Iloczyn kartezjański zbiorów

Rozważmy dwa zbiory A i B. Z dowolnych elementów a ∈ A i

b ∈ B możemy utworzyć parę (a, b). Zbiór wszystkich takich par

oznaczamy symbolem A×B i nazywamy iloczynem kartezjańskim

zbiorów A i B:

A × B = {(a, b); a ∈ A, b ∈ B},

przy czym

(a, b) = (a

0

, b

0

)

⇔ (a = a

0

)

∧ (b = b

0

).

Uwaga.

Jeśli zbiory A i B są skończone i zbiór A ma m ele-

mentów, a zbiór B ma n elementów, to zbiór A × B ma m · n

elementów.

1

Kwadratem kartezjańskim zbioru A nazywamy zbiór A

2

= A × A.

Przykład. R

2

= R×R – płaszczyzna (z układem współrzędnych),

[0, 3) × (1, 2] ⊂ R

2

,

[0, 3) × (1, 2] = {(x, y); x ∈ [0, 3), y ∈ (1, 2]}.

2

Analogicznie określamy iloczyn kartezjański większej liczby zbio-

rów, na przykład

A × B × C = {(a, b, c); a ∈ A, b ∈ B, c ∈ C},

przy czym

(a, b, c) = (a

0

, b

0

, c

0

)

⇔ (a = a

0

)

∧ (b = b

0

)

∧ (c = c

0

).

Zbiór

A

n

= A × A × . . . × A

|

{z

}

n

=

=

{(a

1

, a

2

, . . . , a

n

); a

1

, a

2

, . . . , a

n

∈ A}

nazywamy n-tą potęgą kartezjańską zbioru A, na przykład R

3

to

przestrzeń trójwymiarowa (z układem współrzędnych) i ogólnie

R

n

to przestrzeń n-wymiarowa.

3

Funkcje

„Jeżeli mamy dwa zbiory X i Y , i każdemu elementowi zbioru X

przyporządkujemy jeden i tylko jeden element zbioru Y , to takie

przyporządkowanie nazywamy funkcją.”

f : X → Y , X – dziedzina funkcji f , Y – przeciwdziedzina funkcji f .

4

Przykłady:

• f : Z → Z, f (n) = n + 1,

• g

i

: R → R, g

1

(x) = ax + b, g

2

(x) = sin x, g

3

(x) = 2

x

,

g

4

(x) = a

n

x

n

+ . . . + a

1

x + a

0

,

• E(x) = [x], np. E: R → R lub E: R → Z,

• f : N

1

× N

1

→ N

1

, f (m, n) = NWD(m, n),

5

• g: R

3

→ R, g(x, y, z) = xy + yz + zx,

• h: R → R

2

, h(t) = (cos t, sin t),

• X – zbiór, Id

X

: X → X, Id

X

(x) = x,

• T – zbiór trójkątów, P : T → R, P (ABC) – pole trójkąta ABC,

• ciąg a

1

, a

2

, a

3

, . . . elementów zbioru A to funkcja

a: N

1

→ A, a(n) = a

n

.

6

Zbiorem wartości funkcji f : X → Y nazywamy zbiór

f (X) = {f (x); x ∈ X} = {y ∈ Y : ∃

x∈X

y = f (x)}.

Przykłady:

• f : R → R, f (x) = x

n

, gdzie n ∈ N

1

,

f (R) =

(

[0, +∞), jeśli n jest parzyste,

R,

jeśli n jest nieparzyste.

• g: R → R, g(x) = ax + b, gdzie a, b ∈ R,

g(R) =

(

R,

jeśli a 6= 0,

{b}, jeśli a = 0.

7

• E: R → R, f (x) = [x], E(R) = Z

• h: R → R

2

, h(t) = (cos t, sin t), h(R) =?

Uwaga. Zbiór wartości jest podzbiorem przeciwdziedziny:

f (X) ⊂ Y,

nie musi być równy całej przeciwdziedzinie!

8

Definicja.

Funkcję f : X → Y nazywamy różnowartościową lub

injekcją, jeśli różnym elementom zbioru X przyporządkowuje róż-

ne elementy zbioru Y :

∀

x

1

,x

2

∈X

x

1

6= x

2

⇒ f (x

1

)

6= f (x

2

).

Warunek równoważny:

∀

x

1

,x

2

∈X

f (x

1

) = f (x

2

)

⇒ x

1

= x

2

.

9

Przykłady injekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• g: [−

π
2

,

π
2

]

→ R, g(x) = sin x,

• dowolna funkcja rosnąca f : R → R.

Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = x

n

jest injekcją?

10

Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy funkcją „na” lub surjek-

cją, jeśli każdy element zbioru Y jest przyporządkowany jakiemuś

elementowi zbioru X, czyli

∀

y∈Y

∃

x∈X

f (x) = y.

Funkcja jest „na”, gdy jej przeciwdziedzina jest zbiorem wartości:

f (X) = Y .

11

Przykłady surjekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• f : R → [−1, 1], f (x) = sin x,

• f : R → Z, f (x) = [x].

Pytanie. Dla jakich n funkcja f : R → R, f (x) = x

n

jest surjekcją?

12

Definicja. Funkcję f : X → Y nazywamy wzajemnie jednoznacz-
ną lub bijekcją, jeśli jest różnowartościowa i „na” (czyli jest in-

jekcją i surjekcją).

Przykłady bijekcji:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

• f : R \ {0} → R \ {0}, f (x) =

1
x

,

• f : [−

π
2

,

π
2

]

→ [−1, 1], f (x) = sin x,

• f : R → R

+

, f (x) = a

x

, gdzie a > 0 i a 6= 1.

13

Rozważmy funkcje f : X → Y i g: Y → Z. Dla x ∈ X mamy y =

f (x) ∈ Y , więc mamy również g(y) = g(f (x)) ∈ Z. W ten sposób

określamy złożenie funkcji f i g:

g ◦ f : X → Z,

(g ◦ f )(x) = g(f (x)) dla x ∈ X.

Przykład: f, g: R → R, f (x) = x + 1, g(x) = x

2

,

f (g(x)) = x

2

+ 1, g(f (x)) = (x + 1)

2

.

14

Funkcja f : X → Y jest bijekcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdy

element y ∈ Y jest przyporządkowany dokładnie jednemu ele-

mentowi x ∈ X. Wówczas istnieje funkcja g: Y → X taka, że

g(y) = x ⇔ y = f (x) dla x ∈ X, y ∈ Y.

Funkcja g spełnia warunki:

∀

x∈X

g(f (x)) = x i ∀

y∈Y

f (g(y)) = y,

czyli

g ◦ f = Id

X

i f ◦ g = Id

Y

.

Funkcję g nazywamy funkcją odwrotną do funkcji f i oznaczamy

symbolem f

−1

.

15

Przykłady funkcji odwrotnych:

• f : R → R, f (x) = ax + b, gdzie a 6= 0,

f

−1

: R → R, f

−1

(x) =

x−b

a

,

• g: [0, +∞) → [0, +∞), g(x) = x

n

, gdzie n ∈ N, n > 2

g

−1

: [0, +∞) → [0, +∞), g

−1

(x) =

n

√

x,

• h: R → (0, +∞), h(x) = a

x

, gdzie a > 0, a 6= 1,

h

−1

: (0, +∞) → R, h(x) = log

a

(x).

16