ELEMENTY TEORII MOŻLIWOŚCI

Opracował: M. Kwiesielewicz

Zadeh (1978) wprowadził pojęcie rozkładu możliwości jako rozmyte
ograniczenie, kóre odziaływuje w sposób elastyczny na wartości
przypisane danej zmiennej.
Definicja. Niech F będzie zbiorem rozmytym, zdefiniowanym na
przestrzeni rozważań U z funkcją przynależności

µ

F

, ze stopniem

przynależności

( )

µ

F

u

, rozumianym jako zgodność (ang.

compatibility) elementu u z pojęciem F. Niech ponadto X będzie
zmienną przyjmującą wartości w U oraz niech F jest rozumiane jako
ograniczenie rozmyte

( )

R X

związane z X. Wówczas zdanie “X jest

F” , które można przedstawić jako:

( )

R

F

X

=

,

co wyraża rozkład możliwości

Π

X

że zmienna X jest równa

( )

R X

:

( )

Π

X

X

=

R

.

Powyższą zależność mozna zapisać również jako:

Π

X

=

F

.

Funkcja rozkładu możliwości związana ze zmienną X lub funkcja
rozkładu mozliwości

Π

X

jest określona następująco:

π

µ

X

F

=

,

Jak wynika z powyższej definicji rozkład możliwości można opisać
za pomocą zbioru rozmytego, natomiast funkcję rozkładu możliwości
za pomocą funkcji charakterystycznej zbioru rozmytego.

Inne podejście do teorii możliwości zaproponowali Dubois i Prade
(1983).

Experyment statystyczny - rzut monetą.
Zbiór zdarzeń elementarnych

{

}

X

x

x

=

=

=

1

2

orzeł, reszka

.

Założymy, że moneta jest zniekształcona (ang. biased):

1

1
2

1

1

2

1

≥

≥ ≥

= −

p

p

p .

Można wprowadzić stopień potrzeby (ang. necessity) na korzyść
zajścia zdarzenia

x

1

zdefiniowany następująco:

n

p

p

1

1

2

=

−

,

co również oznacza niemożliwość zajścia zdarzenia

x

2

. Odpowiedni

stopień możliwości zajścia zdarzenia

x

2

wyrazi się następującą

zależnością:

π

2

1

2

1

2

= −

=

n

p

.

Pozostałe stopnie zdefiniowane są następująco:

n

2

1

0

1

=

=

,

.

π

Warto zauważyć, że danemu zdarzeniu przyporządkowana jest para
(potrzeba, możliwość).

W oparciu o przedstawioną ideę można zdefiniować transformację
prawdopodobieństwo - możliwość i odwrotnie.

ZAŁOŻENIA:

•

zbiór zadarzeń elementarnych:

{

}

X

x i

n

i

=

=

;

,

,

1 2!

•

uporządkowanie

p

p

p

n

1

2

≥

≥ ≥

!

, gdzie

{ }

( )

p

P x

p

i

i

i

i

n

=

=

=

∑

,

1

1

•

P jest miarą prawdopodobieństwa

•

{

}

A

i

i

x x

x

=

1

2

, ,!

oraz

A

0

= ∅

.

Definicja. Stopniem potrzeby zajścia zdarzenia A

∈

X jest dodatkowa

ilość prawdopodobieństwa związanego ze zdarzeniami elementarnymi
ze zbioru A w porównaniu z ilością prawdopodobieństwa przypisaną
najczęściej występującemu zdarzeniu nie należącemu do zbioru A:

( )

N

p

p

j

k

x

A

x

k

j

A

A

=

−







∉

∈

∑

max

max

,0 .

Jeśli

A

A

=

i

otrzymujemy

( )

(

)

N

p

p

i

n

i

j

i

j

u

A

=

−

=

+

=

∑

1

1

1

,

, ,

! ,

gdzie:

p

n

+

=

1

0

.

