Uwaga: tekst jest wiern ¾

a kopi ¾

a, z uwzgl ¾

ednieniem

erraty

, stron 68–80 ze skryptu

PK ’Ustroje powierzchniowe’autorstwa Marii Radwa´nskiej i Zenona Waszczyszyna

3.10. METODA ENERGETYCZNA (RITZA)

Metoda ta opiera si ¾

e na tzw. zasadzie minimum energii potencjalnej ustroju, która

mówi: spo´sród kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszcze´n (spe÷

niaj ¾

acych

kinematyczne warunki brzegowe) rozwi ¾

azaniem spe÷

niaj ¾

acym warunki równowagi

ustroju b ¾

edzie pole przemieszcze´n, dla którego energia potencjalna

osi ¾

aga min-

imum. Warunkiem koniecznym minimum funkcjona÷

u energii jest zerowanie si ¾

e

jego pierwszej wariacji:

= 0:

(3.24)

Wykorzystanie praktyczne zasady minimum energii poka·

zemy w odniesieniu do

zginania p÷

yt, dla których polu przemieszcze´n odpowiada funkcja ugi ¾

ecia w(x; y):

Rozwi ¾

azania przybli·

zonego poszukujemy w postaci:

e

w(x; y) =

N

X

i=1

w

i

i

(x; y);

(3.25)

gdzie w

i

s ¾

a wspó÷

czynnikami, a

i

(x; y)

znanymi funkcjami, spe÷

niaj ¾

acymi kine-

matyczne warunki brzegowe. W odniesieniu do tych funkcji przyjmujemy ponadto,

·

ze s ¾

a one liniowo niezale·

zne, a wi ¾

ec rozwi ¾

azaniem (3.24) b ¾

edzie liniowa kombinacja

funkcji

i

.

Warunek (3.24) piszemy w postaci

=

X

i

@

@w

i

w

i

= 0;

gdzie wariacje w

i

wynikaj ¾

a z wirtualnego przemieszczenia:

e

w =

X

i

w

i

i

(x; y):

1

Warunek

= 0

ma by´c spe÷

niony dla dowolnej wariacji w

i

, a wi ¾

ec zamiast

(3.24) mo·

zemy rozpatrywa´c równowa·

zny uk÷

ad równa´n:

@

@w

i

= 0

dla

i = 1; : : : ;

N

(3.24a)

Je´sli do funkcjona÷

u energii (2.57) podstawimy funkcj ¾

e

e

w(x; y)

, to energia

spr ¾

e·

zysta (2.61) b ¾

edzie form ¾

a kwadratow ¾

a, a praca obci ¾

a·

ze´n powierzchniowych

form ¾

a liniow ¾

a wzgl ¾

edem wspó÷

czynników w

i

:

=

D

2

ZZ

A

8

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

:

P

j

w

j

r

2

j

!

2

2 (1

)

2

4

P

j

w

j

j

;xx

!

P

j

w

j

j;yy

!

P

j

w

j

j

;xy

!

2

3

5

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

;

dxdy

X

j

w

j

ZZ

A

p

j

dxdy:

Po zró·

zniczkowaniu wzgl ¾

edem kolejnych wspó÷

czynników w

i

mo·

zemy napisa´c

(3.24a) w postaci uk÷

adu równa´n liniowych:

N

X

j=1

a

ij

w

j

= b

i

dla

i = 1; : : : ; N ;

(3.26)

gdzie wspó÷

czynniki a

ij

i b

i

wynosz ¾

a:

a

ij

= D

RR

A

r

2

i

r

2

j

(1

) (

i;xx

j;yy

+

j;xx

i;yy

2

i;xy

j;xy

) dxdy;

b

i

=

RR

A

p(x; y)

i

dxdy:

(3.27)

Tak samo wyprowadzamy wzory dla uk÷

adu wspó÷

rz ¾

ednych biegunowych. Tutaj

2

przytaczamy je tylko dla przypadku ko÷

owej symetrii:

a

ij

= D

a

R

b

i;rr

+

1
r

i;r

j;rr

+

1
r

j;r

(1

)

