Przykład 2: Oblicz odsetki składane od kapitału początkowego 1000 zł za

dwuletni czas oprocentowania przy stopie nominalnej 24% i kapitalizacji:

a) rocznej k=1, b) półrocznej k=2, c) kwartalnej k=4, d) miesięcznej k=12.

a)

6

,

1537

)

24

,

0

(1

1000

)

r

(1

P

r)

(1

P

F

2

n

1

n

=

+

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

b)

52

,

1573

)

(1

1000

)

(1

P

)

i

(1

P

F

2

2

2

24

,

0

2

n

2

r

m

2

2

=

+

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

⋅

c)

85

,

1593

)

(1

1000

)

(1

P

)

i

(1

P

F

4

2

4

24

,

0

4

n

4

r

m

4

4

=

+

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

⋅

d)

44

,

1608

)

(1

1000

)

(1

P

)

i

(1

P

F

12

2

12

24

,

0

12

n

12

r

m

12

12

=

+

⋅

=

+

⋅

=

+

⋅

=

⋅

⋅

Przykład 3: Oblicz największą i najmniejszą wartość odsetek wygenerowanych

w ciągu dwóch lat przez kapitał 1000 zł przy stopie nominalnej 24%.

07

,

1616

e

1000

e

P

F

2

0,24

n

r

c

=

⋅

=

⋅

=

⋅

⋅

,

I

max

=616,07

1480

)

2

24

,

0

1

(

1000

)

n

r

1

(

P

F

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

,

I

min

=480

Przykład 4: Oblicz i zinterpretuj stopę efektywną, jeśli

%

24

r

k

=

, a odsetki s

ą

kapitalizowane a) raz w roku, b) co pół roku, c) co kwartał, d) co miesi

ą

c, e) w

sposób ci

ą

gły.

(

)

k

k

k

k

k

k

k

0,24

1

k

r

1

i

1

ρ













+

=













+

=

+

=

,

0,24

r

c

e

e

ρ

c

=

=

,

1

ρ

r

k

ef

−

=

Kapitalizacja

k

k

ρ

ef

r

roczna

1

1,2400

24%

półroczna

2

1,2544

25,44%

kwartalna

4

1,2625

26,25%

miesi

ę

czna

12

1,2682

26,82%

ci

ą

gła

→∞

1,2712

27,12%

2

Przykład 5: Na trzyletniej lokacie odsetki składane s

ą

obliczane przy stopie

nominalnej równej 24% i kapitalizacji rocznej w roku pierwszym, półrocznej w

roku drugim, ci

ą

głej w roku trzecim. Oblicz warto

ść

kapitału na koniec

kolejnych lat oraz trzyletnie odsetki od 1000 zł.

Rok I:

1,24

ρ

1

=

,

1240

24

,

1

1000

ρ

P

F

1

1

=

⋅

=

⋅

=

Rok II:

1,2544

ρ

2

=

,

46

,

1555

2544

,

1

1240

ρ

F

F

2

1

2

=

⋅

=

⋅

=

Rok III:

2712

,

1

ρ

c

=

,

F

37

,

1977

2712

,

1

46

,

1555

ρ

F

F

c

2

3

=

=

⋅

=

⋅

=

I = F – P = 1977,3 7 – 1000 = 977,37

Przykład 6: Bez obliczeń spróbuj określić, które warunki oprocentowania

składanego: a) r=18%, k=1, b)

%

5

i

4

=

, k=4, c) r

c

=19% są/nie są równoważne?

a)

r

1

=18%, k=1,

b)

r

4

=4

⋅

5%=20%, k=4,

c)

r

c

=19%, k

→∞

a) i b)

4

k

1

k

b

a

=

<

=

,

%

20

r

18%

r

4

1

=

<

=

kapitał rośnie szybciej w b

⇒

nierównoważność

4

?

1

ρ

ρ

<

,

4

4

?

)

i

(1

r

1

+

<

+

,

22

,

1

1,05

1,18

4

=

<

,

%

22

r

%

18

r

b

ef,

a

ef,

=

<

=

a) i c)

∞

→

<

=

c

a

k

1

k

,

%

19

r

18%

r

c

1

=

<

=

kapitał rośnie szybciej w c

⇒

nierównoważność

c

?

1

ρ

ρ

<

,

c

r

?

e

r

1

<

+

,

21

,

1

e

1,18

0,19

=

<

,

21%

r

18%

r

c

ef,

a

ef,

=

<

=

3

b) i c)

∞

→

<

=

c

b

k

4

k

,

%

19

r

%

20

r

c

4

=

>

=

nie można rozstrzygnąć bez warunku równoważności

c

?

4

ρ

ρ

=

,

c

r

?

4

4

e

)

i

(1

=

+

,

21

,

1

e

22

,

1

1,05

0,19

4

=

>

=

,

%

21

r

22%

r

c

ef,

b

ef,

=

>

=

Przykład 7: Na lokacie bankowej odsetki są obliczane według stopy

%

5

,

2

i

2

=

z

kapitalizacją półroczną. Saldo na lokacie wynosi 1000 zł. Oblicz przyszłą

wartość tego kapitału po upływie 2,25 roku, jeśli za czas krótszy od okresu

kapitalizacji oblicza się procent prosty.

P=1000 zł,

%

5

,

2

i

2

=

, k=2, m=n

⋅

k=2,25·2=4,5

∉

N

Czas oprocentowania m=4,5 dzielimy na dwa podokresy

4

m

1

=

i

5

,

0

m

2

=

.

Za czas

1

m obliczamy odsetki składane

1

1

m

k

m

)

i

(1

P

F

+

⋅

=

,

1103,81

)

025

,

0

(1

1000

F

4

4

=

+

⋅

=

Za czas

2

m obliczamy odsetki proste od kapitału

1

m

F

)

m

i

(1

F

F

2

k

m

1

⋅

+

⋅

=

,

1117,61

)

5

,

0

025

,

0

(1

81

,

1103

)

m

i

(1

F

F

2

2

4

=

⋅

+

⋅

=

⋅

+

⋅

=

Praca domowa

: zadania 3.1 – 3.2, 3.6 – 3.15, 3.25