Kolokwium II

rok 2009/2010

Zadanie 1 :

a) Dane są dwa szeregi i o wyrazach nieujemnych

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

i

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

o których wiemy, że

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

dla każdego

𝑛 ∈ 𝑁.

Oceń prawdziwość zdań ( odpowiedź uzasadnij):

- Jeżeli szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest zbieżny, to

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 0

.

- Jeżeli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

to szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest zbieżny.

- Jeżeli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒

, to szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest rozbieżny.

b) Zbadaj zbieżność szeregu

∑

1

𝑛 √𝑙𝑛

4

𝑛

3

∞

𝑛=2

Rozwiązanie:

a)



Jeżeli szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest zbieżny, to

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛

= 0

. PRAWDA

Z kryterium porównawczego wiadomo, że jeśli

a

n

≤ b

n

ze zbieżności szeregu

∑

b

n

∞

n=1

wynika

zbieżność szeregu

∑

a

n

∞

n=1

.

Jeżeli szereg

∑

a

n

∞

n=1

jest zbieżny to z warunku koniecznego

zbieżności szeregu wiadomo, że

lim

n→∞

a

n

= 0

.



Jeżeli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

to szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest zbieżny. FAŁSZ

Z kryterium pierwiastkowego Cauchy’ego wynika , że jeśli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

< 1

to szereg jest

bezwzględnie zbieżny. W danym przypadku

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

√𝑎

𝑛

𝑛

=

1
8

< 1

, szereg

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

jest

bezwzględnie zbieżny. Dla

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

z kryterium porównawczego nie wynika, że szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest zbieżny.



Jeżeli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒

, to szereg

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

jest rozbieżny. PRAWDA

Z kryterium ilorazowego d’Alamberta wiadomo, że jeżeli

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

> 1

to szereg

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

jest rozbieżny. W danym przypadku

𝑙𝑖𝑚

𝑛→∞

𝑎

𝑛+1

𝑎

𝑛

= 𝑒 > 1

, szereg jest rozbieżny. Analizując

dalej na podstawie kryterium porównawczego wiadomo, że jeśli

𝑎

𝑛

≤ 𝑏

𝑛

to z rozbieżności

szeregu

∑

𝑎

𝑛

∞

𝑛=1

wynika rozbieżność szeregu

∑

𝑏

𝑛

∞

𝑛=1

.

b) ∑

1

𝑛∗ √𝑙𝑛

4

𝑛

3

∞

𝑛=2

Korzystamy z kryterium całkowego

Niech

𝑓(𝑥) =

1

𝑥∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

𝐷

𝑓

=< 2; +∞)

Sprawdzamy założenia kryterium całkowego:
1. Czy f(x)>0?

Tak, bo

1>0

𝑥≥2

√𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

} > 0

2.

Czy f(x) jest ciągła?

Tak, bo funkcje 1, x,

√𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

są funkcjami elementarnymi, czyli są ciągłe.

3. Czy f(x) jest nierosnąca?

Tak, bo

𝑓(𝑥) =

𝑠𝑡𝑎ł𝑎

𝑖𝑙𝑜𝑐𝑧𝑦𝑛 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑐𝑗𝑖 𝑟𝑜𝑠𝑛ą𝑐𝑦𝑐ℎ

∫

1

𝑥 ∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

∞

2

𝑑𝑥 = lim

𝐴→∞

∫

1

𝑥 ∗ √𝑙𝑛

4

(𝑥)

3

𝐴

2

𝑑𝑥 =

|

|

𝑝𝑜𝑑𝑠𝑡𝑎𝑤𝑖𝑒𝑛𝑖𝑒

𝑡=ln (𝑥)

𝑑𝑡=

1

𝑥𝑑𝑥

𝑥

2

𝐴

𝑡 𝑙𝑛2 𝑙𝑛𝐴

|

|

= lim

𝐴→∞

∫ 𝑡

−

4

3

𝑙𝑛𝐴

𝑙𝑛2

𝑑𝑡 = lim

𝐴→∞

(−3𝑡

−

1

3

|

𝑙𝑛𝐴

𝑙𝑛2

) = lim

𝐴→∞

(−3 (

1

√𝑙𝑛𝐴

3

−

1

√𝑙𝑛2

3

)) =

3

√𝑙𝑛2

3

Całka jest zbieżna, więc szereg też jest zbieżny.

Odpowiedź:

a) 1. PRAWDA

2. FAŁSZ

3. PRAWDA

b) szereg jest zbieżny, na podstawie kryterium całkowego

Autor:

Anna Styszyńska

grupa

10