GRANICA CIAGU
De nicja Liczba g jest
granica
ciagu (a
n
)
n2N
lim
n!1
a
n
= g
wtedy i tylko wtedy, gdy
8
">0
9
n
o
2N
8
n>n
o
ja
n
gj < ":
Ponadto mamy:
lim
n!1
a
n
= 1 , 8
M>0
9
n
o
2N
8
n>n
o
a
n
> M;
lim
n!1
a
n
= 1 , 8
m>0
9
n
o
2N
8
n>n
o
a
n
< m:
W LASNOSCI CIAG OW ZBIE _ZNYCH
Twierdzenie
1. Ka_zdy ciag zbie_zny jest ograniczony.
2. Ka_zdy ciag monotoniczny i ograniczony jest zbie_zny.
3.
lim
n!1
a
n
= g
wtedy i tylko wtedy, gdy ka_zdy podciag (a
n
k
)
n;k2N
jest zbie_zny do liczby
g.
lim
k!1
a
n
k
= g
W LASNOSCI GRANIC
Twierdzenie Niech
lim
n!1
a
n
= a; lim
n!1
b
n
= b
wtedy:
1:
lim
n!1
(a
n
b
n
) = a b;
2: lim
n!1
(a
n
b
n
) = a b;
3: lim
n!1
a
n
b
n
=
a
b
; gdzie b
n
6= 0 i b 6= 0;
1
4: lim
n!1
a
n
= 0 i a
n
> 0 ) lim
n!1
1
a
n
= 1;
4: lim
n!1
ja
n
j = 1 ) lim
n!1
1
a
n
= 0;
5: lim
n!1
1
n
= 0 dla > 0;
6: lim
n!1
n
p
a = 1 dla a > 0;
7: lim
n!1
n
p
n = 1:
De nicja Liczba Eulera e jest granica ciagu:
e = lim
n!1
(1 +
1
n
)
n
:
Twierdzenie
lim
n!1
a
n
= 1 ) lim
n!1
(1 +
1
a
n
)
a
n
= e:
Oznaczenie: log
e
x = lnx - logarytm naturalny. W oprocentowaniu
sk ladanym ciag lym mamy:
lim
n!1
S
o
(1 +
p
n
)
np
= S
o
e
kp
SZEREGI
DEFINICJA
Szeregiem liczbowym
nazywamy ciag sum czesciowych
danego nieskonczonego ciagu liczbowego: s
1
= a
1
; s
2
= a
1
+ a
2
; : : : ; s
n
=
a
1
+ : : : + a
n
; : : : : Oznaczamy go symbolem:
1
X
n=1
a
n
:
Jesli ciag (s
n
)
n2N
posiada granice, to granice te nazywamy
suma nieskonczonego
szeregu
:
1
X
n=1
a
n
= a
1
+ : : : + a
n
+ : : : = lim
n!1
s
n
:
PRZYK LAD Szereg geometryczny a + aq + aq
2
+ : : : + aq
n
+ : : : o ilorazie
jqj < 1 jest zbie_zny, oraz a + aq + aq
2
+ : : : + aq
n
+ : : : =
a
1
1 q
.
2
WARUNEK KONIECZNY ZBIE _ZNOSCI SZEREGU
TWIERDZENIE Jesli szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : jest zbie_zny, to
lim
n!1
a
n
= 0:
PRZYK LAD Szereg harmoniczny
1
X
n=1
1
n
jest rozbie_zny.
KRYTERIA ZBIE _ZNOSCI SZEREG OW
TWIERDZENIE
(kryterium d'Alamberta)
Szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : o
sk ladnikach dodatnich spe lniajacy warunek:
lim
n!1
a
n+1
a
n
< 1;
jest zbie_zny.
TWIERDZENIE
(kryterium Cauchy'ego)
Szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : o
sk ladnikach dodatnich spe lniajacy warunek:
lim
n!1
n
p
a
n
< 1;
jest zbie_zny.
TWIERDZENIE
(kryterium porownawcze)
Je_zeli dla ka_zdego n 2 N
spe lniona jest nierownosc a
n
b
n
c
n
oraz a
n
; b
n
; c
n
0, wtedy
a) jesli szereg a
1
+ : : : + a
n
+ : : : jest rozbie_zny, to szereg b
1
+ : : : + b
n
+ : : :
jest rozbie_zny.
b) jesli szereg c
1
+ : : : + c
n
+ : : : jest zbie_zny, to szereg b
1
+ : : : + b
n
+ : : :
jest zbie_zny oraz
1
X
n=1
b
n
1
X
i=1
c
n
:
PRZYK LAD Szereg
1
X
n=1
1
n
jest zbie_zny dla > 1
jest rozbie_zny dla 1.
