Matematyka A, kolokwium, 23 kwietnia 2009, rozwia

,

zania

Poprawione 5 maja.

Po sugestiach niekt´orych os´ob studiujacych na pierwszym roku chemii postanowi lem na-

pisa´c rozwia

,

zania zada´

n z drugiego kolokwium. Mam nadzieje, ze nie wielu pomy lek. Wy-

obra˙zam sobie, ˙ze kilka os´ob przeczyta te rozwia

,

zania i by´c mo˙ze dzie

,

ki tej lekturze lepiej

zrozumie, o czym ostatnio m´owimy.

1. (10 pt.) Obliczy´c ca lke

,

R

π/2

0

sin

3

x cos

3

x ln(sin x)dx .

Rozwia

,

zanie.

R

π/2

0

sin

3

x cos

3

x ln(sin x)dx

y=sin x

=========

dy=cos x dx

R

1

0

y

3

(1 − y

2

) ln y dy =

=



(

y

4

4

−

y

6

6

) ln y −

R

(

y

4

4

−

y

6

6

)

1
y

dy







1

0

=



(

y

4

4

−

y

6

6

) ln y −

R

(

y

3

4

−

y

5

6

)dy







1

0

=

=



(

y

4

4

−

y

6

6

) ln y − (

y

4

16

−

y

6

36

)





1
0

= −

1

16

+

1

36

=

−5

144

,

bowiem lim

y→0

+

y ln y = lim

y→0

+

ln y
1/y

= lim

y→0

+

1/y

−1/y

2

= lim

y→0

+

(−y) = 0 — zastosowali´smy regu le

,

de l’Hospitala. Trzeba by lo obliczy´c granice

,

, bo lim

y→0

+

ln y = −∞ .

2. (10 pt.)

Znale´z´c warto´sci w lasne (r´ownie˙z nierzeczywiste) i wektory w lasne im odpo-

wiadaja

,

ce macierzy A , macierzy A

2

i macierzy A

−1

, je´sli A =



−9 13
−7 10



.

Rozwia

,

zanie.

Liczba λ jest warto´scia

,

w lasna

,

tej macierzy wtedy i tylko wtedy, gdy jest pierwiastkiem

r´ownania charakterystycznego:

0 =









−9 − λ

13

−7

10 − λ







 = (−9 − λ)(10 − λ) − 13 · (−7) = λ

2

− λ + 1 ,

zatem, gdy λ =

1
2

(1 + i

√

3) albo λ =

1
2

(1 − i

√

3) . Wektor

x
y

jest wektorem w lasnym

odpowiadaja

,

cym warto´sci w lasnej λ =

1
2

(1 + i

√

3) wtedy i tylko wtedy, gdy



−9 13
−7 10



x
y



=



−9x + 13y
−7x + 10y



= λ



x
y



=



λx
λy



,

czyli gdy −9x + 13y =

1
2

(1 + i

√

3)x i −7x + 10y =

1
2

(1 + i

√

3)y . Poniewa˙z

1
2

(1 + i

√

3)

jest warto´scia

,

w lasna

,

, wie

,

c te r´ownania sa

,

r´ownowa˙zne, zatem wektor

x
y

jest wektorem

w lasnym wtedy i tylko wtedy, gdy 13y =

1
2

(19 + i

√

3)x tzn., gdy y =

1

26

(19 + i

√

3)x ,

np. wektorem w lasnym odpowiadaja

,

cym λ =

1
2

(1 + i

√

3) jest wektor

26

19+i

√

3

. Og´olnie

dla dowolnej liczby zespolonej t 6= 0 wektor



26t

(19 + i

√

3)t



jest wektorem w lasnym od-

powiadaja

,

cym warto´sci w lasnej

1
2

(1 + i

√

3) .

Druga warto´s´c w lasna, to

1
2

(1 − i

√

3) =

1
2

(1 + i

√

3) , a poniewa˙z macierz jest rzeczywi-

sta, wie

,

c odpowiada jest wektor w lasny

26

19+i

√

3

=

26

19−i

√

3

oraz ka˙zdy inny otrzymany

przez pomno˙zenie tego wektora przez jaka

,

´s liczbe

,

zespolona

,

.