Jeśli N(A) Potraktujemy jako stopień niemożliwości wystąpienia
zdarzenia przeciwnego A, wówczas można zdefiniować stopień
możliwości zajścia zdarzenia A jako:

( )

( )

∀ ∈

= −

A

A

A

X

N

Π

1

.

Jeśli przyjmiemy, że

Π

( )

A

jest miarą możliwości w sensie Zadeha

(1978), wówczas otrzymamy:

( )

Π

A

A

=

∈

max

x

i

i

π

Uwaga. Miara możliwości i miara potrzeby mogą być obliczone na
podstawie rozkładu możliwości, który jest zdefiniowany za pomocą
zbioru rozmytego:

( )

( )

(

)

( )

( )

(

)

N

x

x

x

x

A

A

A

F

A

F

=

−

=

∉

∈

inf

,

sup

1

µ

µ

Π

,

gdzie F jest zbiorem rozmytym związanym z rozkładem możliwości.

Na podstawie przedstawionych zależności otrzymujemy (Dubois and
Prade 1983):

•

Transformacja prawdopodobieństwo-możliwość:

(

)

∀

=

=

∑

i

p p

i

i

j

j

n

π

min

,

1

•

Przekształcenie odwrotne:

(

)

∀ =

=

−

=

+

∑

i

n p

j

i

j i

n

i

j

1

1

1

, ,

!

π

π

, gdzie:

π

n

+

=

1

0

.

•

Dla przypadku ciągłego (Dubois and Prade 1982):

( )

( ) ( )

(

)

∀ ∈

=

∫

x

x

p

p t dt

R

R

π

min

x ,

•

Spełniony jest warunek:

( ) ( )

( )

∀

≤

≤

A

A

A

A

N

P

Π

.

!!!!

Teoria Shafera (1976)

Definicja. Niech dana będzie przestrzeń zdarzeń elementarnych

Ω

,

rodzina

S jej podzbiorów oraz dowolne zdarzenie

A A

,

,

, , ,

i

S i

n

⊂

=

1 2 ! . Funkcja pewności jest funkcją rzeczywistą

Bel spełniającą następujące aksjomaty

(i)

( )

∀ ∈ ⊂

≥

A

A

S

P

Ω

,

0,

(ii)

( )

P

P

Ω

=

∅ =

1

0

, ( )

, ,

(iii)

∀

∈ ⊂

A A

A

1

2

n

S

,

, ,

;

!

Ω

zachodzi:

( )

(

)

( )

Bel

Bel

Bel

Bel

i

i

n

i

i

n

i

j

j i

n

i

i

n

A

A

A

A

A

=

=

<

+

=









 ≥

−

∩

+ + −











∑

∑

1

1

1

1

1

"

#

!

.

Definiuje on przekształcenie m, nazywane podstawowym
przyporządkowaniem probabilistycznym, przyporządkowujące część
wiedzy każdemu ze zdarzeń:

( )

( )

m

m

∅ =

=

⊆

∑

0

1

,

B

B

Ω

.

Zbiór elementów fokalnych określa się następująco:

( )

{

}

B

B

/ m

>

0

.

Na podstawie elementów fokalnych dla danego zdarzenia A można
policzyć dwie miary:
pewności (ang. belief):

( )

( )

Bel

m

A

B

B A

=

⊆

∑

oraz wiarygodności (ang. plausibility):

( )

( )

Pl

m

A

B

B A

=

∩ =∅

∑

Podejście zaproponowane przez Shafer’a wywodzi się z pracy
Dempster’a (1967).
ZAŁOŻENIA:

•

elementy fokalne odpowiadają wynikom eksperymentu
stochastycznego ze zbioru X,

•

istnieje pewne odwzorowanie które każdemu wynikowi x

X

∈

przyporządkowuje rzeczywiste zdarzenie

( )

Γ

Ω

x

⊆

,

•

p(x) jest estymowanym prawdopodobieństwem wyniku x.

Przyporządkowanie podstawowe definiuje się następująco:

( )

( )

( )

∀

=

=







A

A

A

m

p x

x

gdy

w przeciwnym przypadku

Γ

0

.

