Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

1

α

α

Zad.1. Dla zadanej ramy statycznie niewyznaczalnej:

a) wyznaczyć wykresy sił wewnętrznych korzystając z metody sił.

b) wykonać sprawdzenie kinematyczne.

c) obliczyć przemieszczenie poziome pktu A.

d) wyznaczyć wypadkowe przemieszczenie pktu A.

Zad.1a)

1. Schemat konstrukcji:

SSN=1;

EI=const
E=205Gpa;
I160:
I

x

=935cm

4

EI=1916,75kNm

2

k=

6

EI

2. Układ podstawowy:

Układ spełnia warunki
statycznej wyznaczalności
i geometrycznej niezmienności.

3. Układ równań kanonicznych sprowadza się do równania :

δ

11

· X

1

+ δ

1P

= 0

gdzie: współczynniki δ

ik

, δ

iP

:

∑∫

=

δ

l

k

i

ik

dx

EI

M

M

0

;

∑∫

=

δ

l

P

i

iP

dx

EI

M

M

0

;

gdzie: M

i

– momenty zginające od obciążenia siłą jednostkową X

i

=1,0 (w ukł. podst.)

M

p

– momenty zginające od obciążenia zewnętrznego (w ukł. podst.)

Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

2

α

α

3.1. Stan X

1

= 1:

3.2. Stan „P”:

3.3. Obliczenie współczynników δ

ik

, δ

iP

∑∫

=

δ

l

dx

EI

M

0

2

1

11

EI

EI

EI

30

6

1

1

3

3

2

3

5

2

1

3

3

2

3

3

2

1

1

11

=

⋅

⋅

+









⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

∑∫

⋅

=

δ

l

p

P

dx

EI

M

M

0

1

1

EI

EI

P

216

30

3

1

42

3

2

3

5

2

1

3

2

1

3

8

3

8

3

2

36

3

2

3

3

2

1

1

2

1

=

























⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

3.4. Rozwiązanie układu równań kanonicznych:

30/EI · X

1

+ 216/EI = 0 ⇒ X

1

= -7,200 kN

Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

3

α

4. Wykresy sił wewnętrznych w ramie:

Zad.1b)

Kontrola kinematyczna.

- kąt obrotu pktu B:

∑∫

=

⋅

l

n

n

p

B

dx

EI

M

M

0

)

(

)

(

1

ϕ

- zgodnie z tw. redukcyjnym:

∑∫

∑∫

=

=

⋅

l

n

p

l

n

n

p

B

dx

EI

M

M

dx

EI

M

M

0

0

)

(

0

)

(

)

(

1

ϕ

- ponieważ

1

0

M

M

=

:

Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

4

α

=

=

⋅

∑∫

l

n

p

B

dx

EI

M

M

0

1

)

(

1

ϕ

0

0

6

20

,

7

3

1

)

4

,

20

3

2

30

3

1

(

1

5

2

1

1

2

1

3

8

3

8

3

2

4

,

14

3

2

1

3

2

1

1

2

=

=

⋅

⋅

+













⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅













−

⋅

⋅

⋅

=

EI

EI

EI

Zad.1c)

Przemieszczenie poziome punktu A (pomijamy wpływ sił tnących i normalnych):

∑∫

=

⋅

l

n

n

p

H

A

dx

EI

M

M

0

)

(

)

(

1

δ

Skorzystamy z tw. redukcyjnego i wyznaczonego w Zad.1. wykresu momentów zginających:

∑∫

∑∫

=

=

⋅

l

n

p

l

n

n

p

H

A

dx

EI

M

M

dx

EI

M

M

0

0

)

(

0

)

(

)

(

1

δ

EI

EI

H

A

132

)

4

,

20

3

1

30

3

2

(

4

5

2

1

1

=









⋅

−

⋅

⋅

⋅

⋅

=

δ

Wymiarowanie przekroju:

3

53

,

139

5

,

21

3000

cm

M

w

x

ekstr

potrz

x

=

=

=

σ

dla I 180: W

x

= 161,0 cm

3

(W

x

potrz.

= 139,53 cm

3

)

I

x

= 1450 cm

4

EI = 2972,50kNm

2

cm

m

EI

M

A

44

,

4

0444

,

0

132

=

=

=

δ

Przemieszczenie poziome punktu A (dla I180) wynosi:

cm

H

A

44

,

4

=

δ

Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

5

Zad.1d)

Przemieszczenie pionowe punktu A równa się wydłużeniu sprężyny
- reakcja w podporze sprężynowej: R

A

= x

1

= 7,2 kN

- podatność sprężyny

EI

k

6

1

=

cm

m

EI

EI

V
A

45

,

1

0145

,

0

2

,

43

6

2

,

7

1

=

=

=

⋅

=

⋅

δ

Przemieszczenie pionowe punktu A (dla I180) wynosi:

cm

H

A

45

,

1

=

δ

Przemieszczenie wypadkowe pktu A

( ) ( )

cm

V

A

H

A

A

67

,

4

45

,

1

44

,

4

2

2

2

2

=

+

=

+

=

δ

δ

δ

Przemieszczenie wypadkowe punktu A (dla I180) wynosi:

cm

A

67

,

4

=

δ

Politechnika Poznańska ► Instytut Konstrukcji Budowlanych ► Zakład Mechaniki Budowli

Układy statycznie niewyznaczalne - metoda sił, obliczanie przemieszczeń

Zad.1

www.ikb.poznan.pl/anita.kaczor

opracowała: Anna Wons

6