Podstawy Ekonomii Matematycznej
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
Spis tre±ci
I Elementy matematyki nansowej.
5
1 Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.
6
8
2.1 Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i podokresowa.
. . . . . . .
8
2.2 Równowa»no±¢ stóp procentowych.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
15
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Stopa dyskontowa a stopa procentowa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
22
4.1 Zasada oprocentowania skªadanego.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.5 Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania skªadanego.
. . . . . . . 26
4.6 Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
34
5.1 Model warto±ci kapitaªu w czasie.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Zasada równowa»no±ci kapitaªów.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
39
40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x
. . 45
6.2.2 Elastyczno±¢ funkcji kosztów.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6.2.3 Elastyczno±¢ funkcji popytu.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.3.1 Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnquista.
. . . 53
2
Spis tre±ci
55
7.1 Skªadniki modelu ekonomicznego.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.2 Modele równowagi statycznej.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.1 Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.2.2 Keynesowski model dochodu narodowego.
. . . . . . . . . . . . . . 57
7.3 Modele nakªadów i wyników Leontiewa
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.4 Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
3
Spis tre±ci
.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
4
Cz¦±¢ I
Elementy matematyki nansowej.
5
Rozdziaª 1
Procent, stopa procentowa,
kapitalizacja.
W matematyce procent oznacza oczywi±cie setn¡ cz¦±¢ caªo±ci (per centum przez sto)
x% =
x
100
.
W matematyce nansowej procent o jaki zmienia si¦ dana wielko±¢ nazywamy stop¡
procentow¡ (wzrostu lub spadku).
Przykªad 1.1. Przed rokiem cena pewnego towaru wynosiªa 500 zª i wzrosªa w ci¡gu tego
okresu o 30%. Obecnie cena powi¦kszyªa si¦ o
500 · 30% = 500 · 0.3 = 150
[zª],
wynosi wi¦c
500 + 150 = 650
[zª].
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie ceny ko«cowej
500 · (1 + 0.3) = 650
[zª].
Warto zwróci¢ te» uwag¦, »e gdyby po roku roku cena towaru zwi¦kszyªa si¦ o 40%, a nie o
30%,
to stopa wzrostu zwi¦kszyªaby si¦ o 10 punktów procentowych, a nie o 10%. Dla
porównania, gdyby stopa zwi¦kszyªaby si¦ o 10%, to wynosiªaby
30% · (1 + 10%) = 30% · (1.1) = 33%.
Przykªad 1.2. Cena pewnego towaru wynosiªa 300 zª. Po upªywie miesi¡ca wzrosªa o
20%,
a po upªywie kolejnego miesi¡ca wzrosªa o 30%. Zatem po dwóch miesi¡cach cena
wynosiªa
300 · 1.2 · 1.3 = 468
[zª].
Cena wzrosªa wi¦c o
468 − 300
300
= 0.56 = 56%.
Oczywi±cie mo»liwe jest natychmiastowe obliczenie o ile procent wzrosªa cena:
1.2 · 1.3 − 1 = 0.56 = 56%.
Uzasadnienie powy»szego rachunku jest proste
468 − 300
300
=
300 · 1.2 · 1.3 − 300
300
= 1.2 · 1.3 − 1.
6
Rozdziaª 1. Procent, stopa procentowa, kapitalizacja.
Powy»szy przykªad uzasadnia przyj¦cie nast¦puj¡cej de nicji.
Je±li pewna wielko±¢ zmieniªa si¦ o p%, to liczb¦ ρ := 1 +
p
100
nazywamy czynnikiem
procentowym zmiany (wzrostu lub spadku).
Uogólniaj¡c przykªad
mo»emy stwierdzi¢, »e je±li wielko±¢ P wzrasta o p
1
%
, a
nast¦pnie wzrasta o p
2
%
, to wzrasta o
P · (100 + p
1
) % · (100 + p
2
) % − P
P
=
1 +
p
1
100
·
1 +
p
2
100
− 1
=
h
1 +
p
1
100
·
1 +
p
2
100
− 1
i
· 100% = (ρ
1
· ρ
2
− 1) · 100%,
gdzie ρ
1
= 1 +
p
1
100
, ρ
2
= 1 +
p
2
100
s¡ czynnikami wzrostu odpowiadaj¡cymi stopom p
1
, p
2
.
W matematyce nansowej cz¦sto uto»samia si¦ procent o jaki wzrasta kapitaª z odset-
kami, czyli wielko±ci¡ o jak¡ wzrósª kapitaª. Powi¦kszenie kapitaªu o odsetki wygenerowa-
ne przez ten kapitaª nazywa si¦ kapitalizacj¡ odsetek. Same odsetki nie s¡ kapitaªem,
ale stan¡ si¦ jego cz¦±ci¡ dopiero po kapitalizacji. Czas, po którym odsetki s¡ dopisywa-
ne do kapitaªu nazywamy okresem kapitalizacji. Kapitaª, który wygenerowaª odsetki
nazywa si¦ kapitaªem pocz¡tkowym, a kapitaª powi¦kszony, po okresie kapitalizacji, o
odsetki nazywa si¦ kapitaªem ko«cowym. Czas, w ci¡gu którego odsetki s¡ generowane
nazywa si¦ czasem oprocentowania.
Stosunek odsetek do kapitaªu, który je wygenerowaª w ustalonym okresie nosi nazw¦
okresowej stopy procentowej . W praktyce najcz¦±ciej mamy do czynienia ze stopami
ustalonymi dla okresu rocznego i wtedy mówimy o rocznej stopie procentowej , sto-
pie w stosunku rocznym lub u»ywamy skrótu p.a. (per annum). Warto zauwa»y¢, »e
efektem obliczenia odsetek za dany okres nie musi by¢ ich kapitalizacja.
Przez warunki oprocentowania nale»y rozumie¢ dane, których znajomo±¢ wystar-
cza, aby obliczy¢ wysoko±¢ odsetek nale»nych od ustalonego kapitaªu za ustalony czas.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
7
Rozdziaª 2
Procent prosty.
2.1. Zasada oprocentowania prostego, stopa roczna i pod-
okresowa.
W przypadku transakcji nansowych zwykle nie okre±la si¦ odsetek, lecz wysoko±¢ stopy
procentowej oraz sposób obliczania odsetek wedªug zasady oprocentowania prostego lub
skªadanego.
Zasada oprocentowania prostego. Odsetki oblicza si¦ od kapitaªu pocz¡tkowego pro-
porcjonalnie do dªugo±ci czasu oprocentowania.
Niech:
K
0
pocz¡tkowa warto±¢ kapitaªu,
r
roczna stopa procentowa,
n
czas oprocentowania wyra»ony w latach,
I
n
odsetki za czas n lat,
K
n
ko«cowa warto±¢ kapitaªu po n latach.
Przy powy»szych oznaczeniach zasad¦ oprocentowania prostego mo»na zapisa¢ jako
I
n
= rK
0
· n
(2.1)
albo
K
n
= K
0
+ rK
0
· n = K
0
(1 + rn) .
(2.2)
Innymi sªowy, kapitaª przy oprocentowaniu prostym wzrasta liniowo wzgl¦dem czasu ze
wspóªczynnikiem kierunkowym równym rK
0
.
Zauwa»my te», »e
K
n+1
− K
n
= K
0
+ rK
0
· (n + 1) − (K
0
+ rK
0
· n) = rK
0
,
czyli przy oprocentowaniu prostym kapitaª wzrasta arytmetycznie.
Przykªad 2.1. Jak¡ warto±¢ osi¡gnie kapitaª pocz¡tkowy 500 zª po:
a) 4 latach,
b) 198 dniach
8
Rozdziaª 2. Procent prosty.
oprocentowania prostego, przy rocznej stopie 12% i latach liczonych wedªug reguªy bankowej
(1 rok = 360 dni)?
Skorzystamy ze wzoru (
K
n
= K
0
+ rK
0
· n.
Ad. a) Mamy: K
0
= 500
zª, r = 0.12, n =
364·3+365
360
=
1457
360
,
st¡d
K = 500 + 0.12 · 500 ·
1457
360
= 742.83
[zª].
Ad. b) Tym razem n =
198
360
,
K = 500 + 0.12 · 500 ·
198
360
= 533
[zª].
Przykªad 2.2. W dniu 30 czerwca 2001 r. pan X miaª na koncie a'vista 2500 zª. W
okresie od 1 lipca do 30 wrze±nia tego roku dokonano dwóch wpªat na konto: 12 lipca
3259 zª i 17 sierpnia 1600 zª oraz trzech wypªat: 23 lipca 4200 zª, 5 sierpnia 1900 zª
i 18 wrze±nia 300 zª. Odsetki dopisywane s¡ na koniec ka»dego kwartaªu. Bank oblicza
odsetki od dodatniego salda wg ustalonej stopy rocznej 12%, a w przypadku ujemnego salda
karne odsetki wg. ustalonej stopy rocznej powi¦kszonej o 50%. Obliczy¢ odsetki za III
kwartaª 2001 roku. Czas bankowy biegnie wedªug reguªy kalendarzowej.
Mamy tu do czynienia z oprocentowaniem prostym w ka»dym z okresów, kiedy kapitaª
na koncie nie ulegaª zmianie. Do oblicze« wygodnie jest sporz¡dzi¢ tabel¦
Data
Operacja
Saldo
Numer dnia Czas oprocentowania
operacji
wpªata wypªata po operacji
w roku
w dniach
30 czerwca
−
−
2500
181
−
12 lipca
3250
−
5750
193
12
23 lipca
−
4200
1550
204
13
5 sierpnia
−
1900
−350
217
12
17 sierpnia
1600
−
1250
229
32
18 wrze±nia
−
300
950
261
12
30 wrze±nia
−
−
950
273
−
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
9
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Do obliczenia odsetek skorzystamy ze wzoru (
I
1
= 2500 · 0.12 ·
12
365
= 9.86
I
2
= 5750 · 0.12 ·
11
365
= 20.79
I
3
= 1550 · 0.12 ·
13
365
= 6.62
I
4
= −350 · 0.18 ·
12
365
= −2. 07
I
5
= 1250 · 0.12 ·
32
365
= 13.15
I
6
= 950 · 0.12 ·
12
365
= 3.75
Zatem za III kwartaª wynosz¡ odsetki wynosz¡
9.86 + 20.79 + 6.62 − 2. 07 + 13.15 + 3.75 = 52.10
Kapitaª ko«cowy na dzie« 30 wrze±nia, wynosi
950 + 52.10 = 1002.10
[zª].
Cz¦sto, aby obliczy¢ odsetki proste u»ywamy oprócz stopy rocznej stopy miesi¦cznej
lub kwartalnej. W tym wypadku miesi¡c, kwartaª itd. nazywamy podokresem opro-
centowania (wzgl¦dem oprocentowania rocznego), a stop¦ procentow¡ dla tego okresu
stop¡ podokresow¡. Podokres mo»e by¢, cho¢ jest to stosowane rzadko, dªu»szy ni» rok
np. mo»e wynosi¢ 2 lata.
Wprowad¹my oznaczenia:
k
liczba podokresów, których ª¡czna dªugo±¢ jest równa dªugo±ci roku,
i
k
stopa podokresowa,
m
k
czas wyra»ony w podokresach (numer kolejnego podokresu).
Dªugo±¢ podokresu, przy ustalonym k, jest zawsze równa
1
k
dªugo±ci roku. W praktyce
najcz¦±ciej mamy do czynienia z nast¦puj¡cymi podokresami:
•
póªrocze, k = 2
•
kwartaª, k = 4,
•
miesi¡c, k = 13,
•
tydzie«, k = 52,
•
dzie«, k = 365 (lub 360).
Odsetki wg oprocentowania prostego za m
k
podokresów wynosz¡
I
m
k
= i
k
K
0
· m
k
,
a warto±¢ kapitaªu
K
m
k
= K
0
(1 + i
k
· m
k
) .
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
10
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Przykªad 2.3. Po»yczka 1200 zª b¦dzie spªacona jednorazowo po upªywie 4 miesi¦cy z
odsetkami prostymi przy miesi¦cznej stopie wynosz¡cej 1.3%. Obliczmy kwot¦ potrzebn¡
do spªaty tej po»yczki.
A zatem, k = 12, m
12
= 4, i
12
= 0.013, K
0
= 1200,
czyli
K
4
= 1200 + 0.013 · 1200 · 4 = 1262
[zª].
2.2. Równowa»no±¢ stóp procentowych.
Skoro mo»emy posªugiwa¢ si¦ ró»nymi stopami (roczn¡ lub podokresow¡) wa»ne jest usta-
lenie warunków równowa»no±ci tych stóp. Przede wszystkim doprecyzujmy, co oznacza
równowa»no±¢ stóp. T¦ równowa»no±¢ okre±la w matematyce nansowej nast¦puj¡ca
Zasada równowa»no±ci stóp procentowych. Stopy procentowe s¡ równowa»ne w
czasie n, je»eli przy ka»dej z nich ten sam kapitaª pocz¡tkowy K
0
,
generuje w tym
samym czasie n, b¦d¡cym liczb¡ lat, te same odsetki.
Dla ustalenia warunku równowa»no±ci stóp zauwa»my najpierw, »e je»eli n jest liczb¡
lat, to odpowiadaj¡ca jej liczba m
k
podokresów dªugo±ci
1
k
roku wynosi
m
k
= nk.
(2.3)
Niech dane b¦d¡ dwie stopy podokresowe i
k
1
oraz i
k
2
odpowiadaj¡ce podokresom dªugo±ci
1
k
1
i
1
k
2
roku. Odsetki generowane przez kapitaª K
0
po upªywie n lat s¡ identyczne przy
stopach i
k
1
i i
k
2
,
wtedy i tylko wtedy, gdy
i
k
1
m
k
1
K
0
= i
k
2
m
k
2
K
0
,
gdzie wobec (
m
k
1
= nk
1
, m
k
2
= nk
2
,
sk¡d
i
k
1
nk
1
K
0
= i
k
2
nk
2
K
0
.
W konsekwencji
i
k1
i
k2
=
1
k1
1
k2
,
(2.4)
co mo»na sªownie wyrazi¢ nast¦puj¡co: dwie stopy podokresowe s¡ równowa»ne wtedy i
tylko wtedy, gdy ich stosunek jest identyczny jak stosunek dªugo±ci odpowiadaj¡cych im
podokresów wyra»onych w latach. Z tego powodu przy oprocentowaniu prostym stopy
równowa»ne nazywamy proporcjonalnymi.
Wzór (
) jest równowa»ny wzorowi
i
k
1
= i
k
2
k
2
k
1
,
(2.5)
który pozwala przelicza¢ równowa»ne stopy procentowe. W szczególno±ci, z powy»szego
wzoru wynika, »e je±li i
k
jest stop¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi dªugo±ci
1
k
roku, za± r jest
stop¡ roczn¡, to
r = i
k
k.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
11
Rozdziaª 2. Procent prosty.
Przykªad 2.4. Póªroczna stopa oprocentowania prostego wynosi i
2
= 18%.
Obliczy¢ rów-
nowa»ne stop¦ miesi¦czn¡, 13dniow¡, 2letni¡. U»ywaj¡c ka»dej z nich obliczy¢ odsetki
proste od kapitaªu 400 zª za czas 3 lat. W obliczeniach u»ywa¢ reguªy bankowej.
W przypadku stopy miesi¦cznej mamy: k = 12 i wobec wzoru (
i
12
= i
2
2
12
= 18% ·
1
6
= 3%.
Dalej dla 3 lat m
12
= 12 · 3 = 36
oraz
I = i
12
· m
12
· K
0
= 0.03 · 36 · 400 = 432
[zª]
Dla stopy 13dniowej k =
360
13
oraz
i
360
13
= i
2
2
360
13
= 18% ·
13
180
= 1.3%.
Mamy te», »e dla 3 lat m
360
13
=
360
13
· 3 =
1080
13
oraz
I = i
360
13
· m
360
13
· K
0
= 0.013 ·
1080
13
· 400 = 432
[zª]
Wreszcie dla stopy 2letniej k =
1
2
,
i
1
2
= i
2
2
1
2
= 18% · 4 = 72%
m
1
2
=
1
2
· 3 =
3
2
I = i
1
2
· m
1
2
· K
0
= 0.72 ·
3
2
· 400 = 432
[zª].
Przykªad 2.5. Najni»sza cena, po której kupiono 26tygodniowe bony skarbowe wyniosªa
9521.06 zª za bon o warto±ci 10000 zª. Obliczy¢ stop¦ zysku tych bonów w skali 26 tygodni
i skali roku.
Mamy wi¦c
k =
360
26 · 7
oraz
i
k
=
10000 − 9521.06
9521.06
= 0.0503 = 5.03%,
co wynika ze wzoru
K = K
0
+ i
k
K
0
.
W skali roku
r = i
k
k = 5.03%
360
26 · 7
= 9.95%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
12
Rozdziaª 2. Procent prosty.
2.3. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Zaªó»my, »e czas oprocentowania kapitaªu K
0
wynosi n lat i skªada si¦ z m nast¦puj¡cych
po sobie okresów o dªugo±ci n
1
, n
2
, ..., n
m
lat, gdzie
n =
m
X
i=1
n
i
.
Zaªó»my dalej, »e w itym okresie obowi¡zuje stopa roczna r
i
, i = 1, 2, ..., m. Wówczas
odsetki proste w itym okresie wynosz¡
I
n
i
= r
i
n
i
· K
0
.
¡czne odsetki za okres n lat wynosz¡ wi¦c
I =
m
P
i=1
r
i
n
i
· K
0
= K
0
m
P
i=1
r
i
n
i
,
za± kapitaª ko«cowy
K = K
0
+ K
0
m
P
i=1
r
i
n
i
= K
0
1 +
m
P
i=1
r
i
n
i
.
(2.6)
Mo»emy teraz wprowadzi¢ poj¦cie stopy przeci¦tnej ¯r (za okres n lat) okre±lonej za
pomoc¡ równo±ci
¯
rnK
0
= K
0
m
X
i=1
r
i
n
i
.
Czyli jest to staªa stopa, jaka daªaby za n lat ten sam przyrost kapitaªu, co stopy zmienne.
Wynika st¡d, »e
¯
r =
1
n
m
P
i=1
r
i
n
i
.
Stopa przeci¦tna jest wi¦c ±redni¡ stop¡ wa»on¡ stóp r
1
, r
2
, ..., r
m
z wagami b¦d¡cymi
dªugo±ciami poszczególnych okresów. W szczególno±ci, je±li okresy s¡ jednakowe, stopa
przeci¦tna jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r
1
, r
2
, ..., r
m
.
Przykªad 2.6. Pan X wpªaciª 3600 zª na roczn¡ lokat¦ z odsetkami naliczanymi po za-
ko«czeniu lokaty. Przez 4 miesi¡ce obowi¡zywaªo oprocentowanie 6%, przez nast¦pne 3
miesi¡ce 5.5%, a przez ostatnie 5 miesi¦cy 4.5% (wszystkie stopy w stosunku rocznym).
Zgodnie z (
) warto±¢ lokaty wynosi
K = 3600
1 + 0.06 ·
4
12
+ 0.055 ·
3
12
+ 0.045 ·
5
12
=
3600
1 +
1
50
+
11
800
+
3
160
= 3600 ·
421
400
= 3789
[zª].
