Sprawdzenie stateczności ogólnej podciągu

Zależność dotycząca sprawdzenia stateczności ogólnej elementu zginanego

M

max



L

M

R



1

,

gdzie:

M

max

- maksymalna wartość momentu zginającego w elemencie,



L

- współczynnik niestateczności ogólnej (zwichrzenia),

M

R

- obliczeniowa nośność przekroju przy zginaniu.

Współczynnik zwichrzenia określony jest zależnością



L

=

1

L

2n



−

1

n

,

w której



L

- smukłość względna przy zwichrzeniu,

n

- uogólniony współczynnik imprefekcji n=2,0 lub n=2,5 .

Smukłość względną przy zwichrzeniu oblicza się stosując zależność



L

=

1,15



M

R

M

cr

,

gdzie:

M

cr

- moment krytyczny wg teorii stateczności.

W obliczeniach stosować będziemy ogólną zależność na obliczenie momentu

krytycznego w belce jednoprzęsłowej

M

cr

=±

A

0

N

y





A

0

N

y



2



B

2

i

s

2

N

y

N

z

.

Współczynniki A

0

i

B

uwzględniają warunki podparcia i obciążenia

analizowanego elementu.

Obciążenie belki (w

płaszczyźnie symetrii YZ)

Warunki podparcia

Współczynniki

w

płaszczyźni

e

YZ

XZ



y





A

1

A

2

B

C

1

C

2

Moment stały ( 

=

1

) lub

zmienny liniowo (





1

)

P

P

1

1

1


0

1


2

0

P

P

1

0,5

1,33



0

1,33



-

-

P

U

0,5

0,5

1


0

1


2

0

Obciążenie równomiernie

rozłożone

P

P

1

1

0,61 0,53 1,14 0,93 0,81

P

P

1

0,5

1,23 0,52 1,31

-

-

P

U

0,5

0,5

0,68 0,29 0,97 1,43 0,61

U

U

0,5

0,5

0,27 1,61 1,88 0,15 0,91

Siła skupiona w środku

rozpiętości

P

P

1

1

0,55 0,76 1,37 0,60 0,81

P

P

1

0,5

1,07 0,87 1,46

-

-

P

U

0,5

0,5

0,62 0,50 1,12

1

0,81

U

U

0,5

0,5

0

1,23 1,23

0

1,62

Współczynnik A

0

określony jest zależnością

A

0

=

A

1

b

y



A

2

a

s

.

Wielkości geometryczne niezbędne do obliczeń stateczności ogólnej (dla

bisymetrycznego przekroju dwuteowego)

Pole przekroju poprzecznego

A=2 b

f

t

f



t

w

h

w

.

Główne centralne momenty bezwładności

J

x

=

t

w

⋅

h

w

3

12



2⋅

b

f

⋅

t

f

3

12



b

f

⋅

t

f

⋅

h

w

2



t

f

2



2



,

J

y

=

h

w

⋅

t

w

3

12



2⋅

t

f

⋅

b

f

3

12

 .

Główny wycinkowy moment bezwładności

J



=

J

y

h

2

4

.

h

=

h

w



t

f

- osiowy rozstaw pasów

Moment bezwładności przy skręcaniu

J

T

=

1
3



2 b

f

t

f

3



h

w

t

w

3



.

Współrzędna środka ścinania

y

s

=

0 .

Ramię asymetrii

r

x

=

0

.

Parametr zginania

b

y

=

y

s

−

1
2

r

x

=

0 .

Współrzędna przyłożenia obciążenia względem środka ciężkości przekroju

a

0

=

0,5h

w



t

f

−

0,5 h

bs

,

h

bs

- wysokość przekroju belki stropowej.

Różnica współrzędnych środka ścinania i przyłożenia obciążenia

a

s

=

y

s

−

a

0

.

Promienie bezwładności przekroju względem osi głównych centralnych

i

x

=



J

x

A

,

i

y

=



j

y

A

.

