XIII Konferencja Naukowa – Korbielów 2001

"Metody Numeryczne w Projektowaniu i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych"

Analiza konstrukcji 2D z betonu w stanach granicznych

dla procesów doraźnych i długotrwałych

Krzysztof Podleś

1

Jan Szarliński

2

Andrzej Truty

3

1. WSTĘP

Rozwój nowoczesnych metod komputerowych dokonany w ostatnich latach umożliwił
przeprowadzanie obliczeń numerycznych i analizę 2D

4

konstrukcji z betonu, betonowych i

żelbetowych, w stanach granicznych, przy poddaniu tych konstrukcji działaniu różnych
wpływów występujących w złożonych ścieżkach obciążeń. W ramach systemu Z_SOIL



pracownicy Samodzielnego Zakładu Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych Politechniki
Krakowskiej opracowali szereg modeli i procedur pozwalających wyznaczać stan graniczny
nośności i zarysowania tych konstrukcji, w szczególności konstrukcji masywnych, w
których procesy długotrwałe, takie jak skurcz i termika młodego betonu oraz jego pełzanie,
odgrywają znaczącą rolę.
W referacie zostanie przedstawione modelowanie, metoda i program MES oraz
obliczenia wybranych konstrukcji z betonu i omówienie tych obliczeń, umożliwiające ocenę
zalet i niedoskonałości modeli opracowanych i stosowanych przez Autorów referatu
zarówno do rozwiązywania zagadnień krótko- jak i długo-trwałych. W zakończeniu zostaną
podane wnioski i kierunki dalszych prac badawczo-rozwojowych, jakie ich zdaniem
powinny być prowadzone w przedmiotowej tematyce w celu udoskonalenia stosowanych
modeli.

2. MODELOWANIE BETONU I STALI ZBROJENIOWEJ

Modelowanie betonu.
Ponieważ modelem dla betonu stosowanym w MES przez Autorów dla procesów
doraźnych jest wielomechanizmowy model sprężysto-plastyczny z degradacją i dla

1

1

mgr inż., S. Z. Podstaw Konstrukcji Budowli Wodnych, WIŚ, Politechnika Krakowska

2

2

dr hab.inż., prof.PK, jw.

3

3

dr inż., jw.

4

4

Dla uproszczenia i skrócenia terminologii konstrukcjami 2D będą nazywane konstrukcje będące w

płaskim stanie 2D, a więc zarówno w płaskim stanie naprężenia - 2D,

 jak i płaskim stanie odkształcenia -

2D,

. Oba te stany nie zależą od współrzędnej Z prostopadłej do płaskiego układu X, Y, w którym rozpatruje

się konstrukcję. Należą więc do tego typu konstrukcji, odpowiednio, np. tarcze i teoretycznie nieskończenie
grube ściany oporowe, konstrukcje ścianowo-płytowe itp. Takie natomiast konstrukcje jak płyty, chociaż ze
względu na ich geometrię są konstrukcjami płaskimi, to jednak zgodnie z powyższą definicją nie są
konstrukcjami będącymi w płaskim stanie 2D, gdyż stan naprężenia zmienia się po ich grubości. Dlatego nie są
one przedmiotem niniejszego referatu

procesów długotrwałych jest on jedynie wzbogacony o elementy uwzględniające zjawiska
czasowe (pełzanie i odkształcenia narzucone), model ten zostanie najpierw ogólnie opisany.
Bardziej szczegółowe informacje na jego temat można znaleźć np. w [1,2,3].
Powierzchnia graniczna przyjętego modelu sprężysto-plastycznego z degradacją
skonstruowana jest z następujących czterech powierzchni (

)

3

2

1











0

)

(

0

0

0

)

(

1

4

1

3

3

1

2

2

3

1

1













































c

f

F

F

F

c

k

K

F

t

f

(2)

gdzie:

c

t

f

f

f

K





;



t

f

k



;

2





;

)

/

(

)