3
FUNKCJE ZMIENNEJ RZECZYWISTEJ
De nicja
Granica funkcji
:
lim
x!x
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica prawostronna:
lim
x!x
+
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
; x
n
>x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica lewostronna:
lim
x!x
o
f(x) = g ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
; x
n
<x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = g):
Granica niew lasciwa:
lim
x!x
o
f(x) = 1 ,
8
(x
n
)
n2N
6=x
o
( lim
n!1
x
n
= x
o
) lim
n!1
f(x
n
) = 1):
Twierdzenie
lim
x!0
sinx
x
= 1;
lim
x!1
(1 +
1
x
)
x
= e;
lim
x!0
+
(1 + x)
1
x
= e
W LASNOSCI GRANIC FUNKCJI
Twierdzenie Niech
lim
x!x
o
f(x) = a; lim
x!x
o
g(x) = b
wtedy:
1:
lim
x!x
o
(f(x) g(x)) = a b;
2: lim
x!x
o
(f(x) g(x)) = a b;
3: lim
x!x
o
f(x)
g(x)
=
a
b
; gdzie g(x) 6= 0 i b 6= 0;
4
W LASNOSCI FUNKCJI
De nicja Niech f : (x
0
; x
o
+ ) ! R dla pewnego > 0, wtedy:
1. f
jest ciag la w punkcie
x
o
, istnieje f(x
o
) i istnieje lim
x!x
o
f(x) oraz
lim
x!x
o
f(x) = f(x
o
):
2. f
jest ciag la w przedziale
(a; b) , f jest ciag la w ka_zdym punkcie tego
przedzia lu.
Przyk lad Funkcjami ciag lymi sa:
1. Funkcja wielomianowa,
2. Funkcja wyk ladnicza f(x) = a
x
, gdzie a > 0; a 6= 1; x 2 R,
3. Funkcja logarytmiczna f(x) = log
a
x, gdzie a > 0; a 6= 1; x 2 R
+
,
4 Funkcje trygonometryczne f(x) = sinx i g(x) = cosx.
5. Suma i iloczyn funkcji ciag lych.
De nicja Funkcje f nazywamy:
a.
ro_znowartosciowa
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
6= x
2
) f(x
1
) 6= f(x
2
):
b.
ograniczona
na zbiorze X ,
9
M2R
8
x2X
jf(x)j M;
c.
parzysta
8
x2D
f
x 2 D
f
^ f( x) = f(x);
d.
nieparzysta
8
x2D
f
x 2 D
f
^ f( x) = f(x);
e.
rosnaca
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
< x
2
) f(x
1
) < f(x
2
);
5
f.
malejaca
na zbiorze X ,
8
x
1
;x
2
2X
x
1
< x
2
) f(x
1
) > f(x
2
);
g.
okresowa
9
T 6=0
8
x2D
f
(x + T ) 2 D
f
^ f(x + T ) = f(x):
PIERWSZA POCHODNA FUNKCJI
Za lo_zmy, _ze funkcja f jest okreslona w otoczeniu x
0
.
De nicja
Ilorazem ro_znicowym
funkcji f w punkcie x
o
dla przyrostu h
nazywamy wyra_zenie
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
:
Iloraz ro_znicowy funkcji f w punkcie x
o
jest rowny tangensowi kata nachyle-
nia siecznej wykresu funkcji do dodatniej osi OX, przechodzacej przez punkty
(x
o
; f(x
o
)); (x
o
+ h; f(x
o
+ h)):
De nicja
Pierwsza pochodna
funkcji f w punkcie x
o
nazywamy granice
ilorazu ro_znicowego:
lim
h!0
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
:
Oznaczenia:
lim
h!0
f(x
o
+ h) f(x
o
)
h
= f
0
(x
o
) =
df
dx
(x
o
):
Twierdzenie Pochodne funkcji elementarnych:
(c)
0
= 0; (x
)
0
= x
1
; (a
x
)
0
= a
x
lna;
(e
x
)
0
= e
x
; (lnx)
0
=
1
x
; (sinx)
0
= cosx;
(cosx)
0
= sinx; (tgx)
0
=
1
cos
2
x
;
(ctgx)
0
=
1
sin
2
x
:
Twierdzenie W lasnosci pochodnej:
(cf(x))
0
= c f
0
(x);
6
(f(x) g(x))
0
= f
0
(x) g
0
(x);
(f(x) g(x))
0
= f
0
(x)g(x) + f(x)g
0
(x);
(
f(x)
g(x)
)
0
=
f
0
(x)g(x) f(x)g
0
(x)
g
2
(x)
;
((f(x))
g(x)
)
0
= (f(x))
g(x)
(g
0
(x)lnf(x) +
g(x)
f(x)
f
0
(x));
Pochodna funkcji z lo_zonej: (istnieja f
0
i g
0
)
(f(g(x)))
0
x
= f
0
g(x)
(g(x)) g
0
(x):
Przyk lad
(2sinx)
0
= 2cosx;
(x
3
cosx)
0
= 3x
2
+ sinx;
(
p
x sinx)
0
=
1
2
p
x
sinx +
p
x cosx;
(
x
x
2
+ 1
)
0
=
1 (x
2
+ 1) x 2x
(x
2
+ 1)
2
=
1 x
2
(x
2
+ 1)
2
;
(x
sinx
)
0
= x
sinx
(cosx lnx +
sinx
x
);
(
p
sin3x)
0
=
1
2
p
sin3x
(sin3x)
0
=
1
2
p
sin3x
( cos3x) 3:
Geometryczna interpretacja pochodnej
Pochodna funkcji f w punkcie x
o
jest rowna tangensowi kata miedzy
prosta styczna do wykresu funkcji poprowadzona przez ten punkt i dodatnia
osia OX.