Biegunowy promień bezwładności

i

0

=



i

x

2



i

y

2

.

Biegunowy promień bezwładności względem środka ścinania

i

s

=



i

0

2



y

s

2

.

Siły krytyczne

wyboczenia giętnego

N

y

=



2

E J

y





y

L



2

,

wyboczenia skrętnego

N

z

=

1

i

s

2





2

E J









L



2

G J

T



.

Współczynnik rozkładu momentów zginających

Warunki podparcia i sposób obciążenia pręta

Wartość  M

max

Pręt o węzłach wzajemnie poprzecznie nieprzesuwnych

( 



1

), obciążony momentami w węzłach podporowych

( M

0

=

0 )



M

max

=

0,55 M

1



0,45 M

2

lecz





0,4

Pręt o węzłach wzajemnie poprzecznie przesuwnych (



1 ), jednostronnie lub dwustronnie utwierdzony



M

max

=

M

1



0,15 M

2

lecz



1,0

Pręt podparty dwustronnie przegubowo (

=

1

)

obciążony poprzecznie między węzłami i ewentualnie

momentami w węzłach podporowych



M

max

=

max M 0,4 L

0



z0,6 L

0



lecz 



0,4

W pozostałych przypadkach, gdy nie przeprowadza się

dokładnej analizy należy przyjmować



M

max

=

M

max

Przykład: Sprawdzenie stateczności przęseł

Charakterystyczne rozkłady momentów zginających

Kombinacja obciążeń A+ ciężar własny+B+D ( M

maxAB

, M

maxCD

)

Kombinacja obciążeń A+ ciężar własny+B+C ( M

maxB

)

Kombinacja obciążeń A+ ciężar własny+C (

M

maxBC

)

Kombinacja obciążeń A+ ciężar własny+C+D ( M

maxC

)

Stężenia przeciwdziałające zwichrzeniu

W przypadku momentów ściskających górne strefy podciągu, w których mocowane

są belki stropowe, pracują one jak stężenia przeciwko zwichrzeniu. Rozpiętość z

uwagi na zwichrzenie zmniejsza się do odległości między belkami stropowymi.

Można wtedy analizować zwichrzenie jak dla belki jednoprzęsłowej.

W przypadku momentów ściskających włókna dolne belki stropowe nie spełniają już

funkcji stężeń. W takim przypadku chcąc uzyskać zabezpieczenie pewnych

przekrojów przed zwichrzeniem należy wprowadzić zastrzały biegnące od ściskanego

pasa dolnego do belek stropowych. Można je wykonać pod każdą belką lub w

pewnych odległościach (co którąś belkę). W zależności od tego określa się długość

wyboczeniową przy zwichrzeniu.

Przęsło AB

Charakterystyczny rozkład momentu zginającego

W analizowanym przypadku współczynnik zwichrzenia 

L

można wyznaczyć na

podstawie rozwiązania opisującego moment krytyczny w belce jednoprzęsłowej, zginanej

liniowo zmiennym momentem zginającym, o rozpiętości L

0

=

2,2

[

m

]

.

Charakterystyka geometryczna przekroju

Pole przekroju poprzecznego: A

=

162,4

[

cm

2

]

.

Główne centralne momenty bezwładności:

J

x

=

259578,8

[

cm

4

]

, J

y

=

4151,2

[

cm

4

]

.

Współrzędna środka ścinania: y

s

=

0 .

Współrzędna przyłożenia obciążenia w przekroju względem środka ciężkości:

a

0

=

h

w

2



t

f

−

h

b

2

=

950

2



18−

270

2

=

358,0[mm] .

Różnica współrzędnych środka ścinania i punktu przyłożenia obciążenia:

a

s

=

y

s

−

a

0

=

0−358=−358[mm] .

Ramię asymetrii dla przekroju bisymetrycznego wynosi r

x

=

0 .

Parametr zginania b

y

=

y

s

−

r

x

2

=

0−

0
2

=

0 .

