2010-02-01

© Lesław ŁADNIAK

E

LEMENTY

RLCM

1.1 Cewka

Cewka (zwojnica, solenoid) jest elementem obwodu
elektrycznego magazynującym energię w polu magnetycznym
otaczającym przewody, w których płynie prąd elektryczny.
Parametrem charakteryzującym cewkę jest indukcyjność L będąca
stosunkiem strumienia magnetycznego

ψ

skojarzonego z cewką do

natężenia prądu i płynący przez uzwojenie cewki.

L =

ψ

i

Jeżeli cewka jest elementem liniowym to stosunek strumienia
magnetycznego

ψ

skojarzonego z cewką do natężenia prądu i

płynącego przez zwoje cewki jest stały. Na Rys. 2 przedstawiono
zależności między strumieniem magnetycznym przenikającym
zwoje cewki, a natężeniem prądu płynącego przez cewkę, gdy jest
ona elementem liniowym.

Jak wynika z prawa Faradaya napięcie na zaciskach cewki jest
proporcjonalne do szybkości zmian strumienia magnetycznego
przenikającego uzwojenia cewki:

u(t) = - e(t) =

d

ψ

dt

= N

d

Φ

dt

gdzie:

ψ

- całkowity strumień magnetyczny,

N - liczba zwoi cewki,

Φ

- strumień magnetyczny dla jednego zwoju.

W konsekwencji napięcie na zaciskach cewki linowej o stałej
wartości indukcyjności w czasie oraz prąd płynący w zwojach
takiej cewki są opisane równaniami:

(A.1)

u(t) = L

di(t)

dt

(A.2)

i(t) = i(t

o

) +

1

L

⌡

⌠

t

o

t

u(t) dt

2

© Lesław ŁADNIAK

Rys. 1.

Symbole cewek

Φ

I

ΔΦ

ΔΙ

α

Rys. 2.

Zależność między strumieniem magnetycznym

ψ

oraz prądem

i cewki

3

© Lesław ŁADNIAK

Indukcyjność cewki w kształcie walca o przekroju S i długości
d, posiadającej N równolegle ułożonych zwoi, które otaczają
materiał o względnej przenikalności magnetycznej

μ

r

, można

obliczyć ze wzoru:

(A.3)

L =

μ

o

μ

r

N

2

S
d

gdzie:

μ

o

- przenikalność magnetyczna próżni,

μ

r

- względna przenikalność magnetyczna materiału,

N – liczba zwoi cewki,
S - pole przekroju cewki,
d - długość cewki.

Przenikalność magnetyczna bezwzględna (przenikalność
magnetyczna próżni):

μ

o

= 4

π

10

-7

H
m

≈

1.257 10

-6

H
m

Indukcyjność jednostkowa dwuprzewodowej linii
napowietrznej o promieniu przewodów r, ułożonych równolegle w
odległości a od siebie, gdy a >> r, wynosi:

L’ = L

w

’

+ L

z

’

=

μ

4

π

+

μ

π

ln

a

r

Stąd indukcyjność pojedynczego przewodu:

L’

=

μ

8

π

+

μ

2

π

ln

a

r

Indukcyjność kabla koncentrycznego:

L’ =

μ

8

π

+

μ

2

π

ln

R

r

Indukcyjność cewki toroidalnej o rdzeniu z materiału o
przenikalności magnetycznej μ;

L

=

μ N

2

S

2π R =

μ N

2

S

d

gdzie d = 2πR jest średnią drogą strumienia w rdzeniu o przekroju
S.

Rys. 3.

Cewka

Tabela 3 Przenikalność magnetyczna
materiałów

Materiał

μ

r

Bizmut 0,99984
Rtęć 0,99997
Woda 0,999991
Miedź 0,99999
Próżnia 1
Powietrze 1,000004
Aluminium 1,000004
Kobalt

do 200

Nikiel do

300

Stal miękka do

5

000

Stal specjalna

do 10 000

Rys. 4.

Charakterystyka magnesowania

4

© Lesław ŁADNIAK

Indukcyjność jednostkowa wewnętrzna prostego pojedynczego
przewodu:

L

i

’

= μ

r

μ

o

8π

Indukcyjność jednostkowa trójfazowej linii napowietrznej o
promieniu przewodów r, ułożonych w jednakowych odległościach
a od siebie (trójkąt boczny) obliczamy z wzoru:

L’ =

μ

4

π

+

μ

π

ln

a

r

Wzór jest taki sam jak dla dwóch przewodów. Gdy przewody są
ułożone niesymetrycznie ale cyklicznie przeplatane, to

a =

3

a

1

a

2

a

3

Dla cewki, dla której stosunek długości cewki do średnicy jest
mniejszy od 20, indukcyjność stosujemy następujący wzór na
indukcyjność:

L =

6,4 μ N

2

D

2

3,5 D + 8 l

D - 2,25 d

D

gdzie D overall diameter, d radial thickness, l długość, N liczba
zwoi.