Twierdzenie Styczna do wykresu funkcji funkcji y = f(x) w punkcie
(x
o
; f(x
o
)) ma rownanie:
y f(x
o
) = f
0
(x
o
)(x x
o
):
7
Twierdzenie
Rolle'a
Niech funkcja y = f(x) bedzie ciag la w przedziale
domknietym [a; b] i ro_zniczkowalna wewnatrz tego przedzia lu. Je_zeli f(a) =
f(b), to istnieje c 2 (a; b) taki, _ze
f
0
(c) = 0:
Twierdzenie
Lagrange'a
Niech funkcja y = f(x) bedzie ciag la w przedziale
domknietym [a; b] i ro_zniczkowalna wewnatrz tego przedzia lu. Wtedy istnieje
c 2 (a; b) taki, _ze
f
0
(c) =
f(b) f(a)
b a
:
EKONOMICZNA INTERPRETACJA POCHODNEJ
Niech K(x) bedzie
funkcja kosztow ca l kowitych
wyprodukowania x jed-
nostek towaru.
Funkcje K
p
(x) =
K(x)
x
nazywamy
funkcja kosztow przecietnych
.
Z Twierdzenia Lagrange'a mamy
K(x + x) K(x) K
0
(x) x:
Je_zeli przyrost jednostek produktu x = 1, to otrzymamy
K(x + 1) K(x) K
0
(x):
Oznacza to, _ze przyrost kosztow ca lkowitych spowodowany zwiekszeniem pro-
dukcji o jednostke towaru, z poziomu produkcji x, jest rowny, w przybli_zeniu,
wartosci pochodnej funkcji kosztow ca lkowitych w punkcie x.
Funkcje K
0
(x) dla x > 0 nazywamy
funkcja kosztow krancowych
.
Analogiczna interpretacje mo_zna zde niowac odpopwiednio dla funkcji:
a) Funkcja poda_zy -
poda_z krancowa
;
b) Funkcja popytu -
popyt krancowy
;
c) Funkcja utargu -
utarg krancowy
.
Innym zastosowaniem pierwszej pochodnej w ekonomii jest elastycznosc
funkcji. De nicja
Elastycznoscia funkcji
y = f(x) w punkcie x = x
o
nazy-
wamy funkcje:
E
x
f(x
o
) =
f
0
(x
o
) x
o
f(x
o
)
:
8
Wartosc elastycznosci w danym punkcie informuje, w przybli_zeniu, o zmi-
anach wyra_zonych w procentach, wartosci funkcji, liczonych od poziomu
f(x
o
) wywo lywanymi zwiekszeniem argumentu x
o
o 1%.
Innymi zastosowaniami pierwszej pochodnej, wykorzystanymi do bada-
nia funkcji, sa:
a) badanie monotonicznosci funkcji,
b) badanie ekstremow lokalnych funkcji.
Twierdzenie Niech f : X ! Y oraz [a; b] X:
a. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) > 0, to funkcja y = f(x) jest rosnaca na
przedziale [a; b],
b. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) < 0, to funkcja y = f(x) jest malejaca na
przedziale [a; b],
c. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) 0, to funkcja y = f(x) jest niemalejaca na
przedziale [a; b],
d. je_zeli dla x 2 (a; b) f
0
(x) 0, to funkcja y = f(x) jest nierosnaca na
przedziale [a; b].
Ekstrema lokalne funkcji
De nicja Niech f : (x
o
; x
o
+ ) ! R dla pewnego > 0 oraz
| 8
x2(x
o
;x
o
+)
f(x) f(x
o
), to funkcja osiaga
maksimum lokalne
dla
x = x
o
,
8
x2(x
o
;x
o
+)
f(x) f(x
o
), to funkcja osiaga
minimum lokalne
dla
x = x
o
.
Twierdzenie
(Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja y =
f(x) jest ro_zniczkowalna w punkcie x
o
i posiada w tym punkcie ekstremum,
to f
0
(x
o
) = 0.
Twierdzenie
(Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja
y = f(x) jest ciag la na przedziale (x
o
; x
o
+ ) dla pewnego > 0 oraz jest
ro_zniczkowalna na zbiorze (x
o
; x
o
) [ (x
o
; x
o
+ ) oraz
| f
0
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
)
f
0
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma maksimum lokalne w
punkcie x
o
,
9
f
0
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
)
f
0
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma minimum lokalne w
punkcie x
o
.
Twierdzenie
(Wzor de l'Hospitala)
Je_zeli funkcje f; g sa ciag le w pprzedziale
[x
o
; x
o
+ ] i ro_zniczkowalne wewnatrz tego przedzia lu oraz
lim
x!x
o
f(x) = lim
x!x
o
g(x) = 1 lub 0;
to wtedy:
lim
x!x
o
f(x)
g(x)
= lim
x!x
o
f
0
(x)
g
0
(x)
Pochodna rzedu drugiego funkcji
De nicja Niech f : (a; b) ! R bedzie funkcja ro_zniczkowalna.
Pochodna
rzedu drugiego funkcji
jest rowna:
f
00
(x) = (f
0
(x))
0
:
Oznaczenie: f
00
(x) =
d
2
f
dx
2
(x) =
@
2
f
@x
2
(x):
De nicja Niech f : (a; b) ! R bedzie funkcja ro_zniczkowalna.