Główny wycinkowy moment bezwładności przekroju

J



=

J

y

h

2

4

=

4151,2⋅96,8

2

4

=

9724560,0[cm

6

]

.

Moment bezwładności przekroju przy skręcaniu

J

T

=

1
3

[

2b

f

t

f

3



h

w

t

w

3

]=

1
3

[

2⋅24,0⋅1,8

3



95,0⋅0,8

3

]=

109,5[cm

4

]

.

Promienie bezwładności przekroju względem osi głównych centralnych

i

x

=



J

x

A

=



259578,8

162,4

=

39,98[cm] ,

i

y

=



J

y

A

=



4151,2

162,4

=

5,05[cm] .

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ciężkości

i

0

=



i

x

2



i

y

2

=



39,98

2



5,05

2

=

40,3[cm] .

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ścinania

i

s

=



i

0

2



y

s

2

=



40,3

2



0

2

=

40,3[cm] .

Przyjęto następujące współczynniki długości wyboczeniowej



y

=

1,0 oraz 



=

1,0 .

Siły krytyczne odpowiednich postaci wyboczenia

•

wyboczenie giętne

N

y

=



2

E J

y



y

L

2

=



2

⋅

20500⋅4151,2



1,0⋅220

2

=

17353,5[kN ]

•

wyboczenie skrętne

N

z

=

1

i

s

2

[



2

E J







L

2



G J

T

]=

1

40,3

2

[



2

⋅

20500⋅9724560,0



1,0⋅220

2



8000⋅109,5]=25572,1[kN ] .

Współczynnik rozkładu momentu zginającego

M

1

=

1025,2

[

kNm

]

, M

2

=

946,4

[

kNm

]

, M

max

=

1025,2

[

kNm

]

,



=

0,55 M

1



0,45 M

2

M

max

=

0,55

⋅

1025,2



0,45

⋅

946,4

1025,2

=

0,965



0,4 .

Moment krytyczny w belce jednoprzęsłowej zginanej liniowo zmiennym momentem

Współczynniki rozwiązania

A

1

=

1


=

1

0,965

=

1,04 , B

=

1



=

1

0,965

=

1,04 , A

2

=

0 ,

A

0

=

A

1

b

y



A

2

a

s

=

1,04

⋅

0

−

0

⋅

358

=

0 .

M

cr

=

A

0

N

y







A

0

N

y



2



B

2

i

s

2

N

y

N

z

=



1,04

2

⋅

40,3

2

⋅

17353,5

⋅

25572,1

=

879330

[

kNcm

]=

8793,3

[

kNm

]

.

Smukłość względna przy zwichrzeniu



L

=

1,15



M

R

M

cr

=

1,15⋅



1061,6
8793,3

=

0,4

Współczynnik zwichrzenia określony na podstawie krzywej wyboczeniowej „a”, przy n=2,0

jest równy 

L

=

1

L

2n



−

1
n

=

10,4

2⋅2



−

1

2

=

0,987 .

Warunek nośności elementu w przęśle AB przedstawia się następująco:

M

ABmax



L

M

R

=

1025,2

0,987⋅1061,6

=

0,9781

Podpora C

Charakterystyczny wykres momentów zginających

Wartość współczynnika zwichrzenia określimy na podstawie momentu krytycznego w

belce jednoprzęsłowej o rozpiętości

L

0

=

2,2[m]

, zginanej momentem zmiennym

liniowo. Jest możliwe przy zastosowaniu stężenia ściskanego pasa nad podporą C.

Stężenie będzie poprowadzone od pasa podciągu do belki stropowej.

Charakterystyka geometryczna przekroju

Pole przekroju poprzecznego: A=143,2[cm

2

] .

Główne centralne momenty bezwładności:

J

x

=

213291,0 [cm

4

]

, J

y

=

3229,6 [cm

4

] .

Współrzędna środka ścinania: y

s

=

0 .