Natomiast ±rednia stopa
¯
r =
21
400
= 0.0525 = 5.25%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
13
Rozdziaª 2. Procent prosty.
2.4. Dyskontowanie proste.
Dyskontowaniem nazywamy obliczanie kapitaªu pocz¡tkowego K
0
na podstawie war-
to±ci kapitaªu ko«cowego K. Ró»nic¦ D mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i pocz¡tkowym
nazywamy dyskontem. Je±li dyskontowanie odbywa si¦ przy u»yciu stopy procentowej
r
, to nazywamy je dyskontem prostym. W matematyce nansowej stosuje si¦ równie»
dyskontowanie handlowe oparte na tzw. stopie dyskontowej. Zatem, przyjmuj¡c za n czas
wyra»ony w latach mamy, »e
K = K
0
(1 + rn)
sk¡d
K
0
= K (1 + rn)
−1
oraz
D = K − K
0
= K − K (1 + rn)
−1
=
K + Krn − K
1 + rn
=
Krn
1 + rn
= Krn (1 + rn)
−1
.
Przykªad 2.7. Oprocentowanie rachunku bankowego wynosi 16% w skali roku. Przy jakiej
wpªacie a) 1 kwietnia, b) 1 stycznia saldo na rachunku 1 stycznia nast¦pnego roku b¦dzie
wynosi¢ 1000 zª?
Mamy natychmiast
a)
K
0
=
K
1 + rn
=
1000
1 + 0.16 · 0.75
= 892.86
[zª],
b)
K
0
=
1000
1 + 0.16
=
1000
1 + 0.16
= 862.07
[zª].
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
14
Rozdziaª 3
Dyskonto handlowe proste.
3.1. Dyskonto handlowe.
Zapªata za po»yczenie pieni¦dzy mo»e by¢ zrealizowana w formie odsetek od po»yczonej
kwoty. Nie jest to jednak jedyna forma zapªaty, omówimy teraz zapªat¦ za po»yczk¦ zwan¡
dyskontem.
Dyskontem handlowym nazywamy zapªat¦ za po»yczk¦ obliczon¡ za pomoc¡ stopy
dyskontowej na podstawie kwoty, któr¡ dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, przy czym
dyskonto jest pªatne z góry (w momencie otrzymania po»yczki) i pomniejsza kwot¦ prze-
kazanych pieni¦dzy.
Dyskonto handlowe bywa nazywane procentem pªatnym z góry. Warto±¢ dyskonta
zale»y od kwoty, któr¡ mamy zwróci¢ oraz od czasu, na jaki po»yczamy pieni¡dze. Roczna
stopa, przy u»yciu której oblicza si¦ warto±¢ dyskonta nosi nazw¦ stopy dyskontowej.
Mamy
Zasada dyskonta handlowego (prostego). Dyskonto jest obliczane od kwoty, któr¡
dªu»nik zwróci po ustalonym czasie, jest proporcjonalne do tego czasu i jest odejmowane
od tej kwoty w momencie udzielenia po»yczki.
Niech:
F
kwota spªaty (warto±¢ nominalna po»yczki),
D
dyskonto,
P
warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki (warto±¢ nominalna po potr¡ceniu dyskonta)
d
roczna stopa dyskontowa,
n
czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, wyra»ony w latach.
Zgodnie z zasad¡ dyskonta handlowego:
D = dF · n
(3.1)
oraz
P = F − D = F (1 − dn) .
(3.2)
sk¡d równie»
F =
P
1−dn
.
(3.3)
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki nie mo»e by¢ ujemna czyli
F − D > 0
15
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
sk¡d dostajemy, »e
dn < 1,
co oznacza, »e przy danej stopie d czas udzielenia po»yczki musi speªnia¢ warunek
n <
1
d
,
(3.4)
za± przy ustalonym czasie n stopa musi speªnia¢ warunek
d <
1
n
.
(3.5)
Przykªad 3.1. Aby dzi± dosta¢ po»yczk¦ zobowi¡zujemy si¦ odda¢ po 3 miesi¡cach 1500
zª. Jaka jest opªata za po»yczk¦, je±li ma ona posta¢ dyskonta o stopie d = 14%. Wobec
D = 0.14 · 1500 ·
3
12
= 52.50
zª,
a zatem otrzymamy
P = F − D = 1500 − 52.50 = 1447.50
zª.
Przykªad 3.2. Po koniec 2001 roku du»¡ popularno±ci¡ cieszyªy si¦ w Polsce tzw. lokaty
antypodatkowe z odsetkami pªatnymi z góry w zwi¡zku z 20% tzw. podatkiem Belki. Zaªó»-
my, »e dysponujemy kwot¡ 10000 zª i chcemy je zdeponowa¢ na póª roku maj¡c do wyboru
dwie oferty:
•
w banku X póªroczn¡ lokat¦ z odsetkami pªaconymi z góry przy stopie rocznej d =
12%
•
w banku Y póªroczn¡, tradycyjn¡ lokat¦ z oprocentowaniem r = 15% w stosunku
rocznym.
Która oferta jest lepsza?
W banku X po»yczka lokata ma charakter dyskontowy z kwot¡ pocz¡tkow¡ P = 10000
zª, musimy wi¦c obliczy¢ kwot¦ ko«cow¡ F :
F =
P
1 − dn
=
10000
1 − 0.12 ·
1
2
= 10638.30
zª
W banku Y mamy, »e odsetki b¦d¡ wynosiªy
I = rP n = 0.15 · 10000 ·
1
2
= 750.00
zª
ale b¦d¡ obci¡»one podatkiem, a zatem bank wypªaci nam
K = 10000 + 0.8 · 750.00 = 10600.00
zª.
Zatem, lepiej skorzysta¢ z oferty banku X
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
16
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Obliczymy jeszcze przy jakiej stopie r obie oferty s¡ jednakowo opªacalne
P
1 − dn
= P + rP n · 0.8
1
1 − dn
= 1 + rn · 0.8
rn · 0.8 =
1
1 − dn
− 1
rn · 0.8 =
nd
1 − dn
r =
1.25d
1 − dn
=
1.25 · 0.12
1 − 0.12
1
2
= 0.159 6 = 15.96%.
3.2. Stopa dyskontowa a stopa procentowa.
Zajmiemy si¦ odpowiedzi¡ na pytanie kiedy stopa dyskontowa i procentowa wygeneruj¡
w jednakowym czasie jednakowe odsetki. Takie stop¦ nazywamy równowa»nymi.
Zasada równowa»no±ci stopy dyskontowej i procentowej. Roczna stopa dyskon-
towa d i roczna stopa procentowa r s¡ równowa»ne w czasie n, je±li dyskonto i odsetki
obliczane przy tych stopach dla tej samej po»yczki s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz analityczny warunek równowa»no±ci obu stóp. Skoro (przy ozna-
czeniach przyj¦tych w tym oraz poprzednim rozdziale) D = I przy warunku K
0
= P,
wi¦c
wobec (
dF n = rP n,
sk¡d uwzgl¦dniaj¡c (
P
1 − dn
= rP,
czyli
r =
d
1−dn
(3.6)
oraz
d =
r
1+rn
.
(3.7)
Ze wzorów (
) wynika
Wªasno±¢ 3.1.
1. Wysoko±¢ równowa»nych stóp nie zale»y od kwoty udzielonej po»yczki, ale zale»y od
czasu na jaki j¡ udzielono.
2. Istnieje dokªadnie jeden okres n, w którym stopy s¡ równowa»ne (zwany okresem
równowa»no±ci stóp dyskontowej i procentowej), wynosi on
n =
1
d
−
1
r
.
(3.8)
3. Okres równowa»no±ci stóp d i n jest dodatni (wynika, to z warunku (
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
17
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
4. Dla ka»dego okresu n i ka»dej stopy procentowej r istnieje równowa»na w okresie n
stopa dyskontowa d.
5. Dla ka»dej stopy dyskontowej d i ka»dego okresu n speªniaj¡cego warunek nd < 1
istnieje równowa»na w okresie n stopa r.
Zauwa»my te», »e warunkiem, aby warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki przy dyskoncie przy
okresie po»yczki n byªa dodatnia byªa nierówno±¢ n <
1
d
,
która dla okresu równowa»no±ci
otrzymanego w (
) jest oczywi±cie speªniona.
Przykªad 3.3. Powró¢my do przykªadu, w którym rozwa»ali±my inwestycj¦ w 26 tygo-
dniowe bony skarbowe o warto±ci 10000 zª. Nominalna cena zakupu tych bonów wynosiªa
9521.06 zª. Przyjmijmy F = 10000 zª, P = 9521.06 zª, n =
26·7
360
.
Roczna stopa dyskonta
wynosiªa wi¦c
d =
D
nF
=
F − P
nF
=
10000 − 9521.06
26·7
360
· 10000
= 0.0947 = 9.47%.
Roczna stopa rentowno±ci tej inwestycji jest równa
r =
D
nP
=
10000 − 9521.06
26·7
360
· 9521.06
= 0.0995 = 9.95%.
Jest to oczywi±cie roczne oprocentowanie po»yczki 9521.06, której warto±¢ wraz z odsetkami
wyniosªaby po 26 tygodniach 10000 zª.
Powy»szy przykªad uzmysªawia nam nast¦puj¡ce spostrze»enie.
Wªasno±¢ 3.2. Roczna stopa zysku (rentowno±ci) z transakcji, w której opªat¡ jest dys-
konto obliczone przy stopie d za czas n jest roczn¡ stop¡ procentow¡ r równowa»n¡ stopie
d
w czasie n.
Dowód. Rzeczywi±cie, roczna stopa zysku wynosi w tym wypadku
D
nP
=
I
nP
= r.
W praktyce du»e znaczenie ma
Wªasno±¢ 3.3. Niech d i r b¦d¡ stopami rocznymi dyskontow¡ i procentow¡ odpowiednio
równowa»nymi w okresie ¯n . Niech D b¦dzie warto±ci¡ dyskonta, za± I warto±ci¡ odsetek
przy po»yczce na n lat (n <
1
d
)
. Wówczas
1.
D > I ⇔ n > ¯
n,
2.
D < I ⇔ n < ¯
n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
18
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Dowód. Niech P b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡ po»yczki, F kwot¡ spªaty po»yczki
dyskontowej o warto±ci pocz¡tkowej P po n latach.. Mamy wobec (
»e
D = dF n,
I = rP n = rF (1 − dn)n =
d
1 − d¯
n
F (1 − dn)n =
1 − dn
1 − d¯
n
· dF n.
Zatem
D
I
=
1 − d¯
n
1 − dn
.
W konsekwencji (przy zaªo»eniu, »e n <
1
d
)
D > I ⇔
1 − d¯
n
1 − dn
> 1 ⇔ n > ¯
n
oraz
D < I ⇔
1 − d¯
n
1 − dn
< 1 ⇔ n < ¯
n
teraz n > ¯n, to D > I, je±li n < ¯n, to D < I.
Mamy równie»
Wªasno±¢ 3.4. Niech n oznacza czas od otrzymania do zwrotu po»yczki, I warto±¢ odsetek
za czas n przy stopie rocznej stopie procentowej r, za± D warto±¢ dyskonta tej samej
po»yczki za czas n lat przy rocznej stopie dyskontowej d (n <
1
d
).
Wówczas:
1.
D > I ⇔ r <
d
1 − dn
⇔ d >
r
1 + rn
.
2.
D < I ⇔ r >
d
1 − dn
⇔ d <
r
1 + rn
.
Dowód. Mamy wobec (
F =
P
1 − dn
D
I
=
dF
rP
=
dP
1 − dn
·
1
rP
=
d
1 − dn
·
1
r
,
sk¡d (przy zaªo»eniu n <
1
d
)
D > I ⇔
d
1 − dn
·
1
r
> 1 ⇔ r <
d
1 − dn
⇔ d >
r
1 + rn
oraz
D < I ⇔ r >
d
1 − dn
⇔ d <
r
1 + rn
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
19
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
3.3. Weksle.
Weksel stanowi zobowi¡zanie do zapªaty okre±lonej kwoty w ustalonym terminie i ma
form¦ dokumentu sprecyzowanego odpowiednimi przepisami. Kwot¦, do zapªaty której
zobowi¡zuje weksel nazywamy warto±ci¡ nominaln¡ weksla. Termin, w którym we-
ksel ma by¢ spªacony nazywamy terminem wykupu weksla. Warto±¢ weksla obliczon¡
na podstawie jego warto±ci nominalnej przy ustalonej stopie dyskontowej d na okre±lony
dzie« poprzedzaj¡cy poprzedzaj¡cy termin jego wykupu nazywamy warto±ci¡ handlo-
w¡ (aktualn¡) weksla.
Poniewa» weksel stanowi form¦ po»yczki liczonej wedªug zasady dyskonta handlowe-
go, zast¦pujemy dotychczas stosowan¡ terminologi¦ dotycz¡c¡ dyskonta handlowego w
nast¦puj¡cy sposób:
•
kwota spªaty F warto±¢ nominalna weksla,
•
opªata za po»yczk¦ (dyskonto) D warto±¢ dyskonta weksla,
•
warto±¢ pocz¡tkowa po»yczki P = F − D warto±¢ aktualna weksla,
•
czas od otrzymania do zwrotu po»yczki n czas do wykupu weksla.
W konsekwencji, aktualna warto±¢ weksla o warto±¢ nominalnej F, przy stopie dys-
kontowej (rocznej) d na n lat przed wykupem wynosi
P = F (1 − dn) .
Warto jeszcze zwróci¢ uwag¦, »e w odniesieniu do weksli czas w dniach zamienia si¦ na
lata wedªug reguªy bankowej (1 rok = 360 dni).
Przykªad 3.4. Zobowi¡zanie do zapªaty za dostaw¦ pewnego towaru o warto±¢ 195 jp
(jednostek pieni¦»nych) ma posta¢ weksla podpisanego 3 lipca na sum¦ 200 jp z terminem
wykupu 3 pa¹dziernika tego samego roku.
Mamy wi¦c
F = 200,
P = 195,
D = F − P = 5.
Czas do wykupu wyra»ony w dniach (wg tabeli)
276 − 183 = 92
dni;
wyra»ony w latach
n =
92
360
.
Stopa dyskontowa
d =
D
nF
=
5
200 ·
92
360
=
5
5 ·
92
9
=
9
92
= 9.78%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
20
Rozdziaª 3. Dyskonto handlowe proste.
Równowa»na stopa procentowa przy czasie n wynosi
r =
d
1 − dn
=
9
92
1 −
9
92
·
92
360
9
92
1 −
1
40
=
9
92
·
40
39
=
3
23
·
10
13
=
30
299
= 10.03%.
Oznacza to, »e gdyby±my 3 lipca po»yczyli 195 jp, to zwrot 3 pa¹dziernika 200 jp oznaczaªby
stop¦ procentow¡ 10.03%. Innymi sªowy po»yczka byªaby korzystniejsza od wystawienia
weksla przy stopie mniejszej ni» 10.03%. Wynika to równie» bezpo±rednio z wªasno±ci
Przykªad 3.5. Firma X rozwa»a dwa warianty pozyskania potrzebnych jej ±rodków: wy-
stawienie weksla o terminie wykupu za 90 dni przy stopie dyskontowej d = 16%, albo 90
dniowa po»yczka przy stopie rocznej r = 17%. Która opcja jest korzystniejsza.
Mamy
d
1 − dn
=
0.16
1 − 0.16 ·
90
360
=
0.16
1 −
16
100
·
1
4
=
16
100
·
100
96
=
1
6
= 16.67% < r.
Zatem z wªasno±ci
wynika, »e weksel jest bardziej opªacalny. Mo»emy równie» obliczy¢
czas ¯n, przy którym obie stopy s¡ równowa»ne. Z (
) mamy
¯
n =
1
d
−
1
r
=
100
16
−
100
17
=
25 · 17 − 400
68
=
25
68
= 0.367 647 058 8
to jest
0.367 647 058 8 · 360 = 132.352 941 2
dni.
Z wªasno±ci
po»yczka byªaby korzystniejsza dla czasu co najmniej 133 dni.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
21
Rozdziaª 4
Procent skªadany
4.1. Zasada oprocentowania skªadanego.
Przypomnijmy, »e w przypadku oprocentowania prostego odsetki s¡ dopisywane do kapi-
taªu dopiero po zako«czeniu czasu oprocentowania. Taki proces nazywa si¦ kapitalizacj¡.
Gdy jednak odsetki powi¦kszaj¡ kapitaª w równych odst¦pach czasu, przed upªywem cza-
su oprocentowania mamy do czynienia z procentem skªadanym. Czas, po upªywie którego
odsetki s¡ za ka»dym razem dopisywane do kapitaªu nazywa si¦ okresem kapitalizacji.
Zasada oprocentowania skªadanego. Oprocentowanie skªadane polega na tym, »e
odsetki (proste) oblicza si¦ za ka»dy ustalony z góry okres i kapitalizuje si¦ je na koniec
tego okresu.
Omówimy trzy zasadnicze typy oprocentowania skªadanego zwi¡zane z ró»nymi okre-
sami kapitalizacji.
4.2. Kapitalizacja roczna.
Przypu±¢my, »e dany jest kapitaª pocz¡tkowy K
0
> 0
i roczna stopa procentowa r, a
odsetki s¡ kapitalizowane co rok. Niech n oznacza okres oprocentowania wyra»ony w
latach. Przy kapitalizacji rocznej musimy poczyni¢ zaªo»enie, »e n ∈ N (:= {1, 2, . . .}) .
Obliczmy warto±¢ kapitaªu po upªywie kolejnych lat:
po roku
K
1
= K
0
+ rK
0
= K
0
(1 + r)
po dwóch latach K
2
= K
1
+ rK
1
= K
1
(1 + r) = K
0
(1 + r)
2
...
...
po n latach
K
0
(1 + r)
n
Zatem, po upªywie n lat kapitaª K
n
wynosi:
K
n
= K
0
(1 + r)
n
,
(4.1)
za± ª¡czne odsetki po upªywie n lat:
I
n
= K
n
− K
0
= K
0
((1 + r)
n
− 1) .
(4.2)
22
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Równania (
) stanowi¡ model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji
rocznej, albo krócej: model kapitalizacji rocznej. Widzimy te», »e przy modelu rocz-
nym kapitaª wzrasta geometrycznie z ilorazem (1 + r) . Model ten mo»e by¢ wi¦c opisany
za pomoc¡ równania ró»nicowego postaci
K
n+1
= K
n
(1 + r)
n
,
n ∈ N ∪ {0} .
atwo wida¢, »e przy danym kapitale pocz¡tkowym K
0
i ko«cowym K
n
(K
n
> K
0
)
za n
lat roczna stopa oprocentowania wynosi
r =
n
r K
n
K
0
− 1,
(4.3)
za± przy danym kapitale pocz¡tkowym K
0
, ko«cowym K
n
(K
n
> K
0
)
i stopie rocznej r
czas oprocentowania n (wyra»ony w latach) wynosi
n = log
1+r
K
n
K
0
=
ln
K
n
K
0
ln (1 + r)
.
(4.4)
W tym drugim przypadku nale»y dodatkowo zaªo»y¢, »e K
0
, K
n
i r s¡ tak dobrane, »e
ln
Kn
K0
ln(1+r)
jest liczb¡ naturaln¡.
