PROBABILISTYKA

TEST PRÓBNY

1) Załóżmy, że

0

)

(

6

,

0

)

(

4

,

0

)

(

=

∩

=

=

B

A

P

B

P

A

P

.

a) Zdarzenia A, B są niezależne
b) Zdarzenia A, B są wykluczające
c)

4

,

0

)

(

=

B

A

P

2) Doświadczenie polega na rzucie monetą. Niech

X

będzie liczbą

wyrzuconych orłów.
a)

X

ma rozkład 0-1

b)

(

)

0

2

0

=

<

<

X

P

c)

0

2

=

X

D

3) Zmienna losowa

X

ma funkcję prawdopodobieństwa:

...

,

2

,

1

2

1

)

(

=













=

=

k

k

X

P

k

a)

)

2

(

)

(

lim

2

X

X

t

F

t

F

=

−

→

b)

2

1

2

5

=













X

F

c)

2

=

EX

4) Zmienna losowa X ma gęstość:













+

−

=

8

)

1

(

exp

2

2

1

)

(

2

x

x

f

π

a)

1

−

=

EX

b)

4

=

DX

c)

1

5

,

0

=

x

.

5) Dystrybuanta zmiennej losowej X jest:







>

≤

=

1

1

1

0

)

(

t

dla

t

dla

t

F

X

a)

1

=

EX

b)

0

2

=

X

D

c)

0

)

1

2

(

=

−

−

X

D

6) Dany jest rozkład zmiennej losowej

x

(

]

1

;

∞

−

( ]

5

;

1

( ]

15

;

5

(

)

∞

;

15

( )

x

F

0

1/4

3/4

1

a) Do=15
b) Me=5
c) EX=5

7) Załóżmy, że

X

i

Y

to zależne zmienne losowe. Wtedy:

a)

Y

X ,

są skorelowane

b)

EY

EX

Y

X

E

⋅

≠

⋅

)

(

c)

Y

D

X

D

Y

X

D

2

2

2

)

(

+

=

+

8) Zmienna losowa

X

przyjmuje wartości ze zbioru

{

}

2

1

0 ,

,

, każdą z

prawdopodobieństwem 1/3. Zmienna losowa

Y

jest wartością bezwzględną

różnicy pomiędzy

X

i 3.

a) Podać rozkład wektora losowego

(

)

Y

X ,

.

b) Wyznaczyć współczynnik korelacji oraz ocenić siłę i kierunek badanej

zależności

X

i

Y

c) Obliczyć

( )

3

2,

F

d) Obliczyć

(

)

3

=

Y

|

X

P

9) Dana jest funkcja

( )







≤

≤

≤

≤

=

x

y

x

Cy

y

,

x

f

pozost.

dla

0

1

0

,

1

0

dla

.

a) Wyznaczyć

C

tak, aby

( )

y

,

x

f

była gęstością wektora

(

)

Y

X ,

b) Wyznaczyć

( )

y

|

x

f

c) Obliczyć













2

1

Y

F

d) Obliczyć

EY