1

Wzory Freneta[5, 4, 3, 1, 2]

Rozpatrzmy krzywą daną przez wektor położenia −

→

r

(t). Niech droga wzdłuż

krzywej będzie oznaczana przez parametr s. Wówczas długość wektora pręd-
kości wynosi v =

ds

dt

. Różniczkując wektor położenia jako funkcję złożoną

−

→

r

(s(t)) po czasie t otrzymujemy

d−

→

r

dt

=

d−

→

r

ds

ds

dt

= v

−

→

T ,

(1)

gdzie

−

→

T

jest jednostkowym wektorem stycznym do toru.

Jako sprawdzenie mamy, że elementarna zmiana długości ds jest równa

długości prędkości

d

−

→

r

dt

pomnożonej przez elementarną zmianę czasu dt, czyli

ds

=

v
u
u
t







d−

→

r

dt







2

dt,

(2)

więc rzeczywiście długość wektora prędkości to







d−

→

r

dt







=

ds

dt

.

(3)

Aby otrzymać przyśpieszenie musimy zróżniczkować prędkość po czasie,

co daje

d

2

−

→

r

dt

2

=

d

−

→

T

ds

v

2

+

−

→

T

dv

dt

.

(4)

Jeżeli teraz zapiszemy wektor

d

−

→

T

ds

w postaci pewnego wektora jednostkowego

−

→

N

pomnożonego przez jego długość κ otrzymamy

d

2

−

→

r

dt

2

=

−

→

N κv

2

+

−

→

T

dv

dt

.

(5)

Kierunek wektora

−

→

N

=

d

−

→

T

ds

znajdziemy z warunku unormowania

−

→

T

−

→

T

= 1.

Różniczkując ten warunek dostaniemy

d

−

→

T

ds

−

→

T

=

−

→

N

−

→

T

= 0. Zatem wektor

−

→

N

jest prostopadły do wektora stycznego do toru

−

→

T

.

Współczynnik (funkcja) κ nazywany jest krzywizną danej krzywej. Dla

przykładu, dla ruchu po okręgu κ =

1

R

, gdzie R jest promieniem okręgu.

W ogólnym przypadku krzywizna mówi jak bardzo zmienia się zakrzywienie
krzywej, gdy poruszamy się wzdłuż niej.

Wzór (5) jest sumą dwóch członów. Pierwszy jest przyśpieszeniem do-

środkowym, gdyż ma kierunek prostopadły do prędkości ( kierunek

−

→

N

), a

1

wartość jest określona przez kwadrat prędkości i krzywiznę. Drugi człon jest
styczny do toru ( kierunek wektora stycznego

−

→

T

) i ma wartość równą wartość

przyspieszenia stycznego - człon ten jest właśnie przyspieszeniem stycznym.

W ten sposób został określony zestaw dwóch prostopadłych wektorów

{

−

→

T ,

−

→

N

} wzdłuż krzywej. Dla krzywej na płaszczyźnie te dwa wektory wy-

starczą, natomiast gdy krzywa jest trójwymiarowa, wówczas trzeba dodać
trzeci wektor, który jest iloczynem wektorowym wspomnianych wektorów.

2

Krzywa przejściowa

Przy projektowaniu zakrętów drogowych i kolejowych należy rozwiązać na-
stępujące zagadnienie. Niech samochód/pociąg wchodzi w zakręt ze stałą
prędkością. W jaki sposób ukształtować przejście od prostego odcinka drogi
do jej kołowego elementu (przyspieszenie dośrodkowe ma stałą wartość), aby
to przyśpieszenie narastało w sposób łagodny od zera do wartości maksymal-
nej - zobacz rysunek 1. W przeciwnym wypadku, gdy wartość przyśpieszenia
dośrodkowego zmienia się nagle, możemy ryzykować uszkodzenie samocho-
du/pociągu lub nawet jego wywrócenie/wykolejenie. Wiemy, że przyśpiesze-
nie dośrodkowe ma wartość równą κv

2

. Ponieważ prędkość jest cechą pojazdu

i nie mamy wpływu na nią, więc mamy wpływ jedynie na krzywiznę κ toru,
czyli na profil krzywej przejściowej.

Aby odpowiedzieć na to pytanie rozważmy krzywą postaci:

−

→

r

(θ(t)) =

Z

t

0

cos

(θ(u))du,

Z

t

0

sin

(θ(u))du



,

(6)

gdzie kąt funkcji trygonometrycznych jest dany przez całkę z krzywizny

θ

(t) =

Z

t

0

κ

(u)du.