Przykªad 4.1. Rozwa»my pi¦cioletni¡ lokat¦ w wysoko±ci K
0
= 10000
zª przy czym:
(a) odsetki s¡ naliczane po jej zako«czeniu a stopa procentowa wynosi r = 12%,
(b) lokata jest kapitalizowana corocznie a stopa procentowa wynosi ˜r = 10%.
W pierwszym przypadku warto±¢ ko«cowa kapitaªu wynosi
K
5
= K
0
(1 + rn) = 10000 (1 + 0.12 · 5) = 16000.00
zª,
w drugim
˜
K
5
= K
0
(1 + ˜
r)
n
= 10000 (1 + 0.1)
5
= 16100.00
zª.
Widzimy wi¦c, »e pomimo ni»szej stopy kapitalizacja jest bardziej opªacalna. Mo»emy si¦
te» zastanowi¢ jaka stopa roczna ¯r bez kapitalizacji wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª
co stopa ˜r z kapitalizacj¡:
¯
r =
˜
K
5
K
0
− 1
n
=
16100
10000
− 1
5
= 12.20%,
i na odwrót, jaka stopa roczna ˆr z kapitalizacj¡ wygeneruje po 5 latach ten sam kapitaª co
stopa roczna r bez kapitalizacji
ˆ
r =
5
r K
5
K
0
− 1 =
5
r
16000
10000
− 1 ≈ 9.856%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
23
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.3. Kapitalizacja podokresowa
Przypu±¢my, »e odsetki dopisywane s¡ za ka»dym razem po upªywie czasu krótszego ni» 1
rok. Wtedy taki okres nazywamy podokresem kapitalizacji. Oczywi±cie kapitaª b¦dzie
wzrastaª dokªadnie wg tej samej zasady co przy kapitalizacji rocznej, pod warunkiem »e do
jego opisu b¦dziemy u»ywa¢ stopy z zwi¡zanej z tym podokresem czyli stopy podokreso-
wej . Poj¦cie stopy podokresowej pojawiªo si¦ przy omawianiu oprocentowania prostego.
W przypadku kapitalizacji podokresowej jest ona równa procentowi, o jaki wzrasta ka-
pitaª za ka»dym razem po upªywie jednego podokresu. Liczb¦ podokresów kapitalizacji
przypadaj¡cych na jeden rok nazywa si¦ cz¦stotliwo±ci¡ kapitalizacji.
Wprowadzaj¡c oznaczenia analogiczne jak dla oprocentowania prostego przyjmijmy
k
cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji (ile razy w roku dopisywane s¡ odsetki),
m
k
czas oprocentowania wyra»ony w liczbie podokresów (zakªadamy, »e m
k
∈ N),
i
k
stopa podokresowa.
Wtedy, rozumuj¡c analogicznie jak dla kapitalizacji rocznej dostajemy, »e kapitaª K
m
k
po
upªywie czasu m
k
(czyli na koniec m
k
− tego
podokresu), przy kapitale pocz¡tkowym K
0
wynosi
K
m
k
= K
0
(1 + i
k
)
m
k
,
a ª¡czne odsetki po upªywie czasu m
k
wynosz¡
I
m
k
= K
0
((1 + i
k
)
m
k
− 1) .
Przykªad 4.2. Niech warto±¢ pocz¡tkowa kapitaªu wynosi K
0
= 1000
zª. Kapitaª ro±nie
wedªug oprocentowania skªadanego z kapitalizacj¡ kwartaln¡ (k = 4) i stop¡ kwartaln¡
i
4
= 6%.
Wówczas okres 2 lat stanowi 8 podokresów (m
k
= 8
). Kapitaª ko«cowy wynosi
wi¦c
K
8
= K
0
(1 + i
k
)
m
k
= 1000 (1 + 0.06)
8
= 1593.85
zª.
Cz¦sto warunki oprocentowania z kapitalizacj¡ podokresow¡ z cz¦stotliwo±ci¡ kapitali-
zacji k razy w roku mog¡ by¢ podane przy u»yciu tak zwanej rocznej stopy nominalnej
r
k
(a nie podokresowej i
k
). W tym wypadku podawana roczna stopa nominalna r
k
jest
de niowana jako stopa proporcjonalna do stopy podokresowej, dokªadniej
r
k
:= k · i
k
.
Kapitaª po upªywie m
k
okresów przy powy»szych warunkach oprocentowania i przy kapi-
tale pocz¡tkowym K
0
b¦dzie wynosi¢
K
m
k
= K
0
1 +
r
k
k
m
k
,
albo, je±li zamiast czasu wyra»onego w liczbie podokresów u»yjemy odpowiadaj¡cego mu
czasu wyra»onego w n latach,
K
n
= K
0
1 +
r
k
k
nk
.
Warto równie» zwróci¢ uwag¦, »e o ile stopa podokresowa wyra»aªa procent o jaki wzro±nie
nas kapitaª w ci¡gu jednego okresu kapitalizacji, to stopa roczna nominalna ju» takiej
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
24
Rozdziaª 4. Procent skªadany
wªasno±ci nie posiada (chyba, »e podokres jest równy 1 rok co, cho¢ formalnie poprawne,
podwa»a praktyczny sens u»ycia okre±lenia podokres).
U»ywaj¡c rocznej stopy nominalnej mo»na wprowadzi¢ jeszcze jeden wspóªczynnik
mierz¡cy szybko±¢ wzrostu kapitaªu. Przy poprzednich oznaczeniach zbadajmy iloraz war-
to±ci kapitaªu po dwóch nast¦puj¡cych po sobie latach
K
n+1
K
n
=
K
0
1 +
r
k
k
nk+k
K
0
1 +
r
k
k
nk
=
1 +
r
k
k
k
.
Wspóªczynnik ten oznaczany przez ρ
k
nie zale»y od n i zwany jest rocznym czynnikiem
oprocentowania. Informuje on ile razy zwi¦ksza si¦ kapitaª po upªywie roku. Ma on
nast¦puj¡c¡ (do±¢ jasn¡ intuicyjnie wªasno±¢)
Wªasno±¢ 4.1. Przy ustalonej rocznej stopie nominalnej roczny czynnik oprocentowania
jest tym wi¦kszy (czyli kapitaª ro±nie tym szybciej), im krótszy jest okres kapitalizacji.
4.4. Kapitalizacja ci¡gªa
Przypu±¢my, »e dana jest roczna stopa nominalna r
c
.
Je±li zaªo»ymy, »e cz¦stotliwo±¢ kapi-
talizacji k mo»e wzrasta¢ nieograniczenie (czyli okres kapitalizacji staje si¦ niesko«czenie
maªy, dodatni), to przy zaªo»eniu, »e stopa r
c
jest niezmienna dostajemy, »e po n latach
kapitaª K
n
, którego warto±¢ pocz¡tkowa byªa K
0
b¦dzie wynosi¢
K
n
= lim
k→∞
K
0
1 +
r
c
k
nk
= lim
k→∞
K
0
1 +
r
c
k
k
rc
nr
c
= K
0
e
r
c
n
.
(4.5)
Zauwa»my, »e powy»szy wzór ma sens nie tylko dla n ∈ N, n mo»e by¢ liczb¡ rzeczywista
dodatni¡, musimy tylko pami¦ta¢, »e odpowiada upªywowi czasu wyra»onego w jednostce 1
rok. Z tego powodu wygodniej b¦dzie dla oznaczania czasu u»ywa¢ litery t. Zatem, w chwili
t ≥ 0
warto±¢ kapitaªu K(t) podlegaj¡cego oprocentowaniu ci¡gªemu (z kapitalizacj¡ co
niesko«czenie krótki czas) z roczn¡ stop¡ nominaln¡ r
c
wynosi
K(t) = K(0)e
r
c
t
.
(4.6)
Je»eli zaªo»ymy, »e zamiast warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego w chwili t = 0 znana jest
warto±¢ kapitaªu w chwili t = t
0
, to jego warto±¢ w dowolnej chwili t ≥ t
0
wynosi¢ b¦dzie
K(t) = K(t
0
)e
r
c
(t−t
0
)
.
(4.7)
Wreszcie, je±li przyjmiemy r = e
r
c
− 1
, to wzór (
) przyjmie posta¢
K(t) = K(t
0
)(1 + r)
(t−t
0
)
.
(4.8)
Wzory (
) opisuj¡ wi¦c model oprocentowania skªadanego przy kapitalizacji ci¡gªej
(co niesko«czenie krótki czas) zwany równie» modelem kapitalizacji ci¡gªej . atwo
sprawdzi¢, podstawiaj¡c we wzorze (
) t = t
0
+ 1
, »e r jest roczn¡ stop¡ efektywn¡, czyli
w ci¡gu roku kapitaª pocz¡tkowy podlegaj¡cy modelowi (
) wzro±nie o dokªadnie r%.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
25
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Powy»szy model mo»na równie» wyprowadzi¢ nast¦puj¡co. Przypu±¢my, »e kapitaliza-
cja odbywa si¦ co ∆t lat (∆t nie musi by¢ wielko±ci¡ caªkowit¡). Wówczas, je±li w chwili
t
warto±¢ kapitaªu wynosiªa K (t) oraz kapitalizacja nast¡pi w chwili t + ∆t, to
K (t + ∆t) = K (t) + K (t) r
c
∆t
st¡d
K (t + ∆t) − K (t)
∆t
= r
c
K (t) .
Gdyby okres kapitalizacji byª niesko«czenie krótki, to
lim
∆t→0
K (t + ∆t) − K (t)
∆t
= r
c
K (t)
czyli
K
0
(t) = r
c
K (t) .
(4.9)
Rozwi¡zaniem powy»szego równania jest ka»da funkcja postaci,
K (t) = ce
r
c
t
,
gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Zakªadaj¡c, »e w chwili pocz¡tkowej t = 0 warto±¢ kapitaªu
wynosiªa K
0
mamy, »e
K
0
= c,
sk¡d
K (t) = K
0
e
r
c
t
.
Tak jak poprzednio musimy pami¦ta¢, »e powy»sze rozumowanie jest prawdziwe, je±li
jednostk¡ czasu t jest 1 rok.
Równanie (
) mówi, »e przy kapitalizacji ci¡gªej pr¦dko±¢ wzrostu kapitaªu w chwili
t
jest proporcjonalna do jego wielko±ci, za± wspóªczynnik tej proporcjonalno±ci interpre-
tujemy jako roczn¡ stop¦ nominaln¡.
4.5. Równowa»no±¢ stóp procentowych oprocentowania
skªadanego.
Zajmiemy si¦ teraz problemem równowa»no±ci stóp procentowych w oprocentowaniu skªa-
danym. Przypomnijmy ogóln¡ de nicj¦ stóp równowa»nych. Dwie stopy procentowe i
k
1
i
i
k
2
s¡ równowa»ne w czasie n, je±li przy tym samym kapitale pocz¡tkowym K
0
generuj¡
w czasie n identyczne odsetki albo, co na jedno wychodzi generuj¡ ten sam kapitaª ko«-
cowy K
n
.
De nicja ta, wprowadzona przez nas w rozdziale dotycz¡cym oprocentowania
prostego obowi¡zuje bez wzgl¦du na rodzaj oprocentowania.
Podamy analityczny warunek równowa»no±ci dwóch stóp procentowych. Zajmijmy si¦
najpierw oprocentowaniem skªadanym z kapitalizacj¡ dyskretn¡.
Rozwa»my dwa modele oprocentowania skªadanego. W pierwszym mamy do czynienia
z kapitalizacj¡ k
1
razy w roku i stop¡ podokresow¡ i
k
1
(zwi¡zan¡ z podokresem
1
k
1
), w
drugim z kapitalizacj¡ k
2
razy w roku i stop¡ podokresow¡ i
k
2
(zwi¡zan¡ z podokresem
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
26
Rozdziaª 4. Procent skªadany
1
k
2
). Niech dany b¦dzie kapitaª pocz¡tkowy K
0
oraz czas n lat. Wówczas, stopy i
k
1
oraz
i
k
2
s¡ równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K
0
(1 + i
k
1
)
nk
1
= K
0
(1 + i
k
2
)
nk
2
zatem
(1 + i
k
1
)
k
1
= (1 + i
k
2
)
k
2
.
Ta sama zale»no±¢ przy u»yciu rocznych stóp nominalnych r
k
1
i r
k
2
proporcjonalnych do
stóp i
k
1
i i
k
2
odpowiednio ma posta¢
1 +
r
k1
k
1
k
1
=
1 +
r
k2
k
2
k
2
.
Wreszcie, przy u»yciu rocznych czynników oprocentowuj¡cych ρ
k
1
i ρ
k
2
(odpowiadaj¡cych
stopom r
k
1
i r
k
2
odpowiednio) dostajemy warunek równowa»no±ci w postaci
ρ
k
1
= ρ
k
2
.
Oczywi±cie, z powy»szych wzorów wynika, »e równowa»no±¢ stóp procentowych nie zale»y
od kapitaªu pocz¡tkowego, ani czasu oprocentowania. Tym samym udowodnili±my
Wªasno±¢ 4.2. Niech i
k
1
oraz i
k
2
b¦d¡ stopami podokresowymi i
k
1
oraz i
k
2
odpowiada-
j¡cymi podokresom kapitalizacji k
1
i k
2
,
za± r
k
1
, r
k
2
rocznymi stopami nominalnymi oraz
ρ
k
1
, ρ
k
2
rocznymi czynnikami oprocentowuj¡cymi odpowiadaj¡cymi stopom i
k
2
, i
k
2
odpo-
wiednio. Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne
(1) stopy i
k
1
oraz i
k
2
s¡ równowa»ne,
(2) (1 + i
k
1
)
k
1
= (1 + i
k
2
)
k
2
,
(3)
1 +
r
k1
k
1
k
1
=
1 +
r
k2
k
2
k
2
,
(4) ρ
k
1
= ρ
k
2
.
Z powy»szej wªasno±ci ªatwo wynika, »e je»eli i
k
1
jest stop¡ podokresow¡ odpowiada-
j¡c¡ podokresowi kapitalizacji k
1
, to równowa»na stopa podokresowa i
k
2
odpowiadaj¡ca
podokresowi kapitalizacji k
2
wyra»a si¦ wzorem
i
k
2
= (1 + i
k
1
)
k1
k2
− 1.
W szczególno±ci, stopa roczna (odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji 1 raz w roku) rów-
nowa»na stopie i
k
odpowiadaj¡cej podokresowi k nazywana stop¡ efektywn¡, jest ozna-
czana symbolem r
ef
i wynosi
r
ef
= (1 + i
k
)
k
− 1 = ρ
k
− 1,
(4.10)
gdzie ρ
k
oznacza roczny czynnik oprocentowania dla stopy podokresowej i
k
. Poniewa»
roczny czynnik oprocentowania mierzy ile razy powi¦kszy si¦ kapitaª w ci¡gu roku, to
stopa efektywna informuje nas o ile procent powi¦kszy si¦ ten kapitaª w ci¡gu roku.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
27
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Stopa podokresowa i
k
odpowiadaj¡ca okresowi kapitalizacji k równowa»na stopie efek-
tywnej r
ef
wynosi natomiast
i
k
= (1 + r
ef
)
1
k
− 1.
Wreszcie, je±li r
k
1
jest roczn¡ stop¡ nominaln¡ odpowiadaj¡c¡ podokresowi kapitaliza-
cji k
1
, to jak ªatwo sprawdzi¢, równowa»na roczna stopa nominalna r
k
2
odpowiadaj¡ca
podokresowi kapitalizacji k
2
wyra»a si¦ wzorem
r
k
2
=
1 +
r
k1
k
1
k1
k2
− 1
!
k
1
.
Je»eli teraz porównamy kapitalizacj¦ ci¡gª¡ przy rocznej stopie nominalnej r
c
z kapi-
talizacj¡ k razy w roku i stop¡ podokresow¡ i
k
,
to te dwie stopy s¡ równowa»ne wtedy i
tylko wtedy, gdy
e
r
c
= (1 + i
k
)
k
.
W szczególno±ci, stopa efektywna równowa»na stopie r
c
wynosi
r
ef
= e
r
c
− 1 = ρ
c
− 1.
Na zako«czenie zajmiemy si¦ problemem równowa»no±ci stóp procentowych przy opro-
centowania skªadanym i prostym. Niech i
k
b¦dzie stop¡ podokresow¡ odpowiadaj¡c¡ pod-
okresowi k, za± r roczn¡ stop¡ procentow¡ przy oprocentowaniu prostym. Wówczas, w
my±l zasady równowa»no±ci stóp stopy s¡ równowa»ne w okresie n lat wtedy i tylko wte-
dy, gdy
(1 + i
k
)
nk
= 1 + rn.
Równowa»no±¢ stóp oprocentowania prostego i zªo»onego zale»y wi¦c od okresu oprocen-
towania. Mo»na udowodni¢, »e je±li te dwie stopy s¡ równowa»ne w okresie n, to nie s¡
równowa»ne w »adnym innym okresie.
4.6. Stopa zmienna w czasie, stopa przeci¦tna.
Przypu±¢my, »e kapitaª K
0
zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡ roczn¡, przy czym
w kolejnych latach obowi¡zywaªy stopy r
(i)
, i = 1, 2, ..., n. Wtedy warto±¢ kapitaªu w
kolejnych latach wynosi
K
1
= K
0
1 + r
(1)
,
K
2
= K
0
1 + r
(1)
1 + r
(2)
,
...
Indukcyjnie dowodzimy, »e warto±¢ kapitaªu po n latach wynosi
K
n
= K
0
Q
j
i=1
1 + r
(i)
,
(4.11)
za± ª¡czne odsetki po n latach
I
n
= K
0
Q
j
i=1
1 + r
(i)
− 1
.
(4.12)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
28
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Powy»sze wzory opisuj¡ model oprocentowania skªadanego rocznego przy zmiennej
stopie.
Mo»emy wprowadzi¢ dla tego modelu stop¦ przeci¦tn¡ (roczn¡) ¯r jako stop¦ roczn¡,
która wygeneruje po okresie n lat ten sam kapitaª K
n
,
zatem
K
0
(1 + ¯
r)
n
= K
0
n
Y
i=1
1 + r
(i)
,
sk¡d
¯
r =
n
q
Q
n
j=1
(1 + r
(i)
) − 1.
(4.13)
Je±li oznaczymy przez ¯ρ przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy odpowiadaj¡cy
stopie przeci¦tnej, to
¯
ρ = ¯
r + 1 =
n
q
Q
n
j=1
(1 + r
(i)
),
mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy jest ±redni¡ geo-
metryczn¡ rocznych czynników oprocentowuj¡cych w kolejnych latach okresu n lat.
Uogólniaj¡c powy»sze wzory, je±li stopy i
(j)
, j = 1, 2, ..., m
s¡ stopami okresowymi
(niekoniecznie rocznymi) w kolejnych okresach, to warto±¢ ko«cowa kapitaªu pocz¡tkowego
K
0
zªo»onego na czas m podokresów (z kapitalizacj¡ na koniec ka»dego okresu) wynosi
K
m
= K
0
Q
m
j=1
1 + i
(j)
,
(4.14)
za± stopa przeci¦tna w czasie m podokresów, zwana m−okresow¡ stop¡ przeci¦tn¡, ¯ı
wynosi
¯ı =
m
q
Q
m
j=1
(1 + i
(j)
) − 1.
