1

MATEMATYKA FINANSOWA

W

YKŁAD

2

Z DNIA 10.03.2012

( ) ( )

̃( ) ̃( ) ( )

(

)

( )

Zadanie 1
Oblicz zakumulowaną wartość 200zł po 5 latach gdy i

(2)

= 4%.

( ) (

( )

)

(

)

( )

Przypadek szczególny:

Oblicz zakumulowaną wartość na dzień 10.03.2012 jeśli 1000zł wpłacono 01.02.2005 roku
jeśli i

(4)

=0,06.

7 lat

1000zł

? zł

01.02.2005

01.02.2012

10.03.2012

(32) (69)

( ) (

)

(

)

d

(m)

roczna stopa dyskontowa, lecz m – razy złożona w ciągu roku.

(

) (

( )

)

( )

[ ( )

]

Zadanie 2

a) Oblicz d

(2)

gdy d=0,04

( )

[ ( )

] =

b) Oblicz d gdy d

(12)

=0,06

(

)

( )

c) Oblicz d

(6)

gdy d

(2)

=0,04

{

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

(

( )

)

(

)

(

( )

)

( )

(

( )

)

√

√( )

( )

[ √( )

]

( )

2

Wartość obecna (PV)

Czynniki dyskontujące

̃ ( )

̃( )

(

)

Zadanie 3

Jaką wartość ma dzisiaj kwota 100zł którą będziemy dysponować 10.03.2020 roku jeśli i=4%.

? 1000 zł

10.03.2012

10.03.2020

( )

Zadanie 4
Oblicz obecną wartość 500zł należnych za 4 lata od dziś gdy d=0,06.

PV = 500(1-0,06)

4

= 500(0,94)

4

=

Zadanie 5
Oblicz obecną wartość 1500zł należnych za 4 lata od dziś gdy i

(2)

=6%.

(

( )

)

(

)

( )

Zadanie 6
Oblicz obecną wartość 800 zł należnych za 5 lat od dziś gdy d

(2)=

0,04.

(

( )

)

(

)

( )

( )

Zadanie 7
Oblicz zakumulowaną wartość 400zł po 6 latach gdy d=0,03.

( ) ( )

( )

(

)

Zadanie 8
Oblicz zakumulowana wartość 1400zł po 6 latach gdy d

(2)

=0,03.

( ) (

( )

)

(

)

(

)

3

Ciągła stopa procentowa

( )

( )

( )

( )

( )

∫

∫

( )

( )

∫

( )

(

)

|

(

)

(

)

( )

∫

( ) ( )

Zadanie 9
Oblicz

gdy i=0,04

ln(1+0,04)=

Zadanie 10
Oblicz

gdy i

(2)

=6%.

(

( )

)

(

)

( )

( )

Zadanie 11
Oblicz

gdy d=0,045

= ln(1+i)

= ln(1-0,045)

-1

Zadanie 12
Oblicz

gdy d

(4)

=0,045

= ln(

( )

)

(

)

Zadanie 13
Oblicz zakumulowaną wartość 1000zł po 7,3755 lat gdy

= 2%.

( )

Podsumowanie

Zakumulowana wartość a(t)

Czynniki akumulujące

Wartość obecna PV

Czynniki dyskontujące

i

( )

( )

d

( )

( )

i

(m)

(

( )

)

(

( )

)

d(

m)

(

( )

)

(

( )

)

Oprocentowanie proste

( )

( )

Dyskonto proste

( )

( )

4

Renta – ciągi płatności

1. Zakumulowana wartość – ile na koncie, gdy będę wpłacał systematycznie, w

ustalonym czasie

a) płacimy z góry (z początku)

R

1

R

2

R

3

R

R

R

1

2

3

n-2

n-1

n

̈ ( ) ( )

( )

[( )

( )

( )

] [

( )[( )

]

( )

] [

( )

]

[

( )

]

czynnik akumulujący w rencie płatnej z góry

̈

̈

[

( )

]

Zadanie 14
Oblicz zakumulowaną wartość renty 15-letniej o płatnościach 800zł co roku z góry gdy
i=0,06.

̈

̈

[

( )

]

𝑅 ( 𝑖)

𝑛

𝑅 ( 𝑖)

𝑅 ( 𝑖)

5

b) płacimy z dołu (z końca – miesiąca, roku)

i = roczna
stopa
procentowa

R

1

R

2

R

3

R

R

R

1

2

3

n-2

n-1

n

n lata

(

)

( )

( )

[

( )

]

czynnik akumulujący w rencie płatnej z dołu

( ) ( )

( )

( )

∑ [ ( )

( )

( )

]

S = R zakumulowana wartość n-letniej renty o płatnościach R – stałych płatnych z dołu
przy rocznej stopie procentowej.

[

( )

]

Zadanie 15
Oblicz zakumulowaną wartość renty 10-letniej o płatnościach po 500zł co roku z dołu, gdy
i=0,04.

[

( )

]

𝑅 ( 𝑖)

𝑛

𝑅 ( 𝑖)

𝑅 ( 𝑖)

𝑅 ( 𝑖)

6

2. Wartość obecna – jaka jest obecna wartość płatności, które będą wypłacone w

przyszłości.

a) z dołu

RV

n

RV

3

RV

2

RV

n

n

n

n

n

1

2

3

n-1

n

[

]

[

( )

] [

]

[

]

[

] [

(

)

]

b) z góry

̈

̈

[

] [

(

)

]

Zadanie 16
Oblicz obecną wartość renty 10-letniej o płatnościach po 2000zł co roku z góry gdy i=0,05

.

̈

̈

[

(

)

] [

(

)

]

𝑉

𝑖

𝑆 𝑎

[

𝑞

𝑛

𝑞

]

0<V<1