Zbieżny układ sił

Przykład 1

Dane są trzy siły: P

1

= 3i + 4j, P

2

= 2i



5j, P

3

=



7i + 3j (składowe sił wyrażone są w niutonach),

przecinające się w punkcie A (1, 2). Wyznaczyć wektor wypadkowej i jej wartość oraz kąt



nachylenia

linii działania względem osi Ox układu.

R o z w i ą z a n i e

Przy zastosowaniu sposobu analitycznego należy wyznaczyć składowe wypadkowej P

x

i

P

y

Wektor i wartość wypadkowej wynoszą

Kierunek wypadk

owej określa kąt



, który wyznaczamy z następującego wzoru

Ponieważ składowe wypadkowej są następujące: P

x

< 0, P

y

> 0, to kąt





= 135º. Linia działania

wypadkowej przechodzi przez punkt

A pod kątem





= 135º do osi Ox.

Przykład 2

Wzdłuż dwóch boków i głównej przekątnej sześcianu działają siły P

1

,

P

2

,

P

3

. Wartości tych sił są równe:

P

1

= P

2

= Q, P

3

= 3Q. Wyznaczyć ich wypadkową.

R o z w i ą z a n i e

Cosinusy kierunkowe sił P

1

,

P

2

,

P

3

wynoszą

Wyznaczamy składowe wypadkowej

Wartość wypadkowej wyznaczamy z następującego wzoru

a jej cosinusy kierunkowe i kąty wynoszą odpowiednio

Linia działania wypadkowej przebiega przez punkt przecięcia się linii działania sił P

1

,

P

2

,

P

3

pod kątami



,



i



do osi układu współrzędnych Oxyz.

Przykład 3

Na punkt materialny o ciężarze G, leżący na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia



, działają

dwie siły S tak, jak przedstawiono na rysunku. Wyznaczyć siłę S oraz reakcję równi, jeżeli punkt
znajduje się w spoczynku.

R o z w i ą z a n i e

Metoda analityczna

. Na punkt materialny działają cztery siły, które są w równowadze. Na podstawie

warunków równowagi sił zbieżnych można napisać następujące równania równowagi

Z równania pierwszego otrzymamy

Po podstawieniu do drugiego równania

Stąd

Metoda geometryczna

. Na rysunku przedstawiono zamknięty wielobok sił utworzony z czterech sił

działających na punkt materialny, z którego wyznaczono wartości siły S i reakcji R

Przykład 4

Nieważka belka AB o długości l opiera się jednym końcem A na stałej podporze przegubowej A. Drugi
koniec

B tej belki jest zamocowany na podporze przegubowej przesuwnej (rysunek). Wyznaczyć

reakcje podpór A i B, jeżeli belka jest obciążona w punkcie C siłą P.

R o z w i ą z a n i e

Metoda analityczna. Na rysu

nku b belka została uwolniona od więzów i przyłożone zostały reakcje R

Ax

,

R

Ay

i

R

B

. Ponieważ belka jest obciążona trzema siłami R

A

,

R

B

i

P, wobec tego ich linie działania muszą

przecinać się w jednym punkcie D, zaś trójkąt sił musi być zamknięty (rys. c).
W przyjętym układzie współrzędnych Axy równania równowagi będą następujące

Ponadto

gdzie

Z rozwiązania powyższego układu trzech równań otrzymamy

Metoda geometryczna

. Na rysunku c przedstawiono trójkąt sił R

A

,

R

B

i

P. Na podstawie twierdzenia

równań sinusów otrzymamy

Stąd

Przykład 5

Walec o promieniu

r i ciężarze G spoczywa na gładkiej równi pochyłej o kącie pochylenia





= 30º i jest

utrzymywany w położeniu równowagi za pomocą liny OA, zgodnie z rysunkiem. Do środka walca
zamocowano drugą linę, którą przerzucono przez nieważki krążek. Na końcu tej liny zawieszono
ciężar P. Obliczyć wartość reakcji N w punkcie E zetknięcia się walca z równią oraz napięcie w linie OA,
jeżeli lina OB jest pozioma, a lina OA tworzy z poziomem kąt



= 45º.

R o z w i ą z a n i e

Metoda analityczna

. Na walec działają siły P, G, S i N. Równania równowagi walca są następujące

Stąd

Metoda geometryczna

. Na rysunku b przedstawiono zamknięty wielobok sił, utworzony ze wszystkich

sił działających na walec. Korzystając z odpowiednich trójkątów otrzymamy

Z rozwiązania tych równań otrzymamy takie same wartości sił S i N, jak przy zastosowaniu metody
analitycznej.

Przykład 6

Ciało o ciężarze G jest zawieszone na wsporniku składającym się z trzech prętów połączonych
przegubowo w sposób pokazany na rysunku. Pręty AO i BO, leżące w płaszczyźnie prostopadłej do
pionowej ściany, tworzą z tą ścianą kąty





= 45º. Pręt CO tworzy z pionową ścianą kąt





= 60º i

również leży w płaszczyźnie prostopadłej do tej ściany. Obliczyć siły w prętach, pomijając ich ciężary
własne oraz tarcie w przegubach.

R o z w i ą z a n i e

Metoda analityczna. Na przegub

O działają siły wynikające z oddziaływania prętów OA, OB i OC: S

1

,

S

2

i

S

3

oraz ciężar G. Na podstawie warunków równowagi otrzymujemy następujące równania

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy

Przykład 7

Wyznaczyć siły w prętach konstrukcji pokazanej na rysunku. Nieważkie pręty AB, AC, BC, BE, CE i CD są
połączone przegubowo w węzłach A, B, C, D i E. W węźle B działają dwie siły: 2P w kierunku pionowym
i siła P w kierunku pręta BC.

R o z w i ą z a n i e

Metoda analityczna

. Na węzeł B działają reakcje S

1

,

S

2

i

S

3

, wynikające z oddziaływania prętów AB, BE i

BC oraz siły P i 2P. Równania równowagi tego węzła są następujące

Na węzeł C działają reakcje S

3

,

S

4

,

S

5

i

S

6

oraz siła P. Równania równowagi rozpatrywanego węzła są

równe

Po rozwiązaniu powyższego układu równań otrzymamy