(4.15)
Zauwa»my, »e wobec wzoru (
) m−okresowy czynnik oprocentowuj¡cy ρ
m
(rozu-
miany jako wielko±¢ o jak¡ zmieni si¦ kapitaª po upªywie m podokresów) wynosi
ρ =
Q
m
j=1
1 + i
(j)
,
(4.16)
natomiast m−okresowa stopa efektywna r (czyli o jaki procent zmieni si¦ kapitaª po
upªywie m podokresów) wynosi
r = ρ
m
− 1 =
Q
m
j=1
1 + i
(j)
− 1
(4.17)
Rozwa»my teraz sytuacj¦, w której kapitaª K
0
zostaª zªo»ony na n lat z kapitalizacj¡
ci¡gª¡, przy czym w kolejnych latach obowi¡zywaªy nominalne stopy nominalne r
(j)
c
, j =
1, 2, ..., n.
Wtedy kapitaª K
n
po n latach ma warto±¢
K
n
= K
0
e
r
(1)
c
e
r
(2)
c
...r
(n)
c
= K
0
e
P
n
j=1
r
(j)
c
,
za± roczna nominalna stopa ±rednia r
c
oprocentowania ci¡gªego speªnia warunek
e
r
c
n
= e
P
n
j=1
r
(j)
c
,
i wynosi
r
c
=
1
n
P
n
j=1
r
(j)
c
,
czyli jest ±redni¡ arytmetyczn¡ stóp r
(j)
c
, j = 1, 2, ..., n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
29
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.7. Dyskontowanie skªadane.
Zajmiemy si¦ teraz operacj¡ odwrotn¡ do obliczania kapitaªu ko«cowego na podstawie
kapitaªu pocz¡tkowego, który podlegaª oprocentowaniu skªadanemu, czyli operacj¡ dys-
kontowania.
Przypu±¢my, »e znamy warto±¢ kapitaªu ko«cowego K
n
,
który powstaª z kapitaªu po-
cz¡tkowego K
0
zdeponowanego na n lat przy oprocentowaniu skªadanym. Rozwa»my dwa
przypadki:
1. Okres kapitalizacji wynosi rok i roczna stopa procentowa jest równa r. Wtedy z
zale»no±ci
K
n
= K
0
(1 + r)
n
dostajemy natychmiast, »e
K
0
=
K
n
(1 + r)
n
.
2. Kapitalizacja jest ci¡gªa z roczn¡ stop¡ r
c
.
Wówczas
K
n
= K
0
e
r
c
n
,
sk¡d
K
0
= e
−r
c
n
K
n
.
W obydwu przypadkach warto±¢ dyskonta (czyli ró»nica mi¦dzy kapitaªem ko«cowym i
pocz¡tkowym) jest równa warto±ci ª¡cznych odsetek od kapitaªu K
0
.
Czynniki
1
1+r
oraz e
−r
c
nazywaj¡ si¦ rocznymi czynnikami dyskontuj¡cymi przy
kapitalizacji rocznej i ci¡gªej odpowiednio. Jest to wspóªczynnik ν przez jaki trzeba po-
mno»y¢ kapitaª na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª na pocz¡tku tego roku
tzn,
K
n
= νK
n+1
,
Obliczaj¡c roczn¡ stop¦ dyskontow¡ d, czyli o ile procent trzeba zmniejszy¢ kapitaª
K
n+1
na koniec dowolnego roku, aby otrzyma¢ kapitaª K
n
na pocz¡tku tego roku mamy
d =
K
n+1
− K
n
K
n+1
= 1 − ν.
Zatem, roczna stopa dyskontowa przy kapitalizacji rocznej ze stop¡ roczn¡ r wynosi
d = 1 −
1
1 + r
=
r
1 + r
,
za± przy kapitalizacji ci¡gªej i stopie nominalnej r
c
d
c
= 1 − e
−r
c
.
Przy u»yciu czynnika dyskontuj¡cego kapitaª pocz¡tkowy K
0
,
który wygeneruje po n
latach kapitaª ko«cowy K
n
wyra»a si¦ wzorem
K
0
= ν
n
K
n
,
a przy u»yciu rocznej stopy dyskontowej d :
K
0
= (1 − d)
n
K
n
.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
30
Rozdziaª 4. Procent skªadany
4.8. Oprocentowanie a in acja.
Mianem in acji okre±lamy zjawisko spadku siªy nabywczej kapitaªu, czyli ilo±ci dóbr
(towarów i usªug), które mo»emy kupi¢ za ten kapitaª. Miar¡ in acji w ustalonym okresie
czasu jest stopa procentowa in acji, która wyra»a procentowy wzrost cen towarów
i usªug w tym okresie. Poniewa» in acyjny wzrost cen w danym okresie nakªada si¦ na
wzrost cen w poprzednim okresie, wi¦c model opisuj¡cy in acyjne zmiany cen jest mode-
lem oprocentowania skªadanego ze zmiennymi w czasie stopami wyra»onego równaniem
Przypu±¢my, »e badamy in acyjne zmiany cen w m okresach.
Niech:
i
(j)
inf
okresowa stopa in acji w okresie j = 1, 2, ..., m,
f
inf
m−okresowa stopa in acji (równa procentowi o jaki wzrosn¡ ceny ª¡cznie po
upªywie m okresów),
¯ı
inf
przeci¦tna w czasie m okresów stopa in acji.
Zgodnie ze wzorami (
) mokresowy czynnik in acji 1 + i
inf
wynosi
1 + f
inf
=
Q
m
j=1
1 + i
(j)
inf
,
czyli jest iloczynem czynników in acji z kolejnych okresów. Za± zgodnie z (
) przeci¦tna
w czasie m podokresów stopa in acji wynosi
¯ı
inf
=
m
p1 + f
inf
− 1 =
m
r
Q
m
j=1
1 + i
(j)
inf
− 1.
(4.18)
Bior¡c pod uwag¦ wpªyw in acji na zmian¦ warto±ci kapitaªu pocz¡tkowego K
0
po
upªywie pewnego ustalonego okresu t nale»y rozró»ni¢ jego wzrost nominalny np.
zwi¡zany z faktem, »e kapitaª byª zdeponowany w banku, z jego wzrostem realnym
zwi¡zanym z siª¡ nabywcz¡ tego kapitaªu. Zaªó»my, »e dana jest pewna stopa procentowa
i
nom
zwana w tym kontek±cie stop¡ nominaln¡. Wedªug tej stopy, po upªywie czasu t
kapitaª ko«cowy b¦dzie wynosi¢
K
nom
= K
0
(1 + i
nom
) .
(4.19)
Jednak warto±¢ K
real
tego kapitaªu zwi¡zana z jego siª¡ nabywcz¡ b¦dzie tyle razy mniejsza
ile razy wzrosªy ceny w tym okresie. Je±li wi¦c i
inf
oznacza stop¦ in acji w tym okresie,
to
K
real
=
K
nom
1 + i
inf
= K
0
1 + i
nom
1 + i
inf
.
(4.20)
Powy»sze rozwa»ania pozwalaj¡ na formalne wprowadzenie poj¦¢ warto±¢ kapitaªu nomi-
nalnego i realnego.
Warto±ci¡ nominaln¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy danej stopie i
nom
nazywamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (
), tzn.
K
nom
:= K
0
(1 + i
nom
) .
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
31
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Warto±ci¡ realn¡ kapitaªu na koniec okresu dªugo±ci t przy stopie in acji i
inf
nazy-
wamy warto±¢ okre±lon¡ równo±ci¡ (
) t.j.
K
real
:=
K
nom
1+i
inf
.
Stop¡ realn¡ nazywamy liczb¦
i
real
:=
1 + i
nom
1 + i
inf
− 1.
(4.21)
Wobec (
K
real
=
K
nom
1 + i
inf
=
K
0
(1 + i
nom
)
1 + i
inf
= K
0
(1 + i
real
) ,
czyli stopa i
real
jest w istocie stop¡ procentow¡ informuj¡c¡ o ile procent zmienia si¦
warto±¢ realna kapitaªu w badanym okresie czasu t.
Bezpo±rednio z (
) wynika, »e
1 + i
nom
= (1 + i
real
) (1 + i
inf
) .
(4.22)
Powy»sza zale»no±¢ nosi nazw¦ wzoru Fishera. Mo»emy wi¦c powiedzie¢, »e czynnik
nominalnego oprocentowania kapitaªu jest iloczynem czynnika realnego wzrostu kapitaªu
i czynnika in acji. Ze wzoru Fishera wynika, »e
i
real
=
i
nom
−i
inf
1+i
inf
(4.23)
oraz
i
inf
=
i
nom
−i
real
1+i
real
.
Mamy
Wªasno±¢ 4.3.
1. Stopy nominalna jest równa stopie realnej jedynie przy zerowej in acji.
2. Je±li i
inf
> 0,
to i
real
< i
nom
− i
inf
.
3. Je±li i
inf
< 0,
to i
real
> i
nom
− i
inf
= i
nom
+ |i
inf
|
4. i
real
> 0 ⇔ i
inf
< i
nom
W okresach, w których stopa in acji jest ujemna mówimy o de acji, której miar¡
jest stopa |i
inf
|
. Wtedy wªasno±¢
.3 mówi, »e przy de acji (o stopie mniejszej ni» 1)
warto±¢ realna jest wi¦ksza ni» stopa nominalna nawet powi¦kszona o stop¦ de acji.
Przykªad 4.3. Tegoroczne ±rodki przyznane uczelni na prace naukowo-badawcze s¡ wy»sze
do ubiegªorocznych o 22%. Jaki jest realny wzrost tego funduszy, je±li stopa in acji wynosi
13%?
Przykªad pokazuje sens wzoru Fishera. Mam oczywi±cie, »e
1 + r
real
=
1 + r
nom
1 + r
inf
=
1.22
1.13
≈ 1.0796,
sk¡d
r
real
= 7.96%
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
32
Rozdziaª 4. Procent skªadany
Przykªad 4.4. Przewiduj¡c stop¦ in acji 5% rocznie ustalono, »e spªata po»yczki 6500 zª
wyniesie po dwóch latach 8000 zª. Obliczymy realn¡ roczn¡ stop¦ oprocentowania po»yczki,
je±li
(a) poziom in acji b¦dzie zgodny z przewidywaniami,
(b) w pierwszym roku in acja wyniesie 6%, a w drugim 9%.
(Ad a) Obliczymy najpierw roczn¡ stop¦ nominaln¡ r
nom
oprocentowania po»yczki. Ponie-
wa»
8000 = 6500 (1 + r
nom
)
2
,
wi¦c
r
nom
=
r
8000
6500
− 1 ≈ 10.94%.
Korzystaj¡c ze wzoru Fishera albo bezpo±rednio z (
r
real
=
r
nom
− r
inf
1 + r
inf
=
0.1094 − 0.05
1 + 0.05
≈ 5.66%.
(Ad b) Stopa in acji zmieniaªa si¦ w ci¡gu caªego okresu dwóch lat. Mo»emy jednak obliczy¢
stop¦ przeci¦tn¡, która zgodnie z okre±leniem, wygenerowaªaby w okresie dwóch lat
identyczny spadek warto±ci nominalnej kapitaªu. Zgodnie ze wzorem (
¯
r
inf
=
p
(1 + 0.06) (1 + 0.09) − 1 ≈ 7.49%.
r
nom
− r
inf
1 + r
inf
=
0.1094 − 0.0749
1 + 0.0749
≈ 3.21%.
Powró¢my jeszcze do zale»no±ci mi¦dzy warto±ci¡ realn¡ kapitaªu i jego warto±ci¡
nominaln¡. Wobec okre±lenia warto±ci realnej
K
real
=
K
nom
1 + i
inf
= K
nom
1 + i
inf
− i
inf
1 + i
inf
= K
nom
1 −
i
inf
1 + i
inf
.
Obliczenie kapitaªu realnego na podstawie kapitaªu realnego przypomina wi¦c operacj¦
dyskontowania ze stop¡
d
inf
:=
i
inf
1 + i
inf
.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
33
Rozdziaª 5
Warto±¢ kapitaªu w czasie
5.1. Model warto±ci kapitaªu w czasie.
Jest rzecz¡ jasn¡, »e warto±¢ kapitaªu jest wielko±ci¡ zmienn¡ w czasie. Ta sama kwota
pieni¦dzy posiadana 10 lat temu dzi± stanowi zupeªnie inn¡ warto±¢. W matematyce -
nansowej za aktualn¡ warto±¢ kapitaªu rozumie si¦ jego warto±¢ w chwili obecnej present
value (PV). Dla oznaczenia przyszªej warto±ci kapitaªu u»ywa si¦ skrótu FV future va-
lue. Oczywi±cie dla obliczenia przyszªej warto±ci kapitaªu na podstawie warto±ci obecnej
stosuje si¦ model oprocentowania, natomiast dla obliczenia warto±ci obecnej na podstawie
warto±ci przyszªej model dyskontowania.
Rozwa»my nast¦puj¡cy
Przykªad 5.1. N pocz¡tku roku pan Kowalski ma zdeponowane na lokacie rocznej opro-
centowanej 6% w skali roku 100000 zª. Na koniec roku pan Kowalski otrzyma 40000 zª
jako zapªat¦ za pewn¡ prac¦ zlecon¡. Zauwa»my, »e
1. Pan Kowalski nie mo»e powiedzie¢, »e na koniec roku b¦dzie posiadaczem kwoty
140000 zª albowiem b¦dzie posiadaczem kwoty 40000 zª oraz 100000 zª powi¦kszonej
o odsetki:
100000 · 1.06 + 40000 = 1460000.
2. W chwili obecnej pan Kowalski nie mo»e (na ogóª) uwa»a¢ si¦ za posiadacza kwoty
140000 zª. Gdyby chciaª za t¦ kwot¦ kupi¢ samochód, to nawet likwiduj¡c lokat¦
musiaªby wzi¡¢ kredyt na pozostaª¡ kwot¦. W sytuacji, gdyby otrzymaª kredyt do
ko«ca roku musiaªby go spªaci¢ wraz z odsetkami, czyli w kwocie przekraczaj¡cej
40000zª.
Powy»szy przykªad pokazuje, »e aby analizowa¢ warto±¢ kapitaªu potrzebne jest u»y-
cie jakiego± mechanizmu rachunkowego przeliczaj¡cego jego warto±¢ na wskazan¡ chwil¦
czasu. Oczywi±cie takim mechanizmem jest oprocentowania i dyskontowanie. Na ogóª do
przeliczania warto±ci kapitaªu w czasie u»ywa si¦ modelu zwi¡zanego z procentem (dys-
kontem) skªadanym.
Niech R 3 t 7→ K (t) b¦dzie funkcj¡ modeluj¡c¡ warto±¢ kapitaªu w czasie (t oznacza
czas mierzony w latach). Przypu±¢my, »e znana jest jego warto±¢ K (t
0
)
w chwili t
0
.
Za-
stosujemy model wykªadniczy oprocentowania czyli model kapitalizacji ci¡gªej. Zaªó»my,
34
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
»e kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu ze stop¡ efektywn¡ r > 0. Wobec (
mamy dla t ≥ t
0
K (t) = K (t
0
) (1 + r)
t−t
0
,
gdy» kapitaª podlega oprocentowaniu. Aby obliczy¢ warto±¢ kapitaªu dla t < t
0
musimy
zauwa»y¢, »e zgodnie z modelem wykªadniczym
K (t
0
) = K (t) (1 + r)
t
0
−t
,
sk¡d
K (t) = K (t
0
) (1 + r)
t−t
0
.
Zatem, modelem zmiany warto±ci kapitaªu w czasie jest funkcja
K (t) = K (t
0
) (1 + r)
t−t
0
,
t ∈ R.
(5.1)
Oczywi±cie w przypadku, gdy kapitaª podlega oprocentowaniu skªadanemu z kapitalizacj¡
okresow¡ powy»szy funkcja uci¡gla dyskretne zmiany warto±ci kapitaªu. Wtedy warto±ci
argumentu t powinny by¢ dyskretne, zwi¡zane z dªugo±ci¡ okresu kapitalizacji (pami¦taj-
my, »e w ka»dym wypadku t wyra»a czas mierzony w latach). Za pomoc¡ rocznej stopy
nominalnej r
c
(speªniaj¡cej warunek (1 + r = e
r
c
) model (
) mo»e by¢ wyra»ony jako
K (t) = K (t
0
) e
r
c
(t−t
0
)
.
Zwró¢my te» uwag¦, »e we wzorze (
) wybór chwili t
0
jest arbitralny t
0
mo»na
zast¡pi¢ dowolnie inn¡ chwil¡ t
1
.
Wtedy K (t
1
) = K (t
0
) (1 + r)
t
1
−t
0
oraz
K (t) = K (t
0
) (1 + r)
t−t
0
+t
1
−t
1
= K (t
0
) (1 + r)
t
1
−t
0
(1 + r)
t−t
1
= K (t
1
) (1 + r)
t−t
1
.
Kolejn¡ istotn¡ cech¡ modelu (
) jest jego addytywno±¢. To znaczy, je±li kapitaª K
podlegaj¡cy modelowi (
) jest sum¡ kapitaªów K
1
, . . . K
m
,
tzn.
K (t) =
m
X
j=1
K
j
(t) ,
to ka»dy z kapitaªów K
j
zmienia sw¡ warto±¢ wedªug tego samego modelu tzn.
K (t) = K (t
0
) (1 + r)
t−t
0
= (1 + r)
t−t
0
m
X
j=1
K
j
(t
0
) =
m
X
j=1
K
j
(t
0
) (1 + r)
t−t
0
.
Przykªad 5.2. Przypu±¢my, »e koszt produkcji towaru A wytwarzanego przez rm¦ B
przypadaj¡cy na jednostk¦ czasu w chwili t wynosi c (t) (jest to tzw. strumie« kosztów
produkcji wyra»ony w jednostkach monetarnych dzielonych przez czas; mo»na t¦ wielko±¢
uto»samia¢ z pr¦dko±ci¡ zmiany kosztów produkcji). Przypu±¢my, »e nie uwzgl¦dniamy
zmiany warto±ci pieni¡dza w czasie. W tej sytuacji dla maªego przyrostu czasu ∆t o chwili
¯
t
do chwili ¯t + ∆t mo»na przyj¡¢, »e koszt produkcji nie zmienia si¦ w tym przedziale
czasowym i w konsekwencji wynosi c (¯t) ∆t. Post¦puj¡c jak przy konstrukcji caªki w sensie
Riemanna dostajemy, »e caªkowity koszt produkcji w czasie od t
0
= 0
do chwili t = T
wynosi
Z
T
0
c (t) dt.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
35
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
Taki sposób obliczenia kosztów caªkowitych nie uwzgl¦dnia realnej zmiany warto±ci pieni¡-
dza. Nale»y najpierw zaktualizowa¢ poszczególne warto±ci kosztu na jeden wspólny moment
i dopiero pó¹niej dokona¢ obliczenia kosztu caªkowitego. Przypu±¢my, »e dokonamy aktu-
alizacji funkcji kosztu na chwil¦ ko«cow¡ t = T. Wtedy funkcja c b¦dzie odzwierciedlaªa
realny koszt produkcji na chwil¦ t = T, a dla chwil t < T pieni¡dze wydawane na pokrycie
kosztów b¦d¡ miaªy w chwili T na ogóª realn¡ warto±¢ wi¦ksz¡ ni» ich ówczesna warto±¢
nominalna. Zakªadaj¡c zmian¦ warto±ci kapitaªu zgodn¡ z modelem oprocentowania ze
stop¡ efektywn¡ r > 0 realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)
T −t
.