(

r

e

c













Rys.1. Powierzchnia graniczna

Pierwsze trzy powierzchnie opisują powierzchnię typu Coulomba-Mohra (dla

jest

to klasyczna powierzchnia C-M), natomiast czwarta odpowiada warunkowi typu Rankina.
Prawo płynięcia plastycznego opisane jest następującym równaniem (w którym



k

jest

mnożnikiem plastycznym, a Jact jest zbiorem aktywnych mechanizmów plastycznych)

Jact

k

k

k

k

p

Q

d

d















4

1







(3)

gdzie potencjały plastyczne wyrażone są następującymi formułami

1

4

1

3

3

1

2

2

3

1

1





























Q

Q

Q

K

Q

g

(4)

natomiast współczynnik dylatancji zmienia się w zakresie

f

g

K

K





0

.

Prawo ewolucji dla parametru osłabienia

 wyraża się następującym równaniem (sumacja

dotyczy tylko dodatnich części przyrostu odkształceń plastycznych przetransformowanych
do kierunków głównych):

 











3

1

/

i

p

i

e

d

N

h

d







(5)

w którym



 































































2

1

3

3

1

1

cos

1

2

1

3

3

2

2

/

1

3

3

/

1

)

(

2

1

2

1

2

1

J

I

dla

b

J

I

J

I

dla

N



(6)



f

t

f

c

gdzie h

e

jest wielkością elementu skończonego,



r

jest krytyczną rozwartością rysy

szacowaną na podstawie wartości energii pękania G

f

, natomiast

i b są parametrami

materiałowymi przyjmowanymi zwykle

 b = 10, jak w [3]).

Dla opisania nieliniowego zachowania się betonu w procesach długotrwałych w
programach stosowanych przez Autorów został rozwinięty model lepko-sprężysto-
plastyczny z degradacją, bazujący na przedstawionej wyżej wersji dla modelu
wielomechanizmowego, uwzględniający dodatkowo pełzanie i odkształcenia narzucone
(skurcz i odkształcenia termiczne). W modelu beton traktuje się jako w pełni dojrzały
(„zsolidyfikowany”/„stary”).
Rozszerzenie modelu sprężysto-plastycznego z degradacją na procesy długotrwałe
prowadzi do otrzymania związku konstytutywnego w formie

)

(

0

c

xy

xy

pl

xy

xy

ev

xy

xy

D































(7)

gdzie

ev

xy

D

jest macierzą lepko-sprężystą na danym kroku obliczeniowym a w nawiasie są

przyrosty odkształceń całkowitych, plastycznych, narzuconych i pełzania. Te ostatnie są
obliczane według liniowej formuły rekurencyjnej, co jest z reguły po stronie bezpiecznej,
gdyż - zmniejszając odkształcenia pełzania w stosunku do nieliniowej formuły - zwiększa
się odkształcenia sprężyste na ścieżce pokrytycznej, powodując zmniejszenie całkowitych
naprężeń, a więc mniejszą nośność konstrukcji.
Jak wynika to z tego co wyżej powiedziano, model nie opisuje dojrzewania
(solidyfikacji) betonu, dlatego nadaje się do obliczania nim konstrukcji, w których proces
dojrzewania można uznać za zakończony.

Już na początku jako wady przedstawionego modelu należy wymienić:
- krzywa

 -  w stanie pokrytycznym ma podobny charakter opadania po osiągnięciu

maksymalnej wytrzymałości zarówno dla ściskania jak i rozciągania (brak półki
plastycznej), co zaniża nośność graniczną przy dużych odkształceniach ściskających,
przekraczających te odpowiadające maksymalnej wytrzymałości

- równomierne kurczenie się powierzchni granicznej wytrzymałości (plastyczności) dla

ściskania i rozciągania, co może prowadzić do zaniżania granicznej nośności w
przypadkach gdy beton jest znacznie wytężony na wskutek ściskań i jednocześnie
zarysowany od poprzecznego rozciągania (np. w tarczach ścinanych silnie zbrojonych).

Modelowanie stali zbrojeniowej.

