1.

Siła parcia. Prawo Pascala

Mamy naczynie wypełnione cieczą. Jeśli na tłok o powierzchni

ܵ działa

siła

ܨ, wytwarzając pod tłokiem ciśnienie

݌ =

ܨ

ܵ

to obserwujemy, że przez otworki w ścianach woda wytryskuje w

jednakowy sposób, prostopadle do ściany naczynia. Czyli jeżeli na ciecz

jest wywierane ciśnienie, to ciecz zawarta w naczyniu wywiera nacisk na

jego ściany. Siła nacisku cieczy nazywana jest siłą parcia.

Na podstawie powyższej obserwacji można sformułować prawo Pascala:

Ciśnienie wytworzone w cieczy przez siłę zewnętrzną jest jednakowe w każdym jej punkcie.

Rozpatrzmy pewną ilość cieczy, znajdującą się w cylindrycznym naczyniu (czyli np. szklance).

Ciecz ta działa na dno i ściany naczynia siłą zwaną parciem lub siłą parcia. Oczywiście poszczególne warstwy cieczy

również działają na siebie siłą parcia.

Obliczymy parcie słupa cieczy o wysokości h na dno naczynia. Siłą parcia jest ciężar tego słupa cieczy:

ܨ = γV

gdzie:

ߛ - ciężar właściwy cieczy,

ܸ - objętość słupa cieczy.

Ponieważ ciężar właściwy to iloczyn gęstości i przyspieszenia grawitacyjnego (ziemskiego)

γ = ϱg to powyższy wzór

można zapisać również:

ܨ = ߷ܸ݃

gdzie:

߷ - gęstość cieczy,

݃ - przyspieszenie ziemskie.

Objętość to oczywiście iloczyn pola powierzchni podstawy naczynia i jego wysokości:

ܸ = ܵℎ

gdzie:
ܵ - pole podstawy naczynia.

Zatem wzór na siłę parcia:

ܨ = ߷݃ℎܵ.

2.

Ciśnienie

Ciśnieniem, o którym pisaliśmy powyżej, nazywamy wielkość fizyczną, której miarą jest iloraz siły działającej na jakąś

powierzchnię do wielkości tej powierzchni.

݌ =

ܨ

ܵ

Jednostką ciśnienia jest 1 paskal (oznaczenie:

ܲܽ).

1

ܲܽ = 1

ܰ

݉

ଶ

= 1

݇݃

݉ݏ

ଶ

3.

Ciśnienie hydrostatyczne

Ciśnienie hydrostatyczne jest to ciśnienie wywierane przez słup cieczy.

Z punktu pierwszego pamiętamy, że siła parcia wynosi

ܨ = ߷݃ℎܵ.

Podstawiając powyższe do wzoru na ciśnienie:

݌ =

ܨ

ܵ

otrzymujemy:

݌ = ߷݃ℎ.

Jak widać ciśnienie hydrostatyczne jest wprost proporcjonalne do gęstości cieczy (ewentualnie do ciężaru

właściwego) i do wysokości słupa cieczy. Ciśnienie to nie zależy od przekroju poprzecznego słupa cieczy i na danej

głębokości jest wywierane jednakowo we wszystkich kierunkach.

4.

Doświadczenie Torricellego

Torricelli zbudował przyrząd do pomiaru ciśnienia atmosferycznego, zwany barometrem rtęciowym. Szklaną rurkę o

długości około

1

݉, zatopioną z jednej strony, napełniono rtęcią. Rurkę zatkano i odwrócono do góry dnem. Dolny

koniec rurki zanurzono w naczyniu z rtęcią i rurkę odetkano. Część rtęci wylała się, a wysokość tej części, która

pozostała w rurce, przyjęto za miarę ciśnienia atmosferycznego. Stąd wzięła się jednostka ciśnienia atmosferycznego

zwana milimetrem słupa rtęci, oznaczana

݉݉ܪ݃.