Caªkowity koszt wynosi¢ wi¦c b¦dzie
C (T ) =
Z
T
0
c (t) (1 + r)
T −t
dt.
Odwrotnie, je±li szacujemy caªkowity koszt produkcji dla chwili t = 0, to kwota c (t) wy-
dawana w chwilach bliskich T b¦dzie miaªa mniejsz¡ warto±¢ realn¡ od nominalnej, st¡d
realny koszt produkcji na jednostk¦ czasu b¦dzie postaci
c (t) (1 + r)
−t
,
a caªkowity koszt
C (0) =
Z
T
0
c (t) (1 + r)
−t
dt.
Zwró¢my uwag¦, »e mo»emy równie» znaj¡c caªkowity zaktualizowany na chwil¦ t
0
wyrazi¢,
korzystaj¡c z modelu wykªadniczego przeliczy¢ go na dowoln¡ chwil¦ τ :
C (τ ) = C (t
0
) (1 + r)
τ −t
0
.
Na przykªad znaj¡c koszt C (T ) = R
T
0
c (t) (1 + r)
T −t
dt
mamy
C (0) = C (T ) (1 + r)
−T
= (1 + r)
−T
Z
T
0
c (t) (1 + r)
T −t
dt =
Z
T
0
c (t) (1 + r)
−t
dt.
W obu przypadkach dostajemy identyczny efekt ko«cowy.
5.2. Zasada równowa»no±ci kapitaªów.
Zasada równowa»no±ci kapitaªów jest jedn¡ z najwa»niejszych zasad matematyki nanso-
wej. Pozwala ona zbada¢, czy dwa modele zmienno±ci kapitaªu w czasie opisuj¡ zmiany
tego samego kapitaªu. Punktem wyj±cia do naszych rozwa»a« jest poni»sza
Zasada równowa»no±ci kapitaªów w momencie t. Kapitaªy K
1
i K
2
s¡ równo-
wa»ne w chwili t, je±li ich warto±ci zaktualizowane na t¦ chwil¦ s¡ równe.
Wyprowadzimy teraz formalne warunki równowa»no±ci kapitaªów. Zakªadamy caªy
czas, »e warto±¢ kapitaªu w czasie jest zgodna z modelem wykªadniczym (
) z ustalon¡
roczn¡ stop¡ efektywn¡ r. Niech
K
1
(t) = K
1
(t
1
) (1 + r)
t−t
1
(5.2)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
36
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
oraz
K
2
(t) = K
2
(t
2
) (1 + r)
t−t
2
,
(5.3)
gdzie K
1
(t
1
) , K
2
(t
2
) > 0.
Zgodnie z powy»sz¡ zasad¡ kapitaªy te b¦d¡ równowa»ne w
chwili t, wtedy i tylko wtedy, gdy
K
1
(t
1
) (1 + r)
t−t
1
= K
2
(t
2
) (1 + r)
t−t
2
,
sk¡d dziel¡c obie strony przez (1 + t)
t−t
2
K
1
(t
1
) (1 + r)
−t
1
= K
2
(t
2
) (1 + r)
−t
2
.
(5.4)
Je±li r
c
oznacza roczn¡ stop¦ nominaln¡ oprocentowania ci¡gªego równowa»n¡ stopie r, to
warunek równowa»no±ci ma posta¢
K
1
(t
1
) e
−r
c
t
1
= K
2
(t
2
) e
−r
c
t
2
.
(5.5)
Wida¢, »e w obu wzorach (
) nie wyst¦puje chwila t, st¡d mamy
Wªasno±¢ 5.1. Kapitaªy K
1
i K
2
opisane modelami (
) odpowiednio, s¡ rów-
nowa»ne w chwili t wtedy i tylko wtedy, gdy s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t
0
.
Wobec powy»szej wªasno±ci mo»emy mówi¢ o równowa»no±ci kapitaªów niezale»nie
od czasu, czyli prowadzi¢ nasze dalsze rozwa»ania w oparciu o zasad¦ równowa»no±ci
sformuªowan¡ nast¦puj¡co:
Zasada równowa»no±ci kapitaªów. Kapitaªy K
1
i K
2
, opisane modelem wykªadni-
czym, s¡ równowa»ne je±li s¡ równowa»ne w dowolnej chwili t.
Ze wzoru (
) wynika te» natychmiast
Wniosek 5.1. Dwa kapitaªy K
1
i K
2
opisane modelami (
) odpowiednio, s¡
równowa»ne wtedy i tylko wtedy, gdy
K
1
(t
1
)
K
2
(t
2
)
= (1 + r)
t
2
−t
1
.
(5.6)
Ponadto, relacja równowa»no±ci kapitaªów jest relacj¡ przechodni¡.
Wszystkie powy»sze rozwa»ania zostaªy przeprowadzone przy danej z góry stopie pro-
centowej r. Zauwa»my, »e je»eli kapitaªy K
1
i K
2
s¡ równowa»ne przy stopie r, to dla
dowolnej innej stopy r
0
równowa»no±¢ kapitaªów oznaczaªaby na mocy poprzedniej wªa-
sno±ci, »e
(1 + r)
t
2
−t
1
= (1 + r
0
)
t
2
−t
1
,
sk¡d
t
2
= t
1
.
Czyli równowa»no±¢ przy nowej stopie byªaby mo»liwa, gdyby zmiana stopy nast¡piªa dla
obu kapitaªów w tym samym momencie, w pozostaªych przypadkach kapitaªy nie b¦d¡
równowa»ne.
Rozwa»aj¡c model wykªadniczy kapitaªu w czasie mo»na równie» postawi¢ nast¦puj¡cy
problem. Zaªó»my, »e mamy dane dwa kapitaªy K
1
i K
2
, których warto±ci K
1
(t
1
)
i K
2
(t
2
)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
37
Rozdziaª 5. Warto±¢ kapitaªu w czasie
w chwilach t
1
i t
2
s¡ dane. Przy jakiej stopie r kapitaªy te s¡ równowa»ne? Ze wzoru (
dostajemy natychmiast, »e stopa ta speªnia warunek
r =
K
1
(t
1
)
K
2
(t
2
)
1
t2−t1
− 1.
Na zako«czenie rozwa»my jeszcze przypadek, w którym dane s¡ dwa ci¡gi kapitaªów M
j
,
j = 1, 2, ..., m
oraz N
j
, j = 1, 2, ..., n.
Powiemy, »e powy»sze ci¡gi s¡ równowa»nymi
ci¡gami kapitaªów, je±li kapitaªy K
1
oraz K
2
postaci
K
1
(t) =
m
X
j=1
M
j
(t)
oraz
K
2
(t) =
n
X
j=1
N
j
(t)
s¡ równowa»ne.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
38
Cz¦±¢ II
Modele matematyczne.
39
Rozdziaª 6
Pochodna funkcji w ekonomii
Przyjmijmy oznaczenie R
+
:= [0, ∞) .
6.1. Funkcja kra«cowa
Niech funkcja C : R
+
→ R
+
opisuje koszt produkcji pewnego towaru w zale»no±ci od liczby
wyprodukowanych jednostek. Dla x ∈ R
+
wielko±¢ C (x) oznacza wi¦c koszt wyproduko-
wania x jednostek towaru. Funkcj¦ C b¦dziemy nazywa¢ funkcj¡ kosztu caªkowitego.
Dalej, dla x > 0 wielko±¢
c (x) :=
C (x)
x
oznacza koszt jednostkowy wyprodukowania x jednostek towaru, tzn. koszt, jaki przypada
na produkcj¦ jednej jednostki towaru przy poziomie produkcji x jednostek. Funkcj¦ c :
(0, ∞) → R
+
nazywamy funkcj¡ kosztu przeci¦tnego.
Niech x
0
∈ R
+
, ∆x > 0
wtedy iloraz ró»nicowy
C (x
0
+ ∆x) − C (x
0
)
∆x
oznacza przeci¦tny koszt wyprodukowania dodatkowych ∆x jednostek towaru przy pozio-
mie produkcji x
0
.
Granic¦
C
0
(x
0
) := lim
∆x→0
C (x
0
+ ∆x) − C (x
0
)
∆x
,
o ile istnieje, nazywamy kosztem kra«cowym (marginalnym) produkcji przy pozio-
mie produkcji x
0
.
Zakªadaj¡c ró»niczkowalno±¢ funkcji C funkcj¦ C
0
nazywamy funkcj¡
kosztu kra«cowego. Mamy te», »e dla maªych ∆x
C (x
0
+ ∆x) − C (x
0
) ≈ C
0
(x
0
) ∆x,
co, uznaj¡c ∆x = 1 za wielko±¢ maª¡, daje przybli»on¡ informacj¦, »e je±li zwi¦kszymy
produkcj¦ z poziomu x
0
jednostek o jedn¡ jednostk¦, to koszt produkcji zwi¦kszy si¦ o
C
0
(x
0
) .
Wielko±¢ produkcji x
0
dla której koszt przeci¦tny c(x) wyprodukowania jednostki da-
nego dobra przez przedsi¦biorstwo osi¡ga warto±¢ najmniejsz¡ nazywamy optimum tech-
nologicznym.
40
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Przykªad 6.1. Koszt wytworzenia x jednostek produkcji dla x ≥ 0 okre±lony jest funkcj¡
C(x) = x
3
− 60x
2
+ 1528x
. Funkcja kosztów kra«cowych, a wi¦c pochodna funkcji C ma
posta¢
C
0
(x) = 3x
2
− 120x + 1528.
Dla produkcji wynosz¡cej x = 5, koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (6) − C (5) = 7224 − 6265 = 959,
a koszt kra«cowy ma warto±¢ C
0
(5) = 1003
jednostki, zatem skorzystanie z interpretacji
kosztu kra«cowego daj¦ mocno przybli»ony wynik.
Je»eli x = 100, to koszt wyprodukowania dodatkowej jednostki wyniesie
C (101) − C (100) = 572 569 − 552 800 = 19 769,
a koszt kra«cowy ma warto±¢ C
0
(100) = 19 528
jednostek. Widzimy wi¦c, »e nawet stosu-
j¡c przybli»on¡ za pomoc¡ funkcji kosztu kra«cowego warto±¢ wyprodukowania dodatkowej
jednostki towaru mo»emy wyci¡gn¡¢ wniosek, »e zwi¦kszanie produkcji opªaca si¦ bardziej
przy produkcji na poziomie x = 5 jednostek ni» na poziomie x = 100 jednostek.
Nast¦pnie koszt przeci¦tny okre±la funkcja postaci
c(x) =
C(x)
x
= x
2
− 60x + 1528.
Mamy wi¦c, »e minimalna warto±¢ funkcji c jest osi¡gni¦ta dla x = 30. Zatem wielko±¢
produkcji x = 30 stanowi optimum technologiczne. Zauwa»my te», »e
c(30) = 628 = C
0
(30)
Wªasno±¢ 6.1. Niech x
0
b¦dzie optimum technologicznym, wówczas
c(x
0
) = C
0
(x
0
).
Dowód. Niech x
0
b¦dzie wielko±ci¡ produkcji. Skoro x
0
jest optimum technologicznym,
to
c
0
(x
0
) = 0 ⇔
C(x)
x
0
x=x
0
= 0,
st¡d
C
0
(x
0
)x
0
− C(x
0
)
x
2
0
= 0,
czyli
C(x
0
)
x
0
= C
0
(x
0
),
zatem
c(x
0
) = C
0
(x
0
).
Ostatnia równo±¢ oznacza, »e krzywa kosztów kra«cowych przecina si¦ z krzyw¡ kosztów
przeci¦tnych w punkcie oznaczaj¡cym jej minimum.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi sprzeda» towaru. Niech x ≥ 0 oznacza ilo±¢ jed-
nostek towaru sprzedawanych przez ten zakªad. oznaczmy przez U(x) utarg caªkowity,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
41
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
czyli przychód ze sprzeda»y x jednostek towaru. Funkcja U : R
+
→ R
+
jest, wi¦c funk-
cj¡ utargu caªkowitego czyli funkcj¦ opisuj¡c¡ kwot¦, jak¡ przedsi¦biorstwo otrzyma
za sprzeda» x jednostek towaru. Zakªadaj¡c, »e U jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡ szybko±¢
zmian utargu zakªadu przy sprzeda»y x jednostek wynosi:
U
0
(x) = lim
∆t→0
∆U
∆x
.
Tak jak w przypadku kosztu U
0
nazywana jest funkcj¡ utargu kra«cowego. Zatem utarg
kra«cowy U
0
jest równy wzrostowi sprzeda»y je±li zwi¦kszymy j¡ o dodatkow¡ jednostk¦
towaru.
Zaªó»my, »e pewien zakªad prowadzi produkcj¦ i sprzeda» produktu. Niech Z(x) ozna-
cza zysk caªkowity przedsi¦biorstwa przy produkcji i sprzeda»y x jednostek towaru.
Funkcj¦ Z : R
+
→ R
+
nazywamy funkcj¡ zysku caªkowitego. Oczywi±cie
Z(x) = U (x) − C(x)
dla
x ≥ 0,
gdzie U(x) oznacza utarg, a C(x) koszt caªkowity produkcji x jednostek danego produktu.
St¡d dostajemy natychmiast
Wªasno±¢ 6.2. Je±li x
0
jest wielko±ci¡ produkcji dla której przedsi¦biorstwo osi¡ga zysk
maksymalny, to C
0
(x
0
) = U
0
(x
0
)
, czyli koszt kra«cowy dla produkcji o wielko±ci x
0
jest
równy utargowi kra«cowemu dla x
0
.
Przykªad 6.2. Cena zbytu wyrobu jest równa p(x) = 40 − 0.03x, gdzie x oznacza liczb¦
jednostek wyrobu. Koszt caªkowity x jednostek wyrobu w pewnym zakªadzie dany jest wzo-
rem C(x) = 0.01x
2
+ 20x + 225
. Dla jakiej wielko±ci produkcji zysk na jednostk¦ wyrobu
jest najwi¦kszy?
Mamy
C
0
(x) = 0.02x + 20,
Z (x) = (xp (x) − C (x)) = 20x − 0.04x
2
− 225,
Z
0
(x) = −0.08x + 20.
Niech x
0
b¦dzie wielko±ci¡ produkcji odpowiadaj¡c¡ zyskowi maksymalnemu, wtedy
U
0
(x
0
) = C
0
(x
0
),
sk¡d x
0
= 250.
6.2. Elastyczno±¢ funkcji
Niech f : (a, b) → R, ((a, b) ⊂ R
+
), x
0
∈ (a, b)
oraz niech ∆x b¦dzie takim przyrostem,
»e (x
0
+ ∆x) ∈ (a, b)
.
Przyrostem wzgl¦dnym warto±ci funkcji f dla argumentu x
0
i przyrostu ∆x
nazywamy liczb¦
∆y
y
:=
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
f (x
0
)
,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
42
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
o ile f(x
0
) 6= 0
. Liczb¦
∆x
x
0
nazywamy przyrostem wzgl¦dnym argumentu dla argumentu x
0
.
Elastyczno±ci¡ przeci¦tn¡ funkcji f w przedziale hx
0
, x
0
+∆xi
nazywamy stosunek
wzgl¦dnego przyrostu funkcji do wzgl¦dnego przyrostu argumentu
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
f (x
0
)
·
x
0
∆x
(6.1)
i oznaczamy symbolem E
x
0
,∆x
f
.
Elastyczno±ci¡ funkcji f w punkcie x
0
nazywamy granic¦ (o ile istnieje)
lim
∆x→0
E
x
0
,∆x
f
i oznaczamy E
x
0
f
.
Uwaga 6.1. Je±li ∆x = 0.01x
0
= 1% · x
0
,
to
E
x
0
f ≈ E
x
0
,∆x
f =
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
f (x
0
)
· 100%.
Elastyczno±¢ E
x
0
f
jest wi¦c (w przybli»eniu) miar¡ przeci¦tnego procentowego przyrostu
warto±ci funkcji f, odpowiadaj¡cego przyrostowi warto±ci argumentu x o 1%.
Mamy nast¦puj¡c¡
Wªasno±¢ 6.3. Je»eli f(x
0
) 6= 0
, to
E
x
0
f = f
0
(x
0
)
x
0
f (x
0
)
.
(6.2)
Dowód. Mamy, »e
lim
∆x→0
E
x
0
,∆x
f = lim
∆x→0
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
·
x
0
f (x
0
)
= f
0
(x
0
)
x
0
f (x
0
)
.
Wªasno±¢ 6.4. Je»eli argument x funkcji f wzrasta o p% od pewnej warto±ci pocz¡tkowej
x
0
, to warto±¢ funkcji zmienia si¦ o q%, gdzie
q ≈ pE
x
0
f.
Dowód. Niech x
0
b¦dzie warto±ci¡ pocz¡tkow¡. Przypu±¢my, »e argument x wzrósª o p%,
co wywoªaªo zmian¦ warto±ci funkcji o q% (licz¡c od f(x
0
)
), wtedy
f (x
0
+
p
100
x
0
) − f (x
0
) =
q
100
f (x
0
).
(6.3)
Mamy, »e
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) ≈ f
0
(x
0
) ∆x,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
43
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
sk¡d
E
x
0
f =
x
0
f (x
0
)
f
0
(x
0
) ≈
x
0
f (x
0
)
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
)
∆x
Przyjmuj¡c ∆x =
p
100
x
0
otrzymujemy z (
), »e
E
x
0
f ≈
x
0
f (x
0
)
q
100
· f (x
0
)
p
100
x
0
=
q
p
,
zatem
q ≈ pE
x
0
f.
Przykªad 6.3. Obliczymy elastyczno±¢ funkcji
f (x) =
2x
x + 8
,
x > 0
w punkcie x
0
= 2
.
Poniewa» f
0
(x) =
16
(x+8)
2
, zatem
E
x
0
f =
1
2
(x + 8)
16
(x + 8)
2
=
8
x + 8
.
Dla x
0
= 2
mamy wi¦c, »e E
2
f = 0.8
. Oznacza to, »e je±li argument x
0
= 2
wzro±nie o
1%,
to warto±¢ funkcji f wzro±nie o okoªo 0.8%.
Porównamy ten wynik z wynikiem dokªadnym:
f (x
0
+ 0.01x
0
) = f (2 + 0.02) = f (2.02) =
2 · 2.02
2.02 + 8
=
4.04
10.02
=
202
501
oraz
f (x
0
) = f (2) =
4
10
= 0.4.
Sk¡d
f (x
0
+ 0.01x
0
)
f (x
0
)
· 100% =
202
501
0.4
· 100% =
202
501
·
10
4
· 100% =
505
501
· 100% ≈ 100.798 403 2,
czyli wzrost nast¡piª o 0.798 403 2%.
Widzimy wi¦c, »e stosuj¡c wzór na elastyczno±¢ funkcji w punkcie rozwi¡zanie jest
znacznie krótsze.