1

r

(

i;rr

j;r

+

j;rr

i;r

) r dr;

b

i

=

a

R

b

p(r)

i

r dr:

(3.27a)

Opisana metoda jest przybli·

zona. Jej dok÷

adno´s´c zale·

zy od doboru funkcji

dopuszczalnych

i

(x; y)

. W zale·

zno´sci od warunków podparcia funkcjami do-

puszczalnymi mog ¾

a by´c funkcje trygonometryczne, wielomiany lub funkcje odpowiada-

j ¾

ace postaciom wyboczenia albo drga´n w÷

asnych. w ustrojach powierzchniowych

najcz ¾

e´sciej przyjmuje si ¾

e funkcje z rozdzielonymi zmiennymi:

i

(x; y) =

X

k(i)

X

m(i)

X

k

(x)Y

m

(y):

(3.28)

Przyk÷

adowo funkcjami

i

mog ¾

a by´c nast ¾

epuj ¾

ace kombinacje X

k

i Y

m

:

1

= X

1

Y

1

;

2

= X

1

Y

2

+ X

2

Y

1

;

3

= X

2

Y

2

; : : :

(3.28a)

Przyk÷

ad 3.7.

P÷

yta przegubowo podparta obci ¾

a·

zona równomiernie

(rys. 3.15)

Zajmiemy si ¾

e prostymi, jednowymiarowymi funkcjami dopuszczal-

3

nymi. Zaczynamy od funkcji trygonometrycznej:

1

= sin

x

a

sin

y

b

:

(3.29)

Funkcja ta spe÷

nia warunki brzegowe, tak kinematyczne, jak te·

z statyczne.

Przy liczeniu wspó÷

czynnika a

11

pod ca÷

k ¾

a wzoru (3.27)

1

pomijamy cz÷

on z

mno·

znikiem (1

)

zgodnie z p. (2:

8

:2)

a

11

=

4

D

1

a

2

+

1

b

2

2

Z

a

0

Z

b

0

sin

2

x

a

sin

2

y

b

dxdy =

4

D

ab

4

1

a

2

+

1

b

2

2

;

b

1

= p

0

Z

a

0

Z

b

0

sin

x

a

sin

y

b

dxdy =

4

2

p

0

ab :

Na ich podstawie wspó÷

czynnik w

1

:

w

1

=

b

1

a

11

=

16

6

1 +

a

2

b

2

2

p

0

a

4

D

:

(3.30)

Wracaj ¾

ac do funkcji (3.29), otrzymujemy funkcj ¾

e ugi ¾

ecia:

e

w = w

1

1

= w

1

sin

x

a

sin

y

b

:

Rozwi ¾

azanie (3.30) odpowiada pierwszemu szeregowi z przyk÷

adu 3.4. Maksy-

malne ugi ¾

ecie jest okre´slone wspó÷

czynnikiem w

1

. Dla p÷

yty kwadratowej otrzy-

mujemy:

w

1

=

b

1

a

11

=

4

6

p

0

a

4

D

= 0:00416

p

0

a

4

D

= 1:025 w

sc

;

(3.31)

gdzie w

sc

= 0:00406

p

0

a

4

D

, zgodnie z tabl. 3.1.

Funkcja dopuszczalna musi by´c co najmniej dwukrotnie ró·

zniczkowalna i powinna

spe÷

nia´c kinematyczne warunki brzegowe. Tak ¾

a funkcj ¾

a mo·

ze by´c:

1

= 1

2

1

2

;

(3.32)

4

gdzie ,

s ¾

a bezwymiarowymi wspó÷

rz ¾

ednymi dla uk÷

adu zaczepionego w ´srodku

p÷

yty:

=

2x

a

;

=

2y

b

dla

;

2 [ 1; 1] :

(3.33)

Dla p÷

yty kwadratowej maksymalne ugi ¾

ecie wynosi:

w

1

=

5

1408

p

0

a

4

D

= 0:00355

p

0

a

4

D

= 0:874 w

sc

;

a wi ¾

ec b÷¾

ad rozwi ¾

azania wynosi 12.6%, w porównaniu z 2.5% b÷¾

edu dla funkcji

dopuszczalnej (3.29).