Podobnie jak stosuje się to z reguły w metodach opartych o normy, tak i w analizie

konstrukcji wykonywanej przy pomocy MES przyjmuje się, iż pręty zbrojeniowe pracują
jako elementy liniowe, występują więc w nich jedynie siły osiowe. Takie upraszczające
założenie pomija m.in. efekt poprzecznej nośności pręta, tzw. działanie kołkowe (ang.
dowel action), które przyjmuje się, że jest w jakimś stopniu uwzględnione w podwyższeniu
nośności betonu ponad to co przenosi on po zarysowaniu, czyli w tzw. stress stiffening.

Ponadto przyjmuje się, że właściwości mechaniczne stali są identyczne przy jej

rozciąganiu i ściskaniu, przy czym związek konstytutywny jest sprężysto (liniowo)-idealnie
plastyczny, tak jak podaje to większość norm.

3. SYSTEM MES PT. Z_SOIL



.

Z_SOIL



jest systemem analizy obliczeniowej bazującym na Metodzie Elementów

Skończonych (MES), ukierunkowanym na rozwiązywanie różnorodnych praktycznych
problemów projektowych i wykonawczych szeroko pojętej geotechniki, a w szczególności
zagadnień: fundamentowania, ziemnych i betonowych budowli hydrotechnicznych,
budownictwa drogowego i mostowego, górnictwa podziemnego i odkrywkowego.
Jako najistotniejsze zalety systemu należy wymienić następujące:
- dużą bibliotekę elementów skończonych i modeli konstytutywnych,
- możliwość wprowadzenia do systemu dowolnego modelu konstytutywnego poprzez

wykorzystanie funkcji interfejsowych oraz specjalnie przygotowanej biblioteki z
podstawowymi funkcjami systemu ,

- stosunkowo dużą niezawodność w przeprowadzeniu obliczeń do stanu krytycznego i

poza ten stan, m.in. dzięki stosunkowo dużej optymalizacji i prostocie procedur
stosowanych w algorytmach obliczeniowych, możliwości włączania do procesu obliczeń
różnych wersji arc length method itd.,

- możliwość etapowania konstrukcji (dokładania w czasie jej nowych elementów),
- możliwość wyznaczania i graficznego przedstawiania stanów granicznych nośności

przez rysowanie wykresu zależności P -

 dowolnego punktu konstrukcji,

Opisane w p.2 modele betonu i stali zostały wprowadzone do systemu Z_SOIL



jako

modele użytkownika i obecnie wykorzystywane są do wyznaczania stanu granicznego
nośności konstrukcji 2D i 3D z betonu. Dla wyznaczania stanu zarysowania w programie
zastosowano sposób, który można nazwać sposobem mieszanym MES-owo-normowym.
Zakłada on kontynualne odkształcenie konstrukcji i brak poślizgu pomiędzy zbrojeniem i
betonem a szerokość rysy oblicza się na podstawie stanu odkształcenia otrzymanego z
obliczeń MES uwzględniając strefę, z której gromadzi się rysa, zasadniczo z warunku
normowego na odległość między rysami. Algorytm obliczeniowy opracowany dla tego
sposobu, szczegółowo podany w pracy [6], jest stosowany w systemie programów MES
przez Autorów.

4. PRZYKŁADY OBLICZEŃ I ICH OMÓWIENIE

Dla zilustrowania działania programu Z_SOIL



prezentuje się dwa przykłady: pierwszy

- dla procesu doraźnego – i drugi – dla procesu długotrwałego.