Za l´o˙zmy teraz, ˙ze Av = λv dla pewnego wektora v 6= 0 . Wtedy A

2

v = A(Av) =

A(λv) = λAv = λ

2

v . Oznacza to, ˙ze je´sli v jest wektorem w lasnym macierzy A odpo-

wiadaja

,

cym warto´sci w lasnej λ , to v jest te˙z wektorem w lasnym macierzy A

2

, ale tym

razem odpowiada on warto´sci w lasnej λ

2

. Wobec tego warto´sciami w lasnymi macierzy

A

2

sa

,

liczby

1
2

(1 + i

√

3)

2

=

1
4

(1 + 2i

√

3 − 3) =

1
2

(−1 + i

√

3) oraz

1
2

(1 − i

√

3)

2

=

1
4

(1 − 2i

√

3 − 3) =

1
2

(−1 − i

√

3) . Odpowiadaja

,

im wektory w lasne

26

19+i

√

3

i

26

19−i

√

3

.

Je´sli wyznacznik macierzy jest r´o˙zny od 0 , to — jak wiadomo — macierz ma od-

wrotna

,

. Jest tak w naszym przypadku, bo wyznacznik macierzy A jest r´owny 1 . Iloczyn

wszystkich warto´sci w lasnych macierzy jest r´owny jej wyznacznikowi. Je´sli A = λv , to

A

−1

Av = A

−1

λv = λA

−1

v , zatem A

−1

v =

1

λ

v . Oznacza to, ˙ze je´sli v jest wekto-

rem w lasnym macierzy A odpowiadaja

,

cym warto´sci w lasnej λ , to v jest te˙z wektorem

w lasnym macierzy A

−1

, ale tym razem odpowiada on warto´sci w lasnej λ

−1

=

1

λ

. Wobec

tego warto´sciami w lasnymi macierzy A

−1

sa

,

liczby

1
2

(1 + i

√

3)

−1

=

1
2

(1 − i

√

3) oraz

1
2

(1 − i

√

3)

−1

=

1
2

(1 + i

√

3) . Odpowiadaja

,

im wektory w lasne

26

19+i

√

3

i

26

19−i

√

3

.

3.

Niech

A =

1

54

·





−26

4 − 24

√

3 8 + 12

√

3

4 + 24

√

3

−11

32 − 3

√

3

8 − 12

√

3 32 + 3

√

3

37



, V

1

=





1
4
8



, V

2

=





−4

11

−5



,

V

3

=





12

3

−3



 = 3 ·





4

1

−1



.

(1 pt.) Obliczy´c A · V

1

oraz iloczyny skalarne wektor´ow V

1

i V

2

, V

1

i V

3

, V

2

i V

3

.

(4 pt.) Znale´z´c takie liczby α, β, γ, δ , ˙ze A · V

2

= αV

2

+ βV

3

i A · V

3

= γV

2

+ δV

3

.

(5 pt.) Znale´z´c rzeczywiste warto´sci w lasne i wektory w lasne macierzy A .

Rozwia

,

zanie.

Mamy A · V

1

=

1

54





1 · (−26) + 4 · (4 − 24

√

3) + 8 · (8 + 12

√

3)

1 · (4 + 24

√

3) + 4 · (−11) + 8 · (32 − 3

√

3)

1 · (8 − 12

√

3) + 4 · (32 + 3

√

3) + 8 · 37



 =

1

54





54

216
432



 =





1
4
8



 =

V

1

. V

1

· V

2

= −4 + 44 − 40 = 0 , V

1

· V

3

= 12 + 12 − 24 = 0 , V

2

· V

3

= −48 + 33 + 15 = 0 .

