Egzamin

2009/2010

rok 2010/2011

Zadanie 5:

Niech

f(x)= Cx

3

x ∈ (0,2)

0

x R\

∈

(0,2)

będzie gęstością rozkładu zmiennej losowej X. Wyznaczyć stałą C. Znaleźć wzór na dystrybuantę zmiennej
losowej X. Obliczyć P(X ≤ 1) oraz EX i D

2

X.

Rozwiązanie:

Wyznaczam stałą C

:

∫

−

∞

∞

f

(

x

)

d x=1

∫

−

∞

∞

f ( x )d x=

∫

−

∞

0

0 d x +

∫

0

2

C x

3

d x +

∫

2

∞

0 d x

= C*

x

4

4

|

2

0

= C*

16

4

=4*C

4*C=1
C=

1
4

Wyznaczam dystrybuantę:

F(x)=

∫

−

∞

x

0 d t

=0

dla x≤0

F(x)=

∫

−

∞

0

0d t

+

∫

0

x

1
4

t

3

d t

=

1

16

x

4

dla 0<x<2

F(x)=

∫

−

∞

0

0 d t

+

∫

0

2

1
4

t

3

d t+

∫

2

∞

0 d t

=

1

16

t

4

|

2

0

=1

dla x≥2

F(x)= 0 dla x≤0

1

16

x

4

dla 0<x<2

1

dla dla x≥2

Obliczam P(X ≤ 1):
P(X ≤ 1)=P(-∞<X≤1)= F(1) – F(-∞)=

1

16

– 0=

1

16

EX=

∫

−

∞

∞

x * f ( x )d x=

∫

0

2

x *

1

4

x

3

d x=

1

20

x

5

|

2

0

=

32
20

=

8
5

D

2

X=

∫

−

∞

∞

(

x− E X )

2

* f ( x )d x =

∫

0

2

(

x−

8
5

)

2

*

1
4

x

3

d x=

∫

0

2

(

1
4

x

5

−

8

10

x

4

+

16
25

x

3

)

d x

=

=(

1

24

x

6

-

4

25

x

5

+

4

25

x

4

)|

2

0

=

64
24

-

128

25

+

64
25

=

8

75

Odpowiedź:

Stała C=

1
4

, P(X ≤ 1)=

1

16

, EX=

8
5

,

D

2

X=

8

75

Autor: Marcin P. grupa 9

29.01.2014