Przykład 1 (dla procesu doraźnego). Wysoka belka (tarcza) obciążona w środku siłą
skupioną, badana i obliczana przez Cervenkę [7] i obliczana przez Winnickiego [8],
pokazana na rys. 2 a), została obliczona programem Z_SOIL



z wykorzystaniem modelu

omówionego w punkcie 2. Obciążenie było realizowane w jednej ścieżce obliczeń. Ażeby
uzyskać porównywalną zgodność wyników otrzymanych z doświadczenia i z obliczeń,
wszystkie dane materiałowe i obciążeniowe przyjęto zgodnie z tymi jakie miały miejsce w
doświadczeniu.
Dane materiałowe:

Beton: f

c

= 26.8 MPa; f

t

=3.65 MPa; E

c

=20.0 GPa;

 = 0.167; G

f

=100 N/m; dylatancja

 = 5

0

;

Stal: : f

y

= 353.0 Mpa; E

s

= 200.0 GPa;

Na rys. 2 b), c) i d) przedstawiono wyniki obliczeń w kolejności odpowiednio: wykresy
P -

 otrzymane z doświadczenia i z obliczeń oraz stany zarysowania wyznaczone

programem Z_SOIL



dla obciążenia charakterystycznego i maksymalnej nośności.

Obciążenie charakterystyczne przyjęto dzieląc P

max

otrzymane z obliczeń MES przez

arbitralnie przyjęty współczynnik bezpieczeństwa



f

= 1.3.

a)

S

x

=5.08 cm (15.24 cm od dołu) S

x

=10.16 cm (60.96 cm od góry) S

y

=10.16 cm F

s

=0.7126 cm2

b)

0

20

40

60

80

100

120

0

1

2

3

[mm]

P [kN]

AT-WIN

wyniki doświadczalne

Z_SOIL

c)

d)

0.0

0.04

0.08

0.12

0.16

MAX CRACK

WIDTH

0.0113

0.0

0.04

0.08

0.12

0.16

MAX CRACK

WIDTH

0.2402

Rys. 2. a) Rysunek belki „Cervenki”, b) Wykresy P -

 dla punku „C” w środku

rozpiętości belki, c), d) Obraz zarysowania odpowiednio na poziomie
obciążenia charakterystycznego i na poziomie nośności granicznej (P

max

)

Omówienie wyników obliczeń:
Obliczenia przeprowadzone programem Z_SOIL



dały dość dobrą zgodność z

doświadczeniem (oraz podanymi w [8]) odnośnie stanu granicznego nośności (różnica
wynosi max

 3%), natomiast znacznie gorszą zgodność otrzymano dla przemieszczenia ,

zwłaszcza na poziomie dla obciążenia charakterystycznego wynoszącego około P = 80 KN,
gdzie różnica wynosi około 30%. Charakter krzywej na odcinku od poziomu zarysowania
(P

 43 KN) do maksymalnej nośności (P

max

 114 KN) wydaje się wyraźnie wskazywać na

przyjęcie w obliczeniach zbyt dużej wielkości efektu „stress stiffening” i/lub ciągliwości dla
betonu przy stosunkowo niskim stopniu zbrojenia belki na ścinanie (

  9%), co ma miejsce

w tym przykładzie.
Można też powiedzieć, że w przykładzie tym, gdzie przy małym stopniu zbrojenia o
osiągnięciu stanu granicznego nośności zadecydowała nośność stali, równomierne
mięknięcie dla rozciągania i ściskania nie miało wpływu na ten stan z powodu małego
wytężenia betonu.

Przykład 2 (dla procesu długotrwałego).
Przykład ten pokazuje jak osłabienie konstrukcji w pierwszej ścieżce odkształceniami
narzuconymi wpływa na stany graniczne od obciążenia zewnętrznego działającego na nią w
drugiej ścieżce oraz jak wyniki obliczeń MES wykonane systemem Z_SOIL



korespondują

z obliczeniami przeprowadzonymi w oparciu o polskie normy z 1984 r. i 1999 r.
Badaną konstrukcją, a właściwie fragmentem hipotetycznej konstrukcji z betonu, jest
środkowe przęsło, masywna płyta, trójkomorowego ramowego spustu dennego pewnej
ziemnej zapory wodnej.
Analizą porównawczą objęto dwa rodzaje płyt, a mianowicie płytę, typ „A”, zbrojoną
wyłącznie na zginanie (bez strzemion) i płytę, typ „B”, zbrojoną zarówno na zginanie jak i
na ścinanie (ze strzemionami). Każdą płytę poddano dwóm przypadkom obciążeniowym:
przypadek 1), składający się wyłącznie z pionowej siły skupionej w środku przęsła o
wielkości P = 2Q, oraz przypadek 2), składający się z odkształczeń narzuconych,