AV

2

=

1

54





(−4) · (−26) + 11 · (4 − 24

√

3) + (−5) · (8 + 12

√

3)

(−4) · (4 + 24

√

3) + 11 · (−11) + (−5) · (32 − 3

√

3)

(−4) · (8 − 12

√

3) + 11 · (32 + 3

√

3) + (−5) · 37



 =

=

1

54





108 − 324

√

3

−297 − 81

√

3

135 + 81

√

3



=





2 − 6

√

3

−

11

2

−

3
2

√

3

5
2

+

3
2

√

3



 = −

1
2

V

2

−

√

3

2

V

3

,

zatem α = −

1
2

, β = −

√

3

2

.

AV

3

=

1

54





12 · (−26) + 3 · (4 − 24

√

3) + (−3) · (8 + 12

√

3)

12 · (4 + 24

√

3) + 3 · (−11) + (−3) · (32 − 3

√

3)

12 · (8 − 12

√

3) + 3 · (32 + 3

√

3) + (−3) · 37



 =

=

1

54





−324 − 108

√

3

−81 + 297

√

3

81 − 135

√

3



=





−6 − 2

√

3

−

3
2

+

11

2

√

3

3
2

−

5
2

√

3



 =

√

3

2

V

2

−

1
2

V

3

,

zatem γ =

√

3

2

, δ = −

1
2

.

Z wzoru A · V

1

= V

1

i z definicji warto´sci w lasnej wynika, ˙ze V

1

jest wektorem

w lasnym odpowiadaja

,

cym warto´sci w lasnej 1 . Wektory V

1

, V

2

, V

3

sa

,

wzajemnie prosto-

pad le. Niech V be

,

dzie dowolnym wektorem. Istnieja

,

takie liczby a, b, c , ˙ze

V = aV

1

+ bV

2

+ cV

3

,

przy czym wektor V wyznacza liczby a, b, c jednoznacznie. Wobec tego

AV = aAV

1

+ bAV

2

+ cAV

3

= aV + b(αV

2

+ βV

3

) + c(γV

2

+ δV

3

) =

= aV + (bα + cγ)V

2

+ (bβ + cδ)V

3

.

Je´sli V jest wektorem w lasnym odpowiadaja

,

cym warto´sci w lasnej λ , to musi zachodzi´c

r´owno´s´c

λaV

1

+ λbV

2

+ λcV

3

= λV = AV = aV + b(αV

2

+ βV

3

) + c(γV

2

+ δV

3

) =

= aV + (bα + cγ)V

2

+ (bβ + cδ)V

3

,

zatem, poniewa˙z wektory V

1

, V

2

, V

3

sa

,

wzajemnie prostopad le, zachodzi´c musza

,

r´ow-

no´sci λa = a , λb = bα+cγ , λc = bβ +cδ . Ten uk lad r´owna´

n z niewiadomymi a, b, c i pa-

rametrem λ mo˙zna przepisa´c w postaci (1−λ)a = 0 , (α−λ)b+γc = 0 , βb+(δ−λ)c = 0 .

Wyznacznik tego uk ladu r´owna´

n to:













1 − λ

0

0

0

α − λ

γ

0

β

δ − λ













= (1 − λ)









α − λ

γ

β

δ − λ







 =

= (1 − λ) (α − λ)(δ − λ) − γβ

= (1 − λ) λ

2

− λ(α + δ) + αδ − γβ

= (1 − λ)(λ

2

+ λ + 1) .

Jasne jest, ˙ze je´sli λ jest liczba

,

rzeczywista

,

, to λ

2

+ λ + 1 > 0 , zatem jedynym rzeczy-

wistym parametrem λ , dla kt´orego uk lad r´owna´

n ma niezerowe rozwia

,

zanie jest λ = 1

— ma on niezale˙znie od warto´sci λ zerowe rozwia

,

zanie, ale nas interesuja

,

rozwia

,

zania

niezerowe. Wtedy jednak musza

,

zachodzi´c r´owno´sci b = 0 = c , a wie

,

c jedynymi rzeczy-

wistymi wektorami w lasnymi tej macierzy sa

,

wektory postaci aV

1

, gdzie a ∈ R \ {0} .