A teraz wyrazimy ciśnienie atmosferyczne (zwane normalnym)

760

݉݉ܪ݃ w ℎܲܽ (hektopaskalach):

760

݉݉ܪ݃ = 0,76݉ ∙ 13,6 ∙ 10

ଷ

݇݃

݉

ଷ

∙ 9,8

݉

ݏ

ଶ

= 1,013 ∙ 10

ହ

ܲܽ

760

݉݉ܪ݃ = 1013 ℎܲܽ

Łatwo zauważyć, że jeden milimetr słupa rtęci to około

133 paskali.

5.

Prawo Archimedesa

Pod powierzchnią cieczy znajduje się ciało w kształcie prostopadłościanu. Rozpatrzmy siły działania cieczy na to ciało.

Jak wiemy ciecz działa na zanurzone w niej ciało siłami parcia ze wszystkich stron.

(niewidoczne są na rysunku parcia boczne - z przodu i z tyłu)

Łatwo zauważyć, że parcia boczne równoważą się. Natomiast parcie z góry

ܨ

ଵ

i parcie z dołu

ܨ

ଶ

nie równoważą się.

Parcie z góry:

ܨ

ଵ

=

ߜ݃ℎ

ଵ

ܵ

Parcie z dołu:

ܨ

ଶ

=

ߜ݃ℎ

ଶ

ܵ

Wypadkowa siła parcia cieczy do góry i od dołu zwana jest siłą wyporu.

ܨ

௪

=

ܨ

ଶ

−

ܨ

ଵ

ܨ

௪

=

ߜ݃ℎ

ଶ

ܵ − ߜ݃ℎ

ଵ

ܵ

ܨ

௪

=

ߜℎܵ(ℎ

ଶ

− ℎ

ଵ

)

ℎ

ଶ

− ℎ

ଵ

= ℎ

ܨ

௪

=

ߜ݃ܵℎ

ܸ = ܵℎ

ܨ

௪

=

ߜܸ݃

Pamiętajmy, że

ߜ jest gęstością cieczy, zaś ܸ jest objętością ciała:

ܨ

௪

=

ߜ

஼ூா஼௓௒

∙

݃ ∙ ܸ

஼ூ஺Ł஺ ௓஺ே௎ோ௓ைோீை

Możemy więc sformułować prawo Archimedesa:

Na każde ciało zanurzone w cieczy (lub gazie) działa siła wyporu skierowana pionowo do góry i równa ciężarowi

cieczy (gazu) wypartej przez to ciało.

Ciała po całkowitym zanurzeniu w cieczy mogą zachowywać się następująco:

tonąć

ܨ

ீ

>

ܨ

௪

ܸ

஼ூ஺Ł஺

∙

ߜ

஼ூ஺Ł஺

∙

݃ > ܸ

஼ூ஺Ł஺

∙

ߜ

஼ூா஼௓௒

∙

݃

ߜ

஼ூ஺Ł஺

>

ߜ

஼ூா஼௓௒

pływać całkowicie zanurzone

ܨ

ீ

=

ܨ

௪

ߜ

஼ூ஺Ł஺

=

ߜ

஼ூா஼௓௒

wypływać

ܨ

ீ

<

ܨ

௪

ߜ

஼ூ஺Ł஺

<

ߜ

஼ூா஼௓௒

pływać tylko częściowo zanurzone w cieczy

ܸ

௓஺ே

<

ܸ

஼ூ஺Ł஺

(warunek pływania,

ܸ

௓஺ே

– objętość części zanurzonej)

ܨ

ீ

=

ܨ

௪

ܸ

஼ூ஺Ł஺

∙

ߜ

஼ூ஺Ł஺

∙

݃ = ܸ

௓஺ே

∙

ߜ

஼ூா஼௓௒

∙

݃

ܸ

஼ூ஺Ł஺

∙

ߜ

஼ூ஺Ł஺

=

ܸ

௓஺ே

∙

ߜ

஼ூா஼௓௒

ponieważ:

ܸ

௓஺ே

<

ܸ

஼ூ஺Ł஺

, to

ߜ

஼ூ஺Ł஺

<

ߜ

஼ூா஼௓௒

6.