For the best ratio of inductance to resistance, l = d, giving a
square winding cross-section, and D = 4,7 d. Then

L = 0,8 10

-6

N

2

D

Impedancja jednostkowa linii dwuprzewodowej wynosi:

Z

L

’ = 120 ln

a

r zwykle rzędu 300

−

600

Ω

5

© Lesław ŁADNIAK

Elementarna

ilość energii, jaka jest gromadzona w cewce jest

opisana równaniem:

dW = p(t) dt =

d

ψ

dt i(t) dt = d [

ψ

(t) i(t)] dt

Energia zgromadzona w cewce w przedziale czasu od t

o

do t

wynosi:

W

L

(t

o

,t) =

⌡

⌠

t

o

t

p(t) dt =

⌡

⌠

t

o

t

u(t)

⋅

i(t) dt =

⌡

⌠

t

o

t

d

ψ

dt i(t) dt =

=

⌡

⌠

t

o

t

L

di(t)

dt i(t) dt

ponieważ d

ψ

= L di(t) stąd

W

L

(t

o

,t) =

⌡

⌠

t

o

t

L i(t) di = L

1
2 i(t)

|

t

to

=

1
2 L i

2

(t) -

1
2 L i

2

(t

o

)

Jeżeli przyjmiemy, że w chwili t

o

= 0 przez cewkę nie płynął

prąd, czyli i(t

o

) = 0, to ilość energii zgromadzonej w cewce

wynosi:

W

L

(t) =

1
2

L i

2

(t)

Gdy

indukcyjność cewki jest większa od zera L

>

0, to ilość

zgromadzonej energii jest też większa od zera W

L

(t

o

,t)

≥

0.

Cewka

jest elementem pasywnym.

Jeżeli wyróżnimy dwa rodzaje elementów magazynujących
energię, to możemy napisać:

Q

E

=

dW

L

(t) + dW

C

(t)

dW

R

(t)

=

1
2 L i

L

2

+

1
2 C u

C

2

R i

R

2

T

gdzie L i C są parametrami opisującymi elementy magazynujące
energię.

6

© Lesław ŁADNIAK

1.2 Cewki sprzężone magnetycznie

Cewkami

sprzężonymi nazywamy układ dwóch lub większej

liczby cewek indukcyjnych rozmieszczonych w przestrzeni w taki
sposób, że pola magnetyczne wytworzone przez prądy płynące w
poszczególnych cewkach wzajemnie na siebie oddziałują. Pola
magnetyczne pochodzące od poszczególnych cewek mogą się
sumować lub odejmować w zależności od wzajemnego
usytuowania cewek względem siebie oraz kierunków prądów
płynących w uzwojeniach tych cewek.

Strumień magnetyczny obejmujący uzwojenia danej cewki jest
sumą strumienia własnego (wywołanego prądem płynącym w
rozpatrywanej cewce) oraz algebraiczną sumą strumieni
pochodzących od innych cewek (wywołanych prądami płynącymi
w innych cewkach):

ψ

k

=

ψ

kk

+

∑

±

ψ

kl

gdzie:

ψ

kk

– jest strumieniem własnym cewki „k”, wywołanym

prądem płynącym w tej cewce,

ψ

kl

– jest strumieniem wzajemnym, przenikającym cewkę „k”

pochodzącym od cewki „l”, wywołanym przepływem prądu w
cewce „l”.

1.2.1 Sprzężenie zgodne i przeciwne

Mówimy, że sprzężenie magnetyczne jest zgodne, jeżeli
strumienie magnetyczne poszczególnych cewek dodają się. Gdy
strumienie magnetyczne rozpatrywanych cewek odejmują się to
mówimy, że cewki są sprzężone przeciwnie.