Pochodna
rzedu n funkcji
jest rowna:
f
(n)
(x) = (f
n 1
(x))
0
:
Twierdzenie
(Warunek dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji
z pochodna rzedu drugiego)
Niech funkcja y = f(x) posiada druga pochodna
w przedziale (x
o
; x
o
+ ) dla pewnego > 0. Wtedy:
|
f
0
(x
o
) = 0
f
00
(x) < 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma maksimum lokalne
w punkcie x
o
,
f
0
(x
o
) = 0
f
00
(x) > 0 dla x 2 (x
o
; x
o
+ )
) funkcja ma minimum lokalne
w punkcie x
o
.
De nicja Mowimy, _ze funkcja jest
wypuk la (wypuk la w gore)
w przedziale
(a; b) , dla ka_zdego x 2 (a; b) styczna do wykresu funkcji w punkcie x
le_zy poni_zej wykresu funkcji.
10
Mowimy, _ze funkcja jest
wkles la (wypuk la w do l )
w przedziale (a; b) ,
dla ka_zdego x 2 (a; b) styczna do wykresu funkcji w punkcie x le_zy powy_zej
wykresu funkcji.
Punkt (x; f(x)) nazywamy
punktem przegiecia wykresu funkcji
, gdy
w otoczeniu lewostronnym tego punktu funkcja jest wypuk la (wkles la), a w
otoczeniu prawostronnym jest wkles la (wypuk la).
Twierdzenie Niech funkcja y = f(x) bedzie dwukrotnie ro_zniczkowalna
w przedziale (a; b):
| je_zeli f
00
(x) > 0 dla ka_zdego x 2 (a; b), to funkcja jest wypuk la w
przedziale (a; b),
je_zeli f
00
(x) < 0 dla ka_zdego x 2 (a; b), to funkcja jest wkles la w
przedziale (a; b),
~ je_zeli dla pewnego x
o
2 (a; b) f
00
(x
o
) = 0 i f
00
(x) zmienia znak w otocze-
niu x
o
, to punkt (x
o
; f(x
o
)) jest punktem przegiecia wykresu funkcji.
Asymptoty wykresu funkcji
De nicja Prosta x = c nazywamy
asymptota pionowa lewostronna (pra-
wostronna)
wykresu funkcji y = f(x), je_zeli granica lewostronna (prawostronna)
w punkcie c jest niew lasciwa:
lim
x!c
f(x) = 1
( lim
x!c
+
f(x) = 1):
De nicja Prosta y = ax + b nazywamy
asymptota ukosna prawostronna
(lewostronna)
wykresu funkcji y = f(x), je_zeli istnieje granica:
lim
x!1
[f(x) (ax + b)] = 0 ( lim
x! 1
[f(x) (ax + b)] = 0):
Lemat Je_zeli prosta y = ax + b jest asymptota ukosna wykresu funkcji
y = f(x), to:
lim
x!1
f(x)
x
= a oraz
lim
x!1
(f(x) ax) = b:
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOSCI FUNKCJI
a. dziedzina i szczegolne w lasnosci funkcji,
b. pierwsza pochodna (monotonicznosc i ekstrema),
c. druga pochodna (wypuk losc i punkty przegiecia),
c. tabela przebiegu zmiennosci i wykres funkcji.
11
CA LKA NIEOZNACZONA
De nicja Niech f bedzie funkcja okreslona w pewnym przedziale (a; b).
Ka_zda funkcje F ro_zniczkowalna w przedziale (a; b) i spe lniajaca w ka_zdym
punkcie przedzia lu x 2 (a; b) warunek
F
0
(x) = f(x)
nazywamy
funkcja pierwotna
funkcji f.
Funkcje pierwotna nazywamy rownie_z
ca lka nieoznaczona
lub krotko
ca lka
danej funkcji i oznaczamy:
Z
f(x)dx:
Zauwa_zmy, _ze gdy F (x) jest ca lka funkcji f(x), to suma F (x) + c; gdzie c
jest dowolna sta la, jest rownie_z ca lka funkcji f(x). Istotnie:
(F (x) + c)
0
= F
0
(x) + (c)
0
= f(x) + 0 = f(x):
Stad otrzymamy, je_zeli F (x) jest pewna funkcja pierwotna funkcji f(x),
to
Z
f(x)dx = F (x) + c;
gdzie c nazywamy
sta la ca lkowania
.
Wzory ca lek funkcji elementarnych
Z
x
dx =
x
+1
+ 1
+ c;
dla 6= 1;
Z
dx
x
= lnx + c;
Z
e
x
dx = e
x
+ c;
Z
a
x
dx =
a
x
lna
+ c;
Z
sinxdx = cosx + c;
Z
cosxdx = sinx + c;
Z
dx
cos
2
x
= tgx + c;
Z
dx
sin
2
x
= ctgx + c:
W LASNOSCI CA LKI NIEOZNACZONEJ
Twierdzenie: Niech funkcje f(x); g(x) beda funkcjami ca lkowalnymi w
pewnym przedziale (a; b), wowczas:
12
|
R
(f(x) g(x))dx =
R
f(x)dx
R
g(x)dx;
R
(a f(x))dx = a
R
f(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez czesci)
: Niech funkcje f(x); g(x) beda
funkcjami majacymi ciag le pochodne f
0
(x); g
0
(x) w pewnym przedziale (a; b),
wowczas:
Z
f(x)g
0
(x)dx = f(x)g(x)
Z
f
0
(x)g(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez podstawianie)
: Je_zeli f(x) i jej pochodna
f
0
(x) sa funkcjami ciag lymi na przedziale (a; b) oraz g(f(x)) jest funkcja
ciag la na przedziale f((a; b)), wowczas:
Z
g(f(x))f
0
(x)dx =
Z
g(y)dy;
gdzie y = f(x).