Inn ¾

a mo·

zliwo´sci ¾

a doboru funkcji dopuszczalnych jest przyj ¾

ecie X

1

( ); Y

1

( )

jako linii ugi ¾

ecia belki wolnopodpartej:

1

=

1

6
5

2

+

1
5

4

1

6
5

2

+

1
5

4

:

(3.34)

Dla p÷

yty kwadratowej otrzymujemy:

w

1

= 0:00393

p

0

a

4

D

= 0:968 w

sc

;

a wie b÷¾

ad wynosi 3.2%.

Przytoczone rozwi ¾

azania wskazuj ¾

a na znaczne zwi ¾

ekszenie dok÷

adno´sci przy

spe÷

nieniu wszystkich warunków brzegowych (nie tylko kinematycznych) przez

funkcje dopuszczalne. Funkcja (3.32) pomimo do´s´c dobrej warto´sci ugi ¾

ecia b ¾

edzie

ponadto dawa÷

a b÷¾

edne warto´sci momentów i si÷poprzecznych.

Przyk÷

ad 3.8.

P÷

yta ko÷

owa na pod÷

o·

zu spr ¾

e·

zystym typu Winklera

(rys. 3.16).

Ca÷

kowita energia potencjalna sk÷

ada si ¾

e z energii spr ¾

e·

zystej zgi-

nania U

m

oraz pracy obci ¾

a·

ze´n W

p

i odporu pod÷

o·

za W

w

:

= U

m

+ W

p

+ W

w

;

5

gdzie poszczególne cz÷

ony wynosz ¾

a:

U

m

=

D

2

2

R

0

a

R

0

h

w

;rr

+

1
r

w

;r

2

2
r

(1

) w

;rr

w

;r

i

r drd ;

W

p

=

P w(0) ;

W

w

=

2

R

0

a

R

0

1
2

( kw) w r drd :

Jako funkcj ¾

e dopuszczaln ¾

a przyjmujemy cz ¾

e´s´c ca÷

ki ogólnej (3.6)

1

:

w = w

1

+ w

2

r

2

;

(3.35)

a wi ¾

ec st ¾

ad wynika:

1

= 1 ;

2

= r

2

;

w(0) = w

1

:

Do obliczenia ca÷

ki energii spr ¾

e·

zystej potrzebujemy pochodne:

w

;r

= 2w

2

r ;

w

;rr

= 2w

2

;

co prowadzi do zwi ¾

azku mi ¾

edzy energi ¾

a potencjaln ¾

a i parametrami w

1

; w

2

:

= 2

8

<

:

D

2

a

Z

0

(2w

2

+ 2w

2

)

2

2
r

(1

) 2w

2

2w

2

r r dr +

a

Z

0

1
2

k w

1

+ w

2

r

2 2

r dr

9

=

;

P w

1

:

Warunek zerowania si ¾

e pierwszej wariacji energii potencjalnej prowadzi do rów-

6

na´n (3.24a):

1

2

@

@w

1

k

a

R

0

(w

1

+ w

2

r

2

) r dr

P

2

= 0 ;

1

2

@

@w

2

D

a

R

0

8

(1 + ) w

2

r dr + k

a

R

0

(w

1

r

2

+ w

2

r

4

) r dr = 0 ;

które po obliczeniu ca÷

ek mo·

zemy przekszta÷

ci´c do postaci:

w

1

+

a

2

2

w

2

=

P

a

2

k

;

w

1

+

2
3

+ 16 (1 + )

D

ka

4

a

2

w

2

= 0 :

Rozwi ¾

azanie mo·

zemy wi ¾

ec przedstawi´c w postaci:

w

1

=

4 + 96 (1 + ) c
1 + 96 (1 + ) c

pa ;

w

2

=

6

1 + 96 (1 + ) c

p

a

;

(3.36)

gdzie pos÷

u·

zono si ¾

e bezwymiarowymi wielko´sciami:

c =

D

ka

4

;

p =

P

ka

3

:

W [15] na str. 245 jest podane rozwi ¾

azanie ´scis÷

e:

w

max

= 4:30 10

2

cm = w

sc

dla danych:

a = 5

cm ;

c = 1 ;

= 0:3 ;

p = 8:16 10

3

:

Po podstawieniu tych danych do (3.36) otrzymujemy:

w

1

= 4: 18

10

2

cm = 0:97 w

sc

;

7

a wi ¾

ec b÷¾

ad wynosi 3% pomimo, ·

ze funkcja (3.35) nie spe÷

nia wszystkich warunków

brzegowych.