W celu prostego określania znaku sprzężenia między cewkami
stosuje się oznaczenie zacisków tworzących parę tzw. zacisków
jednakoimiennych (Rys. 6, Rys. 7). Jeżeli strumienie magnetyczne
dodają się to zaciski, do których wpływają prądy wywołujące te
strumienie nazywamy jednakoimiennymi i oznaczamy (

•, ∗, °, Δ

lub w inny sposób). Inaczej mówiąc, gdy prądy poszczególnych
cewek wpływają do zacisków jednakoimiennych lub wypływają z
zacisków jednakoimiennych, to pole magnetyczne każdej z cewek
jest sumą pól magnetycznych wywołanych przepływem prądów
płynących w tych cewkach.

i

1

i

2

i

2

i

1

ψ

22

ψ

21

Rys. 5.

Obwody sprzężone magnetycznie

u

2

i

1

L

1

+ M

u

1

L

2

i

2

u

2

i

1

L

1

+ M

u

1

L

2

i

2

Rys. 6.

Sprzężenie zgodne

u

2

i

1

L

1

- M

u

1

L

2

i

2

u

2

i

1

L

1

- M

u

1

L

2

i

2

Rys. 7.

Sprzężenie przeciwne

Komentarz [ll1]: Może pominąć
cudzysłowy?

7

© Lesław ŁADNIAK

1.2.2 Napięcie indukcji własnej i wzajemnej

Zgodnie z prawem Faradaya, gdy strumień magnetyczny
przenikający cewkę zmienia się w czasie, to napięcie na zaciskach
cewki jest opisane równaniem:

u

k

(t) =

d

ψ

k

(t)

dt

Ponieważ rozpatrujemy cewki sprzężone magnetycznie, to
strumień magnetyczny przenikający daną cewkę jest sumą
strumienia własnego cewki

ψ

kk

i strumieni wzajemnych

ψ

kl

wywołanych prądami w innych cewkach:

ψ

k

=

ψ

kk

+

∑

±

ψ

kl

W związku z powyższym, napięcie na zaciskach cewki
sprzężonej magnetycznie z innymi cewkami jest opisane
równaniem:

u

k

(t) =

d

ψ

kk

(t)

dt

+

∑

±

d

ψ

kl

(t)

dt

Jeżeli indukowaną w cewce siłę elektromotoryczną pochodzącą
od zmian własnego strumienia nazwiemy siłą elektromotoryczną
samoindukcji:

e

kk

(t) =

−

d

ψ

kk

(t)

dt

a siłę elektromotoryczną indukowaną w cewce ale wywołaną
zmianami strumienia magnetycznego pochodzącego od innej cewki
nazwiemy siłą elektromotoryczną indukcji wzajemnej:

e

kl

(t) = -

d

ψ

kl

(t)

dt

to pamiętając o tym, że napięcie na zaciskach cewki u

k

(t) jest

skierowane przeciwnie do indukowanej w cewce siły
elektromotorycznej e

k

(t), możemy napisać:

u

k

(t) = u

kk

(t)

±

u

kl

(t)

gdzie:

u

kk

(t) =

d

ψ

kk

(t)

dt jest napięciem samoindukcji,

u

kl

(t) =

d

ψ

kl

(t)

dt jest napięciem indukcji wzajemnej.

Należy zauważyć, że znak napięcia indukcji wzajemnej
zależy od rodzaju sprzężenia. Jeżeli sprzężenie cewek jest
zgodne to napięcie indukcji wzajemnej dodaje się do
napięcia indukcji własnej. Gdy sprzężenie jest przeciwne,
to napięcie indukcji wzajemnej należy odjąć od napięcia
indukcji własnej.

1.2.3 Indukcyjność własna i
wzajemna

Jeżeli rozpatrywane cewki są elementami
liniowymi, to stosunek poszczególnych
strumieni magnetycznych tych cewek do
prądów wywołujących te strumienie jest
stały.

Stosunek

własnego strumienia

magnetycznego cewki do prądu płynącego tą
cewką nazywamy indukcyjnością własną
cewki:

L

k

=

ψ

kk

i

k

W analogiczny sposób można

zdefiniować indukcyjność wzajemną cewki
„k” z cewką „l”, jako stosunek strumienia
wzajemnego, przenikającego cewkę „k”
wywołanego przepływem prądu w cewce
„l”.

M

kl

=

ψ

kl

i

l

Indukcyjność wzajemną cewek można
określić korzystając ze wzoru
M

kl

= w L

k

L

l

, gdzie w jest

współczynnikiem sprzężenia cewek
(0 < w < 1).

W

konsekwencji

napięcie na zaciskach

cewki, która jest sprzężona z innymi
cewkami przyjmuje postać:

u

k

(t) = L

k

di

k

(t)

dt

+

∑

±

M

kl

di

l

(t)

dt

W powyższym równaniu znak „+"
dotyczy przypadku, gdy sprzężenie cewek
jest zgodne, znak „

−

", gdy sprzężenie cewek

jest przeciwne.