Współrzędna przyłożenia obciążenia w przekroju względem środka ciężkości:

a

0

=

h

w

2



t

f

−

h

b

2

=

950

2



14−

270

2

=

354,0 [mm] .

Różnica współrzędnych środka ścinania i punktu przyłożenia obciążenia:

a

s

=

y

s

−

a

0

=

0−354=−354[mm] .

Ramię asymetrii dla przekroju bisymetrycznego wynosi r

x

=

0 .

Parametr zginania b

y

=

y

s

−

r

x

2

=

0−

0
2

=

0 .

Główny wycinkowy moment bezwładności przekroju

J



=

J

y

h

2

4

=

3229,6⋅96,4

2

4

=

7503259,8[cm

6

] .

Moment bezwładności przekroju przy skręcaniu

J

T

=

1
3

[

2b

f

t

f

3



h

w

t

w

3

]=

1

3

[

2⋅24,0⋅1,4

3



95,0⋅0,8

3

]=

60,12[cm

4

]

.

Promienie bezwładności przekroju względem osi głównych centralnych

i

x

=



J

x

A

=



213291,0

143,2

=

38,6[cm] ,

i

y

=



J

y

A

=



3229,6

143,2

=

4,75[cm] .

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ciężkości

i

0

=



i

x

2



i

y

2

=



38,6

2



4,75

2

=

38,9[cm] .

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ścinania

i

s

=



i

0

2



y

s

2

=



38,9

2



0

2

=

38,9[cm] .

Przyjęto następujące współczynniki długości wyboczeniowej



y

=

1,0 oraz 



=

1,0 .

Siły krytyczne odpowiednich postaci wyboczenia

•

wyboczenie giętne

N

y

=



2

E J

y



y

L

2

=



2

⋅

20500⋅3229,6



1,0⋅220

2

=

13500,9[kN ]

•

wyboczenie skrętne

N

z

=

1

i

s

2

[



2

E J







L

2



G J

T

]=

1

38,9

2

[



2

⋅

20500⋅7503259,8



1,0⋅220

2



8000⋅60,12]=21062,5[kN ] .

Współczynnik rozkładu momentu zginającego

M

1

=

828,7[ kNm] , M

2

=

55,8[kNm] , M

max

=

828,7[ kNm] ,

=

0,55 M

1



0,45 M

2

M

max

=

0,55⋅828,70,45⋅55,8

828,7

=

0,580,4

Moment krytyczny w belce jednoprzęsłowej zginanej liniowo zmiennym momentem

Współczynniki rozwiązania

A

1

=

1


=

1

0,58

=

1,723 , B=

1


=

1

0,58

=

1,723 , A

2

=

0 ,

A

0

=

A

1

b

y



A

2

a

s

=

1,723⋅0−0⋅354=0 .

M

cr

=

A

0

N

y







A

0

N

y



2



B

2

i

s

2

N

y

N

z

=



1,723

2

⋅

38,9

2

⋅

13500,9⋅21062,5=1129960 [kNcm]=11299,6[ kNm]

Smukłość względna przy zwichrzeniu



L

=

1,15



M

R

M

cr

=

1,15⋅



839,16

11299,6

=

0,313

Współczynnik zwichrzenia określony na podstawie krzywej wyboczeniowej „a”, przy

n=2,0 jest równy



L

=

1

L

2n



−

1
n

=

10,313

2⋅2



−

1

2

=

0,995

.

Warunek nośności elementu na podporze C przedstawia się następująco:

M

ABmax



L

M

R

=

828,7

0,995⋅839,16

=

0,992 1

Przęsło BC – moment zginający rozciągający strefy górne

Charakterystyczny wykres momentów

W omawianym przypadku belki nie pełnią funkcji stężeń. Zastrzały występują na

podporach B i C. Identyczne elementy wprowadzimy również pod pierwszymi (licząc od

podpór B i C) belkami stropowymi w przęśle środkowym. Rozpiętość obliczeniowa z

uwagi na zwichrzenie dla przęsła środkowego będzie równa

L

0

=

6,6

[

m

]

.