Nale·

zy doda´c, ·

ze przyj ¾

eta funkcja (3.35) nie jest wystarczaj ¾

aca do obliczania

rozk÷

adu momentów zginaj ¾

acych, zw÷

aszcza w otoczeniu przy÷

o·

zonej si÷

y skupionej.

Aby otrzyma´c dobre przybli·

zenie, nale·

za÷

oby uwzgl ¾

edni´c co najmniej cz÷

on

3

=

r

2

ln r:

3.11. METODA ORTOGONALIZACYJNA (BUBNOWA-GALERKINA)

Równanie ró·

zniczkowe p÷

yty mo·

zemy napisa´c w skróconej postaci

r

2

r

2

w

p

D

L (w; p) = 0:

(3.37)

Przybli·

zone rozwi ¾

azanie przyjmujemy w takiej samej postaci jak w metodzie Ritza:

e

w =

N

X

i=1

w

i

i

(x; y):

(3.38)

Funkcje bazowe

i

(x; y)

maj ¾

a by´c liniowo niezale·

zne i powinny spe÷

nia´c warunki

brzegowe zadania.

Poniewa·

z

e

w

jest rozwi ¾

azaniem przybli·

zonym, to po podstawieniu tej funkcji do

równania (3.37) powstanie funkcja b÷¾

edu:

L (

e

w; p) = R (x; y) :

W metodzie Bubnowa-Galerkina b÷¾

ad b ¾

edzie minimalny, je´sli wspó÷

czynniki w

i

rozwi ¾

azania (3.38) obliczymy z warunków ortogonalno´sci funkcji R (x; y) i funkcji

bazowych

i

(x; y) :

ZZ

A

L

N

X

j=1

w

i

i

; p

!

i

dA = 0

dla

i = 1; : : : ;

N

:

(3.39)

8

Po uwzgl ¾

ednieniu (3.37) dochodzimy do nast ¾

epuj ¾

acego uk÷

adu równa´n liniowych:

N

X

j=1

0

@

ZZ

A

r

2

r

2

j

i

dxdy

1

A w

j

=

ZZ

A

p

D

i

dxdy;

który mo·

zna napisa´c w postaci skróconej:

N

X

j=1

a

ij

w

j

= b

i

dla

i = 1; : : : ;

N

;

(3.40)

gdzie wspó÷

czynniki a

ij

i b

i

wynosz ¾

a:

a

ij

=

RR

A

r

2

r

2

j

i

dA;

b

i

=

RR

A

p

D

i

dA:

(3.41)

Wzory (3.41) s ¾

a wa·

zne dla ró·

znych uk÷

adów wspó÷

rz ¾

ednych.

Metoda ortogonalizacji jest ogólniejsza od metody energetycznej. Mo·

zna j ¾

a

stosowa´c bez budowania funkcjona÷

u energii p otencjalnej. Z tego powodu metoda

ortogonalizacji jest u·

zywana w analizie ró·

znych zagadnie´n, gdzie mo·

zna wyprowadzi´c

równanie ró·

zniczkowe (lub uk÷

ady równa´n) bez uciekania si ¾

e do odpowiednich

funkcjona÷

ów. Przyk÷

adem mo·

ze by´c analiza zginania p÷

yt niespr ¾

e·

zystych.

