1
Wybrane metody przybliżonego
wyznaczania rozwiązań (pierwiastków)
równań algebraicznych
w postaci f (x)
Wykład czwarty cd.
EiT, sem. 2, 2014/2015
2
Metoda siecznych
3
Metoda siecznych
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja
f jest ciągła na zadanym przedziale
b
a, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0
(1)
0
b
f
a
f
Należy znaleźć przedział
b
a,
Ustalić liczby ε, δ (większe od błędu zaokrąglenia
wynikającego ze skończonej precyzji zapisu liczb w komputerze)
4
Przebieg obliczeń
Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej) przechodzącej przez
punkty a, f (a) i b, f (b) z osią x
)
a
(
f
)
b
(
f
)
a
b
(
)
b
(
f
b
x
)
(
1
Sprawdzamy, czy
,
)
x
(
f
)
(
1
Jeżeli TAK, to
)
(
x
1
jest rozwiązaniem
*
x
x
)
(
1
Jeżeli NIE, to liczymy dalej, ale najpierw musimy określić, który z punktów
będzie stanowił punkt odniesienia - punkt wykreślania kolejnych siecznych
a
b
x
(1)
f(x)
x
5
Ustalenia
)
(
x
0
Jeżeli
b
x
to
b
f
x
f
)
0
(
)
1
(
0
)
(
)
(
Jeżeli NIE, to
a
x
)
(
0
Wyznaczamy punkt przecięcia prostej (siecznej) przechodzącej przez
punkty
)
x
(
f
,
x
),
x
(
f
,
x
)
(
)
(
)
(
)
(
1
1
0
0
z osią x
6
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
)
x
(
f
x
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
0
1
1
1
2
Sprawdzamy, czy
,
)
x
(
f
)
(
2
Jeżeli TAK, to
)
2
(
x
jest rozwiązaniem
*
)
2
(
x
x
Jeżeli NIE, to liczymy dalej zgodnie z zależnością
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
)
x
(
f
x
x
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
1
1
1
k = 2, 3, …,
a
b
x
(1)
x
(2)
f(x)
x
7
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
x
(0)
x
(2)
x
(3)
8
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy
)
x
(
f
)
k
(
1
Koniec obliczeń, gdy
)
x
(
f
)
k
(
1
wtedy
*
x
x
)
k
(
1
9
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
Ilustracja graficzna
x
(1)
10
Ilustracja graficzna
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
f (x
(1)
)
·f (b) < 0 x
(0)
= b
x
(0)
│f(x
(1)
)
│ < δ
TAK
koniec obliczeń x
(1)
= x
*
NIE
liczymy dalej
11
Ilustracja graficzna
f(x)
x
f(b)
f(a)
a
b
0
x
(1)
f (x
(1)
)
·f (b) < 0 x
(0)
= b
x
(0)
x
(2)
x
(3)
)
x
(
f
)
x
(
f
)
x
x
(
)
x
(
f
x
x
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
1
1
1
k = 2, 3, …,
)
a
(
f
)
b
(
f
)
a
b
(
)
b
(
f
b
x
)
(
1
Metoda stycznych
Metoda stycznych
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja
f jest ciągła na zadanym przedziale
b
a, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0
(1)
0
b
f
a
f
Należy znaleźć przedział
b
a,
Ustalić liczby ε, δ (większe od błędu zaokrąglenia
wynikającego ze skończonej precyzji zapisu liczb w komputerze)
Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]
Przebieg obliczeń
Ustalamy, który z końców przedziału będzie traktowany jako
)
0
(
x
b
x
lub
a
x
)
(
)
(
0
0
Spełniony musi być warunek
0
0
0
)
x
(
'
'
f
)
x
(
f
)
(
)
(
Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego:
)
x
(
'
f
)
x
(
f
x
x
)
k
(
)
k
(
)
k
(
)
k
(
1
k = 0, 1, 2, …
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy
)
x
(
f
)
k
(
1
Koniec obliczeń, gdy
)
x
(
f
)
k
(
1
wtedy
*
x
x
)
k
(
1
Ilustracja graficzna
f (b)
·f ”(b) > 0
b = x
(0)
X
(0)
X
(1)
X
(2)
│f (x
(1)
) │< δ
TAK kończymy obliczenia
x
(1)
= x
*
NIE liczymy dalej
│f (x
(2)
)│ < δ
TAK kończymy obliczenia
x
(2)
= x
*
NIE liczymy dalej
16
Metoda iteracji prostej
17
Metoda iteracji prostej
Zakłada się, że występująca w równaniu (1) funkcja
f jest ciągła na zadanym przedziale
b
a, i spełnia w punktach krańcowych warunek
f (x) = 0
(1)
0
b
f
a
f
Należy znaleźć przedział
b
a,
Ustalić liczby ε, δ (większe od błędu zaokrąglenia
wynikającego ze skończonej precyzji zapisu liczb w komputerze)
Funkcja f (x) musi mieć określoną i ciągłą pierwszą i drugą pochodną w przedziale [a, b]
18
Przebieg obliczeń
Funkcję f (x) przekształcamy do postaci
)
x
(
F
x
Obliczenia wykonujemy według wzoru iteracyjnego
)
x
(
F
x
)
k
(
)
k
(
1
k = 0, 1, 2, …..
Po każdej iteracji sprawdzamy, czy
)
x
(
f
)
k
(
1
Obliczenia kończymy, gdy
)
x
(
f
)
k
(
1
wtedy
*
x
x
)
k
(
1
Początek obliczeń
2
0
b
a
x
)
(
19
Warunek zbieżności
Jeżeli istnieje taki ułamek q, że
b
x
a
dla
q
)
x
(
'
F
1
to iteracja będzie zbieżna
20
Ilustracja graficzna
x
f(x)
f(x)=x
F(x)
0
a
b
F(x)
x
(0)
x
(1)
│f (x
(1)
)│< δ
TAK kończymy obliczenia x
(1)
= x
*
NIE liczymy dalej
21
Algorytm zbieżny
Algorytm rozbieżny
3
/
1
2
4
)
(
x
x
F
3
/
1
2
4
x
x
3
2
2
2
)
(
x
x
F
3
2
2
2
x
x
22
x
x
2
Algorytm rozbieżny
x
x
F
2
)
(
x =0
*
y=x
y=2x
x
y
0
x
I
(0)
x
II
(0)
Zestawienie wyników
Wynik Liczba iteracji
Bisekcja
2,1875
4
Regula falsi
2,173
3
Siecznych
2,18
3
Stycznych
2,175
3
Iteracji prostej
2,1859
3
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Czwarty wykład 2014 bez tła
Czwarty wykład 2014 bez tła
Pierwszy wyklad 2014 bez tła
Drugi wykład 2014 bez tła
Szósty wykład 2014 bez tła
Wyklad 04 2014 2015
wyklad4 zo 2014 2
Wykład 3 03 2014
Postępowanie?m wykład 03 2014
Wykład& 05 2014
Mikroekonomia wykład 11 2014
wykłady cd Żołądek, Weterynaria, Rok 3, patomorfologia, wyklady, wyklady z apow
wyklad 3 cd, współczesne kierunki pedagogiczne
Wykład 3 cd, Elektrotechnika-materiały do szkoły, Gospodarka Sowiński
patomorfa wykłady 2013 2014 1
Liturgika czwarty wykład! 11 2009
więcej podobnych podstron