Ca lkowanie niektorych funkcji wymiernych.
Funkcje wymierne postaci:
A
(x a)
n
;
Ax + B
(x
2
+ px + q)
n
; gdzie = p
2
4q < 0;
nazywamy
u lamkami prostymi
.
Twierdzenie Ka_zda funkcja wymierna rozk lada sie na sume wielomianu
i pewnej liczby u lamkow prostych.
Ca lkowanie u lamka prostego postaci
A
(x a)
n
:
Z
A
(x a)
n
dx =
Alnjx aj + c
dla n = 1
A
n 1
1
(x a)
n 1
+ c dla n 6= 1
Przyk lad
Z
x
3
2x
2
1
x
2
1
dx =
Z
(x 2 +
2
x + 1
1
x 1
)dx =
Z
xdx 2
Z
dx + 2
Z
dx
x + 1
Z
dx
x 1
=
x
2
2
2x + 2lnjx + 1j lnjx 1j + c
13
CA LKA OZNACZONA
Zwiazek miedzy ca lka oznaczona i ca lka nieoznaczona .
Je_zeli F (x) jest dowolna ca lka nieoznaczona funkcji f(x) ciag lej w przedziale
[a; b], to
Z
b
a
f(x)dx = F (b) F (a):
Oznaczenie:
R
b
a
f(x)dx = F (x)j
b
a
:
W lasnosci ca lki oznaczonej.
Twierdzenie: Niech funkcje f(x); g(x) beda funkcjami ca lkowalnymi w
pewnym przedziale [a; b], wowczas:
|
R
b
a
(f(x) g(x))dx =
R
b
a
f(x)dx
R
b
a
g(x)dx;
R
b
a
(a f(x))dx = a
R
b
a
f(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez czesci)
: Niech funkcje f(x); g(x) beda
funkcjami majacymi ciag le pochodne f
0
(x); g
0
(x) w pewnym przedziale [a; b],
wowczas:
Z
b
a
f(x)g
0
(x)dx = f(x)g(x)j
b
a
Z
b
a
f
0
(x)g(x)dx:
Twierdzenie
(Ca lkowanie przez podstawianie)
: Je_zeli f(x) i jej pochodna
f
0
(x) sa funkcjami ciag lymi na przedziale [a; b] oraz g(f(x)) jest funkcja ciag la
na przedziale [f(a); f(b)], wowczas:
Z
b
a
g(f(x))f
0
(x)dx =
Z
f(b)
f(a)
g(y)dy;
gdzie y = f(x).
Twierdzenie: Niech f(x) bedzie funkcja ca lkowalna w pewnym przedziale
[a; b] i niech a < c < b; wowczas:
Z
b
a
f(x)dx =
Z
c
a
f(x)dx
Z
b
c
f(x)dx:
Interpretacja geometryczna ca lki oznaczonej.
Je_zeli y = f(x) jest funkcja nieujemna i ciag la na przedziale [a; b], to
Z
b
a
f(x)dx = P;
14
gdzie P jest polem obszaru ograniczonego wykresem funkcji y = f(x) oraz
osia OX i prostymi x = a; x = b.
Interpretacja ekonomiczna ca lki oznaczonej.
Je_zeli f(x) = F
0
(x) jest funkcja zmian krancowych kosztu, (zysku, utardu,
poziomu produkcji), to
R
b
a
f(x)dx jest ca lkowitym przyrostem funkcji kosztu,
(zysku, utardu, poziomu produkcji), na odcinku [a; b].
Ca lka niew lasciwa
Niech y = f(x) bedzie funkcja okreslona w przedziale [a; b) i ca lkowalna w
ka_zdym przedziale domknietym [a; ], gdzie 2 (a; b). Zatem istnieje ca lka
oznaczona:
Z
a
f(x)dx dla < b:
Element b nazywamy
punktem osobliwym
funkcji. Rozptrzmy dwa przy-
padki:
| b = 1, zatem przedzia l [a; 1) jest nieograniczony,
~ b =2 D
f
oraz lim
x!b
f(x) = 1, zbior wartosci funkcji na przedziale [a; b)
jest nieograniczony.
Ca lka niew lasciwa
istnieje, je_zeli istnieje granica:
Z
b
a
f(x)dx = lim
!b
Z
a
f(x)dx:
15
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
Przyk lad
a. Funkcja wielkosci popytu:
D = f(P; Y; R); D = D
o
(
P
P
o
)
(
Y
Y
o
)
(
R
R
o
)
;
gdzie P - cena towaru, Y - dochod, R- wydatki na reklame oraz ; ; ; P
o
; Y
o
; R
o
sa ustalonymi sta lymi.