W metodzie energetycznej pos÷

ugujemy si ¾

e funkcjami kinematycznie dopuszczal-

nymi

i

2 C

2

, a wi ¾

ec dwukrotnie ró·

zniczkowalnymi. W podanej metodzie ortog-

onalizacji musimy przyjmowa´c funkcje bazowe

i

2 C

4

:

Dok÷

adniej omówimy metod ¾

e Ritza i Bubnowa-Galerkina w dodatku D.3. Wykazano

tam, ·

ze pomijanie cz÷

onów brzegowych w energii potencjalnej

lub ca÷

ce b÷¾

edu R

prowadzi do równowa·

zno´sci obydwu metod w przypadku kinematycznych warunków

brzegowych p÷

yty.

Przyk÷

ad 3.9 P÷

yta utwierdzona obci ¾

a·

zona równomiernie (rys. 3.17).

Dla wspó÷

rz ¾

ednych bezwymiarowych (3.33) przyjmujemy funkcje bazowe (3.28), a

9

wi ¾

ec:

1

= X

1

Y

1

;

2

= X

1

Y

2

+ X

2

Y

1

;

3

= X

2

Y

2

;

gdzie funkcje jednej zmiennej wynosz ¾

a:

X

1

=

2

1

2

;

X

2

=

2

X

1

;

Y

1

= (

2

1)

2

;

Y

2

=

2

Y

1

:

Funkcje te spe÷

niaj ¾

a warunki brzegowe:

X

k

( 1) = 0;

@X

k

@x

= 1

= 0;

Y

m

( 1) = 0;

@Y

m

@y

= 1

= 0:

Obliczymy 3 kolejne przybli·

zenia ugi ¾

ecia p÷

yty:

e

w

(n)

=

n

X

i=1

w

i

1

:

Wspó÷

czynniki a

ij

, b

i

obliczono dla p÷

yty kwadratowej w [15]. Prowadzi to do

10

nast ¾

epnego uk÷

adu równa´n liniowych:

106:997w

1

+ 19:4541w

2

+ 1:08078w

3

= 0:142222w

0

;

19:4541w

1

+ 43:8964w

2

+ 3:49168w

3

= 0:0406349w

0

;

1:08078w

1

+ 3:49168w

2

+ 0:094474w

3

= 0:00290245w

0

;

gdzie po prawej stronie wyst ¾

epuje wspó÷

czynnik w

0

= p

0

a

4

=D:

Kolejne przybli·

zenia

otrzymujemy przez rozwi ¾

azanie coraz wi ¾

ekszej liczby równa´n:

w

(1)

1

= 0:001329w

0

;

w

(2)

1

= 0:001268w

0

;

w

(2)

2

= 0:0003379w

0

;

w

(3)

1

= 0:001264w

0

;

w

(3)

2

= 0:0003343w

0

;

w

(3)

3

= 0:00003906w

0

:

Z postaci funkcji dopuszczalnych wynika, ·

ze w

(i)

1

odpowiada ugi ¾

eciu ´srodka

p÷

yty:

w

max

= w (0; 0) = w

(n)

1

:

Obliczone warto´sci mo·

zna porówna´c z rozwi ¾

azaniem otrzymanym podwójnymi

szeregami trygonometrycznymi. W [15], str.193 dla p÷

yty kwadratowej b=a = 1

podano rozwi ¾

azania, które mo·

zna uzna´c za ´scis÷

e:

w (0; 0) = 0:00126

p

0

a

4

D

= w

sc

;

sk ¾

ad wynika:

w

(1)

1

= 1:0548w

sc

:

Je´sli jako rozwi ¾

azanie przybli·

zone przyjmiemy:

e

w =

w

1

4

1 + cos

2 x

a

1 + cos

2 y

b

;

11

to otrzymujemy przybli·

zenie:

w

1

= 0:0012833

pa

4

D

= 1:0185w

sc

:

Otrzymane rozwi ¾

azanie dla

e

w

daje dobre wyniki równie·

z dla momentów zgi-

naj ¾

acych.