Uwaga 6.2. Wªasno±¢
podaje przybli»ony wzrost procentowy funkcji f. Zauwa»my
jednak, »e warto±¢ pE
x
0
f
jest dokªadnie równa procentowi o jaki wzrosªa warto±¢ funkcji
przy wzro±cie argumentu o p%, je±li funkcja jest liniowa. Wynika to bezpo±rednio z faktu,
»e dla funkcji liniowej f zachodzi wzór
f (x
0
+ ∆x) − f (x
0
) = f
0
(x
0
) ∆x.
Innymi sªowy, dla funkcji liniowej elastyczno±¢ przeci¦tna i elastyczno±¢ s¡ równe. Po-
wy»szy wniosek pozostaje prawdziwy, je±li przyrost ∆x jest na tyle maªy, »e funkcja f na
przedziale (x
0
, x
0
+ ∆x)
jest liniowa (lub mo»e by¢ tak traktowana).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
44
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
STYCZNA
STYCZNA
X
0
X
0
f(x)
0
f(x)
0
k
k
f(x)
f(x)
Rysunek 6.1 Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punkcie x
0
.
6.2.1. Interpretacja geometryczna elastyczno±ci funkcji f w punk-
cie x
0
.
Zgodnie z geometryczn¡ interpretacj¡ pochodnej funkcji f w punkcie x
0
warto±¢ f
0
(x
0
)
jest
wspóªczynnikiem kierunkowym stycznej poprowadzonej do wykresu funkcji f w punkcie
(x
0
, f (x
0
))
. Niech x
1
oznacza miejsce zerowe tej stycznej oraz niech k := x
0
− x
1
. Wówczas
f
0
(x
0
) =
f (x
0
)
k
. St¡d
E
x
0
f (x
0
) =
x
0
f (x
0
)
f
0
(x
0
) =
x
0
f (x
0
)
f (x
0
)
k
=
x
0
k
.
Analizuj¡c funkcj¦ przedstawion¡ na rysunku
z lewej strony widzimy, »e elastycz-
no±¢ funkcji w punkcie x
0
jest wi¦ksza od 1, czyli E
x
0
f (x
0
) =
x
0
k
> 1,
gdy» x
0
> k,
za±
funkcja z prawej strony ma elastyczno±¢ w punkcie x
0
mniejsz¡ od 1, czyli E
x
0
f (x
0
) =
x
0
k
< 1,
gdy» x
0
< k
.
6.2.2. Elastyczno±¢ funkcji kosztów.
Niech C : R
+
→ R
+
oznacza funkcj¦ kosztu caªkowitego (C(x) oznacza koszt caªkowity
wytworzenia x jednostek produktu). Zaªó»my, »e C jest ró»niczkowalna. Wówczas zgodnie
ze wzorem (
) elastyczno±¢ kosztu (przy zaªo»eniu, »e C(x) > 0) wynosi
E
x
C =
x
C(x)
C
0
(x).
Je±li wi¦c c oznacza funkcj¦ kosztu przeci¦tnego, to
E
x
C =
C
0
(x)
c(x)
.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
45
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest wi¦c równa stosunkowi (ilorazowi) kosztu caªkowitego
do kosztu przeci¦tnego.
Dla kosztu przeci¦tnego c mamy
E
x
c =
x
c(x)
c
0
(x).
(6.4)
Mamy
Wªasno±¢ 6.5. Elastyczno±¢ kosztu caªkowitego jest o jeden wi¦ksza od elastyczno±ci
kosztu przeci¦tnego
E
x
c + 1 = E
x
C.
Dowód.
E
x
c =
x
c(x)
c
0
(x) =
x
C(x)
x
·
C(x)
x
0
=
x
2
C(x)
·
xC
0
(x) − C(x)
x
2
=
x
C(x)
C
0
(x) − 1 = E
x
C − 1.
6.2.3. Elastyczno±¢ funkcji popytu.
Zajmiemy si¦ teraz rozwa»aniem dotycz¡cym zmian popytu. W ekonomii popyt okre±la
ilo±¢ dobra (usªugi), jak¡ nabywcy s¡ gotowi zakupi¢ (naby¢) przy ró»nej wysoko±ci ce-
ny w danym czasie przy zaªo»eniu, »e inne czynniki maj¡ce wpªyw na popyt pozostaj¡
niezmienne.
Zmiana popytu zachodzi pod wpªywem licznych czynników takich jak: wysoko±¢ ceny,
dochód, liczba nabywców, zmiana cen innych dóbr, reklama i preferencje nabywców. Do-
kªadniej omówimy dwa z tych czynników: zmian¦ wielko±ci cen dóbr i wysoko±ci dochodu
konsumenta.
Cz¦sto aby zilustrowa¢ popyt rozwa»a si¦ tak zwan¡ krzyw¡ popytu. Jest to zale»-
no±¢ mi¦dzy ilo±ci¡ danego towaru, jaki mo»e by¢ wchªoni¦ty przez rynek, a czynnikiem
ksztaªtuj¡cym popyt np. cen¡ towaru na rynku. Naturalne jest, »e je±li cena danego do-
bra ro±nie, to wyst¦puje spadek wielko±ci popytu i odwrotnie gdy cena maleje wówczas
nast¦puje zwi¦kszenie wielko±ci popytu jest, to tak zwane prawo popytu.
Ilość
Cena
p
p
1
2
q
2
1
q
x
x
2
1
Rysunek 6.2 Krzywa popytu.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
46
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Cenowa elastyczno±¢ popytu
Zaªó»my, »e zmiana popytu jest wyra»ona za pomoc¡ funkcji ilo±ci towaru q, jaki mo-
»e zosta¢ wchªoni¦ty przez rynek a jego cen¡ jednostkow¡ p. Wra»liwo±¢ zmian popytu
na zmian¦ cen dóbr mierzy si¦ przy pomocy elastyczno±ci funkcji q (p) zwanej cenow¡
elastyczno±ci¡ popytu. Jej warto±¢ (dla konkretnej warto±ci ceny) nazywa si¦ wspóª-
czynnikiem elastyczno±ci cenowej popytu.
Dokonuj¡c linearyzacji funkcji q (p), czyli zakªadaj¡c, »e zmiana funkcji q ma, przy-
najmniej lokalnie charakter liniowy, mamy, »e elastyczno±¢ cenowa popytu to stosunek
wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do wzgl¦dnej (procentowej), (maªej), zmiany ce-
ny. Je±li ustalimy argument p, to przy takim zaªo»eniu wspóªczynnik elastyczno±ci
c
(de-
niowany jako warto±¢ elastyczno±ci w punkcie p) okre±la (w przybli»eniu tak dobrym,
jak zaªo»enie liniowo±ci funkcji w otoczeniu punktu p jest realne), o ile procent zmieni
(zmniejszy lub zwi¦kszy) si¦ popyt na dane dobro w przypadku gdy jego cena zmieni si¦
(wzro±nie lub spadnie) o 1%.
Przykªad 6.4. Zaªó»my, »e p jest cen¡ towaru za± q oznacza popyt na dany towar (ilo±¢
towaru, jaka mo»e by¢ wchªoni¦ta przez rynek). Niech cena pocz¡tkowa towaru wynosi
p
0
= 30
jednostek pieni¦»nych, nast¦pne cena ta zostaªa zwi¦kszona o ∆p = 6 jednostki
pieni¦»ne. Wzgl¦dna zmiana ceny, wi¦c wynosi
∆p
p
=
6
30
= 20%
Nast¦pnie zaªó»my, »e cenie p
0
= 30
odpowiada popyt q = 200 jednostek towaru, a cenie
zwi¦kszonej o 6 jednostek od pozycji wyj±ciowej, czyli p + ∆p = 36 odpowiada popyt q +
∆q = 190
jednostek towaru, st¡d mamy ∆q = −10, zatem wzgl¦dna zmiana popytu wynosi
∆q
q
=
−10
200
= −5%.
Zaªó»my, »e popyt jest funkcj¡ liniow¡ (przynajmniej w otoczeniu p
0
).
Elastyczno±¢ cenowa
popytu w naszym przypadku b¦dzie równa
∆q
q
:
∆p
p
= −
1
4
.
Widzimy wi¦c, »e w naszym przypadku wzrost (b¡d¹ spadek) ceny p o 1% spowoduje zmniej-
szenie (b¡d¹ zwi¦kszenie) popytu o 0.25%.
Bezwzgl¦dny wspóªczynnik cenowej elastyczno±ci popytu |
c
|
mo»e przyjmowa¢ war-
to±ci z przedziaªu (0; ∞) dlatego przyj¦to konwencje wedªug której okre±lamy czy funkcja
popytu jest elastyczna w pewnym punkcie. A zatem gdy:
• |
c
| = 0
oznacza, »e zmiany ceny jakie wyst¡piªy nie spowodowaªy zmiany popytu.
Popyt jest wówczas doskonale nieelastyczny (sztywny).
• |
c
| < 1
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest wi¦ksza ni» wzgl¦dna zmiana popytu,
czyli je±li wzrostowi ceny o 1% odpowiada zmiana warto±ci popytu mniejsza ni» 1%.
W tym przypadku mówimy, »e popyt jest nieelastyczny.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
47
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
• |
c
| = 1
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest równa wzgl¦dnej zmianie popytu, czyli
je±li cena wzro±nie np. o 1% to popyt zmieni sam¡ warto±¢ o 1% tak¡ elastyczno±¢
nazywamy elastyczno±ci¡ wzorcow¡ a popyt o tej wªasno±ci popytem neutralnym
.
• |
c
| > 1
wówczas wzgl¦dna zmiana ceny jest mniejsza od wzgl¦dnej zmiany popytu,
czyli wzrost ceny o 1% spowoduje zmian¦ wielko±ci popytu o warto±¢ wi¦ksza od
wzrostu ceny - wi¦ksz¡ ni» 1%. Mówimy wi¦c, »e popyt jest elastyczny (silnie
elastyczny).
• |
c
| → ∞
wówczas mówimy, »e popyt jest doskonale elastyczny.
W przypadku gdy
c
< 0
wówczas jest to tzw. paradoks cenowy, czyli wzrost ceny
powoduje wzrost wielko±ci popytu, a spadek ceny powoduje spadek wielko±ci popytu.
Wracaj¡c do przykªadu
otrzymali±my
∆q
q
:
∆p
p
= −
1
4
, a wi¦c zmiana ceny jaka
wyst¡piªa jest wi¦ksza od zmiany warto±ci popytu, czyli |
c
| < 1
, wi¦c popyt jest nieela-
styczny.
Znajomo±¢ elastyczno±ci cenowej popytu ma du»e znaczenie ekonomiczne dla przedsi¦-
biorcy poniewa» pozwala przewidzie¢ reakcj¦ jaka wyst¡pi na rynku w przypadku zmian
cen towarów, czyli w jakim stopniu zmiany cen wpªyn¡ na popyt.
Przykªad 6.5. Znaj¡c warto±¢ elastyczno±ci cenowej popytu wiemy jak powinni±my zmie-
ni¢ wysoko±¢ opªat za przejazd autobusem, aby nast¡piª wzrost przychodów MPK za ko-
rzystanie z transportu publicznego. W przypadku gdy popyt na przejazdy jest elastyczny w
stosunku do ceny, wówczas podwy»ka opªat za bilety zmniejszy przychody MPK. Obni»a-
j¡c wysoko±¢ opªaty za przejazdy, spowoduje zwi¦kszenie liczby ch¦tnych korzystaj¡cych z
usªug transportu autobusowego a przy tym podniesie wpªywy MPK. Gdyby jednak popyt na
przejazdy autobusem byª nieelastyczny, nale»aªoby wprowadzi¢ podwy»k¦ cen biletów.
Dochodowa elastyczno±¢ popytu
Kolejnym wa»nym czynnikiem wpªywaj¡cym na zmian¦ popytu jest wielko±¢ dochodu
konsumenta. Rozwa»amy wi¦c zale»no±¢ w (d) ilo±ci towaru w, jaki mo»e wchªon¡¢ rynek
w zale»no±ci od dochodu konsumenta d. Wówczas mo»emy mówi¢ o dochodowej ela-
styczno±ci popytu. Rozumuj¡c jak poprzednio wprowadzamy (dla ustalonego dochodu
d
przy zaªo»eniu lokalnej liniowo±ci funkcji w) miernik sªu»¡cy do oceny wpªywu zmiany
dochodu konsumenta na popyt, czyli stosunek wzgl¦dnej (procentowej) zmiany popytu do
wzgl¦dnej (procentowej) zmiany dochodu
d
=
∆w
w
:
∆d
d
.
(6.5)
Wtedy
d
jest równy warto±ci elastyczno±ci funkcji w w punkcie d i mierzy siª¦ reakcj¦
popytu na zmian¦ dochodu konsumenta, czyli o ile procent wzro±nie popyt gdy dochód
konsumenta wzro±nie o 1%. Podobnie jak dla elastyczno±ci cenowej popytu wyró»nia-
my takie same rodzaje popytu: elastyczny, doskonale elastyczny, neutralny, nieelastyczny.
Zwró¢my te» uwag¦, »e wyst¦puje równie» zjawisko, które polega na spadku popytu na
niektóre towary mimo wzrostu dochodu gdy |
d
| < 0
(np. zast¡pienie dotychczas nabywa-
nego produktu takim samym tylko w wy»szej jako±ci).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
48
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Na podstawie przyjmowanych warto±ci wska¹nika dochodowej elastyczno±ci popytu
mo»emy dokona¢ rozró»nienia nast¦puj¡cych dóbr:
•
je±li
d
< 0,
to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra ni»szego rz¦du
(podrz¦dne). S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze wzrostem
dochodu konsumentów (∆d > 0) i odwrotnie, popyt na nie ro±nie (∆w > 0), gdy
dochody spadaj¡ (∆d < 0). Przykªadem mo»e tu by¢ u»ywana niskogatunkowa
odzie».
•
je±li
d
> 0,
to mamy do czynienia z popytem na tzw. dobra normalne (zwykªe).
S¡ to dobra, na które popyt maleje (∆w < 0) wraz ze spadkiem dochodu konsu-
mentów (∆ < 0) oraz ro±nie (∆w > 0), gdy dochody rosn¡ (∆d > 0). Rozró»niamy
dobra normalne dwojakiego rodzaju
dobra podstawowe (niezb¦dne) charakteryzuje je wspóªczynnik
d
∈ [0, 1]
,
s¡ to dobra pierwszej potrzeby np. chleb,
dobra luksusowe (dobra wy»szego rz¦du), dla których
d
> 1
s¡ to
przewa»nie towary wysokiej jako±ci.
Wykorzystanie dochodowej elastyczno±ci popytu odgrywa istotn¡ role w ekonomii, jest
niezb¦dne do prognozowania zmian w strukturze popytu konsumpcyjnego, zachodz¡cych
pod wpªywem wzrostu zamo»no±ci konsumentów jak i wzrostu gospodarczego (czyli w
zwi¦kszeniu rocznej produkcji dóbr i usªug).
Informacje które dotycz¡ce zmian ilo±ci asortymentu produkcji wskazuje wªa±nie war-
to±¢ wska¹nika elastyczno±ci dochodowej popytu. W przypadku gdy nast¦puje wzrost
dochodów konsumentów wówczas producent w celu osi¡gni¦cia najwy»szych wpªywów ze
sprzeda»y dóbr, mo»e zwi¦kszy¢ swoj¡ produkcje dóbr normalnych lub te» zast¡pi¢ dobra
podrz¦dne innymi, posiadaj¡cymi wy»szy standard lub takimi które b¦d¡ atrakcyjniejsze
dla klientów itp. Je±li za± dochód konsumentów maleje wówczas producent powinien obni-
»y¢ produkcje dóbr normalnych a zwi¦kszy¢ produkcj¦ dóbr podrz¦dnych, w szczególno±ci
tych wy»szego rz¦du (tzw. luksusowych).
6.3. Funkcje Törnquista
Szwedzki ekonomista Törnquist badaª zale»no±¢ pomi¦dzy wydatkami na zakup dóbr a
wielko±ci¡ dochodów konsumentów. Zaproponowaª on wymierny model krzywej popytu
jako funkcji dochodu konsumentów. Rozró»nia si¦ trzy rodzaje funkcji Törnquista:
•
dla dóbr podstawowych:
T
1
(x) = a ·
x
x + b
,
gdzie x > 0 oraz a, b > 0;
•
dla dóbr wy»szego rz¦du:
T
2
(x) = a ·
x − c
x + b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0;
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
49
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
•
dla dóbr luksusowych:
T
3
(x) = a · x ·
x − c
x + b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0
gdzie x oznacza dochód, za± parametry a, b, c s¡ pewnymi staªymi (przy czym parametry
te dla ka»dej funkcji mog¡ by¢ ró»ne).
Przedstawimy teraz wykresy ka»dej z powy»szych funkcji oraz omówmy ich interpre-
tacj¦ ekonomiczn¡.
1. Funkcja Törnquista dla dóbr pierwszej potrzeby (podstawowych):
T
1
(x) = a ·
x
x + b
,
gdzie x > 0 oraz a, b > 0. Wykres funkcji T
1
jest postaci:
0
a
X
f ( )
1
x
Rysunek 6.3 Wykres funkcji dla dóbr podstawowych.
Widzimy, »e dobra pierwszej potrzeby nabywane s¡ ju» przy najni»szych dochodach.
Wydatki konsumentów s¡ rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów, czyli zwi¦kszaj¡ si¦ wraz ze
wzrostem wielko±ci dochodów. Jednak wzrost ten mimo wzrostu dochodu jest coraz
wolniejszy. Zauwa»my, »e
lim
x→∞
a ·
x
x + b
= a,
a wi¦c krzywa T
1
ma asymptot¦ poziom¡ y = a, oznacza to »e istnieje poziom
nasycenia, czyli cho¢by dochód rósª nieograniczenie, to wydatki nie przekrocz¡ tego
poziomu.
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
E
x
0
T
1
= x
0
·
x
0
+ b
ax
0
·
ab
(x
0
+ b)
2
=
b
x
0
+ b
.
Obliczaj¡c granice E
x
0
T
1
w niesko«czono±ci mamy
lim
x→∞
b
x
0
+ b
= 0.
(6.6)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
50
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
0
X
E
1
x
0
f
1
( )
Rysunek 6.4 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr podstawowych.
Z wykresów
oraz
wida¢, »e gdy dochód konsumenta ro±nie, to warto±¢ ela-
styczno±ci maleje do zera. Popyt dochodowy funkcji T
1
jest, wi¦c nieelastyczny, po-
niewa» elastyczno±¢ jest zawsze mniejsza od 1, E
x
0
T
1
< 1
dla ka»dego x
0
> 0
gdy»
b > 0
. Oznacza to, »e wzrost dochodów o 1% powoduje wzrost wydatków (popytu)
na okre±lone dobro o warto±¢ mniejsz¡ ni» 1%. Przy odpowiednio du»ych docho-
dach wzrost konsumpcji na okre±lone dobro zanika, czyli konsumenci posiadaj¡cy
wy»sze dochody w znacznie wi¦kszym stopniu maj¡ zaspokajaj¡ dobra podstawowe
ni» konsumenci o ni»szych dochodach, u których reakcja na wzrost dochodów jest
znacznie silniejsza.