b. Funkcja wielkosci produkcji:
P = f(K; L); P = P
o
(
K
K
o
)
(
L
L
o
)
;
gdzie K- zainwestowany kapita l , L - wielkosc zatrudnienia oraz ; ; ; P
o
; Y
o
; R
o
sa ustalonymi sta lymi. Funkcja
Cobba Douglasa
:
P (K; L) = K
L
1
:
Oznaczenia: f(x
1
; x
2
) - funkcja dwoch zmiennych x
1
; x
2
, f(x
1
; x
2
; : : : ; x
n
)
- funkcja n zmiennych
De nicja Liczba g jest
granica funkcji
f(x; y; z) (f(x; y)) w punkcie
(x
o
; y
o
; z
o
) ((x
o
; y
o
)) wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka_zdego ciagu (x
n
; y
n
; z
n
)
((x
n
; y
n
)) takiego, _ze x
n
6= x
o
, y
n
6= y
o
, z
n
6= z
o
oraz
lim
n!1
x
n
= x
o
; lim
n!1
y
n
= y
o
; lim
n!1
z
n
= z
o
zachodzi
lim
n!1
f(x
n
; y
n
; z
n
) = g ( lim
n!1
f(x
n
; y
n
) = g):
Oznaczenie:
lim
(x;y;z)!(x
o
;y
o
;z
o
)
f(x; y; z) = g
De nicja Funkcja f(x; y; z)
jest ciag la w punkcie (x
o
; y
o
; z
o
)
nale_zacym do
dziedziny, je_zeli
lim
(x;y;z)!(x
o
;y
o
;z
o
)
f(x; y; z) = f(x
o
; y
o
; z
o
):
Funkcja f
jest ciag la w zbiorze D
wiw, gdy jest ciag la w ka_zdym punkcie
zbioru D.
16
Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych
De nicja Niech f(x; y; z) (f(x; y)) bedzie funkcja okreslona w pewnym
obszarze D przestrzeni R
3
(R
2
) i niech punkt P
o
= (x
o
; y
o
; z
o
) (P
o
= (x
o
; y
o
))
nale_zy do D. Je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
+ h; y
o
; z
o
) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej x
w
punkcie P
o
.
Analogicznie, je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
+ h; z
o
) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej y
w punkcie
P
o
.
Analogicznie, je_zeli istnieje granica ilorazu r_o_znicowego, ktora oznaczamy:
f
0
z
(x
o
; y
o
; z
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
; z
o
+ h) f(x
o
; y
o
; z
o
)
h
to nazywamy ja
pochodna czastkowa funkcji f wzgledem zmiennej z
w
punkcie P
o
.
Podobnie okreslamy pochodne czastkowe dla funkcji dwoch zmiennych:
f
0
x
(x
o
; y
o
) = lim
h!0
f(x
o
+ h; y
o
) f(x
o
; y
o
)
h
;
f
0
y
(x
o
; y
o
) = lim
h!0
f(x
o
; y
o
+ h) f(x
o
; y
o
)
h
Oznaczenie:
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) =
@f
@x
(x
o
; y
o
; z
o
) =
df
dx
(x
o
; y
o
; z
o
)
De nicja
Gradientem
funkcji f(x; y) nazywamy pare uporzadkowana pochod-
nych czastkowych:
gradf = f
0
= (f
0
x
; f
0
y
);
dla funkcji trzech zmiennych f(x; y; z) trojke uporzadkowana:
gradf = f
0
= (f
0
x
; f
0
y
; f
z
):
17
De nicja Funkcja f(x; y; z);
(f(x; y)) jest
ro_zniczkowalna
na zbiorze
D R
3
; (D R
2
) wtedy i tylko wtedy, gdy w ka_zdym punkcie zbioru D
istnieja jej pochodne czaskowe.
De nicja Niech f(x; y; z) bedzie funkcja ro_zniczkowalna na zbiorze D
R
3
. Ro_zniczka zupe lna funkcji f w punkcie (x
o
; y
o
; z
o
) 2 D dla przyrostu
!
h = [x; y; z] nazywamy wyra_zenie postaci:
df(x
o
; y
o
; z
o
)(
!
h ) = gradf(x
o
; y
o
; z
o
)
!
h =
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) x + f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) y + f
0
z
(x
o
; y
o
; z
o
) z:
Dla funkcji dwoch zmiennych:
df(x
o
; y
o
)(
!
h ) = gradf(x
o
; y
o
)
!
h =
f
0
x
(x
o
; y
o
; z
o
) x + f
0
y
(x
o
; y
o
; z
o
) y;
gdzie
!
h = [x; y].
Twierdzenie Niech f(x; y; z) bedzie funkcja ro_zniczkowalna na D R
3
i niech punkty (x
o
; y
o
; z
o
), (x; y; z) 2 D oraz niech
x = x x
o
; y = y y
o
; z = z z
o
;
f(x; y; z) = f(x; y; z) f(x
o
; y
o
; z
o
);
wtedy
f(x; y; z) df(x
o
; y
o
; z
o
)(
!
h ):
De nicja Niech x
o
> 0; y
o
> 0 i f(x
o
; y
o
) > 0 oraz f jest funkcja
ro_zniczkowalna w punkcie (x
o
; y
o
).