8

© Lesław ŁADNIAK

1.2.4 Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych

W celu wyznaczenie zacisków jednakoimiennych cewek
sprzężonych magnetycznie można posłużyć się układem
przedstawionym na Rys. 8.

Układ składa się z dwóch obwodów elektrycznych. W
obwodzie pierwszym cewka L

1

jest przyłączana do źródła napięcia

stałego poprzez łącznik W. Obwód drugi składa się z cewki L

2

oraz

przyrządu magnetoelektrycznego najlepiej z zerem po środku skali
(np. woltomierz). W wyniku zamknięcia wyłącznika, w obwodzie
cewki pierwszej popłynie prąd i

1

(t)

.

Prąd ten wywoła w cewce

drugiej strumień magnetyczny

ψ

.

W wyniku zmian strumienia magnetycznego wytworzonego w
uzwojeniu cewki drugiej indukuje się siła elektromotoryczna e(t),
która powoduje przepływ prądu i

2

(t)

.

Kierunek prądu i

2

(t), zależy

od kierunku siły elektromotorycznej wyidukowanej w cewce L

2

.

Kierunek wychylenia się wskazówki przyrządu

magnetoelektrycznego wskazuje kierunek przepływu prądu. Na tej
podstawie można stwierdzić że, zacisk cewki L

1

przyłączony do

dodatniego bieguna źródła napięcia oraz zacisk cewki L

2

wskazany

przez przyrząd magnetoelektryczny są zaciskami
jednakoimiennymi.

i

1

(t)

e(t)

L

1

L

2

i

2

(t)

a

b

ψ

Rys. 8.

Wyznaczanie zacisków jednakoimiennych

9

© Lesław ŁADNIAK

1.3 Transformator

Rozpatrzmy

układ dwóch cewek sprzężonych magnetycznie

(Rys. 9). W przypadku cewek liniowych sprzężonych zgodnie,
strumienie magnetyczne przenikające poszczególne cewki są
opisane równaniami:

ψ

1

(t) = L

1

i

1

(t) + M i

2

(t)

ψ

2

(t) = L

2

i

2

(t) + M i

1

(t)

Napięcia na poszczególnych cewkach są opisane równaniami:

u

1

(t) = L

1

di

1

(t)

dt + M

di

2

(t)

dt

u

2

(t) = L

2

di

2

(t)

dt + M

di

1

(t)

dt

W przypadku, gdy uzwojenie cewki drugiej jest rozwarte, to
prąd i

2

(t) nie płynie. Rozpatrywane równania przyjmują postać:

u

1

(t) = L

1

di

1

(t)

dt

u

2

(t) = M

di

1

(t)

dt

W wyniku rozwiązania powyższego układu równań
otrzymujemy:

u

2

(t) =

M
L

1

u

1

(t)

Jeżeli przyjmiemy, że sprzężenie między cewkami jest pełne,
czyli gdy M = L

1

L

2

, to

u

2

(t) =

L

2

L

1

u

1

(t)

u

2

i

1

L

1

+ M

u

1

L

2

i

2

Rys. 9.

Dwie cewki sprzężone zgodnie

10

© Lesław ŁADNIAK

Ponieważ indukcyjność cewki wykonanej w postaci walca o
długości d, polu przekroju S, posiadającej N zwoi otaczających
materiał o przenikalności magnetycznej

μ

wynosi:

L =

μ

N

2

S
d

to po uwzględnieniu tego faktu we wzorze na relację między
napięciami na zaciskach cewek sprzężonych magnetycznie
otrzymujemy:

u

2

(t) =

N

2

N

1

u

1

(t)

Jak wynika z powyższego wzoru, napięcie na zaciskach cewki
drugiej jest proporcjonalne do napięcia na zaciskach cewki
pierwszej.

Współczynnik proporcjonalności napięć jest równy stosunkowi
liczby zwoi cewek, który nazywamy przekładnią zwojową:

N =

N

2

N

1

Taki

układ złożony z dwóch cewek sprzężonych magnetycznie

opisany tylko przekładnią zwojową nazywamy transformatorem
idealnym.

W transformatorze idealnym nie występują elementy
rozpraszające energię, czyli ilość energii doprowadzonej do
transformatora jest równa ilości energii odprowadzanej z
transformatora.