2. Funkcja Törnquista dla dóbr wy»szego rz¦du:
T
2
(x) = a ·
x − c
x + b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji f
2
(x)
jest postaci:
0
a
X
f ( )
x
2
c
Rysunek 6.5 Wykres funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Wykres funkcji przedstawiony na rysunku
podobnie jak w poprzednim przy-
padku (rysunek
) jest rosn¡c¡ funkcj¡ dochodów wzgl¦dem wydatków na dobra
wy»szego rz¦du. Funkcji jest okre±lona dla x > c co oznacza, »e wydatki na dobra
wy»szego rz¦du wyst¦puj¡ je±li zostan¡ zaspokojone potrzeby na dobra podstawowe.
Zauwa»my, »e
lim
x→∞
a ·
x − c
x + b
= a.
Zatem podobnie jak w przypadku funkcji T
1
przy coraz wi¦kszych dochodach popyt
zmienia si¦ nieznacznie (stabilizuje si¦) w stosunku do wydatków, nie przekraczaj¡c
poziomu nasycenia.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
51
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
E
x
0
T
2
= x
0
·
b + c
(x
0
− c)(x
0
+ b)
,
x
0
> c.
0
X
E
x
0
f
2
( )
c
Rysunek 6.6 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr wy»szego rz¦du.
Elastyczno±¢ funkcji T
2
(rysunek (
)) jest funkcj¡ malej¡c¡. Mamy, te», »e
lim
x→∞
x
0
·
b + c
(x
0
− c)(x
0
+ b)
= 0,
a wi¦c wraz ze wzrostem dochodów konsumenta elastyczno±¢ funkcji T
2
maleje do ze-
ra. Zatem procentowy wzrost dochodów powoduje coraz mniejszy procentowy wzrost
wydatków (popytu) na dane dobro wy»szego rz¦du. Mo»emy te» zauwa»y¢, »e przy
do±¢ du»ych dochodach wzrost konsumpcji na dane dobro zanika.
3. Funkcja Törnquista dla dóbr luksusowych:
T
3
(x) = a · x ·
x − c
x + b
,
gdzie x ≥ c oraz a, b, c > 0. Wykres funkcji jest postaci:
0
X
f ( )
x
c
3
b+c
Rysunek 6.7 Wykres funkcji dla dóbr luksusowych.
Dobra luksusowe podobnie jak dobra wy»szego rz¦du nabywane s¡ po osi¡gni¦ciu
odpowiednio wysokiego poziomu dochodu, który pozwoliª zaspokoi¢ potrzeby dóbr
ni»szych rz¦dów. Widzimy, »e
T
0
3
(x) =
a · (x
2
+ 2bx − bc)
(x + b)
2
> 0,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
52
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
a wi¦c funkcja T
3
jest rosn¡ca w caªej swojej dziedzinie (rysunek
). Zauwa»my
równie», »e w przeciwie«stwie do poprzednich funkcji T
1
i T
2
powy»sza funkcja jest
nieograniczona. Oznacza to, »e wydatki konsumentów na dobra luksusowe rosn¡
wraz ze wzrostem dochodów (coraz szybciej) nieograniczenie, czyli wzrost wydatków
staje si¦ wprost proporcjonalny do wielko±ci dochodu konsumenta.
Elastyczno±¢ powy»szej funkcji wyra»a si¦ wzorem:
E
x
0
T
3
=
x
0
(x
0
+ b)
ax
0
(x
0
− c)
·
a(x
2
0
+ 2bx
0
− bc)
(x
0
+ b)
2
=
x
2
0
+ 2bx
0
− bc
(x
0
− c)(x − 0 + b)
.
0
X
E
x
0
f
3
( )
c
1
Rysunek 6.8 Wykres elastyczno±ci funkcji dla dóbr luksusowych.
Z powy»szego wykresu (rysunek
) wida¢, »e elastyczno±¢ funkcji T
3
jest funkcj¡
malej¡c¡, przyjmuj¡c¡ warto±ci wi¦ksze od 1 ((E
x
0
f
3
) > 1
dla x
0
> c),
a wi¦c popyt
dla dóbr luksusowych jest zawsze elastyczny. Obliczaj¡c granic¦ E
x
0
T
3
otrzymujemy
lim
x→∞
x
2
0
+ 2bx
0
− bc
(x
0
− c)(x − 0 + b)
= 1
co oznacza, »e dopiero dla odpowiednio du»ego dochodu konsumenta elastyczno±¢ T
3
ma warto±¢ blisk¡ a nawet równ¡ 1. Zatem dla dóbr luksusowych procentowy wzrost
dochodów konsumentów o 1% powoduje, wzrost wydatków (popytu) o wi¦cej ni» 1%
na dane dobro.
6.3.1. Ekonomiczna interpretacja parametrów krzywych Törnqu-
ista.
Rozwa»my funkcje Törnquista postaci
T
1
(x) = a
1
·
x
x + b
1
,
gdzie x > 0 oraz a
1
, b
1
> 0;
T
2
(x) = a
2
·
x − c
2
x + b
2
,
gdzie x ≥ c
2
oraz a
2
, b
2
, c
2
> 0;
T
3
(x) = a
3
· x ·
x − c
3
x + b
3
,
gdzie x ≥ c
3
oraz a
3
, b
3
, c
3
> 0.
Przedstawmy na jednym wykresie wszystkie funkcje (krzywe) Törnquista.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
53
Rozdziaª 6. Pochodna funkcji w ekonomii
0
a
X
T( )
x
a
b+c
1
2
c
c
1
2
T
T
T
2
1
3
Rysunek 6.9 Krzywe T
1
, T
2
, T
3
.
Parametry c
i
gdzie (i = 1, 2, 3) s¡ wyznacznikami hierarchii pilno±ci potrzeb, za±
a
i
gdzie (i = 1, 2, 3) okre±laj¡ poziom ich nasycenia.
Analizuj¡c wykresy funkcji T
1
, T
2
, T
3
przedstawione na wykresie (rysunek
) widzimy,
»e przy niskim poziomie dochodów zaspokajane s¡ dobra pierwszej potrzeby, to na nie
przeznaczona jest wi¦ksza ilo±¢ wydatków. Jednak wraz ze wzrostem dochodów popyt na
dobra podstawowe jest wolniejszy, zmiany te nast¦puj¡ a» do poziomu a
1
tzw. poziomu
nasycenia.
W przypadku gdy dochód ulegª zwi¦kszeniu na tyle, »e dobra podstawowe zostaªy
zaspokojone wówczas dochód przeznaczany jest na wydatki dóbr wy»szego rz¦du. Zatem
wydatki te wyst¦puj¡ dla x > c
1
gdzie c
1
jest warto±ci¡ od której wyst¦puje wzrost popytu
na dobra wy»szych rz¦dów. Zmiany wielko±ci tych wydatków d¡»¡ do poziomu nasycenia
a
2
i ich wzrost jest coraz wolniejszy.
Gdy dochód konsumentów jest na tyle wysoki, »e zapewnione s¡ potrzeby na dobra
ni»szych rz¦dów wówczas mamy do czynienia z wydatkami na dobra luksusowe, czyli
x > c
2
gdzie c
2
jest warto±ci¡ od której zaczyna si¦ popyt na dobra luksusowe. W przeci-
wie«stwie do wydatków na dobra ni»szych rz¦dów, wydatki na dobra luksusowe wzrastaj¡
nieograniczenie staj¡c sie wprost proporcjonalne do dochodów.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
54
Rozdziaª 7
Modele ekonomiczne.
W ekonomii matematycznej buduje si¦ matematyczne modele ekonomiczne stanowi¡ce
przybli»on¡ reprezentacj¦ rzeczywistego zjawiska. Mo»na ogólnie stwierdzi¢, »e model eko-
nomiczny, to ukªad równa« matematycznych opisuj¡cy struktur¦ pewnego zjawiska.
7.1. Skªadniki modelu ekonomicznego.
Jak ju» wspomnieli±my model ekonomiczny stanowi ukªad równa«. Równania te zawieraj¡
trzy rodzaje obiektów:
zmienne (b¦dziemy na ogóª stosowa¢ nast¦puj¡ce oznaczenia zmiennych: P cena,
π
zysk, R przychód (utarg), C koszt, Y dochód narodowy),
staªe,
parametry.
Zmienne. W terminologii ekonomii matematycznej utrwaliª si¦ podziaª zmiennych
na:
endogeniczne, inaczej wewn¦trzne, których warto±¢ jest determinowana przez dany
model,
egzogeniczne, inaczej zewn¦trzne czyli okre±lane niezale»nie od modelu.
Dokªadniejsze znaczenie poszczególnych rodzajów zmiennych zostanie omówione na
przykªadach w dalszej cz¦±ci wykªadu. Ju» teraz mo»emy jednak zwróci¢ uwag¦, »e pewne
zmienne endogeniczne w jednym modelu mog¡ by¢ egzogeniczne w innym i na odwrót.
Staªe. Warto±¢ staªych nie zmienia si¦ w danym modelu.
Parametry. S¡ to wielko±ci, które nie s¡ zmiennymi, ale mog¡ przyjmowa¢ ró»ne
warto±ci w zale»no±ci od przyj¦tych w modelu zaªo»e«. Oznaczamy je zwykle a, b, c, α, β γ.
Równania wyst¦puj¡ce w modelu mog¡ by¢:
de nicyjne, czyli ustalaj¡ce to»samo±ci mi¦dzy wielko±ciami i wyra»eniami. Cz¦sto
w równaniach tych pojawia si¦ zamiast znaku równo±ci znak ≡, np. π ≡ R − C,
55
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
behawioralne opisuj¡ce zachowanie zmiennej w reakcji na zmian¦ innych zmien-
nych. Przykªadowo, równaniem behawioralnym jest równanie C = 75 + 10Q, opisu-
j¡ce koszt C produkcji w zale»no±ci od jej wielko±ci Q.
równowagi, które opisuj¡ warunki zachowania pewnej równowagi, np. Q
d
= Q
s
popyt jest równowa»ony przez poda».
7.2. Modele równowagi statycznej.
Spróbujmy najpierw udzieli¢ odpowiedzi na pytanie: czym jest równowaga? Przyjmijmy
za ekonomist¡ austriackim Fritzem Machlupem, »e równowaga jest pewn¡ konstelacj¡
wybranych, powi¡zanych ze sob¡ zmiennych, tak dopasowanych do siebie, »e w modelu,
który stanowi¡ nie przewa»a »adna tendencja do zmiany. Mo»emy wi¦c krótko powiedzie¢,
»e równowaga, to brak tendencji do zmiany.
7.2.1. Cz¦±ciowa równowaga rynkowa.
Model liniowy dla jednego dobra.
Opis. Zaªó»my, »e mamy do czynienia z izolowanym rynkiem, w którym wyst¦puje tyl-
ko jedno dobro. B¦dziemy bada¢ warunki równowagi popytu i poda»y na to dobro w
zale»no±ci od ceny.
Oznaczenia. Niech
Q
d
> 0
oznacza wielko±¢ popytu na dobro,
Q
s
> 0
oznacza wielko±¢ poda»y na dobro,
P > 0
cena za jednostk¦ dobra.
Zaªo»enia. Zakªadamy, »e popyt i poda» zmieniaj¡ si¦ liniowo w zale»no±ci od ceny.
Popyt jest funkcj¡ malej¡c¡ ceny, za± poda» funkcj¡ rosn¡c¡. Dodatkowo, poda» pojawia
si¦ pocz¡wszy od pewnej ceny minimalnej P
1
> 0.
Równania modelu.
Q
d
= a − bP, P ≥ 0
(równanie behawioralne)
Q
s
= −c + dP, P > P
1
(równanie behawioralne)
Q
d
= Q
s
,
(równanie równowagi),
gdzie parametry a, b, c, d > 0.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
56
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
7.2.2. Keynesowski model dochodu narodowego.
Opis. Rozwa»my gospodark¦ narodow¡, w której wyst¦puj¡ trzy rodzaje wydatków: in-
westycje, wydatki rz¡dowe oraz wydatki na konsumpcje.
Oznaczenia. Niech
I
0
inwestycje (wielko±¢ staªa),
G
0
wydatki rz¡dowe (wielko±¢ staªa),
C
wydatki na konsumpcj¦ (zmienna egzogeniczna),
Y
dochód narodowy (zmienna endogeniczna).
Zaªo»enia. Zakªadamy, »e wydatki na konsumpcje s¡ liniow¡ funkcj¡ rosn¡c¡ dochodu
narodowego. Dochód narodowy pokrywa wszystkie (trzy) rodzaje wydatków.
Równania modelu.
C = a + bY
(równanie behawioralne)
Y = C + I
0
+ G
0
(równanie równowagi),
gdzie parametry a > 0, b ∈ (0, 1) .
Interpretacja parametrów.
a
konsumpcja autonomiczna, niezale»na od dochodu (wydatki na konsumpcj¦ przy
zerowym dochodzie narodowym),
b
kra«cowa skªonno±¢ do konsumpcji (gdy dochód wzrasta o 1, wydatki na konsump-
cje wzrastaj¡ o b < 1.
Rozwi¡zania modelu. Punktem równowagi jest konsumpcja ¯
C
przy dochodzie ¯Y , gdzie
¯
Y =
a + I
0
+ G
0
1 − b
,
C =
a + b (I
0
+ G
0
)
1 − b
.
7.3. Modele nakªadów i wyników Leontiewa
7.3.1. Model statyczny.
Opis. Rozwa»my gospodark¦, w której funkcjonuje n ≥ 1 gaª¦zi przemysªu. Model bada,
jaki powinien by¢ poziom produkcji ka»dej z n gaª¦zi, aby caªkowity popyt na wytwarzany
przez nie produkt byª zaspokajany. Wyniki produkcji ka»dej z gaª¦zi s¡ potrzebne jako
nakªady w innych gaª¦ziach (nie wykluczaj¡c jej samej); tªumaczy to nazw¦ modelu.
Oznaczenia.
X
i
globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) ,
x
ij
wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹,
Y
i
wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi nie zu»yta przez gaª¦zie.
Zaªo»enia.
1. Produkcja i − tej gaª¦zi jest caªkowicie bilansowana (równowa»ona) przez zu»ycie
produkcji w pozostaªych gaª¦ziach i warto±¢ produkcji ko«cowej
X
i
=
n
X
j=1
x
ij
+ Y
i
dla i = 1, ..., n.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
57
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
2. Wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ jest proporcjonalna
do wielko±ci produkcji j − tej gaª¦zi
x
ij
= a
ij
X
j
dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
Parametr a
ij
nazywa si¦ wspóªczynnikiem nakªadów.
Równania modelu.
X
i
=
n
X
j=1
a
ij
X
j
+ Y
i
dla i = 1, ..., n.
Równania te mo»na zapisa¢ w postaci macierzowej.
X
1
...
X
n
=
a
11
· · ·
a
1n
... ... ...
a
n1
· · ·
a
nn
X
1
...
X
n
+
Y
1
...
Y
n
Przyjmuj¡c: ¯
X = [X
1
, ..., X
n
]
T
, ¯
Y = [Y
1
, ..., Y
n
]
T
, A = [a
ij
]
i,j=1,...,n
mamy
¯
X = A ¯
X + ¯
Y ,
(7.1)
albo, równowa»nie
(I − A) ¯
X = ¯
Y .
(7.2)
Uwagi.
1. Macierz A nazywa si¦ macierz¡ nakªadów bezpo±rednich, X = [x
ij
]
macierz¡ prze-
pªywów mi¦dzygaª¦ziowych, (I − A) macierz¡ Leontiewa, ¯
X
wektorem produktu glo-
balnego, za± ¯Y wektorem produktu ko«cowego.
2. Cz¦sto warto±ci X
i
, x
ij
oraz Y
i
s¡ wyra»ane w jednostkach monetarnych, w tym
wypadku wielko±ci te reprezentuj¡ warto±ci produkcji.
3. Dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n
a
ij
=
x
ij
X
j
,
a poniewa» x
ij
oznacza wielko±¢ produkcji i−tej gaª¦zi zu»ywan¡ przez j−t¡ gaª¡¹,
wi¦c ekonomicznie uzasadnione jest, by x
ij
≤ X
j
,
czyli aby a
ij
≤ 1.
Co wi¦cej,
zauwa»my, »e ustalonego j = 1, ..., n suma
n
X
i=1
x
ij
= X
j
n
X
i=1
a
ij
reprezentuje sum¦ produkcji wszystkich gaª¦zi, zu»ywanych przez j−t¡ gaª¡¹. Wiel-
ko±¢ ta powinna by¢ nie wi¦ksza ni» X
j
,
w przeciwnym wypadku j −ta gaª¡¹ zu»ywa
wi¦cej ni» sama produkuje. Zatem
X
j
n
X
i=1
a
ij
≤ X
j
,
dla j = 1, ..., n
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
58
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
sk¡d
n
X
i=1
a
ij
≤ 1
dla j = 1, ..., n
Dodatkowo, je±li Y
j
> 0,
czyli jaka± cz¦±¢ produkcji j − tej gaª¦zi jest niewykorzy-
stana przez pozostaªe gaª¦zie, to
n
X
i=1
a
ij
< 1.
4. W przypadku, gdy wektor produktu ko«cowego jest niezerowy, mówimy o tak zwa-
nym modelu otwartym.
Rozwi¡zanie modelu. Przy zaªo»eniu, »e det (I − A) 6= 0, czyli macierz I − A jest
nieosobliwa rozwi¡zaniem modelu przy danej macierzy A oraz danym wektorze produktu
ko«cowego jest wektor produkcji
¯
X = (I − A)
−1
¯
Y .
(7.3)
7.3.2. Model dynamiczny.
W przedstawionym w poprzednim podrozdziale modelu statycznym zakªadali±my, »e war-
to±ci produkcji, a co za tym idzie wektory ¯
X
i ¯Y nie zmieniaj¡ si¦ w czasie. Zbadamy
teraz wªasno±ci modelu, który jest pewnym analogonem tego modelu, ale takim, w którym
powy»sze zaªo»enie nie jest speªnione.
Opis. Zaªó»my, jak w modelu statycznym, »e mamy do czynienia z n ≥ 1 gaª¦ziami
gospodarki. Niech t oznacza czas dyskretny, reprezentuj¡cy kolejny numer pewnego okresu,
w którym zakªadamy, »e produkcja poszczególnych gaª¦zi jest staªa. Niech dalej
X
i
(t)
globalna wielko±ci produkcji i − tej gaª¦zi (i = 1, ..., n) w okresie t,
x
ij
(t)
wielko±¢ produkcji i − tej gaª¦zi zu»ywana przez j − ta gaª¡¹ w okresie t,
Y
i
(t)
wielko±¢ ko«cowa produkcji i − tej gaª¦zi w okresie t
Zakªadamy wi¦c, »e wektor produkcji globalnej, oraz wielko±ci produkcji poszczególnych
gaª¦zi zu»ywanej przez inne gaª¦zie oraz produkcji ko«cowej s¡ funkcjami czasu dyskret-
nego:
N ∪ {0} 3 t 7→
¯
X (t) = [X
1
(t) , ..., X
n
(t)]
T
wektor produkcji globalnej,
N ∪ {0} 3 t 7→ x
ij
(t) ,
N ∪ {0} 3 t 7→
¯
Y (t) = [Y
1
(t) , ..., Y
n
(t)]
T
wektor produkcji ko«cowej.