Charakterystyka geometryczna przekroju

Charakterystyka geometryczna przekroju

Pole przekroju poprzecznego: A=104,8 [cm

2

] .

Główne centralne momenty bezwładności:

J

x

=

123238,9 [cm

4

]

, J

y

=

781,6 [cm

4

] .

Współrzędna środka ścinania: y

s

=

0 .

Współrzędna przyłożenia obciążenia w przekroju względem środka ciężkości:

a

0

=

h

w

2



t

f

−

h

b

2

=

950

2



8−

270

2

=

348,0[mm] .

Różnica współrzędnych środka ścinania i punktu przyłożenia obciążenia:

a

s

=

y

s

−

a

0

=

0−348=−348[mm] .

Ramię asymetrii dla przekroju bisymetrycznego wynosi r

x

=

0 .

Parametr zginania b

y

=

y

s

−

r

x

2

=

0−

0
2

=

0 .

Główny wycinkowy moment bezwładności przekroju

J



=

J

y

h

2

4

=

781,6⋅95,8

2

4

=

1823511,2[cm

6

] .

Moment bezwładności przekroju przy skręcaniu

J

T

=

1
3

[

2b

f

t

f

3



h

w

t

w

3

]=

1

3

[

2⋅18,0⋅0,8

3



95,0⋅0,8

3

]=

22,36[cm

4

]

.

Promienie bezwładności przekroju względem osi głównych centralnych

i

x

=



J

x

A

=



123238,9

104,8

=

34,3[cm] ,

i

y

=



J

y

A

=



781,6
104,8

=

2,73[cm] .

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ciężkości

i

0

=



i

x

2



i

y

2

=



34,3

2



2,73

2

=

34,4[cm]

.

Biegunowy promień bezwładności przekroju względem środka ścinania

i

s

=



i

0

2



y

s

2

=



34,4

2



0

2

=

34,4[cm]

.

Przyjęto następujące współczynniki długości wyboczeniowej



y

=

1,0

oraz





=

1,0

.

Siły krytyczne odpowiednich postaci wyboczenia

•

wyboczenie giętne

N

y

=



2

E J

y



y

L

2

=



2

⋅

20500⋅781,6



1,0⋅660

2

=

363,1[kN ]

•

wyboczenie skrętne

N

z

=

1

i

s

2

[



2

E J







L

2



G J

T

]=

1

34,4

2

[



2

⋅

20500⋅1823511,2



1,0⋅660

2



8000⋅22,36]=866,8[kN ] .

Współczynnik rozkładu momentu zginającego

M

1

=

199,0 [kNm] , , M

max

=

351,1[ kNm] ,

=

M

1

M

max

=

199,0

351,1

=

0,570,4 .

Moment krytyczny w belce jednoprzęsłowej zginanej liniowo zmiennym momentem

Współczynniki rozwiązania

A

1

=

1


=

1

0,57

=

1,764 ,

B=

1


=

1

0,57

=

1,764

, A

2

=

0 ,

A

0

=

A

1

b

y



A

2

a

s

=

1,764⋅0−0⋅348=0 .

M

cr

=

A

0

N

y







A

0

N

y



2



B

2

i

s

2

N

y

N

z

=



1,764

2

⋅

34,4

2

⋅

363,1⋅866,8=34050[kNcm]=340,5[ kNm]

Smukłość względna przy zwichrzeniu



L

=

1,15



M

R

M

cr

=

1,15⋅



528,1
340,5

=

1,432

Współczynnik zwichrzenia określony na podstawie krzywej wyboczeniowej „a”,

przy n=2,0 jest równy 

L

=

1

L

2n



−

1
n

=

11,432

2⋅2



−

1

2

=

0,438 .

Warunek nośności elementu w przęśle BC przedstawia się następująco:

M

ABmax



L

M

R

=

199,0

0,438⋅528,1

=

0,86 1