Prawo naczyń połączonych

W każdym z naczyń połączonych ciśnienia na tym samym

poziomie są jednakowe, o ile poniżej tego poziomu znajduje się

w nich ta sama ciecz.

Ciśnienia w obu naczyniach na poziomie A-A' są takie same, gdyż

poniżej tego poziomu jest tylko rtęć.

Ciśnienie to można obliczyć ze wzorów:

݌ = ߜ

ଵ

݃ℎ

ଵ

݌ = ߜ

ଶ

݃ℎ

ଶ

gdzie:

ߜ

ଵ

- gęstość wody,

ߜ

ଶ

– gęstość rtęci.

7.

Prasa hydrauliczna

Przy wykorzystaniu prawa Pascala zbudowano urządzenie zwane prasą hydrauliczną. Składa się ona z dwóch

cylindrów o różnych średnicach połączonych przewodem, przez który może swobodnie przepływać ciecz.

ܨ

ଵ

ܨ

ଶ

=

ܵ

ଵ

ܵ

ଶ

Siła działająca na większy tłok

ܨ

ଶ

jest tyle razy większa od siły

ܨ

ଵ

, ile razy powierzchnia tłoka

ܵ

ଶ

jest większa od

powierzchni tłoka

ܵ

ଵ

.

Zasadę tę wykorzystano między innymi w:
- podnośnikach hydraulicznych,
- hamulcach hydraulicznych.

8.

Równanie Bernoulliego

Równanie Bernoulliego opisuje parametry nielepkiego płynu (czyli takiego, którego ruch nie jest związany z żadnym

oporem) płynącego w rurze o zmiennym przekroju. Wynika ono wprost z faktu zachowania objętości cieczy

doskonałej (ciecz jest nieściśliwa, czyli nie zmienia swej objętości wraz ze zmianą ciśnienia) i zasady zachowania

energii mechanicznej.

Równanie to możemy zapisać jako:

ߜݒ

ଶ

2

+

ߜ݃ℎ + ݌ = ܿ݋݊ݏݐ

gdzie:

ߜ - gęstość cieczy,

ݒ - prędkość cieczy,
ℎ - wysokość w układzie odniesienia,

݃ - przyspieszenie grawitacyjne,

݌ - ciśnienie cieczy.

Prawo Bernoulliego udowadnia, że im szybciej ciecz przepływa, tym mniejsze wywiera ciśnienie. Ciecz płynąc w rurze

o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku gdzie przekrój jest mniejszy. Podana wyżej własność

cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie

to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks

hydrodynamiczny.

9.

Siła spójności, siła przylegania, menisk

Siły spójności - siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy.

Siły przylegania - siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy i cząsteczkami naczynia.

Powierzchnia swobodna cieczy znajdującej się w naczyniu może przyjmować kształt wklęsły lub wypukły. Zjawisko to

nazywamy meniskiem.

Menisk wklęsły tworzy się dla cieczy zwilżających ściany naczynia. Siły spójności są mniejsze od sił przylegania.

Menisk wypukły tworzy się dla cieczy nie zwilżających ścian naczynia. Siły spójności są większe od sił przylegania.

10.

Przykładowe zadania

Zadanie 1

Ciało zawieszono na haczyku siłomierza. Po zanurzeniu ciała w wodzie wskazanie siłomierza wynosi

݊ =

ଶ

ଷ

ciężaru ciała. Oblicz gęstość ciała zakładając, że gęstość wody wynosi

ߜ = 10

ଷ ௞௚

௠

య

.

Dane:

݊ =

2

3

ߜ = 10

ଷ

݇݃

݉

ଷ

Szukane:

ߜ

ଵ

= ? (gęstość ciała)

Rozwiązanie:

Na początku policzymy siłę wyporu, jakiej doznaje zanurzone ciało. Nietrudno zauważyć, że będzie to różnica

wskazań siłomierza przed i po włożeniu ciała do wody.