Korzystając z bilansu mocy dla transformatora idealnego
możemy napisać:

p

1

(t) – p

2

(t) = u

1

(t) i

1

(t)

−

u

2

(t) i

2

(t) = 0

Ponieważ u

2

(t) =

N

2

N

1

u

1

(t), to po prostych przekształceniach

otrzymujemy:

i

2

(t) =

N

1

N

2

i

1

(t)

Transformatory

są przeznaczone głównie do zmiany wartości

napięć w obwodach elektrycznych. Jeżeli przekładnia zwojowa
transformatora jest większa od jedności, to jest to transformator
podwyższający napięcie. Transformatory służą także do

dopasowanie odbiornika do źródła oraz do
galwanicznego rozdzielenia obwodów
elektrycznych.

Rys. 10.

Transformator

11

© Lesław ŁADNIAK

Ilość energii zmagazynowanej w transformatorze chwili t jest
równa ilości energii zmagazynowanej w polu magnetycznym
otaczającym cewki uzwojenia pierwotnego i wtórnego oraz w polu
magnetycznym związanym z oboma cewkami.

W przypadku sprzężenia zgodnego cewek, w polu
magnetycznym cewki pierwszej ilość energii zmagazynowanej od
chwili t

o

do chwili t wynosi:

W

1

(t

o

,t) =

⌡

⌠

t

o

t

p

1

(t) dt =

⌡

⌠

t

o

t

u

1

(t) i

1

(t) dt =

⌡

⌠

t

o

t

[L

1

di

1

(t)

dt + M

di

2

(t)

dt ] i

1

(t) dt =

⌡

⌠

t

o

t

L

1

i

1

di

1

+

⌡

⌠

t

o

t

M i

2

di

1

=

=

1
2 L

1

i

1

2

(t) + M i

2

(t) i

1

(t)

−

1
2 L

1

i

1

2

(t

o

)

−

M i

2

(t

o

) i

1

(t

o

)

Jeżeli w chwili t

o

wartości prądu w uzwojeniu pierwotnym była

równa zeru, to ilość energii zmagazynowanej w polu
magnetycznym pierwszej cewki i energii przekazywanej poprzez
sprzężenie magnetyczne do drugiej cewki wynosi:

W

1

(t) =

1
2 L

1

i

1

2

(t) + M i

2

(t) i

1

(t)

Postępując w analogiczny sposób można wyznaczyć ilość
energii zgromadzonej w polu magnetycznym cewki uzwojenia
wtórnego transformatora i energii przekazywanej z uzwojenia
pierwotnego do wtórnego:

W

2

(t) =

1
2 L

2

i

2

2

(t) + M i

1

(t) i

2

(t)

Całkowita energia zgromadzona w polu magnetycznym cewek
sprzężonych zgodnie wynosi:

W(t)

=

1
2 L

1

i

1

2

(t) +

1
2 L

2

i

2

2

(t) + M i

1

(t) i

2

(t)

Ponieważ ilość energii przekazywanej w
chwili t z obwodu pierwszego do obwodu
drugiego wynosi:

W

12

(t) = M i

2

(t) i

1

(t)

to wartość chwilowa mocy sprzężenia
magnetycznego uzwojeń transformatora jest
opisana równaniem:

p

12

(t) = M i

2

(t)

di

1

(t)

dt

Powyższe równanie opisuje szybkość
przekazywania energii przez transformator
do odbiornika.

12

© Lesław ŁADNIAK

Przekładnik jest to transformator jednofazowy przeznaczony do
zasilania przyrządów pomiarowych, przekaźników i innych
aparatów niskiego napięcia. Przekładniki dzielimy na przekładniki
prądowe i napięciowe.

Transformator straty

Dane:
S

n

– moc znamionowa transformatora [kVA]

i

o%

- prąd stanu jałowego [%]

U

z%

- napięcie zwarcia transformatora [%]

S – moc pozorna odbiornika

Straty jałowe czynne, czyli straty w żelazie transformatora ΔP

o

=

ΔP

Fe

Starty obciążeniowe czynne, czyli straty w miedzi transformatora
ΔPpn = ΔP

Cu

Stary jałowe bierne ΔQ

o

=

i

o%

100 S

n

Starty obciążeniowe bierne ΔQ

zwn

=

U

z%

100 S

n

Starty całkowite czynne ΔP

Tr

= ΔP

o

+ ΔP

pn

(

S

S

n

)

2

Straty całkowite bierne ΔQ

Tr

= ΔQ

o

+ ΔQ

zwn

(

S

S

n

)

2