0

,

działających od chwili t = 0 do chwili obliczeniowej t = 28 dni, i sile zewnętrznej P = 2Q,
przyłożonej natychmiastowo w chwili t = 28 d.
Układ statyczny całego spustu przedstawiono na rys.3 a), a analizowane przęsło płyty (do
osi symetrii), wraz z jego dyskretyzacją w MES, na rys.3 b). Na rys.4 a) i b) pokazano
schematycznie sposób zazbrojenia płyty odpowiednio dla typu „A” i „B”.
Dane materiałowe (w nawiasach wielkości wg PN- 84/B-03264):

Beton: f

ck

= 16 MPa (R

bk

= 13,5MPa); f

ctk

= 1,3 MPa (R

bzk

= 1.35 MPa); f

cd

= 10.6 MPa; f

ctd

= 0.87

MPa (R

bbz

= 0.71MPa);



Rd

= 0.22 Mpa; E

cm

= 27.5 GPa (E

a

= 27.0 GPa);



c

= 0.20;



,to

=

1.0;



o

c,



= -3.3E-4; w

r

= 0.1 i 0.2mm

 G

f

= 100 N/m ; dylatancja

 = 0

o

.

Stal: f

yk

= 355 Mpa (= R

ak

); f

yd

= 310 Mpa (= R

a

); E

s

= 200.0 GPa (E

a

= 210.0 GPa);



o

s,T,



= -3.3

E-4

(odkształcenia narzucone w stali od temperatury ochładzającego się betonu).

Dane przekroju tarczy: b

w

= h = 1.0 m; d = 0.95 m.

Rys.3. a) Schemat spustu, b) Dyskretyzacja w MES płyty.

Rys.4. a) Płyta zbrojona wyłącznie na zginanie, typ „A”,

b) Płyta zbrojona na zginanie i ścinanie, typ „B”

Na rys.5 a), b) i c) przedstawiono porównanie dla przypadku 1) i 2), tj. sama siła i odkształcenia
narzucone i potem siła, obrazów zarysowania dla płyty typu „A”, na poziomie obciążenia
charakterystycznego i wykresów P -

 , natomiast na rys.6 a), b) i c) takie samo porównanie lecz

dla płyty typu „B”. W tablicy 1. podano wyniki maksymalnej siły Q obliczeniowej i szerokości
rozwarcia rysy otrzymane z obliczeń MES i na podstawie polskich norm z 1984 r. [N4] i z 1999 r.
[N5].

8

25

8

25

25

25

25

25

8

25

8

25

4

25

4

25

4

25

4

25

8

co 15

P

Rys.5. a) Obraz zarysowania dla schematu bez pełzania, (typ „A”)

b) Obraz zarysowania dla schematu z pełzaniem, (typ „A”)

c) Porównanie wykresów P -

 , (typ „A”)

Rys.6. a) Obraz zarysowania dla schematu bez pełzania, (typ „B”)

b) Obraz zarysowania dla schematu z pełzaniem, (typ „B”)

c) Porównanie wykresów P -

 , (typ „B”)

Tablica 1 . Zestawienie porównawcze nośności granicznej i szerokości rysy dla przykładu 2.