Elastycznoscia funkcji f ze wzgledu na
zmienna x w punkcie (x
o
; y
o
)
nazywamy wyra_zenie:
E
x
f(x
o
; y
o
) =
x
o
f
0
x
(x
o
; y
o
)
f(x
o
; y
o
)
Elastycznoscia funkcji f ze wzgledu na zmienna y w punkcie (x
o
; y
o
)
nazy-
wamy wyra_zenie:
E
y
f(x
o
; y
o
) =
y
o
f
0
y
(x
o
; y
o
)
f(x
o
; y
o
)
:
Pochodne rzedu drugiego dla funkcji dwoch i trzech zmiennych
18
De nicja Niech funkcja f(x; y; z); (f(x; y)) okreslona na zbiorze D posi-
ada pochodne czastkowe f
0
x
; f
0
y
; f
0
z
; (f
0
x
; f
0
y
) w obszarze D. Jesli pochodne
czastkowe rzedu pierwszego sa ro_zniczkowalne, to ich pochodne czastkowe
nazywamy
pochodnymi czastkowymi rzedu drugiego funkcji f
.
Dla funkcji dwoch zmiennych mamy cztery pochodne czastkowe rzedu
drugiego:
f
00
xx
=
@
2
f
@x
2
= (f
0
x
)
0
x
=
@
@x
(
@f
@x
);
f
00
yy
=
@
2
f
@y
2
= (f
0
y
)
0
y
=
@
@y
(
@f
@y
);
f
00
xy
=
@
2
f
@y@x
= (f
0
x
)
0
y
=
@
@y
(
@f
@x
);
f
00
yx
=
@
2
f
@x@y
= (f
0
y
)
0
x
=
@
@x
(
@f
@y
):
Dwie ostatnie pochodne rzedu drugiego nazywamy pochodnymi mieszanymi.
Twierdzenie Je_zeli pochodne mieszane istnieja w pewnym obszarze i sa
ciag le w ka_zdym punkcie tego obszaru to sa rowne:
f
00
xy
= f
00
yx
:
Pochodne czastkowe rzedu drugiego tworza macierz, ktora nazywamy
macierza drugiej pochodnej
:
f
00
=
f
00
xx
f
00
xy
f
00
yx
f
00
yy
Dla funkcji trzech zmiennych:
f
00
=
2
4
f
00
xx
f
00
xy
f
00
xz
f
00
yx
f
00
yy
f
00
yz
f
00
zx
f
00
zy
f
00
zz
3
5
Macierz drugiej pochodnej jest macierza symetryczna poniewa_z na mocy
twierdzenia mamy:
f
00
xy
= f
00
yx
; f
00
xz
= f
00
zx
; f
00
yz
= f
00
zy
:
19
Twierdzenie
( Warunek konieczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja f(x; y)
(f(x; y; z)) ro_zniczkowalna w obszarze D R
2
(D R
3
) posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D, to wtedy
f
0
x
(P
o
) = 0 ^ f
0
y
(P
o
) = 0 (^ f
0
z
(P
o
) = 0):
Twierdzenie
( Warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Je_zeli funkcja
f(x; y) (f(x; y; z)) ro_zniczkowalna w obszarze D R
2
(D R
3
), posiada
ciag le pochodne czastkowe rzedu drugiego i w punkcie P
o
2 D spe lniony jest
warunek konieczny istnienia ekstremum oraz
|
dla funkcji dwoch zmiennych f(x; y)
W (P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
) > 0
to funkcja f(x; y)
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D:
a.
maksimum
, gdy f
00
xx
(P
o
) < 0
b.
minimum
, gdy f
00
xx
(P
o
) > 0:
W (P
o
) < 0;
to funkcja f(x; y)
nie posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D.
W (P
o
) = 0;
to twierdzenie
nie rozstrzyga
, czy istnieje ekstremum w punkcie P
o
2 D.
dla funkcji trzech zmiennych f(x; y; z)
W
1
(P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
) f
00
xz
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
) f
00
yz
(P
o
)
f
00
zx
(P
o
) f
00
zy
(P
o
) f
00
zz
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
)f
00
zz
(P
o
) + f
00
xy
(P
o
)f
00
yz
(P
o
)f
00
zx
(P
o
)
+f
00
xz
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)f
00
zy
(P
o
) f
00
xz
(P
o
)f
00
yy
(P
o
)f
00
zx
(P
o
)
f
00
yz
(P
o
)f
00
zy
(P
o
)f
00
xx
(P
o
) f
00
zz
(P
o
)f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)
20
W
2
(P
o
) =
f
00
xx
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)
f
00
yx
(P
o
) f
00
yy
(P
o
)
=
= f
00
xx
(P
o
)f
00
yy
(P
o
) f
00
xy
(P
o
)f
00
yx
(P
o
)
W
3
(P
o
) = f
00
xx
(P
o
)
a. W
1
(P
o
) < 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
posiada maksimum
w punkcie P
o
2 D,
b. W
1
(P
o
) > 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) > 0, to funkcja f(x; y; z)
posiada minimum
w punkcie P
o
2 D,
c. W
2
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
nie posiada ekstremum
w punkcie
P
o
2 D:
d. W
1
(P
o
) > 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) < 0, to funkcja f(x; y; z)
nie
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D,
e. W
1
(P
o
) < 0 ^ W
2
(P
o
) > 0 ^ W
3
(P
o
) > 0, to funkcja f(x; y; z)
nie
posiada ekstremum
w punkcie P
o
2 D.
21
EKSTREMA LOKALNE WARUNKOWE
Niech 8
i2f1;:::mg
g
i
: X ! R, gdzie X R
n
jest zbiorem otwartym.