Uwaga.

( )

Γ

x

=

A modeluje niedokładność eksperymentu

statystycznego:
Mamy tu do czynienia z tzw. niedokładnym prawdopodobieństwem:

( )

( )

( )

Bel

P

Pl

A

A

A

≤

≤

Ω

Jeśli zbiór wyników X potrafimy uporządkować:

( )

( )

{

}

( )

( )

( )

( )

x

x

X

x

x

p

p

1

1

, ,

,

!

$

=

⊆ ⊆

Γ

Γ

to miara pewności i wiarygodności stają się odpowiednio miarami
potrzeby i możliwości.

Uwagi. W oparciu o przedstawione podejście można zaproponować
sposób opisu rozpatrywanego modelu w zależności od typu
dostępnych danych:

•

jeśli dane są dokładne i posiadamy ich wystarczającą liczbę
stosujemy podejście probabilistyczne;

•

jeśli dane są niedokładne, ale zgodne stosujemy podejście
możliwościowe Dubois i Prade’a;

•

jeśli dane są niedokładne i niezgodne stosujemy podejście Shafer’a

•

jeśli dane są niedokładne i operujemy pojęciami nieostrymi
stosujemy podejście rozmyte.

Metody identyfikacja funkcji przynależności

Istnieje kilka głównych metod określania funkcji przynależności:

•

subiektywna ewaluacja,

•

metody ad-hoc,

•

transformacja w oparciu o histogram,

•

określenie funkcji przynależności w oparciu o teorię możliwości,

•

fuzzyfikacja przestrzeni rozważań,

•

skalowanie psychologiczne,

Przykład. Załóżmy, że rozważamy zbiór osób pracujących przy
danym typie maszyny i zamierzamy utworzyć zbiór rozmyty
“popełniający błędy”. Wtedy macierz R może wyglądać następująco:

Jan Marek Jerzy Marian

Jan

1

3

5

7

Marek

1/3 1

3

5

Jerzy

1/5 1/3

1

5

Marian

1/7 1/5

1/5

1

Element (Jan,Marian)=7 oznacza, że ekspert z dużą preferencją
kwalifikuje Jana w stosunku do Mariana do zbioru “popełniający
błędy”, innymi słowy Jan w dużo większym stopniu należy do zbioru
“popełniający błędy”.
Metoda średniej geometrycznej:

α

i

ij

j

n

n

r

i

n

=











=

=

∏

1

1

1

,

, ,

! .

Otrzymujemy:

α

α

α

α

Jan

Marek

Jerzy

Marian

=

=

=

=

3 20

150

0 76

0 27

. ,

. ,

. ,

.

,

co po normalizacji da nam zbiór rozmyty o funkcji przynależności:

µ

A

=

+

+

+

1

0 47

0 24

0 08

/

.

/

.

/

. /

Jan

Marek

Jerzy

Marian .

Metody ad-hoc polegają na określeniu przez eksperta wartości

modalnych funkcji przynależności oraz jej nośnika. Ponieważ w tym
przypadku zaniedbywany jest kształt funkcji L i R przyjmuje się
wówczas najczęściej, że są one liniowe..

Dubois i Prade (1988) proponują identyfikację funkcji

przynależnośći w oparciu o

α

- przekroje (Rys. 14.), stosując 5-7

stopniową skalę lingwistyczną (Tablica 2.2.).

X

0

A

B

C

D

E

µ

F

(x)

Rysunek 14. Poziomy przynależności

Tablica 2. Pięiostopniowa skala lingwistyczna

Stopień zgodności

Poziom

przynależnośći

A Zupełna zgodność

1

B Dobra zgodność

0.75

C Zgodność

0.5

D Słaba zgodność

0.25

E Niezgodność

0

Przykład. Załóżmy, że ekspert ma oszacować rozmyte
prawdopodobieńśtwo awarii elementu systemu i jego zadaniem
najbardziej możliwa wartość prawdopodobieństwa wynosi

p

m

oraz

zawiera się ono w przedziale

[

]

p p

l

u

,

. Wówczas rozmyte

prawdopodobieństwo awarii wyniesie

(

)

~

,

,

p

p p p

l

m

u

=

.