(7)

Obliczając prędkość wzdłuż tej krzywej otrzymujemy

d−

→

r

dt

= [cos(θ(t)), sin(θ(t))] .

(8)

Długość wektora prędkości jest równa jeden, czyli

d

−

→

r

dt

=

−

→

T

. Zatem przyśpie-

szenie styczne wynosi zero. Różniczkując prędkość względem czasu otrzymu-
jemy przyśpieszenie (dośrodkowe) postaci

d

2

−

→

r

dt

2

=

dθ

dt

[−sin(θ(t)), cos(θ(t))] .

(9)

2

Rysunek 1: Krzywa przejściowa łączy odcinek prostoliniowy drogi z jej od-
cinkiem okręgu, w taki sposób aby przyśpieszenie dośrodkowe wzrastało od
wartości zerowej do maksymalnej w sposób łagodny.

To przyśpieszenie powinno być równe również pierwszemu członowi wzoru
(5), gdyż nie ma członu z przyśpieszeniem stycznym (prędkość jest stała,
równa jeden). Ze względu na to, że wektor [−sin(θ(t)), cos(θ(t))] jest jed-
nostkowy, więc jest on właśnie wektorem jednostkowym

−

→

N

ze wzoru (5).

Dodatkowo prędkość v = 1, więc zachodzi

dθ

dt

= κ,

(10)

co się zgadza ze wzorem (7).

Z tych obliczeń wynika, że jeżeli chcemy skonstruować krzywą o zadanej

krzywiźnie κ to możemy ją obliczyć ze wzoru (6).

Wróćmy teraz do konstrukcji toru o krzywiźnie, która rośnie wraz z dro-

gą przebytą wzdłuż tej krzywej. Wówczas przyśpieszenie dośrodkowe będzie
również rosło w ten sposób - pierwszy człon wzoru (5). Powiedzmy, że krzy-
wizna rośnie liniowo z długością przebytej drogi

κ

(s) = 2s.

Wówczas wzór (7) daje zależność kątową

θ

(t) =

Z

t

0

2udu = t

2

.

3

Wzór (6) daje w tym przypadku

−

→

r

(θ(t)) =

Z

t

0

cos

(u

2

)du,

Z

t

0

sin

(u

2

)du



.

Krzywa ta nazywa się spiralą Eulera lub spiralą Cornu ( klotoidą ) - ry-
sunek 2. Jako krzywą przejściową należy wykorzystać odpowiedni fragment
tej spirali ( o odpowiedniej długości ) aby interpolowała pomiędzy zerowym
przyśpieszeniem dośrodkowym, a jego stałą wartością na wynikowym łuku
okręgu.

Jako krzywą przejściową stosuje się również inne krzywe, jak parabolę

sześcienną postaci y = ax

3

, jednak wówczas promień krzywizny rośnie szyb-

ciej niż liniowo. Krzywe te maja przewagę nad spiralą Cornu, gdyż są dane w
sposób ścisły (bez potrzeby obliczania całek). Jednak jedynie spirala Cornu
umożliwia liniowy wzrost krzywizny zakrętu od długości przebytej drogi, a
przez to liniowy wzrost przyspieszenia stycznego.

Wszelkie zauważone błędy proszę mi zgłaszać !

Literatura

[1] Edmund Karaśkiewicz „Zarys teorii wektorów i tensorów”, PWN

[2] John Oprea „Geometria różniczkowa i jej zastosowania”, PWN

[3] Abraham Goetz „Geometria różniczkowa”, PWN

[4] Jacek Gancarzewicz „Geometria różniczkowa”, PWN, Script

[5] Harley Flandes „Teoria form różniczkowych”, PWN (1969)

4

Rysunek 2: Spirala Cornu o parametryzacji x(t) =

R

t

0

cos

(u

2

)du, y(t) =

R

t

0

sin

(u

2

)du. Kropką zaznaczono początek układu współrzędnych. Jest to

również punkt z którym należy zszyć prostoliniowy odcinek drogi. Punkt z
którym należy zszyć okrąg należy wybrać tak, aby krzywizna spirali Cornu
była równa krzywiźnie okręgu ( ich przyśpieszenia dośrodkowe będą wówczas
takie same ). Podobnie należy podstępować w druga stronę - przy przejściu
od łuku okręgu do odcinka prostoliniowego.

5