Dla p÷

yty kwadratowej i

= 0:3

otrzymano rozwi ¾

azanie (tabl.35, str.193 w

[15]):

m

x

(0; 0) = 0:0231p

0

a

2

;

m

x

a
2

; 0 =

0:0513p

0

a

2

:

Przyjmuj ¾

ac wspó÷

czynniki w

(i)

j

momenty zginaj ¾

ace wynosz ¾

a:

m

(1)
x

(0; 0) = 0:0276p

0

a

2

;

m

(3)
x

(0; 0) = 0:0228p

0

a

2

;

m

(1)
x

a
2

; 0 =

0:0425p

0

a

2

;

m

(3)
x

a
2

; 0 =

0:0512p

0

a

2

:

Przyk÷

ad 3.10. P÷

yta ko÷

owa na pod÷

o·

zu winklerowskim (rys. 3.18).

Do

oblicze´n metod ¾

a ortogonalizacji nie mo·

zna przyj ¾

a´c funkcji

e

w

w postaci wielomianu

drugiego stopnia (3.35). Do oblicze´n przyjmujemy ugi ¾

ecie w postaci:

e

w = w

1

+ w

2

r

2

+ w

3

r

4

+ w

4

r

6

:

12

Wspó÷

czynniki w

3

i w

4

obliczamy z warunków brzegowych:

m

r

(a)

D

d

2

e

w

dr

2

+

r

d

e

w

dr

r=a

= 0;

q

r

(a)

D

d

dr

d

2

e

w

dr

2

+

1
r

d

e

w

dr

r=a

= 0:

Z tych równa´n otrzymujemy:

w

3

=

3
4

(1 + )
(2 + )

w

2

a

2

;

w

4

=

1 +

6 (2 + )

w

2

a

4

;

co prowadzi do funkcji

e

w

w postaci:

e

w = w

1

+ w

2

r

2

1

3
4

(1 + )
(2 + )

r

2

a

2

+

1 +

6 (2 + )

r

4

a

4

:

Z warunków ortogonalno´sci obliczamy wspó÷

czynniki a

11

; a

12

; a

22

; b

1

; b

2

wed÷

ug wzorów (3.41). Dochodzimy w ten sposób do uk÷

adu równa´n:

w

1

+

a

2

2

1

5

12

w

2

= pa;

1

5

12

w

1

+

2
3

37
60

+

377

2520

2

+ 1

3
5

16 c a

2

w

2

= pa

2

h

1

2

+

4

6

2

i

;

gdzie pos÷

u·

zono si ¾

e oznaczeniami:

=

1 +
2 +

;

=

b

a

;

c =

D

ka

4

;

p =

qb

2

ka

3

=

P

ka

3

:

Dla danych jak w przyk÷

adzie 3.8, a wi ¾

ec dla

a = 5cm;

c = 1;

= 0;

= 0:3;

p = 8:16 10

3

otrzymujemy:

e

w (0) = w

1

= 4:28 10

2

cm = 0:995w

sc

;

e

w (a) = 3:93 10

2

cm = 1:005w

sc

:

Tak wi ¾

ec wida´c, ·

ze dla analizowanej p÷

yty b÷¾

edy w porównaniu z rozwi ¾

azaniem

13

´scis÷

ym (por. [15], str.246) wynosz ¾

a zaledwie 0.5%. W przyk÷

adzie 3.8, gdzie t ¾

e

sam ¾

a p÷

yt ¾

e analizowali´smy metod ¾

a Ritza, przyjmuj ¾

ac ugi ¾

ecie przybli·

zone (3.35),

b÷¾

ad wynosi÷3%.

Niewielkie ró·

znice mi ¾

edzy ugi ¾

eciami brzegu i ´srodka p÷

yty ´swiadcz ¾

a o do´s´c du·

zej

jej sztywno´sci. Je´sli przyjmiemy D ! 1; to w

2

= 0

i ugi ¾

ecie jest sta÷

e i wynosi

e

w = pa = 4:08 10

2

cm:

Na rys. 3.18 lini ¾

a przerywan ¾

a zaznaczono ugi ¾

ecie p÷

yty sztywnej.

14

Errata przyk÷

ad 3.8:

D

a

R

0

8 (1 + ) w

2

r dr+k

a

R

0

(w

1

r

2

+ w

2

r

4

) r dr =

1
4

ka

4

w

1

+

2
3

+ 16 (1 + )

D

ka

4

a

2

w

2

is true

15