Egzamin z matematyki, 1 sem. WBWiI´

S, r. 2002/2003

Nazwisko i imi¸e ........................................................................................... Grupa ..........

I. Cz¸e´s´

c zadaniowa

1. Wyznaczy´c warto´sci parametr´ow a i b tak, aby funkcja

f (x) =



















det







3x − 2

x − 1

0

6x − 6 3x − 3

0

5x − 4 2x − 2 x − a







dla x ≤ 1

−3 sin(x − 1) + b

dla x > 1

byÃla r´o˙zniczkowalna w punkcie x

0

= 1.

2. Znale´z´c przedziaÃly, w kt´orych funkcja g(x) = x

3

e

−x

jest jednocze´snie malej¸aca i

wypukÃla w d´oÃl.

3. Obliczy´c caÃlki

a)

Z

x

3

arccos x

√

1 − x

2

dx

b)

Z

dx

4 + tg x + 4ctg x

4. Obliczy´c pole figury zawartej mi¸edzy wykresem funkcji h(x) = 2x

4

+ 4x

2

+ x + 1

x

4

+ 2x

2

+ 1

a

jej asymptot¸a.

5. Obliczy´c rz¸ad macierzy A w zale˙zno´sci od parametru λ, gdzie

A =











λ

1

2

3

4

λ − 2

4

5

−1

−1

λ − 3

3

λ

1

2

λ + 3











6. Znale´z´c symetryczne odbicie punktu P (Re z

0

, Im z

0

,

|z

0

|

8

) wzgl¸edem pÃlaszczyzny π :

2x − y + 3z + 3 = 0, gdzie z

0

= (−1 − i)

6

.

II. Cz¸e´s´

c teoretyczna

T.1 Poda´c definicj¸e caÃlki nieoznaczonej. SformuÃlowa´c twierdzenie o caÃlkowaniu przez

podstawienie dla caÃlek nieoznaczonych. W oparciu o to twierdzenie wyprowadzi´c
wz´or na caÃlk¸e

R

f

n

(x) · f

0

(x) dx.

T.2 SformuÃlowa´c twierdzenie o wyznaczaniu macierzy odwrotnej. Poda´c minimum 3

wÃlasno´sci odwracania macierzy. Poda´c dowolny przykÃlad macierzy odwracalnej stop-
nia trzeciego.

T.3 Poda´c definicje Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji wielu zmiennych w punkcie. W

oparciu o jedn¸a z tych definicji pokaza´c, ˙ze nie istnieje

lim

(x,y)→(0,0)

xy

x

2

+ 2y

2

.