ܨ

௪

=

ܨ

ଵ

−

ܨ

ଶ

Oczywistym jest też, że

ܨ

ଵ

=

ܳ, natomiast ܨ

ଶ

=

݊ܳ. A więc siła wyporu wyrazi się wzorem:

ܨ

௪

=

ܳ − ݊ܳ = ܳሺ1 − ݊ሻ = ݉݃(1 − ݊)

Teraz wyznaczymy siłę wyporu z prawa Archimedesa.

ܨ

௪

=

ߜܸ݃ = ߜ݃

݉

ߜ

ଵ

Teraz porównamy te dwie wartości i wyznaczymy gęstość ciała.

݉݃ሺ1 − ݊ሻ = ߜ݃

݉

ߜ

ଵ

| ∶

݉݃

ሺ1 − ݊ሻ =

ߜ

ߜ

ଵ

ߜ

ଵ

=

ߜ

1 −

݊

Teraz policzymy wartość gęstości.

ߜ

ଵ

=

10

ଷ

1 −

2
3

=

10

ଷ

1
3

= 3 ∙ 10

ଷ

݇݃

݉

ଷ

Odpowiedź: Gęstość ciała wynosi

ߜ

ଵ

= 3 ∙ 10

ଷ ௞௚

௠

య

.

Zadanie 2

W wodzie o gęstości

ߜ

௪

= 10

ଷ ௞௚

௠

య

pływa korek o gęstości

ߜ

௞

= 700

௞௚

௠

య

. Oblicz stosunek części

zanurzonej do wynurzonej korka.

Dane:

ߜ

௪

= 10

ଷ ௞௚

௠

య

ߜ

௞

= 700

݇݃

݉

ଷ

Szukane:

ܸ

௭

ܸ

௪

= ?

Rozwiązanie:

Chcemy policzyć stosunek części zanurzonej do wynurzonej tego korka. Skoro mamy ten stosunek policzyć, to

znaczy, że się nie zmienia, czyli korek ani nie tonie, a nie wypływa. Pozostaje więc w równowadze. Z I zasady

dynamiki Newtona wiemy, że wszystkie działające siły muszą się równoważyć. Jedynymi siłami, które mogą ten

stan zmienić to siła grawitacji i wyporu. Z prawa Archimedesa wiemy, że siła wyporu jest skierowana ku górze, a z

prawa ciążenia, że siła grawitacji ku dołowi. A więc równoważyć muszą się siły wyporu i grawitacji.

ܨ

௚

=

ܨ

௪

݉݃ = ߜ

௪

ܸ݃

௭

݉ = ߜ

௪

ܸ

௭

Teraz korzystając ze wzoru na gęstość możemy napisać:

ܸ

௞

ߜ

௞

=

ߜ

௪

ܸ

௭

ܸ

௭

=

ܸ

௞

ߜ

௞

ߜ

௪

Wiemy, że objętość części zanurzonej w sumie z objętością części wynurzonej dają całą objętość. Możemy

wyznaczyć więc objętość części wynurzonej.

ܸ

௞

=

ܸ

௭

+

ܸ

௪

ܸ

௪

=

ܸ

௞

−

ܸ

௭

ܸ

௪

=

ܸ

௞

−

ܸ

௞

ߜ

௞

ߜ

௪

ܸ

௪

=

ܸ

௞

൬

ߜ

௪

−

ߜ

௞

ߜ

௪

൰

No to skoro mamy obie wielkości, możemy przystąpić do policzenia szukanego stosunku.

ܸ

௭

ܸ

௪

=

ܸ

௞

ߜ

௞

ߜ

௪

ܸ

௞

൬ߜ

௪

−

ߜ

௞

ߜ

௪

൰

ܸ

௭

ܸ

௪

=

ܸ

௞

ߜ

௞

ߜ

௪

ܸ

௞

(

ߜ

௪

−

ߜ

௞

)

ߜ

௪

ܸ

௭

ܸ

௪

=

ߜ

௞

ߜ

௪

−

ߜ

௞

Teraz policzymy wartość liczbową.

