W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

1

1

1

1

W

W

Z

Z

Ó

Ó

R

R

H

H

A

A

G

G

E

E

N

N

A

A

-

-

P

P

O

O

I

I

S

S

E

E

U

U

I

I

L

L

L

L

E

E

’

’

A

A

,

,

D

D

O

O

Ś

Ś

W

W

I

I

A

A

D

D

C

C

Z

Z

E

E

N

N

I

I

E

E

R

R

E

E

Y

Y

N

N

O

O

L

L

D

D

S

S

A

A

,

,

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

B

B

E

E

Z

Z

W

W

Y

Y

M

M

I

I

A

A

R

R

O

O

W

W

E

E

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

Policzmy wydatek płynący rurą

Wiemy, że prędkość w rurze wyraża się wzorem:

Podstawiając to wyrażenie pod całkę dostajemy:





2

R

1

A

0 0

Q

n v dA

v dA

dA

rdr d

















4

4

p

p

R

D

x

x

Q

8

128





















Jest to wzór

Hagena - Poiseiu

ille’a

D

– oznacza średnicę rury.





2

2

1

1

dp dx

v

R

r

4



 



D

D

O

O

Ś

Ś

W

W

I

I

A

A

D

D

C

C

Z

Z

E

E

N

N

I

I

E

E

R

R

E

E

Y

Y

N

N

O

O

L

L

D

D

S

S

A

A

Osborne Reynolds wykonał elementarne doświadczenie: do
szkalnej rury wprowadził strugę barwnika.

Wzór Hagena – Poiseiuille’a określa wydatek w zależności od

spadku ciśnienia, rodzaju cieczy i geometrii przewodu.

Wzór ten jest poprawny tylko dla ruchów bardzo powolnych!

Dla ruchów szybkich, przy dużych wydatkach pomiary i

obliczenia dają radykalnie różne wyniki

http://misclab.umeoce.maine.edu/boss/classes/SMS_491_2003/Week_5.htm

1.

Małe wydatki – ruch powolny. Pole prędkości jest
parabolo

idalne, występuje tylko składowa wzdłużna.

2. Ruch szybszy. Pole

prędkości ma składowe poprzeczne,

zależy też od składowej wzdłużnej.

http://www.uic.edu/classes/me/me536/gallery.html

http://www.uic.edu/classes/me/me536/gallery.html

3. Ruch szybki.

Cząstki atramentu zachowują się podobnie

do cząstek dyfundującego gazu.

Zachodzą znaczące losowe zmiany prędkości

http://www.uic.edu/classes/me/me536/gallery.html

R

R

U

U

C

C

H

H

L

L

A

A

M

M

I

I

N

N

A

A

R

R

N

N

Y

Y

I

I

T

T

U

U

R

R

B

B

U

U

L

L

E

E

N

N

T

T

N

N

Y

Y

Profil prędkości średniej w rurze dla ruchu
turbulentnego

Ruch powolny, bez pulsacji

prędkości nazywa się

ruchem laminarnym.

W ruch

u tym wymiana masy, pędu i energii zachodzi

na drodze molekularnej.

Dla takiego ruchu w rurze

możemy korzystać ze wzoru

Hagena

– Poiseiuille’a.

Ruch szybki, dla którego zachodzą znaczące losowe

zmiany prędkości, a między sąsiednimi warstwami

płynu zachodzi wymiana masy, pędu i energii na

drodze wymiany elementów płynu to ruch turbulentny

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

A

A

B

B

E

E

Z

Z

W

W

Y

Y

M

M

I

I

A

A

R

R

O

O

W

W

E

E

I

I

P

P

O

O

D

D

O

O

B

B

I

I

E

E

Ń

Ń

S

S

T

T

W

W

O

O

T

– skala czasu,

L

-

skala długości,

p

0

– skala ciśnienia,

U

– skala prędkości.

Wielkości promowane nie mają wymiaru.

Wstawmy p

odane zależności do równania ciągłości.

'

'

k

k

0

k

k

t

T t ',

x

Lx ,

p

p p ',

v

Uv

 







 

 

'

'

k

k

k

'

'

k

k

k

Uv

v

v

U

diw v

0

x

L

x

Lx







 









 







 

Bezwymiarowe równanie ciągłości

:

Bezwymiarowe równanie ruchu dla j – tej składowej

Zapiszmy to równanie używając pewnych liczb bezwymiarowych:

'

k

'

k

v

0

x







'

'

'

j

j

'

'

'

'

k

j

j

'

'

k

j

v

v

1

1

1

p

1

v

F

v

St

t

x

Fr

Eu x

Re























'

'

'

j

j

'

'

'

'

0

k

j

j

'

2

2

'

k

j

v

v

p

L

gL

p

v

F

v

UT

t

x

U

U

x

UL

































































L

L

I

I

C

C

Z

Z

B

B

Y

Y

P

P

O

O

D

D

O

O

B

B

I

I

E

E

Ń

Ń

S

S

T

T

W

W

A

A

UT

skala sil bezwladnosci

St

L

skala sil przyspieszenia loka ln ego







 







Liczba

Strouhala

Liczba

Froude’a

2

U

skala sil bezwladnosci

Fr

gL

skala sil masowych







 







Liczba

Eulera

2

0

U

skala sil bezwladnosci

Eu

p

skala sil cisnieniowych









 







Liczby - Strouhala, Frouda, Eulera i Reynoldsa, czyli odpowiednio
St, Fr, Eu, Re noszą nazwę

liczb

podobieństwa

albo

parametrów

kryterialnych.

Dwa zjawiska są podobne dynamicznie gdy:



obszary ruchu są podobne geometrycznie



liczby podobie

ństwa są takie same



bezwymiarowe warunki brzegowe i bezwymiarowe warunki

początkowe są identyczne

Liczba

Reynoldsa

UL

skala sil bezwladnosci

Re

skala sil lepkosci











 