Przypadek

Obliczenia
według

Qmax,obl

1)

[MN]

Szerokość rysy [mm] (Qchar [MN])

A

1)

PN-B-1999

0.400

-

PN-B-1984

0.525

-

MES

1.089

0.27 (Qchar = 0.838)

2)

PN-B-1999

0.400

2)

-

PN-B-1984

0.525

2)

-

MES

0.987

0.19 (Qchar = 0.759)

B

1)

PN-B-1999

2.535

0.65

PN-B-1984

2.014

0.61

MES

1.255

0.18 (Qchar = 0.965)

2)

PN-B-1999

2.535

2)

0.65

2)

PN-B-1984

2.014

2)

0.61

2)

MES

1.042

0.16 (Qchar = 0.965 jak dla B1)

Objaśnienia do tablicy 1:

1)

Graniczną obliczeniową siłę Q

max,obl

wyznaczano korygując Q

max,char

stosunkiem odpowiednich

wytrzymałości obliczeniowych i charakterystycznych. Poziom obciążenia charakterystycznego
dla obliczenia szerokości rysy przyjmowano dla



f

= 1.3.

2

) Odpowiednie wielkości siły przyjęto jak dla przypadku 1), tj. bez odkształceń narzuconych,

gdyż nie ma podanego w normach sposobu ich uwzględniania.

Omówienie wyników obliczeń:

0.00E+0

4.00E-4

8.00E-4

1.20E-3

1.60E-3

u [m]

0

400

800

1200

1600

P [kN]

z odkształceniami narzuconymi

bez odkształceń narzuconych

0.00E+0

1.00E-3

2.00E-3

3.00E-3

u [m]

0

400

800

1200

1600

2000

P [kN]

z odkształceniami narzuconymi

bez odkształceń narzuconych

1. Większa nośność płyty według MES niż według norm dla płyty bez strzemion wynika

zasadniczo stąd, że w tym przypadku wzory normowe są ogólnie konserwatywne, a
obliczenie MES uwzględnia jeszcze efekt pewnego przesklepiania się grubej płyty, co
ma miejsce w przykładzie.

2. Otrzymana według MES większa wielkość siły granicznej dla płyty (B), tj. ze

zbrojeniem poprzecznym, niż dla płyty (A), tj. bez tego zbrojenia, wynosząca dla
przypadku 1) 15% i dla przypadku 2) 6%, jest ogólnie logiczna. Podwyższenie jednak
nośności w przypadku 2) o znacznie mniejszą wielkość niż w przypadku 1) jest
nieuzasadnione i wydaje się wynikać z nadmiernego zmniejszenia nośności betonu na
ściskanie przy ścinaniu w płycie ze strzemionami, na skutek większej strefy betonu
(liczby elementów skończonych) o zredukowanej wytrzymałości, co spowodowane jest
obecnością strzemion. Innymi słowy, strzemiona w obliczeniach MES przeciwdziałają
lokalizowaniu się rys i odciążaniu się między nimi stref, które przenosiłyby większe
ściskania. Jest to wada modelu betonu, wynikająca z przyjęcia dla niego równomiernego
(izotropowego) mięknięcia dla rozciągania i ściskania.

3. Otrzymana o około połowę mniejsza nośność według MES niż normowo wynika także,

jw., z przyjętego w modelu równomiernego mięknięcia betonu dla ściskania i
rozciągania i dochodzi do tego jeszcze niesłuszne zawyżenie (nawet do 40%) normowej
nośności na skutek nie uwzględniania w normach pewnego obniżenia wytrzymałości na
ściskanie, co ma miejsce przy występowaniu poprzecznie do niego odkształceń
rozciągających i uwzględniane jest w tzw. modified field theory.

5. UWAGI KOŃCOWE I WNIOSKI

Na podstawie tego co wyżej powiedziano, a zwłaszcza przykładów zarówno
pokazanych w p. 4. jak i innych, których z powodu ograniczonej objętości referatu nie
zamieszczono, wydaje się uzasadnione sformułowanie niżej podanych uwag końcowych i
wniosków.
1. Program Z_SOIL



ze sprężysto-plastycznym z degradacją modelem betonu dla

procesów doraźnych i sprężystolepko-plastycznym z degradacją modelem betonu dla
procesów długotrwałych jest skutecznym narzędziem dla wyznaczania stanów
granicznych 2D konstrukcji z betonu, chociaż w przypadkach występowania w
konstrukcjach, zwłaszcza silnie zbrojonych, dużego ścinania powodującego znaczną
redukcję wytrzymałości betonu na ściskanie przez jego duże uszkodzenie na
rozciąganie, wyniki otrzymywane dla tych stanów są z reguły nieco zaniżane, a więc
zawsze po stronie bezpiecznej. To zaniżenie stanu granicznego nośności w „złośliwych”
sytuacjach obliczeniowych może dochodzić nawet do około 30%.