ܸ

௭

ܸ

௪

=

700

1000 − 700

=

700

300

=

7

3

ܸ

௭

ܸ

௪

≈ 2,33

Odpowiedź: Szukany stosunek zanurzonej do wynurzonej wynosi

௏

೥

௏

ೢ

≈ 2,33.

11.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1 Ile wynosi przybliżony stosunek ciśnień hydrostatycznych słupa wody o wysokości

1

݉ na Księżycu i na

Ziemi?

Odp.

௣

ೖ

௣

೥

=

ଵ

଺

Zadanie 2 Sześcienny drewniany klocek o długości krawędzi

ܽ = 20ܿ݉ pływa w wodzie o gęstości 1000

௞௚

௠

య

zanurzony do połowy. Na jaką wysokość nad powierzchnią będzie on wystawał po zanurzeniu w cieczy o gęstości

800

௞௚

௠

య

?

Odp.

ℎ = 7,5

ܿ݉

Zadanie 3 Wodę ze szklanki cylindrycznej przelano w całości do drugiej szklanki cylindrycznej o promieniu

podstawy dwukrotnie większym. Jak zmieniło się ciśnienie wody na dno w drugiej szklance, w porównaniu z

ciśnieniem na dno w szklance pierwszej?

Odp. zmalało czterokrotnie

Zadanie 4 Na głębokości

ℎ = 1

݉ poniżej poziomu wody o gęstości ߜ

ଵ

= 1000

௞௚

௠

య

znajduje się kulka drewniana,

której gęstość

ߜ = 600

௞௚

௠

య

. Kulkę tę puszczono. Na jaką wysokość

ݔ wyskoczy kulka ponad poziom wody? Siły

tarcia pomijamy.

Odp.

ݔ =

ଶ

ଷ

݉

Zadanie 5 Ciężar pewnego ciała wynosi

400

ܰ. Po zanurzeniu w wodzie ቀߜ = 1000

௞௚

௠

య

ቁ ciało to waży 300ܰ. Ile

wynosi objętość tego ciała?

Odp.

ܸ = 10݀݉

ଷ

Zadanie 6 Klocek z drewna o gęstości

600

௞௚

௠

య

pływa w cieczy, przy czym

25% objętości wystaje nad jej

powierzchnię. Ile wynosi gęstość cieczy?

Odp.

ߜ

௖

= 800

௞௚

௠

య

Zadanie 7 Piłka o masie

2

݇݃ położona na wodzie pływa zanurzona do połowy. Jaką najmniejszą siłę należy

przyłożyć, aby całą piłkę zanurzyć w wodzie?

Odp.

ܨ = ܳ = 20ܰ

Zadanie 8 Ciało pływa zanurzone do

ସ

ହ

swojej objętości w cieczy o ciężarze właściwym

750

ே

௠

య

. Ile wynosi ciężar

właściwy ciała?

Odp.

ߛ = 600

ே

௠

య

Zadanie 9 Kra lodowa o gęstości

900

௞௚

௠

య

i objętości

1

݉

ଷ

pływa po lodzie. Ile wynosi ciężar, jaki można położyć

na tej krze, aby zanurzyła się całkowicie?

Odp. 1000N

Zadanie 10 Kulka o gęstości

500

௞௚

௠

య

wypływa z wody. Ile wynosi jej przyspieszenie, jeżeli opory ruchu

pominiemy?

Odp.

ܽ = ݃

Zadanie 11 Do jednego z ramion pionowo ustawionej rurki w kształcie litery U nalano rtęci o gęstości

ߜ

ଵ

=

13600

௞௚

௠

య

, a następnie nafty o gęstości

ߜ

ଶ

= 800

௞௚

௠

య

, przy czym wysokość słupka nafty wynosiła

ℎ

ଶ

= 10

ܿ݉. Jaka

będzie wysokość

ℎ

ଷ

słupka wody, o gęstości

ߜ

ଷ

= 1000

௞௚

௠

య

, którą trzeba dolać do drugiego z ramion, aby poziomy

górne były na tej samej wysokości?

Odp.

ℎ

ଷ

= 10,2

ܿ݉