W czasie trwania ka»dego z okresów zakªadamy, »e speªnione s¡ te same zaªo»enia jak
w przypadku otwartego modelu statycznego. W szczególno±ci, dla ustalonego t, zachodz¡
wszystkie wªasno±ci, ª¡cznie z formuª¡ na rozwi¡zanie, prawdziwe dla tego modelu. Za-
kªadamy te», »e macierz nakªadów A jest macierz¡ staª¡ (maj¡c¡ takie same wyrazy dla
wszystkich okresów).
Zaªo»enia wyprowadzenie modelu.
1. Zakªadamy, »e w ka»dym nast¦pnym okresie t + 1 chcemy zwi¦kszy¢ produkcj¦ w
stosunku do okresu poprzedniego t. Mo»emy to uczyni¢ przeznaczaj¡c cz¦±¢ produk-
tu ko«cowego ¯Y (t) na inwestycje.
Ustalmy t, zatem
¯
Y (t) = ¯
S (t) + ¯
C (t) ,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
59
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
gdzie:
¯
S (t) −
wektor inwestycji, ¯
S (t) = [S
1
(t) , ..., S
n
(t)]
T
,
tj. produktu, który b¦dzie
wykorzystany jako nakªad w nast¦pnym okresie t + 1,
¯
C (t) −
wektor czystego produktu ko«cowego , ¯
C (t) = [C
1
(t) , ..., C
n
(t)]
T
,
(nie wy-
korzystanego w nast¦pnym okresie t + 1 jako nakªad w »adnej gaª¦zi).
2. Zakªadamy dalej, »e dla ka»dego i = 1, ..., n S
i
(t)
jest rozdystrybuowane na inwe-
stycje w ka»dej z j gaª¦zi gospodarki (j = 1, ..., n), tzn.
S
i
(t) =
n
X
j=1
s
ij
(t) ,
dla i = 1, ..., n,
(7.4)
gdzie s
ij
(t)
jest wielko±ci¡ inwestycji i − tej gaª¦zi przeznaczon¡ na inwestycje w
j − tej
gaª¦zi.
3. Przyjmijmy, »e wielko±¢ s
ij
jest proporcjonalna do wzrostu produkcji globalnej j−tej
gaª¦zi w okresie t + 1, tzn.
s
ij
(t) = z
ij
(X
j
(t + 1) + X (t))
dla i = 1, ..., n, j = 1, ..., n.
gdzie staªa z
ij
jest tzw. wspóªczynnikiem inwestycyjnym. W konsekwencji, wobec
S
i
(t) =
n
X
j=1
s
ij
(t) =
n
X
j=1
z
ij
(X
j
(t + 1) − X
j
(t))
dla i = 1, ..., n,
czyli
S
1
...
S
n
=
z
11
· · ·
z
1n
... ... ...
z
n1
· · ·
z
nn
X
1
(t + 1) − X
1
(t)
...
X
n
(t + 1) − X (t)
Oznaczaj¡c macierz wspóªczynników inwestycyjnych przez Z = [z
ij
]
i=1,...,n, j=1,...,n
mamy
¯
S (t) = Z ·
¯
X (t + 1) − ¯
X (t)
.
Wykorzystuj¡c równanie (
) statycznego modelu Leontiewa (w czasie trwania okre-
su t badany model jest statyczny) dostajemy, »e
(I − A) ¯
X (t) = ¯
Y (t) = ¯
S (t) + ¯
C (t) = Z ·
¯
X (t + 1) − ¯
X (t)
+ ¯
C (t) ,
Z
−1
(I − A) ¯
X (t) = ¯
X (t + 1) − ¯
X (t) + Z
−1
¯
C (t)
czyli równanie dynamicznego modelu Leontiewa
¯
X (t + 1) = Z
−1
− Z
−1
A + I
¯
X (t) − Z
−1
¯
C (t) .
(7.5)
Rozwi¡zanie modelu. Zaªó»my, »e macierze A oraz Z s¡ dane oraz (I − A) i Z s¡
nieosobliwe. Przypu±¢my te», »e dane s¡ wielko±¢ pocz¡tkowego czystego produktu ko«-
cowego ¯
C (0)
oraz pocz¡tkowego wektora inwestycji ¯
S (0) ,
a co za tym idzie dana jest
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
60
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
wielko±¢ pocz¡tkowego produktu ko«cowego ¯Y (0) = ¯
S (0) + ¯
C (0) .
Wówczas z formuªy
) na rozwi¡zanie statycznego modelu Leontiewa dostajemy
¯
X (0) = (I − A)
−1
¯
Y (0) .
Wykorzystuj¡c równanie (
) mamy
¯
X (1) = Z
−1
− Z
−1
A + I
¯
X (0) − Z
−1
¯
C (0) .
(7.6)
Znaj¡c teraz warto±¢ ¯
X (1)
wektora produkcji globalnej dla okresu t = 1 mo»emy ze wzoru
) obliczy¢ warto±¢ wektora produkcji ko«cowej dla tego okresu
¯
Y (1) = (I − A) ¯
X (1) .
W tym momencie mo»emy znów podj¡¢ decyzj¦ jak¡ cz¦±¢ produktu ko«cowego ¯Y (1)
przeznaczamy na inwestycj¦ ¯
S (1)
, a jaka b¦dzie stanowi¢ czysty produkt ko«cowy ¯
C (1)
.
Pami¦ta¢ jednak powinni±my, »e
¯
Y (1) = ¯
S (1) + ¯
C (1) ,
oraz, »e wszystkie wspóªrz¦dne wektorów ¯
S (1)
i ¯
C (1)
powinny by¢ nieujemne. Przy da-
nych wektorach ¯
X (1)
oraz ¯
C (1)
mo»emy ponownie wyliczy¢ warto±¢ produktu globalnego
dla nast¦pnego okresu za pomoc¡ formuªy (
¯
X (2) = Z
−1
− Z
−1
A + I
¯
X (1) − Z
−1
¯
C (1) .
Kontynuuj¡c to post¦powanie generujemy ci¡g wektorów produkcji ¯
X (t)
∞
t=0
.
Ci¡g ten
nazywany jest ±cie»k¡ rozwoju gospodarczego.
Z formalnego punktu widzenia rozwi¡zaniem dynamicznego modelu Leontiewa jest
wi¦c ci¡g wektorów produkcji globalnej b¦d¡cy rozwi¡zaniem równania ró»nicowego
¯
X (t + 1) = Z
−1
− Z
−1
A + I
¯
X (t) − Z
−1
¯
C (t) ,
z warunkiem pocz¡tkowym
¯
X (0) = X
0
,
gdzie wektor ¯
C (t)
jest okre±lony dla wszystkich t = 0, 1, ....
Fakt, »e wektor ¯
C (t)
jest z góry dany oznacza, »e zaplanowane zostaªo jak¡ cz¦±¢
produktu ko«cowego ¯Y (t) przeznaczamy na inwestycj¦ ¯
S (t) = ¯
Y (t)− ¯
C (t)
dla wszystkich
t = 0, 1, ....
Aby model miaª sens ekonomiczny musi by¢ speªniony warunek nieujemno±ci
wektora ¯
S (t)
tj. »e
¯
C (t) ≤ ¯
Y (t) = (I − A) ¯
X (t)
dla t = 0, 1, ....
7.4. Modele dynamiczne z czasem dyskretnym.
Z modelem dynamicznym mieli±my ju» do czynienia przy omawianiu modelu Leontiewa. W
tym podrozdziale zbadamy kilka klika innych modeli dynamicznych. Najogolniej mówi¡c
s¡ to modele, w których zmienne s¡ zale»ne od czasu. Ograniczymy si¦ do sytuacji, w
której czas jest czasem dyskretnym reprezentuj¡cym numer kolejnego okresu. Tak jak w
przypadku modelu Leontiewa w czasie trwania ka»dego z okresów model jest statyczny a
zmiana warto±ci zmiennych nast¦puje po przej±ciu do kolejnego okresu. Takie modele s¡
opisane za pomoc¡ równa« ró»nicowych.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
61
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
7.4.1. Model paj¦czyny.
Opis. Model jest modelem dynamicznym z czasem dyskretnym t = 0, 1, 2, .... Rozwa»a-
my rynek pewnego, pojedynczego dobra. Celem modelu jest ustalenie takiej ±cie»ki ceny
{P (t)}
∞
t=0
na dane dobro, aby dla ka»dego okresu popyt caªkowicie zaspokoiª poda».
Oznaczenia. Niech
t = 0, 1, 2, ...
kolejny numer okresu,
Q
s
(t)
poda» na dobro w okresie t (liczba jednostek dobra poszukiwana przez kon-
sumentów w okresie t),
Q
d
(t)
popyt na dobor w okresie t (liczbe jedostek dobra dostarczana przez produ-
centów w okresie t),
P (t)
cena za jednostk¦ dobra w okresie t.
Zaªo»enia.
1. Wileko±¢ popytu Q
d
(t)
zale»y liniowo od ceny P (t) dla tego samego okresu. Zale»-
no±¢ jest funkcj¡ malej¡c¡. Zakªadmy, »e Q
d
(t) ≥ 0.
2. Wielko±¢ poda»y Q
s
(t)
zale»y liniowo od ceny P (t − 1) z okresu poprzedniego.
Zale»no±¢ jest funkcj¡ rosn¡c¡. Zakªadamy, »e Q
s
(t) ≥ 0.
3. Liniowy charakter popytu i poda»y jest identyczny dla ka»dego z okresów.
4. W ka»dym okresie popyt jest caªkowicie równowa»ony przez poda».
Równania modelu.
Q
d
(t) = α − βP (t)
(7.7)
Q
s
(t) = −γ + δP (t − 1)
(7.8)
Q
d
(t) = Q
s
(t)
(7.9)
dla t = 1, 2, ..., gdzie α, β, γ, δ > 0 (parametry).
Uwagi.
1. Sytuacja opisywane przez model wyst¦puje w rolnictwie , gdzie zasiewy poprzedzaj¡
zbiory. Popyt na dany produkt jest zale»ny od aktualnej ceny, ale poda», wynikaj¡ca
z wielko±ci zasiewów, jest ustalana na podstawie cen z poprzedniego okresu.
2. Aby równania przedstawiaªy sens ekonomiczny musz¡ by¢ speªnione warunki nieujm-
no±ci zmiennych. Warunki te prowadz¡ do zastrze»enia, »e ±cie»ka cenowa {P (t)}
∞
t=0
powinna speªnia¢ warunek
γ
δ
≤ P (t) ≤
α
β
dla t = 0, 1, 2, ....
(7.10)
W szczególno±ci, musi by¢ speªniony warunek
γ
δ
≤
α
β
(7.11)
lub równowa»nie
βγ − αδ ≤ 0
(7.12)
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
62
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
Interpretacja parametrów.
α
maksymalna warto±¢ popytu (przy zerowej cenie),
−β
kra«cowa warto±¢ popytu reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ konsumentów na zmian¦
ceny,
−γ
wspóªczynnik zapewniaj¡cy dodatnio±¢ poda»y pocz¡wszy od pewnej ceny mi-
nimalnej P
1
≥ 0,
δ
kra«cowa warto±¢ poda»y reprezentuj¡ca wra»liwo±¢ producentów zmian¦ na ceny.
Rozwi¡zanie modelu.
Poszukujemy ±cie»ki ceny {P (t)}
∞
t=0
, czyli ci¡gu speªniaj¡cego ukªad (
). Wo-
bec równania równowagi (
α − βP (t) = −γ + δP (t − 1) ,
sk¡d wobec faktu, »e β 6= 0
P (t) = −
δ
β
P (t − 1) +
α + γ
β
.
(7.13)
Jest to równanie ró»nicowe liniowe niejednorodne pierwszego rz¦du. Ogóª rozwi¡za« rów-
nania jednorodnego jest postaci
P
o
(t) = c
−
δ
β
t
,
t = 0, 1, 2, ...,
gdzie c jest dowoln¡ staª¡. Szczególnego rozwi¡zania równania niejednorodnego poszuku-
jemy w±ród rozwi¡za« staªych
P
s
(t) = k,
zatem
k = −
δ
β
k +
α + γ
β
,
sk¡d
k =
α + γ
β + δ
,
gdy» β + δ > 0. St¡d, ogóª rozwi¡za« równania (
) jest postaci
P (t) = c
−
δ
β
t
+
α + γ
β + δ
,
t = 0, 1, 2, ....
Je±li znamy warto±¢ P (0) = P
0
,
to
P (0) = c +
α + γ
β + δ
,
W konsekwencji rozwi¡zaniem równania (
) z warunkiem pocz¡tkowym P (0) = P
0
jest ±cie»ka cenowa
P (t) =
P
0
−
α + γ
β + δ
−
δ
β
t
+
α + γ
β + δ
,
t = 0, 1, 2, ....
(7.14)
Uwaga. Aby rozwi¡zanie miaªo sens ekonomiczny nale»y zaªo»y¢, »e P (t) speªnia warunek
). Nale»y przynajmniej zadba¢, aby
γ
δ
≤ P
0
≤
α
β
.
Dalsza analiza modelu wªasno±ci ±cie»ki cenowej.
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
63
Rozdziaª 7. Modele ekonomiczne.
1. Je±li P
0
=
α+γ
β+d
,
to
P (t) =
α + γ
β + d
,
t = 0, 1, 2, ....
Mamy wtedy do czynienia z rozwi¡zaniem staªym. Zauwa»my, »e z warunku (
wynika, »e
γ
δ
≤ P (t) ≤
α
β
dla t = 0, 1, 2, ... (¢wiczenie). Model jest to»samy ze sta-
tycznym modelem równowagi omawianym w jednym z poprzednich podrozdziaªów.
2. Zaªó»my, »e P
0
>
α+γ
β+δ
(ze wzgl¦du na sens ekonomiczny nie mo»e zaj±c sytuacja
P
0
<
α+γ
β+d
). Rozwa»my trzy przypadki.
(a)
δ
β
< 1.
Wtedy ±cie»ka {P (t)}
∞
t=0
jest ci¡giem zbe»nym do
α+γ
β+d
.
(b)
δ
β
= 1.
Wtedy ±cie»ka {P (t)}
∞
t=0
jest postaci
P (t) =
(
P
0
gdy t jest parzyste
2
α+γ
β+d
− P
0
gdy t jest nieparzyste
.
±cie»ka oscyluje wi¦c wokóª warto±ci
α+γ
β+d
.
(c)
δ
β
> 1.
±cie»ka jest ci¡giem rozbie»nym pocz¡wszy od pewnego t traci sens
ekonomiczny.
Powy»sz¡ analiz¦ mo»na przedstawi¢ gra cznie za pomoc¡ tzw. diagramu schodkowe-
go. Ksztaªt otrzymanego diagramu jest wyja±nieniem nazwy modelu (¢wiczenia).
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
64
Skorowidz
m−
okresowa stopa efektywna,
m−
okresowy czynnik oprocentowuj¡cy,
cz¦stotliwo±¢ kapitalizacji,
czas oprocentowania,
czynnik procentowy,
de acja,
dobra
luksusowe (dobra wy»szego rz¦du),
ni»szego rz¦du (podrz¦dne),
normalne (zwykªe),
podstawowe (niezb¦dne),
dyskonto,
handlowe,
proste,
dyskontowanie,
elastyczno±¢
cenowa popytu,
dochodowa popytu,
wzorcowa,
elastyczno±¢ funkcji,
przeci¦tna,
Fishera wzór,
funkcja kosztu
caªkowitego,
kra«cowego,
przeci¦tnego,
Funkcja Törnquista
dla dóbr luksusowych,
dla dóbr pierwszej potrzeby (podsta-
wowych),
dla dóbr wy»szego rz¦du,
funkcja utargu
caªkowitego,
funkcja zysku
caªkowitego,
hierarchia pilno±ci potrzeb,
in acja,
kapitaª
ko«cowy,
pocz¡tkowy,
kapitalizacja odsetek,
koszt kra«cowy (marginalny),
krzywa popytu,
model
kapitalizacji rocznej,
model kapitalizacji ci¡gªej,
model oprocentowania skªadanego rocznego
przy zmiennej stopie,
odsetki,
okres kapitalizacji,
okres równowa»no±ci stopy procentowej i dys-
kontowej,
optimum technologiczne,
per annum (p.a.),
podokres kapitalizacji,
podokres oprocentowania,
popyt,
doskonale elastyczny,
doskonale nieelastyczny (sztywny),
elastyczny (silnie),
neutralny,
nieelastyczny,
poziom nasycenia potrzeb,
prawo popytu,
procent,
pªatny z góry,
przeci¦tny roczny czynnik oprocentowuj¡cy,
przyrost wzgl¦dny
argumentu,
warto±ci funkcji,
punkt procentowy,
równowa»ne ci¡gi kapitaªów,
65
Skorowidz
reguªa bankowa,
reguªa kalendarzowa,
roczna nominalna stopa ±rednia,
roczna stopa nominalna,
roczny czynnik dyskontuj¡cy,
roczny czynnik oprocentowania,
stopa
nominalna,
realna,
stopa dyskontowa,
roczna,
stopa procentowa,
efektywna,
in acji,
kwartalna,
miesi¦czna,
okresowa,
podokresowa,
przeci¦tna
roczna dla modelu oprocentowania
skªadanego,
m−okresowa,
(dla modelu oprocentowania pro-
stego),
roczna,
stopa w stosunku rocznym,
termin wykupu weksla,
utarg caªkowity,
warto±¢ kapitaªu
nominalna,
realna,
warto±¢ weksla
handlowa (aktualna),
nominalna,
warunki oprocentowania,
weksel,
wspóªczynnik elastyczno±ci cenowej popytu,
zasada
dyskonta handlowego (prostego),
oprocentowania prostego,
oprocentowania skªadanego,
równowa»no±ci stóp procentowych,
równowa»no±ci stopy dyskontowej i pro-
centowej,
zasada równowa»no±ci kapitaªów,
w momencie t,
zysk caªkowity,
Aktualizacja: 9 czerwca 2011
66
Document Outline
- I Elementy matematyki finansowej.
- II Modele matematyczne.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Podstawy ekonomii matematycznej część 3, GPW I FOREX
Podstawy ekonomii matematycznej wyklady
Podstawy ekonomii matematycznej część 1, GPW I FOREX
Podstawy ekonomii matematycznej część 2, GPW I FOREX
II. Podstawowe zależności funkcyjne w wyborze konsumenta, ● STUDIA EKONOMICZNO-MENEDŻERSKIE (SGH i U
Podstawy ekonomii 1
SCCIAGI Z EKO!, studia UMK, Podstawy ekonomii (mikro i makro)
KRZYWA PHILLIPSA, ● STUDIA EKONOMICZNO-MENEDŻERSKIE (SGH i UW), ekonomia matematyczna
Podstawy ekonomii
wykłady z podstaw ekonomii
Podstawy ekonomii, Pomoce naukowe=D
ekonomia, Podstawy Ekonomii
ekonomia matematyczna (4 str), Ekonomia, ekonomia
Ściąga prognozowanie i symulacje, Szkoła, EKONOMIA, EKONOMIA MATEMATYCZNA
Podstawy ekonomii
więcej podobnych podstron