Oznaczmy:
G =
2
6
6
6
4
g
1
g
2
...
g
m
3
7
7
7
5
=
g
1
; g
2
; : : : ; g
m
T
Zatem G : X ! R
m
. Zapis
G(x) = 0;
oznacza, _ze 8
i2f1;:::mg
g
i
(x) = 0 Przyjmijmy oznaczenie:
M = fx : x 2 X ^ G(x) = 0g:
DEFINICJA Mowimy, _ze funkcja f ma w punkcie x
o
2 M
maksimum
(minimum) lokalne zwiazane
(warunkiem M) jesli:
9
r>0
8
x2M\K(x
o
;r)
f(x) f(x
o
) (f(x) f(x
o
)):
DEFINICJA Punkt x
o
2 M nazywamy
punktem regularnym zbioru
M
, je_zeli wektory g
0
1
(x
o
); g
0
2
(x
0
); : : : ; g
0
m
(x
o
) sa liniowo niezale_zne.
TWIERDZENIE Punkt x
o
2 M jest punktem regularnym zbioru M,
wiw gdy r(G
0
(x
o
)) = m, gdzie
G
0
(x
o
) =
2
6
6
6
4
@g
1
@x
1
(x
o
) : : :
@g
1
@x
n
(x
o
)
@g
2
@x
1
(x
o
) : : :
@g
2
@x
n
(x
o
)
...
...
...
@g
1
@x
m
(x
o
) : : :
@g
m
@x
n
(x
o
)
3
7
7
7
5
:
DEFINICJA
Funkje L : X ! R okreslona nastepujaco:
L(x; ) = f(x) +
1
g
1
(x) + : : : +
m
g
m
(x);
gdzie = [
1
; : : : ;
m
] nazywamy
funkcja Lagrange'a
dla problemu ek-
stremum warunkowego zadanego funkcja f oraz funkcjami f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
.
Wspo lczynniki
i
2 R dla ka_zdego i = 1; : : : ; m nazywamy
mno_znikami La-
grange'a
lub
czynnikami nieoznaczonymi Lagrange'a
.
22
TWIERDZENIE (
Warunek konieczny istnienia ekstremum warunk-
owego
)
Je_zeli funkcje f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
maja ciag le pochodne czastkowe pierwszego
rzedu x
o
jest punktem regularnym zbioru M, f ma w punkcie x
o
ekstremum
lokalne warunkowe to istnieja sta le
1
;
2
; : : : ;
m
takie, _ze:
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
@L
@x
1
(x
o
; ) = 0
...
@L
@x
n
(x
o
; ) = 0
@L
@
1
(x
o
; ) = 0
...
@L
@
m
(x
o
; ) = 0
(|)
Oznaczmy macierz drugiej pochodnej:
L
00
(x
o
; )j
x
=
2
6
4
L
00
x
1
x
1
: : : L
00
x
1
x
n
...
...
...
L
00
x
n
x
1
: : : L
00
x
n
x
n
3
7
5
DEFINICJA
Jadrem przekszta lcenia liniowego
G
0
(x
o
) x
T
nazywamy zbior elementow x takich, _ze
G
0
(x
o
) x
T
= 0:
Oznaczmy zbior
H = fx : G
0
(x
o
) x
T
= 0 ^ x 6= 0g
TWIERDZENIE (
Warunek dostateczny istnienia ekstremum warunk-
owego
)
1. Funkcje f; g
1
; g
2
; : : : ; g
m
maja ciag le pochodne czastkowe rzedu drugiego
w lacznie w zbiorze X.
2. x
o
jest punktem regularnym zbioru M.
3. x
o
spe lnia uk lad rownan |.
23
to
a. w przypadku gdy forma kwadratowa zadana macirza L
00
(x
o
; ) jest do-
datnio (ujemnie) okreslona, tzn
8
x2H
L
00
(x
o
; ) > 0 (< 0);
na jadrze przekszta lcenia liniowego o macierzy G
0
(x
o
) to f ma w x
o
minimum (maksimum) lokalne warunkowe
.
b. w przypadku gdy forma kwadratowa zadana macierza L
00
(x
o
; ) jest
nieokreslona na jadrze przekszta lcenia liniowego o macierzy G
0
(x
o
) to
f nie ma w x
o
ekstremum warunkowego.
24
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
8 lect8 2013 stud id 46719 Nieznany (2)
EdM wzmacniacze for stud id 150 Nieznany
ekonomia srodowiska id 155757 Nieznany
Ekonomia Pracy id 156008 Nieznany
Ekonomia w CSGO id 156159 Nieznany
korelacja stud id 248034 Nieznany
ekonometria test id 155376 Nieznany
4 Ekonomika MiR id 37568 Nieznany
AnFinP W3 2014 stud id 63620 Nieznany (2)
ekonometria repetytorium id 155 Nieznany
Ekonomia kapitalu id 155856 Nieznany
Ekonomia wykresy id 156259 Nieznany
ekonomia 3a id 155736 Nieznany
3 ekonomia menedzerska id 33642 Nieznany
EKONOMIA CW2 id 155753 Nieznany
Ekonomia wyklad 2 3 id 156193 Nieznany
Ekonomia skrypt id 156120 Nieznany
EKONOMETRIA1 prezentacja id 155 Nieznany
analiza ekonomiczna firm id 601 Nieznany
więcej podobnych podstron