Komentarz: Mo˙zna oczywi´scie znale´z´c wielomian charakterystyczny, a potem jego

pierwiastki. Oka˙ze sie

,

, ˙ze jest on r´owny (1 − λ)(λ

2

+ λ + 1) . Wynika to sta

,

d, ˙ze je´sli

A jest dowolna

,

macierza

,

kwadratowa

,

, a D dowolna

,

macierza

,

tego samego wymiaru o

wyznaczniku r´o˙znym od zera, to wielomiany charakterystyczne macierzy A i D

−1

AD

sa

,

r´owne. Matematycy zwykli m´owi´c, ˙ze macierze A i D

−1

AD sa

,

podobne. W na-

szym przypadku D =





1 −4 12
4 11

3

8 −5 −3



 (jej kolejne kolumny to wektory V

1

, V

2

, V

3

) i si la

,

rzeczy D

−1

=

1

162





2

8

16

−4 11 −5

12

3

−3



 i je´sli przyjrze´c sie

,

uwa˙znie obliczeniom zaprezento-

wanym wy˙zej, to mo˙zna zauwa˙zy´c, ˙ze zachodzi r´owno´s´c D

−1

AD =





1

0

0

0

−

1
2

√

3

2

0 −

√

3

2

−

1
2



,

ale oczywi´scie tekst komentarza nie jest cze

,

´scia

,

rozwia

,

zania.

Dodajmy jeszcze, ˙ze je´sli V ·V

1

= 0 , czyli je´sli wektor V jest prostopad ly do wektora

V

1

, to r´ownie˙z AV ·V

1

= 0 oraz kAV k = kV k i AV ·V = −

1
2

kV k

2

= kV k·kAV k·cos

2π

3

.

Wynika sta

,

d, ˙ze wektory AV i V tworza

,

ka

,

t

2π

3

. Sta

,

d wynika, ˙ze macierz A to macierz

obrotu wok´o l prostej ` , kt´ora przechodzi przez pocza

,

tek uk ladu wsp´o lrze

,

dnych i jest

r´ownoleg la do wektora V

1

. Z tej geometrycznej interpretacji wynika od razu, ˙ze jedyna

prosta przechodza

,

ca przez 0 , kt´ora jest przekszta lcana na siebie za pomoca

,

odwzoro-

wania, kt´ore przeprowadza punkt V ∈ R

3

na punkt A · V , to prosta ` , czyli o´s tego

obrotu.

4. (10 pt.) Znale´z´c rozwia

,

zanie r´ownania r´o˙zniczkowego (1 + t

2

)x

0

(t) = 1 + x(t)

2

, kt´ore

spe lnia warunek x(0) = 1 .

Rozwia

,

zanie.

Mamy arctg t + c =

R

dt

1+t

2

=

R

x

0

(t) dt

1+x

2

=

R

dx

1+x

2

= arctg x . Sta

,

d x(t) = tg(arctg t + c) .

Z r´owno´sci 1 = x(0) = tg(arctg 0 + c) = tg c wynika, ˙ze c =

π

4

. Wobec tego zachodzi

r´owno´s´c:

x(t) = tg(arctg t +

π

4

) =

tg(arctg t)+tg

π

4

1−tg(arctg t)·tg

π

4

=

t+1
1−t

.

Rozwia

,

zanie jest okre´slone dla t < 1 .

5. (10 pt.) Znale´z´c taka

,

funkcje

,

f : (0, ∞) −→ (0, ∞) zmiennej x , ˙ze styczna do jej

wykresu w dowolnym punkcie X = (x, f (x)) przecina dodatnia

,

p´o lo´s pozioma

,

uk ladu

wsp´o lrze

,

dnych w punkcie P (x) i pole tr´ojka

,

ta T o wierzcho lkach (0, 0) , P (x) i X jest

3 razy wie

,

ksze od pola tr´ojka

,

ta prostoka

,

tnego o wierzcho lku (0, 0) , kt´ory powstaje w wy-

niku podzielenia tr´ojka

,

ta T na dwa tr´ojka

,

ty wysoko´scia

,

poprowadzona

,

z wierzcho lka X .