Przykład.
ZAŁOŻENIA:

•

na podstawie oceny grupy osób mamy uzyskać zbiór rozmyty
“wysoka temperatura”,

•

wszystkie osoby są zgodne, że wysoka temperatura zawiera się w
przedziale

[

]

T

=

50 100

,

°

C

•

T jest zdyskretyzowane na n podprzedziałów

T i

n

i

,

, , .

=

1 !

,

•

każdą osobę poproszono o wyrażenie swojej subiektywnej oceny
jaka temperatura ze zbioru T jest dla niego wysoka

•

przy odpowiednio dużej liczbie odpowiedzi (danych) jesteśmy w
stanie policzyć prawdopodobieństwa

( )

p T i

n

i

,

, ,

=

1 !

.

•

wynikiem eksperymentu jest:

“wysoka temperatura” =

[

]

t,100

,

co można zapisać:

( )

[

]

∀ ∈

=

t T

t

t

i

i

Γ

,100

.

•

podstawowe przyporządkowanie jest zdefiniowane następująco:

[

]

(

)

( )

m t

P T

i

i

,100

=

z zagnieżdżonymi elementami fokalnymi.

Wówczas otrzymujemy:

( )

{ }

( )

( )

∀

=

=

≤

∑

t

t

Pl t

P T

w

i

t t

i

µ

ysoka temperatura

.

Uwaga. Funkcja przynależności zbioru rozmytego “wysoka
temperatura” jest dystrybuantą miary prawdopodobieństwa otrzymanej
na podstawie eksperymentu statystycznego.

Przykład.

Załóżmy, że grupa q ekspertów nie jest zgodna co do oceny

prawdopodobieństwa wystąpienia awarii elementu systemu i każdy z
ekspertów jest w stanie podać przedział liczbowy w którym to
prawdopodobieństwo się znajduje:

[

]

a b

k

q

k

k

,

,

, ,

=

1 !

. Ponadto

załóżmy, że podane przedziały liczbowe na siebie nachodzą:

[ ]

[

]

∃

=

≠ ∅

=

a b

a b

k

k

k

q

,

,

1

#

Przyjmijmy następujące oznaczenie:

[ ]

[

]

A B

a b

k

k

k

q

,

,

=

=

1

"

.

Zdefiniujmy

{

}

I

n

i

; , ,

1 !

zagnieżdżonych przedziałów liczbowych:

[ ]

[ ]

a b

I

I

I

A B

n

,

,

⊆

⊂

⊂ ⊂

=

1

2

$

Odpowiedni zbiór rozmyty F można policzyć następująco:

( )

{ }

( )

( )

{ }

( )

µ

F

x

Pl x

m I

x

i

x I

i

=

=

=

∈

∑

Π

,

co można zapisać (Dubois and Prade 1986, 1988):

( )

µ

F

x

=

0 jeśli x I

n

∉

,

( )

( )

µ

F

x

m I

j

j

n

=

=

∑

1

jeśli x

I

I

i

i

i

∈

≥

−

\

,

1

2 ,

( )

µ

F

x

=

1 jeśli x I

∈

1

,

gdzie:

I

I

i

i

\

−

1

należy rozumieć jako różnicę zbiorów

I

i

oraz

I

i

−

1

.

Uwagi. Warto podkreślić, że jeśli nie potrafimy zanaleźć
odpowiedniego odwzorowania

Γ

tak aby uzyskać zagnieżdżone

elementy fokalne, to w przypadku zastosowania teorii możliwości
uzyskamy nieznormalizowany zbiór rozmyty tzn.:

( )

{

}

sup

.

x

x

µ

F

<

1

Ponieważ teoria możliwości zakłada normalizację pozostaje nam
podejście Shafer’a i operowanie na miarach pewności
i wiarygodności.