2. Ażeby wyeliminować niedoskonałości czy wręcz wady modelu betonu planuje się jego

ulepszenie polegające na:
- wprowadzeniu nierównomiernej miary uszkodzeń betonu w zakresie ściskania i

rozciągania, czyli nierównomiernej degradacji dla ściskań i rozciągań, zwanej często
– zdaniem Autorów mylnie – anizotropową degradacją; innymi słowy wprowadzeniu
różnych miar uszkodzeń betonu dla ściskania i rozciągania, co może odbywać się
izotropowo - tak samo we wszystkich kierunkach (ma to szczególne znaczenie w
konstrukcjach ścinanych, gdzie np. całkowita utrata nośności na rozciąganie w jednym

kierunku nie musi powodować utraty nośności na ściskanie w kierunku do niego
prostopadłym)

- lepszym dostosowaniu związku

 -  dla betonu w stanie pokrytycznym przy

ściskaniu do krzywych doświadczalnych (długa półka plastyczna), co powinno
prowadzić do bardziej realistycznego opisu zachowania się konstrukcji z betonu silnie
zbrojonych.

6. LITERATURA

[1] Crisfield M.A.: Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures. Vol.2,

Advanced Topics, J. Wiley, 1997

[2] Simo J.C., Hughes T.J.R.: Computational Inelasticity. Springer, New York, 1998
[3] Truty A.,Szarliński J.,: FEM implementation of multi-mechanism elasto-plastic
model with degradation for concrete. Proc.of II Conf. "Analytical Models and
New Concepts in Mechanics of Concrete Structures", p.91-98, Łódź, 1996.
[4] Bazant Z., Prasannan S.: Solidification theory for concrete creep: II formulation. ASCE
Journal of Engineering Mechanics, 1989.
[5] Szarliński J., Truty A.: Multilaminate non-linear model for cracked aging concrete.
Proc.of Int.Conf.on Computational Modelling of Concrete Structures "EURO-C
[6] Szarliński J., Podleś K., Rysiewicz M.: Lokalizacja i szerokość rys w 2D konstrukcjach
z betonu. Mat.Pokonf.XI Konf.Naukowej nt.“Metody Numeryczne w Projektowaniu
i Analizie Konstrukcji Hydrotechnicznych", s.158-167, Korbielów, marzec, 1999.
[7] Cervenka V., Gerstle K.H.: Inelastic FEM analysis of RC panels: Experimental
verification and application. IABSE Publ., Vol.32-II, 1972.
[8] Winnicki A.: Model betonu przy obciążeniach doraźnych. Teoria i weryfikacja
numeryczna dla płaskiego stanu naprężenia. Praca doktorska. Wydział Inżynierii
Lądowej, Politechnika Krakowska, Kraków, maj 1994.

7. STRESZCZENIE

W referacie przedstawiono model betonu i program MES stosowany do obliczeń i

analizy stanów granicznych 2D konstrukcji z betonu w procesach doraźnych i
długotrwałych. Działanie programu zilustrowano dwoma przykładami obliczeniowymi:
belki Cervenki i płytowo-ramowej konstrukcji z betonu z różnym stopniem zbrojenia. W
zakończeniu omówiono wyniki obliczeń i podano wnioski.

8. SUMMARY

In the paper a model of concrete and FEM programme applied for computing and

analysing limit states of 2D concrete structures in short- and long-term processes is
presented. Functioning of the programme is illustrated with two calculation examples: one
of the Cervenka beam and the other of a concrete plate-frame structure with different steel
ratios. At the end, the computing results are discussed an some conclusions formulated.