wyznaczona przez program PSpice
1-exp(-125*Time) - odpowiedź jednostkowa dokładna, obliczona analitycznie
Wykresy wymuszenia sinusoidalnego i odpowiedzi: ustalonej, zaburzonej oraz przejściowej,
przedstawiono na rys. 1.28.
7
Rys. 1.28. Odpowiedź układu RC na wymuszenie sinusoidalne
V(1) – wymuszenie sinusoidalne symulowane przez źródło SIN
V(2) – zaburzona odpowiedź sinusoidalna wyznaczona przez program PSpice
50*sqrt(2)*… – wymuszenie sinusoidalne w postaci analitycznej
14.9*sqrt(2)*… – odpowiedź sinusoidalna ustalona w postaci analitycznej
-4.62*exp(-125*Time) – odpowiedź przejściowa w postaci analitycznej
Na rys. 1.29 przedstawiono wykres charakterystyki amplitudowej. Zaznaczono na nim
częstotliwość graniczną
Hz
,9
19
=
gr
f
, dla której
0,707
)
π
2
(
≈
gr
f
H
, oraz częstotliwość
Hz
63,617
=
f
, odpowiadającą pulsacji 400 rad/s. Wartość charakterystyki amplitudowej dla tej
częstotliwości wynosi około 0,298, co jest zgodne z wcześniejszymi obliczeniami.
Rys. 1.29. Wykresy charakterystyki amplitudowej układu RC
V(2) – charakterystyka symulowana przez PSpice
1/sqrt(pwr(2*pi*Frequency*0.008,2)+1) – charakterystyka wyznaczona analitycznie
Na rys. 1.30 przedstawiono
wykresy Bodego transmitancji częstotliwościowej. Dla
gr
f
f
<<
charakterystykę amplitudową w dB można aproksymować linią poziomą, a dla
gr
f
f
>>
–
linią
prostą o nachyleniu -20 dB/dec.
Charakterystyka fazowa zmienia się w przedziale od 0 do -90°. Zaznaczono na niej
częstotliwość graniczną, dla której
o
45
)
π
2
(
−
=
gr
f
Θ
oraz częstotliwość
Hz
63,617
=
f
,
odpowiadającą pulsacji 400 rad/s. Wartość charakterystyki fazowej dla tej częstotliwości wynosi
około
o
6
,
72
−
, co jest zgodne z wcześniejszymi obliczeniami.
8
Rys. 1.30. Wykresy Bodego układu RC:
charakterystyka amplitudowa w dB (u dołu) i fazowa w stopniach (u góry),
VdB(2) – charakterystyka amplitudowa symulowana przez PSpice
-10*log10(pwr(2*pi*Frequency*0.008,2)+1) – charakterystyka amplitudowa obliczona
VP(2) – charakterystyka fazowa symulowana przez PSpice
-arctan(2*pi*Frequency*0.008)*180/pi – charakterystyka fazowa obliczona
Opóźnienie grupowe
1
odpowiedzi wyjściowej względem wymuszenia obliczamy na podstawie
charakterystyki fazowej, mianowicie
2
2
2
)
(
1
))
(
arctg
(
d
d
)
(
d
d
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
τ
+
=
+
=
−
−
=
−
=
gr
gr
RC
RC
RC
Θ
(1.137)
Z wykresu opóźnienia grupowego (rys. 1.31) wynika, że maleje ono ze wzrostem częstotliwości i nie
przekracza
8
/
1
=
gr
ω
ms.
Rys. 1.31. Wykresy opóźnienia grupowego dla układu RC
Wykres Nyquista pokazano na rys. 1.32. Wraz ze wzrostem pulsacji przesuwamy się w kierunku
punktu (0, 0), co zobrazowano strzałkami na krzywej. Dla każdego punktu na tym wykresie długość
wektora poprowadzonego z początku układu współrzędnych do danego punktu jest równa wartości
charakterystyki amplitudowej dla danej pulsacji, a kąt skierowany (czyli z uwzględnieniem znaku),
jaki tworzy ten wektor z osią rzeczywistą, jest równy wartości charakterystyki fazowej dla rozważanej
częstotliwości.
1
Opó
ź
nienie grupowe – ang. group delay – wielko
ść
okre
ś
laj
ą
ca opó
ź
nienie fazowe wprowadzane przez urz
ą
dzenie dla danej cz
ę
stotliwo
ś
ci sygnału, przedstawiana
za pomoc
ą
wykresu. Matematycznie opó
ź
nienie grupowe reprezentowane jest przez pochodn
ą
opó
ź
nienia fazowego po cz
ę
stotliwo
ś
ci. Linia prosta na wykresie oznacza,
ż
e warto
ść
opó
ź
nienia dla wszystkich cz
ę
stotliwo
ś
ci jest stała (tzw. liniowa faza urz
ą
dzenia) [http://www.portalnaglosnieniowy.pl/component/content/article/149-slownik-
tematyczny/4256-oponienie-grupowe]
9
Rys. 1.32. Wykres Nyquista transmitancji częstotliwościowej układu RC
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
OiS Wykład 4 (23 10 2014)
OiS Wykład 3 (16 10 2014)
OiS Wykład 5 (30 10 2014)
2013 2014 ZARZADZANIE ZASOBAMI LUDZKIMI wyklad 3 23 10
ZO material wyklad 08 10 2014 Nieznany
KPC Wykład (4) 23 10 2012
OiS Wykład 1(07 10 2013)
wykład 4 - 23.10.2008, FARMACJA, ROK 5, TPL 3, Zachomikowane
ogólne - wykład 3 - 23.10.2012, Językoznawstwo ogólne, Językoznawstwo ogólne - wykład
Młoda Polska WYKŁAD (23 04 2014)
OiS Wykład 8 (20 11 2014)
Algebra wyklad 30 10 id 57336 Nieznany
WYKŁAD 23.10.2011r, PDF i , SOCJOLOGIA I PSYCHOLOGIA SPOŁECZNA
Wykład z 23.10.2010 (sobota) mgr A. Sobczyński, UJK.Fizjoterapia, - Notatki - Rok I -, Deontologia z
Ekonomia. wykład 3. 23.10.2006, Studja, Ekonomia SGGW, Wykłady
EP wyklad Formy prawne 2014 id Nieznany
Biochemia wykład III$ 10 2014
Wykład z 23.10.2010 (sobota) S. Pańko, Fizjologia do poczytania
więcej podobnych podstron