Rozwia

,

zanie.

Poniewa˙z styczna do wykresu funkcji f w punkcie (x, f (x)) ma przecina´c pozioma o´s

uk ladu wsp´o lrze

,

dnych, wie

,

c f

0

(x) 6= 0 . Liczba f

0

(x) to tangens ka

,

ta nachylenia stycznej

do dodatniego kierunku osi OX . Wobec tego punktem przecie

,

cia osi OX ze styczna

,

jest punkt x −

f (x)

f

0

(x)

, 0

(ten wynk mo˙zna te˙z uzyska´c pisza

,

c r´ownanie stycznej do wy-

kresu funkcji f w punkcie p, f (p)

, czyli y = f

0

(p)(x − p) + f (p) i wstawiaja

,

c 0 w

miejsce y ). Wysoko´s´c poprowadzona z wierzcho lka (x, f (x)) ma by´c zawarta we wne

,

trzu

tr´ojka

,

ta T , a to oznacza, ˙ze spe lniona jest nier´owno´s´c f

0

(x) < 0 . Lewy tr´ojka

,

t ma mie´c

trzy razy mniejsze pole ni˙z tr´ojka

,

t T . Oznacza to, ˙ze 3 ·

1
2

· x · f (x) =

1
2

· x −

f (x)

f

0

(x)

· f (x) ,

tzn. 2x = −

f (x)

f

0

(x)

(podzielili´smy stronami przez f (x) > 0 i pomno˙zyli´smy przez 2 ).

Mamy wie

,

c

f

0

(x)

f (x)

=

−1

2x

. Sta

,

d ln |f (x)| = −

1
2

ln |x| + C albo f (x) = ±e

C 1

√

x

.Poniewa˙z

warto´sci funkcji maja

,

by´c dodatnie, wie

,

c rozwia

,

zaniem zadania jest dowolna funkcja

postaci f (x) =

e

C

√

x

. Oczywi´scie w postaci e

C

mo˙zna zapisa´c dowolna liczbe

,

dodatnia

,

(i ˙zadnej innej, bo C oznacza tu liczbe

,

rzeczywista

,

).

Kilka kwadrat´ow dla potrzebuja

,

cych:

11

2

= 121 , 12

2

= 144 , 13

2

= 169 , 14

2

= 196 ,

15

2

= 225 , 16

2

= 256 , 17

2

= 289 , 18

2

= 324 , 19

2

= 361 , 20

2

= 400 , 21

2

= 441 , 22

2

= 484 ,

23

2

= 529 , 24

2

= 576 , 25

2

= 625 , 26

2

= 676 , 27

2

= 729 , 28

2

= 784 , 29

2

= 841 , 30

2

= 900 ,

31

2

= 961 , 32

2

= 1024 , 33

2

= 1089 , 34

2

= 1156 , 35

2

= 1225 , 36

2

= 1296 , 37

2

= 1369 ,

38

2

= 1444 , 39

2

= 1521 , 40

2

= 1600 , 41

2

= 1681 , 42

2

= 1764 , 43

2

= 1849 , 44

2

= 1936 ,

45

2

= 2025 , 46

2

= 2116 , 47

2

= 2209 , 48

2

= 2304 , 49

2

= 2401 , 50

2

= 2500 , 51

2

= 2601 ,

52

2

= 2704 , 53

2

= 2809 , 54

2

= 2916 , 55

2

= 3025 .

Kilka iloczyn´

ow dla potrzebuja

,

cych: 8 · 12 = 96 , 6 · 18 = 108 , 4 · 24 = 96 , 11 · 24 = 264 ,

4 · 26 = 104 , 3 · 27 = 81 , 5 · 27 = 135 , 11 · 27 = 297 , 4 · 32 = 128 , 5 · 32 = 160 , 8 · 32 = 256 ,

11 · 32 = 352 , 5 · 37 = 185 , 8 · 37 = 296 , 4 · 54 = 216 , 6 · 54 = 324 .